概率作业纸第二章答案

第二章 随机变量及其分布
第二节 离散随机变量
一、选择
1. 设离散随机变量X 的分布律为:
),3,2,1(,}{ ===k b k X P k λ 且0>b ，则λ为（ C ）
(A) 0>λ (B)1+=b λ (C)b +=
11λ (D)1
1-=b λ 二、填空
1.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
54, 失败的概率为5
1
, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是
{} 1,2, , 5
4
)51(1=⋅==-K K X P K
三、计算题
1. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.
的概率分布是
从而，种取法，故
只，共有任取
中，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件种取法，故
只，共有中任取，，个号码可在，另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法，所以
只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 5
3
}5{624,321253},5{10
3
}4{2321243},4{101
1}3{,3,2,13},3{.
5,4,3352
4223523233
5
=
=====
=====
==
第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布
一、选择
1.设随机变量),3(~),,2(~p B Y p B X , {}{}()
C
Y P X P =≥=
≥1,9
5
1则若
(A)
4
3 (B)
29
17 (C)27
19 (D)
9
7 二、填空
1.设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P
{})0902.0_____(3
2_42-=e X P ＝则.
三、计算题
1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的
2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率； （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率；
9975
.000248.01}0{1}1{00248
.0}0{)2(0413
.0!
106}10{1033.0!86}8{)1(6
,36!
105.2!8}
10{5.2}8{.
,.
,2,1,0,!
}{),(~106
10682108≈-≈=-=≥≈===≈==≈====⨯
====⋯==
=------X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλ
λλ
λλλλλλλλ解出即
据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解
第五节 随机变量的分布函数
一、填空题
1.设离散随机变量,2161
3110
1~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-X 则X 的分布函数为 . ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=
≤=<≤-=≤=-<1
,110,2101,311,0)(1
2
1
6131}{)(1;
21
6131}{)(103
1
}{)(01;
0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理，得
时，当时，当时，当时，当解
二、选择
1.设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )
(A)5
2,53-==
b a (B)3
2
,32==
b a (C)2
3
,21=-
=b a (D)2
3
,21-==
b a 2.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<**≤=2
,12)(,4)
(,0)(2x x x
x x F ,当(*)取下列何值时,)(x F 是连续型随机变量的分布函
数.（ A ）
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5
三．计算题
1.设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质
.
0)(lim =-∞
→x F x .
1)(lim =+∞
→x F x 知
.2
)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x π
π-=-⨯+=+==-∞→-∞→
.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=⨯+=+==+∞→+∞→ 解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=-1
202B A B A ππ
得π
1
,21==
B A 第六节 连续随机变量的概率密度
一、选择
1.下列函数中，可为随机变量X 的密度函数的是（ B ）
（A ） sin ,
0()0,
x x f x π≤≤⎧=⎨
⎩其它
（B ）sin ,
0()20,
x x f x π
⎧
≤≤⎪=⎨
⎪⎩其它
（C ） 3sin ,
0()20x x f x π
⎧
≤≤
⎪=⎨
⎪⎩，
其它
（D ）()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空
1.设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=
x x x F ,arctan 1
21)(π
(1)(11)P X -≤≤= 0.5 (2)概率密度()f x =
2
11
1
x +⋅
π 三、计算题
1. 设随机变量X 的概率密度：,10(),
010,1
c x x f x c x x x +-≤≤⎛
=-≤≤ >⎝
求：（1）常数c ；（2）概率(0.5)P X ≤ 解：（1）
1)()(1
1
=-++⎰⎰
-dx x c dx x c ，c=1
(2) (0.5)P X ≤=
75.0)1()1(5
.00
5
.0=-++⎰⎰
-dx x dx x
2.已知随机变量X 的概率密度
1(),2
x
f x e x -=
-∞<<+∞， 求：分布函数()F x 。

解：x x
t x t
e dt e dt e x F x 2
12121)(,0==
=
<⎰⎰∞-∞-- x x t
t x t t
e dt e dt e dt e dt e x F x --∞--∞---=+=
+=≥⎰⎰⎰⎰21121212
121)(,000
00
11,0
2
()1,0
2
x
x e x F X e x -⎧-≥⎪⎪=⎨
⎪<⎪⎩
第七节 均匀分布、指数分布
一、选择
1.在区间[]1,2-上服从均匀分布的随机变量X 的密度函数是（ B ）
（A ） 3,12()0,
x f x -≤≤⎧=⎨
⎩其它
（B ）1,
12()3
0,
x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
（C ） ()3,
f x x =-∞<<+∞ （D ）1(),3
f x x =
-∞<<+∞
2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X 的密度函数是（ C ）
（A ） 22,
0()0,
x e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩ （B ） 2()2,
x f x e x -=-∞<<+∞
（C ） 1
21,
0()2
0,0
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
（D ）12
1(),
2
x f x e x -=-∞<<+∞
二、填空
1.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布，则 (1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<=
3
2 ⑶ (23)P x -<<= 1 , (4) (16)P x <<=
3
1
三、计算题
1.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，
概率密度为：1600
1,0()600
0,0
x e x f x x -⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
试求：在仪器使用的最初的200h 内至少有一只电子元件损害的概率。

解：31
200600
600
1)200(e dx e X P x ==>⎰∞
- （一只没损害E 的 概率） 设A 表示最初的200h 内至少有一只电子元件损害
e e A P 111)(3
31-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 第八节 随机变量函数的分布
一、选择
1.设随机变量X 的概率密度为
22,0()0,
x e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩
则随机变量2y X =的概率密度为（ D ）
（A ） 2,
()0,
0y Y e y f y y -⎧>=⎨
≤⎩ （B ） 22,
0()0,
y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩
（C ） 2,
()0,
0y Y e y f y y -⎧>=⎨
≤⎩ （D ） ,
0()0,0
y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩
二、计算题
1.设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，求2
Y X X =-的概率分布。

