分式的加减法找最简公分母
分式的四则运算
分式的四则运算
（１）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分
子相加减.
（２）异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
（３）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
（４）分式的除法法则:
①两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
②除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:
（5）分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（6）分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);
②按解整式方程的步骤求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
11.分式的运算
③相同字母的幂取指数最高的。
例
4，（1）
1 2ab2c3d
+
1 3a3b2c
+
1 4a2b2c2
（2）
1+1− x x
1− 1− xy xy
注意：整式与分式的运算，根据题目特点，将整式化为分母为“1”的分式；
例 5：（1）已知： 2m − 5n = 0 ，求下式的值： (1+ n − m ) ÷ (1+ n − m )
m m−n
m m+n
（2）
1+
n m
− −
m 2n
÷
m2
m2 − n2 − 4mn +
4n2
一题多解
例 6：已知：= x2 M− y2
2xy − y2 + x − y x2 − y2 x + y
，则 M
=
________
例 7：
[ (a
1 + b)2
−
(a
1 − b)2
]÷( a
1 +b
−
a
1) −b
11.分式的运算
基础知识 1、分式的定义与意义（变成习惯思维，见到分式想到分母不能为 0）
A
定义：（A、B为整式，B中含有字母,不是系数且B ≠ 0）
B
2x + 2
例 1： 取什么值时试判断 (3x −1)(x +1) 有意义。
2x +1
例 2，当 x 取何值时，分式 1− 1 有意义？
x
2、分式的乘除法法则：注意约分，找公因式
）
D． x x -1
。
7.
（2011
沪教版七年级 分式的四则运算,带答案
分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a bcdacbd⋅=；abcdabdcadbc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘.2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：acbca bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程．4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；（3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的.5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(xym m y x xy m ÷-⋅-（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅（5）22)2(4422-++---x x x x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy xy xy x y x +-+++（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+--精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯--例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a例3. 计算：xx xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x -++⋅+÷+--36)3(446222类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b ca b c b c a c a b-+-+--++--+--（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ (7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b -类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x(5)2222222265232y x y x y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+-类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？类型五：分式的拆分 1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n .2．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x .自我测试一、选择题2. 下列分式是最简分式的（ ） A ．ba a 232 B ．aa a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）24. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．－25. 化简(x y －y x ) ÷x yx -的结果是（ ）A ．1yB ．x y y +C ．x y y -D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= ．8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 ．9. 若x 2-3x +1=0，则2421x x x ++的值为_________．10.化简12-a ·442++a a ÷2+a ＋12-a ，其结果是________．三、计算题 11. 计算(1) 22399xx x --- (2) x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ (3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x(5)aaa a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求时原式的值.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n 3… 输出答案 11分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c adbc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘. 