角提高知识讲解
(认识角)教案及反思范文
认识角教案及反思范文一、教学目标：知识与技能目标：学生能够理解角的概念，识别和比较不同类型的角，并能够用图形和语言描述角的特点。
过程与方法目标：通过观察、操作和交流，学生能够培养观察能力、动手能力和表达能力的提升。
情感态度与价值观目标：激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 角的概念：介绍角的定义，解释由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角。
2. 角的分类：讲解锐角、直角、钝角的概念，引导学生通过观察和比较来区分它们。
3. 角的度量：介绍量角器的使用方法，教授学生如何度量角的大小。
4. 角的运算：引导学生学习角的加减运算，并通过实际操作来理解运算规律。
5. 角的应用：通过实际问题，让学生运用角的知识解决问题，巩固所学内容。
三、教学重点与难点：重点：学生能够理解角的概念，掌握角的分类和度量方法。
难点：学生能够运用角的知识解决实际问题，并能够进行角的运算。
四、教学方法：采用问题驱动法、观察比较法和操作实践法。
通过提问引导学生思考，观察比较不同角的特征，通过实际操作来加深对角的理解。
五、教学准备：准备角的概念和分类的图片，量角器和几何图形，用于教学演示和学生操作。
教案及反思范文：教学反思：在教授认识角这一章节时，我通过引入角的定义和分类，让学生能够理解角的概念，并能区分不同类型的角。
在教学过程中，我引导学生观察、操作和交流，培养他们的观察能力、动手能力和表达能力。
我也发现了一些问题。
部分学生在理解和应用角的概念时存在困难，特别是在进行角的运算时，他们对于角的加减运算规律理解不够清晰。
我决定在后续的教学中加强对角的运算的讲解和练习，通过实际问题来帮助学生更好地运用角的知识解决问题。
我也意识到在教学过程中，我需要更加注重学生的参与和互动。
我将尝试更多的提问和小组讨论，鼓励学生主动思考和表达自己的观点，以提高他们的学习兴趣和参与度。
总体来说，我认为学生在认识角这一章节中取得了一定的进步，但也存在一些问题需要我在后续的教学中加以改进和加强。
与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)
与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
角的比较教案：如何帮助学生理解角的大小关系？
角的比较教案：如何帮助学生理解角的大小关系？一、教学目标1.知识目标：通过教学，帮助学生掌握角的大小关系，理解角度的度量单位等概念。
2.技能目标：培养学生观察、比较、分析的能力，以及对角度问题进行有效解决的能力。
3.情感目标：增强学生的数学兴趣，调动学生的学习积极性，促进学生对数学的深入了解和学习。
二、教学内容本教案主要介绍如何帮助学生理解角的大小关系，主要内容包括：1.角的定义和度量单位。
2.角的基本性质，包括角的大小比较、角的补角和余角、同位角和绝对值等概念。
3.角的测量方法和角度的度量。
4.角度的运用和角的图像表示。
三、教学方法1.视觉化教学法：通过图片、图形和实物等方式来帮助学生直观感受角的大小关系。
2.比较教学法：通过对比不同的角度大小，帮助学生理解角的度量单位和大小比较。
3.互动式教学法：通过举例解题、小组合作等方式，培养学生的分析和解决问题的能力。
四、教学过程1.知识讲解：教师简略介绍角的定义和度量单位，并通过图片和实物让学生感受角的大小和形态。
2.角的比较：教师放映一些具有代表性的角度大小图片，帮助学生感受角度大小的差异，并进行大小比较。
3.互动解题：教师出示几个具有不同角度的图形，让学生分析和解题，比较出它们的角度大小关系。
4.角度的运用：教师设计一些与实际生活相联系的问题，帮助学生初步掌握角度的运用技巧，并提高学生的思维能力。
五、教学评价本教案的主要教学评价标准如下：1.学生对角的定义和度量单位的掌握情况。
2.学生对角的基本性质的能力掌握，特别是对角的大小比较、角的补角和余角、同位角和绝对值等概念理解的情况。
3.学生对角的测量方法和角度的度量掌握情况。
4.学生对角度的运用和角的图像表示的掌握情况。
5.学生在角度问题上的分析和解决问题的能力。
六、教学效果通过教学，学生从学生角的定义和度量单位开始，逐渐理解了角的大小比较、角的补角和余角、同位角和绝对值等概念。
通过互动式教学和比较教学法的运用，学生在角度问题上得到了较好的理解和解决问题的能力。
二年级关于角的知识点
二年级关于角的知识点在二年级数学教学中，角的概念是一个比较难理解的知识点。
要想让学生理解角的概念，需要通过多种方式进行讲解和练习。
本文将从以下几个方面介绍角的相关知识。
一、角的定义和表示方法角是由两条射线所组成的几何图形，其中两条射线有一个公共的端点，称为角的顶点。
通常用大写字母表示角的顶点，如∠A。
角的大小可以用它所对应的弧度数表示，也可以用度数表示。
在二年级，我们主要使用度数来表示角的大小。
二、角的分类角根据它的大小可以分为三类：锐角、直角、钝角。
其中，锐角指角的大小小于90度，直角指角的大小等于90度，钝角指角的大小大于90度。