2.设随机变量的概率密度
2,
01()0,
x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它
求2
Y X =的概率密度。

解：
1
)(2)(2)()()()(,100
2='⋅==
≤≤-=≤=≤=≤≤⎰
y y y f xdx
y X y P y X P y Y P y F y Y y
Y
因此1,01()0,
Y y f y <<⎧=⎨
⎩其它
第九节 二维随机变量的联合分布
一、选择题
1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0;
(,)0,
.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他
则()P X Y <= （ A ）
（A ）0.5 （B ）0.55 （C ） 0.45 （D ）0.6
二、填空
1. 下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部 分数值，试将其余值填入表中的空白处
2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )23
F x y A B C =++ 则系数A =
2
1
π
，B =
2
π
，C =
2
π
， (,)X Y 的联合概率密度为
2226
(,)(4)(9)
f x y x y π=
++
三、计算题。

1.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
(2),0,0;
(,)0,
.x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨
⎩其他 试求（1）常数A ； (2) 概率(01,02)P X Y ≤≤≤≤. 解：（1）由于(,)1f x y +∞+∞
-∞-∞
=⎰⎰
，
故
(2)0
12
x y A
Ae dxdy +∞
+∞-+=
=⎰⎰
，所以2A = （2）12(2)0
1
(01,02)2x y P X Y dx e dy -+≤≤≤≤=
⎰
⎰
14(1)(1)e e --=--
第十节 二维随机变量的边缘分布
一、计算题
1.设二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -⎧<<=⎨⎩其他
，求X 的边缘
概率密度)(x f X 。

解 0,()e d e ,0()0
y x X X x
x f x y x f x +∞-->=
=≤=⎰
时时，故
e 0
()0,
0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，
第十一节 随机变量的独立性
一、计算题
1.已知随机变量1X 和2X 的概率分布
,412
1
4110
1~1⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-X ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2121
10~2X 而且12{0} 1.P X X ==问1X 和2X 是否独立？为什么？ 解： 1X 和2X 不独立。

2.已知二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为(2)2e ,0,0
(,)0,
x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他.
随机变量X 和Y 是否独立？
解 由于 e 0()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，， 22e 0
()0,0
y Y y f y y -⎧>=⎨≤⎩，。

故(,)f x y =()X f x ()Y f y 所以随机变量X 和Y 独立。

第十二节 二维随机变量函数的分布
一、 填空题
1.设X 和Y 为两个随机变量，且3
{0,0},{0}{0}7
P X Y P X P Y ≥≥=
≥=≥ 4
.7
=则{max(,)0}P X Y ≥=75
2.设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律，且X 的分布律为
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛212
1
10~X ，则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪
⎨⎧75.025.010
P Z
二、 选择题
1. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x ，()Y F y ，则
min{,}Z X Y =的分布函数是 （ D ）
（A ）()Z F z =()X F x （B ）()Z F z =()Y F y
（C ）{}()min (),()Z X Y F z F x F y = （D ）[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =--- 2. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x ，()Y F y ，则
max{,}Z X Y =的分布函数是（ B ）
（A ）{}()max (),()Z X Y F z F x F y = （B ）()()()Z X Y F z F x F y =
（C ）{}()min (),()Z X Y F z F x F y = （D ）[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =---
第二章 练习题
1.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿路灯信号的路口, 每个信号灯为红和绿，与其他信号为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数, 求X 的概率分布。

解：
X 0 1 2 3 P
21 221 321 32
1 2.在纺织工厂里一个女工照顾800个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。

设在某一段时间内每个纱锭被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内段纱次数不大于10的概率。

解：0.997
3.设随机变量X 的概率密度
20()0,
x Ax e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩，
求：（1）常数A ；（2）概率(1)P X ≥。

解：（1）
1
2
（2）0.9197 4.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离()X m 的概率密度
2
25001,
0()1250
0,0
x xe x f x x -
⎧⎪>=⎨⎪≤⎩
如果弹着点距离目标不超过50m 时，即可摧毁目标。

求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？ 解：（1）0.6321 （2）3n ≥。

5. 长度为l 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段之比小于
1
4
的概率。

解：0.4
6. 已知修理某种机器所需的时间(T 小时）服从指数分布(1)e ，求： （1）在2小时之内修好的概率；
（2）如果已修理了0t 小时，在以后的2小时之内修好的概率。

解：（1）0.8647 （2）0.8647 7. 设随机变量X 的概率密度为
2
1
(),(1)
X f x x x π=
-∞<<+∞+，
求：随机变量1Y =-()Y f y 。

解：2
6
3(1)(),1(1)Y y f y y y π-=-∞<<+∞⎡⎤+-⎣⎦
8.设随机变量X 在区间[]1,2上服从均匀分布，求随机变量函数2X
Y e
=的概率密度。

解：24
1,
2()0,Y e y e y
f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
其它
9.设二维随机变量X Y （，）的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -⎧<<=⎨⎩
其他
（1）求{1}P X Y +≤；（2）求联合分布函数(,)F x y 。

解（1）1
111
22
x
1
{1}(,)d d d e d 1e 2e x y x y P X Y f x y x y x y --
-+≤+≤=
==+⎰⎰⎰⎰
－－
（2）⎩⎨
⎧<<--=--0
01)(y
x xe e x F y
x
10. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为
1,01
()0,X x f x ≤≤⎧=⎨
⎩
其它 0()00
y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩
求它们的和Z X Y =+的概率密度。

解：⎪⎩
⎪
⎨⎧<>-≤≤-=---0011
01)(1z z e e z e x f z z z。