2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：a cbc a bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式的过程． 4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； （3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的. 5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、 分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项， 从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分， 将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ C ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ A ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ B ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ D ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ B ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(x ym m y x xy m ÷-⋅-解： 原式=663827c b a - 解：原式=338ym x -（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ 解：原式=))(()(223b a b a b a +-+ 解：原式=32916ax b（5）22)2(4422-++---x xx x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x解：原式=21-+x x 解：原式=64+-x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy x y xy x y x +-+++ 解：原式=21-x 解：原式=xy x y -3（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+-- 解：原式=)1)(5(24-+-x x x 解：原式=0精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯-- 解：原式=)55()2222(426912624242669661244yx y x y x y x y x y x -÷⋅=)1()(51022y x y x -⋅=361yx -例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a 解：原式=326322=++a a例3. 计算：x x xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++解：原式=)2)(2(12)1)(2()1()2)(5()1)(5(2-++-+---+++x x x xx x x x x x x=)2)(2(122121-+++---+x x x x x x =)2)(2(126-++x x x=26-x例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值解：由已知得：a c b b c a c b a -=+-=+-=+,,∴原式=a cb c c b a b c a b a +++++ =acb c b a b c a +++++ =－3例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 解：由已知得：612=++a a a ，即611=++aa 51=+∴a a 232)1(1222=-+=+∴aa a a2411122224=++=++∴a a a a a 2411242=++∴a a a例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x 解：原式=181412128422+-+-+--x x x x =181414844+-+--x x x =181888+--x x =11616-x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x 解：原式=411311211111++++--+--++x x x x =41312111+++-+-+x x x x =)3)(2(52)4)(1(52+++-+++x x x x x x=24503510104234+++++x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x --+⋅+÷+--36)3(446222解：原式=)23(5--x m y x 解：原式=22--x类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b c a b c b c a c a b-+-+--++--+-- 解：原式=2- 解：原式=0（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+ 解：原式=2+x 解：原式=yx +2（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ 解：原式=242++-a a 解：原式=yx x 22+(7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b - 解：原式=4)2(2))((-=-⋅=-+yxx y b a b a类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式=nm nm 222-- 解：原式=)2(2+x x(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x 解：原式=22+-x 解：原式=)2)(1()1)(2(-+-+x x x x(5)2222222265232y x yx y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++- 解：原式=yx yx 26+-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+- 解：原式=))(()())(()(223334y xy x y x y x y x y x y x +--+=+-+又x y 2=，代入得： 原式=－9类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2解：原式=34--x ， 当x ＝2时，原式=4.（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．解：原式=11+x ， 当x =－45时，原式=5.（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？ 