三、角的测量在二年级数学中，学生大多数还不会使用量角器等专业工具来测量角的大小，因此我们会采用手绘图的方式来帮助学生理解角的测量方法。
步骤如下：1、用直尺画两条射线，并且将它们的一个端点重合。
2、再用直尺将其中一条射线上的点（不是顶点）与另一条射线延长线上的点相连，构成一个直角三角形。
3、将角的顶点设为直角顶点，将直角顶点和另一点相连，形成一个直角。
4、用尺子或者直尺，测量直角对应的度数即为角的大小。
四、角的运算在初步掌握了角的基础知识后，学生们需要开始了解角的运算。
角的运算包括加减、比较等。
具体内容如下：1、加减角两个角的和是它们的大小相加，两个角的差是它们的大小相减。
例如：∠A=50度，∠B=60度，则∠A+∠B=110度，∠A-∠B=-10度。
2、比较角大小比较角的大小需要注意的是，不能仅仅看角的度数大小，还需要考虑它们所在的位置和方向。
例如，两个大小不同的角，在同一条直线上，方向相反，则它们的大小是相等的。
五、角的应用角的应用非常广泛，应用范围包括但不限于几何学、代数学等领域。
在初中以及高中的数学中，学生都需要在不同的领域中运用角的知识。
在初中数学中，学生需要在平面几何中运用角的知识来解决各种几何问题。
例如：如何求一个矩形的对角线长度？如何确定两直线的夹角度数？在高中数学中，学生需要在三角函数、向量等领域中进一步应用角的知识。
初中数学对角的认识教案
初中数学对角的认识教案教学目标：1. 让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解角的概念，掌握角的特征。
2. 培养学生用角的概念来解释和解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
教学内容：1. 角的概念及特征2. 角的分类3. 角的度量教学重点：1. 角的概念及特征2. 角的分类教学难点：1. 角的概念的理解2. 角的分类的掌握教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察教室内的各种角，如门窗角、桌椅角等。
2. 提问：你们观察到了哪些角？它们有什么特点？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍角的概念：角是由两条射线共同确定的图形，称为角。
2. 讲解角的特征：角有公共顶点，两条边是射线，角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
3. 讲解角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主完成练习题，巩固对角的概念和分类的理解。
2. 引导学生思考：如何用角的概念来解释和解决实际问题？四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结角的概念和分类。
2. 提问：你们认为角在生活中的应用有哪些？教学评价：1. 课后作业：布置有关角的练习题，检验学生对角的概念和分类的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作精神。
教学反思：本节课通过观察、操作、思考、交流等活动，让学生掌握了角的概念和分类。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养学生的思考能力和合作精神。
同时，要关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到充分的锻炼和发展。
《角的初步认识》教案
《角的初步认识》优秀教案一、教学目标：1. 让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体验到角的特征，初步理解角的概念。
2. 让学生能够识别和比较不同形状和大小的角。
3. 培养学生空间观念和观察能力，激发学生学习兴趣。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生能够通过观察和操作，初步认识角，知道角的大小与边的长短没有关系。
2. 教学难点：让学生能够理解角的概念，并能运用角的知识解决实际问题。
三、教学方法：采用情境教学法、观察教学法、操作教学法和小组合作学习法。
四、教学准备：1. 教具准备：三角板、量角器、直尺、折纸、图片等。
2. 学具准备：每个学生准备一张白纸、一把剪刀、一些彩色笔。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的图片，如剪刀、钟表等，引导学生观察并发现这些物品中都含有角，从而引出本课的主题——角的初步认识。
2. 探究新知：（1）让学生用剪刀剪出一个角，并观察剪出的角。
学生通过观察发现，角是由两条线段（或射线）相交形成的。
（2）让学生用直尺和彩色笔在白纸上画出一个角，并尝试测量角的大小。
学生通过操作发现，角的大小与边的长短没有关系，而是与两边叉开的大小有关。
（3）教师展示三角板，让学生观察并说出三角板上的角。
学生通过观察和交流，能够识别出锐角、直角和钝角。
