线性代数期中试题
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
同济大学线性代数B期中试卷(A卷)11-12参考答案
一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)1、行列式10110111中21a 的代数余子式21A = 1 .2、矩阵302101153049217C -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭中的元素23c = 75 .3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .(A). ()TT T A A A A -=-(B). ,TAB B A =(C). ()()22A B A B A B -+=-(D).AB AC =且0A ≠则B C =4、设n 阶方阵A ,B ,C 满足等式 ABC E = (E 为单位矩阵)，则等式 A 成立.(A). BCA E = (B). BAC E =(C).ACB E =(D). CBA E = 5、设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123112233123333b b b B a c a c a c cc c ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100013001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则有 C(A). 21P AP B = (B). 12PAP B = (C). 21P PA B = (D). 12APP B =6、设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A , A =12，则1*(3)2A A --=1627-. 7、 已知方阵A 满足3A A E O --=, 则()1A E --=2A A +.8、设A 是()m n m n ⨯<.矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，秩1()R AC r = , 则 C .(A).1n r r >>, (B ).1r r n >>, (C). 1r r =, (D). 1r n =二、(12分)行列式1357246813301111D =- 求211A +412A －213A +14A . 解: 211A +412A －213A +14A =24212468'13301111D -=-2421000024682468'01330133011111111D -===--三、（6分）已知A 为3阶方阵，P 为3阶可逆阵，且满足1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解: 由1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭知10011003100010001PA P E -⎛⎫⎪=-= ⎪⎪⎝⎭,故100133A E E P P -==四、(6分)设矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 求1A -.解:方法1:012100114010210001r B ⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭10021101042131001122⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故121142131122A -⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭方法2:2A =, *422842321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1*211142131122A A A -⎛⎫⎪- ⎪==- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭五、(12分)设331211223132222x x a x x x a x x x x a-+=⎧⎪-+=-=+⎨+⎪⎩，证明这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑证: 方程组增广矩阵1121232110332000ra B a a a a a -⎛⎫⎪−−→-+ ⎪ ⎪++⎝⎭, 则()2R A =, \而()2R B =当且仅当1230a a a ++=, \ 因方程组有解当且仅当()()R A R B =,故这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑六、(10分)设121212a a A b b c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111222x y z B x y z ⎛⎫=⎪⎝⎭, (1). 求AB ; (2).求行列式AB . 解 (1).112211221122112211221122112211221122a x a x a y a y a z a z AB b x b x b y b y b z b z c x c x c y c y c z c z +++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭(2). 由()min{(),()}()2R AB R A R B R A ≤≤≤. 故AB 不是满秩的, 故0AB =七、(本题15分)设n 阶方阵,A B 满足A B AB +=(1). 证明A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 若200030004B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A .(3). 等式AB BA =是否成立? 为什么?(1)证:由A B AB +=及()()A E B E AB A B E --=--+知()()A E B E E --=\故A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 由A B AB +=知()A B E B -=,而100020003B E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆,故1()A B B E -=-1002002001303000002200414000033⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3). 等式AB BA =成立. 由()()()()A E B E A E B E E --=--=, 故AB A B E BA B A E --+=--+ 故AB BA =八、(15分)设线性方程组12321231232121x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪-++=-+⎨⎪++=⎩， 问当λ取何值时，(1). 此方程组有唯一解? (2). 此方程组无解?(3). 此方程组有无穷多解?解:()211211121,11B A b λλλ⎛⎫ ⎪== ---+ -⎪⎪⎝⎭()()112211111A λλλλ-=-=-++(1)当2λ≠- 且1λ≠-时,A 可逆, 此方程组有唯一解. (2)当2λ=-时,112111222111B --⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ 103001500001r ⎛⎫ ⎪−−→ ⎝-⎭-⎪⎪此时()2R A =,()3R B =,方程组无解 (3).当1λ=-时,112111111111B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 110100100000r --⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭此时()()23R A R B ==<, 方程组有无穷多解.。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
大学线性代数试卷-XX..线代期中(A类)答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一． 计算题（共50分）1．（6分）设211,()3323A f x x x -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦,计算()f A . 解（1）()2113321f A A A E --⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦。