解：原式=22-+x x ， 当1x =时，原式=－3.类型五：分式的拆分1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 解：原式=11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n3．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x . 解：原式=100199********+-++++-+++-x x x x x x =10011+-x x =)100(100+x x 自我测试一、选择题A. a +bB. a -bC. a 2-b 2D. 12. 下列分式是最简分式的（ C ）A ．b a a232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a -- 3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ B ） A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）2 4. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ D ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．－2 5. 化简(x y －y x ) ÷x y x -的结果是（ B ） A ． 1y B ． x yy + C ． x yy - D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 －3 . 7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= a －1 ． 8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 x -6 ．10.化简122-+a a ·4412++-a a a ÷21+a ＋122-a ，其结果是11-a ． 三、计算题11. 计算(1) 22399x x x --- (2)x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ 解：原式=31+-x 解：原式=(3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x 解：原式=2)(y x xy - 解：原式=53-x (5)aa a a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x 解：原式=aa a a a a a a 633633-⋅+--⋅- 解：原式=252-x =)3(6361+-+-a a =31+-a12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求3-=a 时原式的值. 解：原式=21+-a 当3-=a 时，原式=1.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ． 解：原式=22--a a由已知得：02=-a a∴原式=－2(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n3 … 输出答案 1 1解：12=-+n nn n。
最简公分母的5种确定方法
如算式 1
3x
的最简公分母是 4(x y)( x y)2
4x 2 4 y 2 2x 2 4xy 2 y 2
知识点
当算式中分式的分子与分母都有公因式时，可以先把这个分式约分，再根
2m 6 2m 2 通分： m 1 m2 9 m 3
(4)原式＝（m－1）（m＋3）＋ 2 ＋2m＋2＝m2＋2m－3＋2＋2m＋2＝m2＋4m＋1
m＋3
m＋3 m＋3
m＋3
m＋3
Part 2
对应练习
已知分式
1 2ya
与1 bxy
(a,b为常数，且b＞0）的最简公分母为
10 xy3
，
则 a=
经典例题
a2 1 2a
化简：
a 1 1 a
化简： a
a b
c
b
b c
a
c
c a
b
知识点
当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公
倍数与所有字母的最高次幂的乘积。
如算式 1 2 3 2axy 3bx2 4xy 2
的最简公分母就是 12abx2 y2
经典例题
通分：
1 3x2
,5 12 xy
知识点
当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公
倍数与所有字母的最高次幂的乘积。
如算式 1 2 3 2axy 3bx2 4xy 2
的最简公分母就是 12abx2 y2
知识点
当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式
分解，最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。
求实数A和B. a=1 b=2
浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，放热水的速度是a L/min， 放冷水的速度是b L/min.下面有两种放水方式. 方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，再开冷水，使浴缸注满； 方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半时间让冷水龙头注放.以上 两种方式中，哪种方式更节省时间？为什么？
分式知识点讲解之分式通分加减最简公分母的5种确定方法(老师用含答案)
A.6a(a b)2 (a b)
B.2(a b)
C.6a(aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b)
D.6a(a b)
知识点
算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个分式的分母。
如算式 a 1 1 的最简公分母就是a+1。 a 1
经典例题
计算：
a2 a 1
a 1
B
A. 1 a2
B. 1 a 1
C. 1 a 1
的最简公分母就是 12abx2 y2
经典例题
通分：
1 3x2
,5 12 xy
4y , 5x 12 x2 y 12 x2 y
对应练习
通分：
y 2x2
,
5 6xy2 z
,
4c 3xy
3y3z 6x2 y2
z
,
6
5 x2
x y
2
z
,
8cxyz 6x2 y2z
知识点
当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式
D. 1 a2
对应练习
计算：
a2 a b
ab
B
A. b ab
B. b2 ab
C. 1 ab
D. b2 ab
知识点
算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中 任何一个分母。 如算式 a b 3b 的最简公分母可以是a–2b，也可以是
a 2b 2b a a 2b 2b–a 。
b=
3 5或10
对应练习
已知分式 1 与 1 (a,b为常数，且b＞0）的最简公分母为 2( x2 1)， A x 1
则分母 A =
±2(x＋1)或±2(x2－1)
对应练习
分式最简公分母求法步骤详解