3. 巩固练习：（1）让学生分组合作，用折纸制作不同形状和大小的角，并互相展示、比较。
（2）教师出示一些实际问题，如计算长方形、正方形、三角形内角的和，让学生运用角的知识解决问题。
4. 课堂小结：通过本节课的学习，让学生回顾和总结角的特征，以及角的大小与边的长短的关系。
5. 课后作业：让学生运用角的知识，设计一个有趣的角形图案，并画在白纸上，下节课互相展示。
六、教学反思：1. 学生是否能够理解角的概念，并能正确识别不同类型的角？2. 学生是否能够掌握角的大小与边的长短无关的原理？3. 学生在操作活动中是否积极参与，能否通过自主探索得出结论？4. 教学过程中是否存在不足，如讲解不够清晰、学生活动设计不够合理等？5. 如何改进教学方法，以提高学生对角的概念的理解和应用能力？七、评价建议：1. 学生是否能准确描述角的概念，区分不同类型的角。
讲解角的初步认识教案
讲解角的初步认识教案教案名称：初步认识角一、教学目标1. 让学生了解角的基本概念和特点；2. 帮助学生掌握角的度量单位和表示方法；3. 引导学生能够在生活中观察和应用角的概念。
二、教学重点与难点1. 角的概念和特点；2. 角的度量单位和表示方法；3. 角的应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、尺子。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师利用PPT展示一些生活中的角的图片，引导学生讨论这些角的特点以及角在生活中的应用。
2. 角的概念（15分钟）教师向学生介绍角的概念，即由两条射线共同起点组成的图形称为角。
教师通过示意图和实物展示，让学生直观地理解角的概念。
3. 角的度量单位和表示方法（20分钟）教师向学生介绍角的度量单位为度，表示方法为度数。
教师通过PPT展示角的度量单位和表示方法，并举例让学生掌握角的度量。
4. 角的分类（15分钟）教师向学生介绍角的分类，包括锐角、直角、钝角和平角。
教师通过示意图和实例让学生了解不同类型的角，并引导学生观察生活中的角并进行分类。
5. 角的应用（20分钟）教师向学生介绍角在生活中的应用，如门的开合角、楼梯的倾斜角等。
教师通过实例让学生了解角在生活中的具体应用，培养学生观察和应用角的能力。
6. 练习与讨论（20分钟）教师布置相关练习题，让学生在课堂上进行练习，并对学生的答案进行讨论和指导。
教师可以设计一些角的测量和计算题目，让学生巩固所学知识。
7. 总结与作业（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并布置相关作业，让学生巩固所学知识。
五、教学反思本节课通过PPT、示意图和实例等多种教学手段，让学生初步认识了角的概念和特点，掌握了角的度量单位和表示方法，并了解了角在生活中的应用。
教学过程中，学生的积极性较高，能够积极参与讨论和练习，但部分学生对角的度量单位和表示方法理解不够深入，需要在后续课堂中进行巩固和拓展。
36角(基础)知识讲解
角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1 图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
角(基础)知识讲解及巩固练习
要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角和补角1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
1328 角(提高)知识讲解
角（提高）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】（2015春•成武县期末）下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2.计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵152°49′12″＝152.82°，∴152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″，324′+7′＝5°31′，∴35°36′47″×9＝320°31′3″．∴41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3.如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. (武汉武昌区期末调研考试)已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE 的平分线．(1)当点C 、E 、F 在直线AB 的同侧(如图①所示)时．试说明∠BOE ＝2∠COF ；(2)当点C 与点E 、F 在直线AB 的两旁(如图②所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；(3)将如图②中的射线OF 绕点O 顺时针旋转m °(0＜m ＜180)，得到射线OD ，设∠AOC ＝n °，若∠BOD ＝2(60)3n-°，则∠DOE 的度数是多少?