2. （6分）计算4阶行列式0000a b aa ab A b a a a b a =.解()()11100221000100a b aa b a a b a a b b bA a b a b a a bb a b a a ba---=+=+----()200aa b b a a b bb a a ba---=+----()()()22224.a b a a b b b b a b aa--=+-=---3. （6分）设,A B 都是n 阶矩阵，且2A AB E -=，求3BA AB A -+的秩.解 由2A AB E -=即()A A B E -=可知矩阵,A A B -均为可逆矩阵，且1A A B -=-，因此()()A A B A B A E -=-=， 故AB BA =，从而()()()33R BA AB A R A R A n -+===.厦门大学《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿4. （6分）计算行列式11222211n n nna b a b a b c d c d c d .解 ()()()11112222n n n n D a d c b a d c b a d c b =---5.（6分）设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，问O A C B O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否为可逆矩阵？若可逆，求其逆矩阵.解 由A 是m 阶可逆矩阵和B 是n 阶可逆矩阵可知0,0A B ≠≠,因此()()110mnmnO AB OC A B B OOA==-=-≠，故C 是可逆矩阵.设1XY C ZW -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由 1O A X Y AZAW E O CC B O Z W BX BY O E -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得,,,AZ E AW O BX O BY E ====，解得 11,,,Z A W O X O Y B --====，因此111.O B C AO ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6.（20XXXX 分）求111211132373a a A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩. 解 1111121102211320223730433a a a a a A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦, 当1a =时，111111000023023000046000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()2R A =. 当1a ≠时，11112102102200104330031a a A a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 因为131a a ++和不同时为零，因此()3R A =.综合有2,1()31a R A a =⎧=⎨≠⎩.7（20XXXX 分）设1315011,130424210a A b a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，线性方程组AX b =有解，求常数a 的值.解 []213151315011011,130400112421000422a a A b a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,显然1a =或2a =时方程组有解. 当1a ≠且2a ≠时[]131513151315011011011,0021001100213002100110002aa a Ab a a a -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.所以3a =-时方程组有解.故1,2,3a =-时方程组有解.二. （20XXXX 分）计算112312231233123(0,1,2,,)n n n i n na a a a a a a a A a a a a i n a a a a λλλλλ++=+≠=+.解 1123121310000n na a a a A λλλλλλλ+-=--1111123232323++++000=000n n nna a a a a a a λλλλλλλλλλ+11111232323=++++n n n a a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭312123123=1++++.n n n aa a a λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭三.（15分）已知矩阵10202-1010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和010110011B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若矩阵X 和Y 满足：2,()X XY E A X Y B E +=+=，求Y .解 由2X XY E +=即()X X Y E +=可得1X Y X -+=，故1Y X X -=-. 由()A X Y B E +=可得1AX B E -=，故X BA =,即01010202111002-1121011010031X BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由[]021*********,121010010101031001001302X E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行可知1514101302X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 因此1513220333Y X X ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.四. （20XX 分）设1102,2,211a αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若3T T X X αββγβ=+，求此方程组的通解.解 由于[]11221,2,242112T a a a a αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，[]102120,2,104202T a a a βγ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，故方程组3T T X X αββγβ=+为14132822612223a a X a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.对增广矩阵作初等行变换，有1413141328226022133122230000a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，当1a ≠-时，上式可化为14131413101328226021302131222300000000a a a a a a a --+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为()132313,23x a x x x ⎧++=-⎨-=⎩ 此时线性方程组的通解为()123133,.2x a c c x c x c =-+-⎧⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩其中为任意常数当1a =-时，上式可化为14131423282260000122230000a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为 123423x x x +-=，此时线性方程组的通解为112211232423,.x c c x c c c x c =-++⎧⎪=⎨⎪=⎩其中,为任意常数五.(5分) 设A 为反对称矩阵()T A A =-， （I ）证明对任意n 维列向量α恒有0T A αα=.（II ）证明对任意非零常数c ，矩阵A cE +恒可逆，其中E 为n 阶单位矩阵. 证明 (I)因为T A αα是一个数，故()TT T T T T A A A A αααααααα===-，故0T A αα=.(II)(反证法)如果矩阵A cE +是不可逆的，则齐次线性方程组()0A cE x +=有非零解，设其为η，则,0A c ηηη=-≠，左乘T η，得T T A c ηηηη=-.因为η是非零向量，c 为非零常数，故0T T A c ηηηη=-≠， 与结论（I ）矛盾，故矩阵A cE +是可逆的.。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布 答案将于今日中午 点在公共邮箱公布 下次上课点评 xxdaishu@ 密码： 密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
2017-2018线性代数期中考试
2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。
5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。
线性代数期中试卷
(A) 0
(B) 1
在 正整数 范围内的解有（ (C) 2
）组． (D) 无穷
2 1 2 3．行列式 3 5 2 的代数余子式设 A12 等于（
0 2 3
(A) –9
(B) 9
(C) –1
）． (D) 1
1
4．矩阵
0 a 6
a 0 a3
a
6 0
3b
为反对称矩阵的条件是（
(D)
5
30
6 11
6．已知三阶矩阵 A 的行列式等于 1，那么矩阵 3A 的行列式为（ ）．
(A) 3
(B) 9
(C) 27
(D) 1
4 5 2 4
三．计算行列式 5 4
0 1
1 2
3 4
.（本题满分 8 分）
0 3 3 1
四．设 A = (aij)mn，B = (bij)np，C = (cij)pq，写出矩阵 AB 的第一行第一列的元素、 矩阵 BC 的第一行第二列的元素.（本题满分 8 分）
七．是否存在常数 a, b, c 使得方程组 ① 2x1 + 2x2 + 5x3 = 0, 的解都是 x1 + x2 + ax3 = 0,
方程组 ②
x1 + b x2 + c x3 = 0, 2x1 + b2x2 + (c+1)x3 = 0,
的解？请给出证明.（本题满分 10 分）
1 x1 1 1
2．方程组 2x1 – x2 = 0, 的解为
.