分式最简公分母求法步骤详解求两个分式的最简公分母，主要遵循以下步骤：1.观察并列出每个分式的分母：2.首先，明确每个分式的分母是什么。
3.对每个分母进行因式分解：4.将每个分母分解为质因数的乘积。
这一步是为了找出分母中的所有质因数。
5.找出所有分母中出现的质因数：6.列出一个清单，包含所有分母中出现的质因数，不重复列出。
7.选择每个质因数的最高次幂：8.对于清单中的每个质因数，查看它在所有分母中出现的最高次幂是多少。
9.将选定的质因数的最高次幂相乘：10.将步骤4中选出的所有质因数的最高次幂相乘，得到的结果就是两个分式的最简公分母。
示例考虑两个分式：x2ab2和35a2b。
1.列出分母：2.第一个分式的分母是2ab2。
3.第二个分式的分母是5a2b。
4.因式分解：5.2ab2已经是质因数形式（除了数字系数2，质因数有a和b）。
6.5a2b也是质因数形式（除了数字系数5，质因数有a和b，注意a的幂次是2）。
7.找出质因数：8.质因数有2,5,a,b。
9.选择最高次幂：10.2的最高次幂是21（因为它只出现了一次）。
11.5的最高次幂是51（同样只出现了一次）。
12.a的最高次幂是a2（来自第二个分式）。
13.b的最高次幂是b2（来自第一个分式）。
14.相乘得到最简公分母：15.21×51×a2×b2=10a2b2。
因此，x2ab2和35a2b的最简公分母是10a2b2。
初中数学分式的加减知识点
If one day I have money or I am completely out of money, I will start wandering.整合汇编简单易用（页眉可删）初中数学分式的加减知识点分式加减法法则（rule of addition and subtraction of fraction）是分式的运算法则之一。
下面是初中数学分式的加减知识点，快来看看吧！初中数学知识点总结：分式的加减法则以下是对分式的加减知识点的总结学习，同学们认真记录笔记。
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：b（a）±b（c）＝b（a±c）法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：b（a）±d（c）＝bd（ad）±bd（bc）＝bd （ad±bc）注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰；（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
希望上面对分式的加减知识点的总结内容，同学们都能很好的掌握，并在考试中取得理想的成绩。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的`数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面；②两条数轴；③互相垂直；④原点重合。
三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向。
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
八年级数学知识点：分式的加减
八年级数学知识点整理：分式的加减分式的四则运算1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进展计算。
用字母表示为：a/b ±c/d=(ad±cb)/bd3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd4.分式的除法法则：(1).两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
a/b÷c/d=ad/bc(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c不管什么样的计算，其过程都是需要大家急躁和细心的。
一、约分与通分：1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分;分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的依据是分式的根本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
约分的方法和步骤包括：(1)当分子、分母是单项式时，公因式是一样因式的最低次幂与系数的最大公约数的积;(2)当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。
2.通分：依据分式的根本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。
分式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。
(1)当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的`最小公倍数、一样字母的最高次幂的全部不同字母的积;(2)假如各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母;(3)通分后的各分式的分母一样，通分后的各分式分别与原来的分式相等;(4)通分和约分是两种截然不同的变形.约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言;约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。
查找最简公分母的步骤
查找最简公分母的步骤
寻找两个分数的最简公分母的步骤如下：
1.确定两个分数的分母。
2.判断两个分母是否相等。
若相等，则这个分母即为最简公
分母。
3.若两个分母不相等，则找到它们的最小公倍数（LCM）作
为最简公分母。
以下是一种计算最简公分母的方法：
示例：寻找分数 2/3 和 4/5 的最简公分母。
解答：
1.确定两个分数的分母为 3 和 5。
2.由于两个分母不相等，需要寻找它们的最小公倍数
（LCM）。
3 的倍数：3, 6, 9, 12, ... 5 的倍数：5, 10, 15, 20, ... 从以上两个序列中找到最小公倍数即可。
在这个例子中，它们的最小公倍数是 15。
3.因此，15 就是分数 2/3 和 4/5 的最简公分母。
请注意，当有多个分数时，可以依次比较每两个分数的最简公分母，并将得到的最简公分母与下一个分数进行比较，直到比较到最后一个分数。
分式的减法计算的结果并化简为最简分数形式
分式的减法计算的结果并化简为最简分数形式分式是数学中的一种表达形式，是由两个整数相除得到的结果，通常以分子和分母的形式呈现。
计算分式的减法时，我们需要找到两个分式之间的差，并将其化简为最简分数形式。
为了更好地理解分式的减法计算和最简分数的概念，我们以一个具体的例子进行讲解。
假设我们要计算分式 3/4 减去 1/2。
首先，我们需要找到两个分式的公共分母，然后将其转化为相同的分母进行计算。
在这个例子中，两个分式的公共分母为 4。
接下来，我们需要将两个分式的分子转化为以 4 为分母的形式，然后进行减法计算。
第一个分式 3/4 的分子已经是以 4 为分母的形式，所以保持不变。
而第二个分式 1/2，我们需要将其转化为以 4 为分母的形式。
我们可以通过将分子和分母都乘以 2 来实现这一步骤：1/2 * 2/2 = 2/4。