(用含n 的式子表示)【思路点拨】由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由． 【答案与解析】解：(1)如图①，设∠COF ＝α， 则∠EOF ＝90°-α 因为OF 是∠AOE 的平分线 所以∠AOF ＝90°-α所以∠AOC ＝(90°-α)-α＝90°-2α ∠BOE ＝180°-∠COE -∠AOC ＝180°-90°-(90°-2α)＝2α 即∠BOE ＝2∠COF (2)成立．如图2设∠AOC ＝β，则902AOF β︒-∠=所以145(90)22°°COF AOC AOF ββ∠=∠+∠=+=+ ∠BOE ＝180°-∠AOE ＝180°-(90°-β)＝90°+β 所以∠BOE ＝2∠COF(3)因为∠DOE ＝180°-∠AOE -∠BOD 2180(90)(60)3n n =----°°° 5(30)3n =+° 故DOE ∠的度数是5(30)3n +°．【总结升华】根据角平分线，互余及互补的定义，进行有关角的计算．有一定的综合性和代表性，主要培养分析问题和解决问题的能力． 【高清课堂：角397364 角的有关计算例4】 举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5. （2015•浦东新区三模）已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点多回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x -0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
七年级数学角知识点讲解
七年级数学角知识点讲解在初中数学中，角是一个比较重要的概念，也是很多数学知识点的基础。
本文将为大家详细讲解七年级数学中的角知识点。
1. 角的基础概念角是由两条射线共同固定一个端点而形成的图形。
其中，这个端点称为顶点，两条射线分别为角的两条边。
2. 角的分类按角的大小可以将角分为：（1）锐角：其度数在0度到90度之间。
（2）直角：其度数为90度。
（3）钝角：其度数在90度到180度之间。
（4）平角：其度数为180度。
按角的位置可以将角分为：（1）内角：位于图形内部的角，其两条边位于图形的两边。
（2）外角：位于图形外部的角，其两条边中的一条与图形的一边共线。
3. 角的度数计算角的度数计算有两种方式，一种是通过测量器测量，另一种是通过计算公式计算。
计算公式如下：（1）一周的度数是360度。
（2）一个直角角度是90度。
（3）一个平角角度是180度。
（4）一个钝角度数是180度减去这个角度的补角。
（5）一个锐角度数是90度减去这个角度的余角。
4. 角图形的性质（1）共线定理：如果一条直线上有两个角，那么这两个角的度数之和等于180度。
（2）垂直定理：如果两条直线相交，且形成了四个角，如果其中两个角是相互垂直的，那么这两个角中必有一个是直角。
（3）同旁内角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相等于。
（4）同旁外角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相补角。
通过以上的角知识点讲解，相信大家已经对初中数学中的角有了一定的了解。
在学习角的过程中，要注意理论和实践相结合，多做练习题，加深对角的理解和掌握。
二年级数学教案二：认识角,让孩子爱上数学
这是一份二年级数学教案二：认识角的教案，它将帮助孩子们认识一些基本的数学术语和概念，帮助他们学会如何在几何中描述角，让他们爱上数学的过程。
一、教学目标1. 能够认识角，并用数学术语描述它。
2. 理解角的度数和弧度，并能用自己的方式解释它们。
3. 通过练习，学会如何测量角和计算角的度数。
二、教学内容1. 角的概念2. 角的度数和弧度3. 角的测量和计算三、教学方法1. 教室讲解2. 实际练习3. 小组合作四、教学活动1. 角的概念：在教室里，老师为学生们介绍了角这个概念，并用一系列图片和演示来帮助学生们理解。
2. 角的度数和弧度：老师在课堂上向学生们介绍了角的度数和弧度，并让他们练习如何计算它们。
3. 角的测量和计算：老师组织学生们进行小组讨论，并通过一些实际的练习来帮助学生们理解和应用角的测量和计算技巧。
五、教学评估老师将通过以下方式来评估学生们的学习成果：1. 课堂练习和小组合作任务的表现。
2. 一份书面测试或考试，以检查学生们是否已经理解了角、角的度数和弧度，以及他们已经掌握角的测量和计算技巧。
六、教学延伸1. 让学生们练习绘制不同角度和大小的角，并测量它们的角度。
2. 让学生们通过解决一些实际问题来应用角的度数和弧度的概念，比如应用角度和弧度来描述卫星轨道的位置和方向。
3. 使用数学应用程序来帮助学生们进行实际的角测量和计算。
通过这些教学活动和延伸，老师可以帮助学生们更好地理解和应用角的概念。
他们将理解数学是如何贯穿于我们的生活中的，并会发现这一学科是多么有趣和实用。
相信通过这些教学活动，孩子们会爱上数学，成为更好的学生。
二年级角的认识知识点讲解