现在，我们可以进行减法计算：3/4 - 2/4 = 1/4。
因此，分式 3/4 减去 1/2 的结果为 1/4。
接下来，我们将结果化简为最简分数形式。
最简分数是指分子和分母没有公因数，即它们的最大公约数为 1。
在这个例子中，1/4 的分子 1 和分母 4 没有公因数，所以它们的最大公约数为 1。
因此，分式 3/4 减去 1/2 的结果 1/4 已经是最简分数形式。
通过这个例子，我们可以总结出计算分式的减法并化简为最简分数形式的步骤：1. 找到两个分式的公共分母。
2. 将两个分式的分子转化为以公共分母为分母的形式。
3. 进行减法计算。
4. 化简结果的分子和分母，使其没有公因数，即最大公约数为 1。
在实际计算中，我们可以使用一些数学工具或计算器来简化这个过程，以确保计算准确性和效率。
总结起来，分式的减法计算的结果可以通过找到两个分式的公共分母，转化为相同分母形式后进行减法计算。
最后，化简结果为最简分数形式。
这样可以使得计算结果更加简洁和易于理解。
求几个分式的最简公分母的步骤
求几个分式的最简公分母的步骤分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以 y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以 x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解：我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解：方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解：注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得 x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程分析与解：分式方程形如比例式，且本题分子与分母中的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．像这类特殊类型的方程可以化为一元二次方程，因而至多有两个根.显然a≠1时，就是所要求的根.例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解：将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是。
找最简公分母的方法
找最简公分母的方法寻找最简公分母的方法在数学的分数运算中是非常常见和重要的。
一个分数的最简公分母是指该分数化简后的分母的最小正整数。
要找到最简公分母，我们可以采取以下步骤：第一步：找出分数的分母。
将给定的分数转化为最简分数形式。
首先，我们需要确定给定分数的分子和分母。
例如，对于分数2/4，分子是2，分母是4第二步：找到分数的公因数。
找到分子和分母的所有公因数。
公因数是同时整除分子和分母的数。
以2/4为例，它们的公因数是1和2第三步：找到分数的最大公因数。
从所有公因数中找到最大的一个数，它被称为分数的最大公因数（GCD）。
在上述示例中，最大公因数是2第四步：将分数化简为最简形式。
将分数的分子和分母都除以最大公因数，得到最简分数的形式。
对于2/4而言，最大公因数是2，将分子2除以2得到1，分母4除以2得到2，所以最简分数形式是1/2通过以上步骤，我们可以找到给定分数的最简公分母。
如果分子和分母没有公因数，则最简公分母是1除了上述方法，还可以使用质数分解的方法来寻找最简公分母。
具体步骤如下：第一步：找到分数的分母。
将给定的分数转化为最简分数形式。
首先，我们需要确定给定分数的分子和分母。
例如，对于分数4/6，分子是4，分母是6第二步：质因数分解分子和分母。
将分子和分母都进行质因数分解。
以4/6为例，分子4可以分解为2*2，分母6可以分解为2*3第三步：找到分子和分母的公共质因数。
找到分子和分母的所有公共质因数。
公共质因数是同时出现在分子和分母质因数分解中的质因数。
在上述示例中，公共质因数是2第四步：将分子和分母的公共质因数相除。
将分子和分母的公共质因数相除，得到最简分数的形式。
对于4/6而言，公共质因数是2，将分子4除以2得到2，分母6除以2得到3，所以最简分数形式是2/3通过上述质数分解的方法，同样可以找到给定分数的最简公分母。
总结起来，寻找最简公分母的方法有两种：通过寻找公因数并计算最大公因数，或者通过质数分解并相除公共质因数。
求最简公分母的步骤与原理
求最简公分母的步骤与原理
最简公分母是几个分式通分时所需采用的分母，它要求能够同时被这几个分式的分母整除。
求最简公分母的一般步骤如下：
1.分解质因数：
2.首先，将每个分式的分母分解为质因数的乘积。
这是为了找出所有分母中
的质因数。
3.选择所有出现的质因数：
4.从所有分母分解得到的质因数中，选择每个质因数的最高次幂。
这意味着，
如果一个质因数在某个分母中出现了多次（即其幂次较高），则在构造最简公分母时，这个质因数也要相应地出现那么多次。
5.相乘得到最简公分母：
6.将上一步中选择的所有质因数的最高次幂相乘，得到的结果就是所求的最
简公分母。
示例
考虑两个分式：a
2b 和3
4b2c。
1.分解质因数：
2.a
2b
的分母2b可以分解为2×b。
3.
3
4b2c
的分母4b2c可以分解为22×b2×c。
4.选择所有出现的质因数及其最高次幂：
5.质因数2的最高次幂是22（来自
3
4b2c
）。
6.质因数b的最高次幂是b2（同样来自
3
4b2c
）。
7.质因数c只出现了一次，且幂次为1，所以保持c。
8.相乘得到最简公分母：
9.22×b2×c=4b2c。
因此，a
2b 和3
4b2c
的最简公分母是4b2c。
这个过程确保了最简公分母能够同时被所有给定的分式分母整除，从而在进行通分时能够保持分式的等价性。
最简公分母怎么找
最简公分母怎么找
一、什么是最简公分母
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
二、最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
三、步骤：
1、取各分式的分母中系数的最小公倍数。
2、各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。
3、相同字母（或因式）的幂取指数最大的。
4、所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
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a
1
1
2
a 1a 1
a
a1
1a
1
a
2
1a
1
a
a3
1a
1
a3 a2 1
.
12
拓展练习
工效问题
一项工程 , 甲单独做 a h 完成, 乙单独做 b h 完成 . 甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
v甲 =
1 a
③分母是多项式时一般需先因式分解。
3
探 索 探索异分母分式的加
减法的法则
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
如 1 7 应该怎样计算？ 3 12
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
如
3 a
1 4a
应该怎样计算？
4
想一想 探索异分母分式的加
,
3
x y2
.