二年级“角的认识”知识点讲解主要包括以下内容：
1. 角的概念：角是由一个顶点和两条边组成的图形。
顶点通常被称为角的“顶点”，两条边则被称为角的“边”。
2. 角的类型：根据两条边的张开程度，角可以被分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度但小于180度，平角等于180度。
3. 角的绘制：可以通过从一个顶点绘制两条射线来创建一个角。
这个顶点被称为角的“顶点”，这两条射线被称为角的“边”。
4. 角的度量：角可以被度量，用以确定其大小。
度量角的方法是将一条射线分割为若干小段，每段表示一度。
5. 直角、平角的性质：一个直角等于两个平角，两个锐角组成一个平角，一个锐角和直角组成一个钝角。
6. 直角的判定：在所有情况下，直角都是最容易识别的，因为它的边与另一条直线垂直。
7. 平角的判定：平角等于180度，因此如果两个线段形成一个封闭的图形，并且内角和为180度，那么其中一个是平角。
8. 钝角的判定：钝角的内角和大于180度但小于360度。
如果一个封闭图形的内角和小于180度，那么它是一个钝角。
9. 锐角的判定：锐角的内角和小于90度。
如果一个封闭图形的内角和大于90度但小于180度，那么它是一个锐角。
以上就是二年级“角的认识”的主要知识点。
对于孩子们来说，理解这些概念将帮助他们更好地理解几何学的基础知识，同时也能提
高他们的空间想象力。
二年级上册数学教案 —角的初步认识 西师大版
二年级上册数学教案：角的初步认识一、教学目标1. 让学生初步了解角的定义和特点，能够正确识别和命名角。
2. 培养学生观察、比较和分类的能力，能够通过观察和比较，发现角的共同特征。
3. 引导学生运用角的知识，解决实际问题，培养学以致用的能力。
二、教学内容1. 角的定义和特点2. 角的识别和命名3. 角的分类三、教学重点1. 角的定义和特点2. 角的识别和命名四、教学难点1. 角的定义和特点2. 角的分类五、教学过程1. 导入：通过图片或实物，引导学生观察和发现角的存在，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解角的定义和特点，让学生明确角的概念。
3. 活动一：让学生观察和比较不同的角，找出它们的共同特征，引导学生总结角的定义和特点。
4. 活动二：让学生识别和命名不同的角，巩固角的定义和特点。
5. 活动三：讲解角的分类，让学生了解不同类型的角，并能正确分类。
6. 实践活动：让学生运用角的知识，解决实际问题，培养学以致用的能力。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调角的定义和特点，以及角的分类。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，以及对角的定义和特点的理解程度。
2. 练习题：通过练习题，了解学生对角的识别和命名，以及角的分类的掌握程度。
3. 实践活动：观察学生在实践活动中，是否能运用角的知识，解决实际问题。
七、教学反思1. 教师在教学中，应注重引导学生观察和发现，培养学生的观察能力和思维能力。
2. 教师应注重课堂评价，及时了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。
3. 教师应注重实践活动的开展，让学生在实践中运用知识，培养学以致用的能力。
八、教学资源1. 图片或实物：用于导入和讲解角的定义和特点。
2. 练习题：用于巩固角的识别和命名，以及角的分类。
3. 实践活动：用于培养学生的学以致用的能力。
九、教学时间1课时十、教学延伸1. 让学生通过观察和发现，了解生活中的角的存在，培养学生的观察能力。
人教版八年级数学：与三角形有关的角(提高) 知识讲解
与三角形有关的角（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60.【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．【答案】40°.解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，。
角的认知与思维发展：二年级数学教案
角的认知与思维发展：二年级数学教案在小学数学中，角是一项非常基础和重要的概念。
对于孩子们而言，了解角的认知和思维发展可以帮助他们更好地学习数学，并具有较高的实用性。
在二年级的数学课堂中，老师应该如何引导孩子认知角并培养学生的相关思维能力呢？一、角的基本概念角是指由两条不同的射线或线段（称为边）所夹的平面角。
由于角用度度量，因此我们用度数来表示它。
角度除了学习，日常中使用非常广泛，譬如在出门前需要看一下室外的角度（天气），或者使用相机拍摄前需要调节好里面的角度。
在教学中，应该在黑板上画出图形图像，生动形象地讲解角的基本概念，并要求学生在课堂上通过书写口算来准确理解角的基本概念。
在课下，家长可以给孩子找一些关于角的图像，让孩子自主理解并画出来，以便更好地加深对于角的认知。
二、角的分类角根据度数的不同，可以被分类为四种不同的类型。
在二年级的教学中，老师可以只讲授前两种类型，让孩子掌握基本分类方法即可。
1.零度角：度数为0度。
2.直角：度数为90度。
3.锐角：度数小于90度。
4.钝角：度数大于90度且小于180度。
在教学中，老师应该与孩子一起讨论分类方法，并通过学生们自己构思和模拟来巩固学生们对于角的分类概念。
通过自主学习，可以让孩子们加深对于角的认知，并进一步培养出良好的观察和思考能力。
三、角的测量了解角的测量有两种方法：作图测量和使用量角器。
在二年级数学教学中，老师应该重点讲解量角器的使用方法，这可以让孩子们更好地理解角的测量方法，并进一步提高孩子们的计算能力。
量角器是测量角度的一种工具。
孩子必须首先了解量角器的基本用法，如在给定的管坯上标记起点和终点，然后旋转量角器以准确测量角度。
对于难以使用量角器的孩子们，可以使用纸片或者类似的工具（示例：三角板）进行类比，帮助他们更快地理解测量原理和计算方法。
四、角的应用角度不仅仅是学数学时要学的概念，在生活中也是非常实用的。
比如我们会使用相机时设定曝光三角的角度，来决定拍摄的照片背景清晰度或者暗部亮度。
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角(提高)【学习目标】1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算;5•了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题.【要点梳理】【要点梳理】【高清课堂：角397364角的概念：】知识点一、角的概念1 •角的定义：(1 )定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线OA绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角, 起始位置0A 是角的始边，终止位置0B是角的终边.要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时, 所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角.2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3. 角的画法(1)用三角板可以画出30°、45 °、60°、90°等特殊角；(2)用量角器可以画出任意给定度数的角；(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 知识点二、角的比较与运算1.角度制及其换算1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1601分，记作“ 1'”，1 '的丄为1秒，记作“ 1 〃”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度60制.1 周角=360 °, 1 平角=180 ° , 1°= 60', 1 '= 60 〃.要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位.2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种. 方法1度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较/ AOB 和/ A ' O' B'的大小：如下图，由图（1）可得/ AOB <Z A ' O' B由图（2）可得/ AOB =Z A ' O ' B';由图（3）可得/ AOB >Z A ' O' B '.3. 角的和、差关系如图所示，/ AOB是/ 1与/ 2的和，记作：/ AOB = Z 1+ / 2;Z 1是/ AOB与/ 2的差，记作：/ 1 = Z AOB- /2.要点诠释：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60 °、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°, 75°, 105°, 120°, 135°, 150° , 165° 的角.4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC 是/ AOB 的角平分线，/ AOB = 2 / AOC = 2 / BOC ,1/ AOC = Z BOC = / AOB .2要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 知识点三、余角和补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90° （直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.类似地，如果两个角的和等于180° （平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.2. 性质：（1）等角的余角相等.（2）等角的补角相等.