单一的字母 各取一次．
7
做一做
练习：求下列各组分式的最简公分母：
(1) 1 , 1 ; ab
(2)
4 a2
,
1 a
;
41 (3) a2 , 2a ;
4 12 (4) 3a2b2 , 2ab , 5b3c ;
(5) 1 , 1 ; x3 x3
(6)
2a
,1;
(a 2)(a 2) 2 a
3)
(
x
xx -33
3)(x
3)
(x 3) (xx -33)
x 3x 3
x
x
3 x
3x
3
3
x
6 2
9
.
分子相减时， “减式”要配括号！
10
例题解析 吃透例题 , 成功一半
例 2
计算：
(2)
2a a2
4
a
1
2
.
解: (2)
其中 (a-2)恰好为 第二分式的分母.
所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母.
11
随堂练习 P77
试金石
计算 :
(1)
b 3a
a 2b
;
(2)
a
1
1
1
2 a2
.
解
: 1
原式
2b2 6ab
3a2 6ab
2b2 3a2 6ab
;
2
原式
a
1
1
2 a2 1
再按同分母分式的加减法法则进行计算.
【通分】利用分式的基本性质 , 把异分母的分式化为同分分母的过程 .
【通分的原则】 异分母通分时, 通常 取各分母的最简公分母作为它们的共同分母.
2
归纳总结
通分时，
最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数的 最小公倍数；
②最简公分母的字母，取各分母所有字 母的最高次幂的积；
， v乙 =
1 b
。
设 “甲、乙两人一起完成这项工程” 需要 x 天
，
则：
1 a
1 b
x
=1。
解得
x=
ab ab
。
13
,
3y 12xy2
;
2
(x
x3 3)( x
3)
,
x3
x 3x 3
;
当分式的分母 都是单项式时， 最简公分母的：
系数是 各分母系数的
3
a
1
2a
2
,
a2
a 2a 2
;
最小公倍数； 相同的字母 取最高次幂
4
5x y x y2
2a a2
4
a
1
2
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
(a
a2 2)(a
2)
a
1
2
.
分析
先找
最简公分母.
a2 -4 能分解 : a2 -4 =(a+2)(a-2),
＝__(3x_(x_4_)4(_)x_＝244) ___x.3 4 .6Βιβλιοθήκη 基基础 础练习
1、把下列各式通分：
(1)
y 2x
,
x 3y2
,
1 4xy
;
(3)
1 a2
4
,
1 a2
;
(2)
x
1
3
,
1 x3
;
(4)
x
5
y
,
3 (x y)2
.
解:
1
6y3 12xy2
,
4x2 12xy2
减法的法则
1、计算： 1 2 3
请你先完成下 面的计算！
2a 3a 4a
2、与异分母分数的加减法类似，异
分母分式相加减，需要先通分，变为
同分母的分式，然后再加减 。
异 分 母 通 同 分 母 法 分母不变
分 式 的 分 分 式 的 则 分子相加
加减法
加减法
减
5
三、例题讲解与练习
转化 异分母的分式 通分 同分母的分式
(7)
9
1 3a
,
a
a 2
9
,
a
2
2 6a
9
.
8
做一做 P7５ 尝试完成下列各题：
(1)
4 a2
1 a
4a a2
(2)
1 a
1 b
ab ab
9
例题解析 吃透例题 , 成功一半
例 2
计算：
(1)
x
1
3
x
1
3
;
解：(1)
x
1
3
x
1
3
(x
x 3)(
3 x
教学目标、重点、难点
进一步掌握异分母的分式的加减；
积累通分的经验；
能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式的模型作用。
重点: 通分、化简. 难点: 通分、化简.
1
回顾回顾与与思思考考 法 则 是 基 石
【同分母分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变，分子相加减.
【异分母分式加减法的法则】异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式，
例解2（计1）算3：（1x21＋）433x1x＋2 （2）43；x(∵_x_（最__2简4_）)_公(_x_分x_3_母44_)，是x
2
24 16
.
＝ 4 9x
∴
x
3
4
24 x2 16
＝
12x 9x
2
4
12x＝2 __x_3_4__(_x _4_2)4(_x
4)
12x2