要点诠释：（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.（2）一般地，锐角a的余角可以表示为（90 ° - a ），一个角a的补角可以表示为（180 ° - a ）.显然一个锐角的补角比它的余角大90°.知识点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60°;射线OB的方向是南偏西30° .这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°” 一般不说成“东偏北30°” ;（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点.知识点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6 °，时针每小时转30 °,时针1分钟转0.5°,禾U 用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 【典型例题】类型一、角的比较与运算【点评】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运 算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60：进1',满60'进1°;对于除法运算则是 从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除， 将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入. 举一反三: 【变式】计算：1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于 【思路点拨】首先发现一副三角板上有 30°, 45行一次和差，可得小于 180°的所有角. 【答案与解析】解：除了可以画 30°, 45°, 60°, 90°外，还可画 的七个度数的角，画法如图所示.180°的角，试 ---- 画出来 .,60 ° , 90°这样4个不相等的角，利用这些角进1575°, 105°, 120 ° , 135°, 150 °, 165°【点评】利用 一副三角板 共可以画出 11个度数的 角，分别是： 30°, 45°, 60°, 90°, 15°, 75°, 105 °,O OO120 135 AAOB=135°(5)(6)2. 计算下列各题：(1) 152° 49' 12 (3) 35° 36' 47： 【答案与解析】 解：(1)解法一：T即: 152° 49' 12 +20. 18x 9;(2)82° -36 (4) 41 ° 37'42 15=20° 10' 48：+20.18°= 173°. 49'12：= 152. 82 亠 ° >o20. 18 解法二：••• 152° 152.82 ° +20.18°= 173即: 152 ° 49' 12： (2) 将82°化为8182° -36° 42' +20. 18°= 173° 59' 60: 15：= 45 ，则17'45：423: = 7' 3〃， 35° 36' 47〃 ••• 41° 37'- 3=13° 324' +7 x 9= 320 ° 52' 20:=5° 31', 31' 3: 150 165 ° .(1) 23° 45' 36" +66 ° 14' 24〃；(2)180° -98° 24' 30〃；(3)15°50' 42"X 3; (4) 88°14' 48"十 4.【答案】(1)23° 45' 36" +66 ° 14' 24〃= 90°;(2) 180 ° -98 ° 24' 30 "= 81 ° 35' 30";(3) 15°50' 42"X 3 = 47°32' 6";(4) 88° 14' 48"+ 4=22° 3' 42". 紗一一一3. 如图所示表示两块二角板.(1) 用叠合法比较/ 1,/ a ,/ 2的大小；(2) 量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“V”或“=”连接.【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得/ 1>Z a，用同样的方法，可得/ a V/ 2 .所以/ 2=/ 1>/ a .(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是/ 1=/ 2 = 45°,/ 3= 90°, / a = 30°,/ 3 = 60°,/ 丫 = 90°,把它们从小到大排列，有/ a V/ 1 = / 2V/ 3 V/ 3=/ Y .【点评】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较.②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较.举一反三：【变式】如图，/ AOB的平分线OM, ON为/ MOA内的一条射线，0G为/ AOB外的一条射线。