–x1 + 2x2 = 3
3．
1 3
0 1
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线代期中考试卷及答案详解
2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。
其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。
所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。
其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
线性代数B期中考试试题
中国农业大学 2014~2015学年秋季学期 线性代数（B ）课程期中考试试题、一、填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分） 1．设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则B A = .2．A 是34⨯矩阵，其秩()1R A =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0030000108532001B ，则()R BA = .3．设A是n阶矩阵，E为单位矩阵，EAA T =，1-=A ,则()=*TA .·4.已知矩阵(0,1,0,1).Tα=若矩阵T E b αα+是矩阵2T E αα+的逆矩阵（其中b是数），则b = ．5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解为 .二、选择填空题（本题满分１５分，共有５道小题，每道小题３分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中．1． 设A 为n 阶方阵，且A A =2.则以下结论正确的是（ ）. @(A)A =0或者A E =； (B)A 不可逆； (C)A 能写成一些初等矩阵的乘积； (D) A =0或者A E 0-=．2．设n 阶矩阵A 与B 等价,则下列结论不正确的是（ ）. (A) ()()R A R B = ； (B)；当0=A 时,0=B、考生诚信承诺1.本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
学院： 班级： 学号： 姓名： >(C) A B =； (D)A 与B 有相同的标准形． 3. n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是( )3.n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是( )(A ) 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα++≠．"（B ）12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示． （C ） 12,,,s ααα中任意两个向量线性无关．（D ） 12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示．4. 已知C B A ,,均为n 阶可逆矩阵,且E ABC =, 则下列结论一定成立的是（ ）．（A ）E ACB =；（B ）E BCA = ；（C ）E CBA =； （D ）E BAC =． （5. 设A 为m n ⨯矩阵，且m n <，若A 的行向量组线性无关，则( ) (A) 方程组=Ax b 有无穷多解；(B) 方程组=Ax b 仅有零解； (C) 方程组=Ax b 无解；(D) 方程组=Ax 0仅有零解． 三、（14分）计算行列式(1)45555555344444442333333312222222233445233445233445233445⨯---⨯---⨯---⨯---》><(2)计算n 阶行列式nn a a a a a a D n n 1321112211----=--【 [ ||四、（6分）已知)(33E A A A -=，证明：A E -可逆，并求1)(--A E ． — ~（学院： 班级： 学号： 姓名： 五、（10分）已知矩阵X 满足193AX A X A X E *-+=+，其中E 为单位矩阵，,200120012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求X.$· $ `; 六、(10分) 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,,且向量组r ααα,,,21 线性无关,证明向量组r βββ,,,21 线性无关. 》 ,七、（12分）当k为何值时，线性方程组1232123123424x x kxx kx x kx x x++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解，并求出该解．\—-<# ￥学院： 班级： 学号： 姓名： 八、(10分)求向量组()12011=α，()10212=α，()03123=α，()41524-=α，()13115--=α的秩和最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示：九 (8分）设n阶方阵A满足：()．证明：A可以表示成r个秩为1的R A r矩阵之和．。
线性代数期中考试(答案)
( C
n
)
( A) k A
( B) k A
(C ) k n A
1 0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 2 0 ， 则 A = 5、 设 0 0 1 0 0 3
6、 设 A=
1 −1 1 1 2 3 ， B= ；则 1 1 −1 −1 −2 4
ì ï ï x1 = ï ï ï ï 所 以 方 程 组 的 通 解 为 ï x2 = í ï ï ï ï ï ï ï ï î
0 −
3 16 7 1 − 16 0 0 0 0
9 16 5 − 16 0 − 0
9 16 5 16 0 0
ì x1 = - 4k 2 ï ï ïx = k + k +1 ï 2 1 2 ï 所以通解为 í , k1 , k 2 Î R ï x 3 = k1 ï ï ï x4 = k2 ï î
T T
( C )
中
考
试
试卷
使 用 班 级 ： 2009 经 管
考试形式：闭卷
7． A 为 m × n 矩 阵 ， r ( A) = r 的 充 分 必 要 条 件 是 ： (A)、A 中 有 r 阶 子 式 不 等 于 零 ， (C)、A 中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 小 于 r+1, （ 每 题 2 分 ， 共 16 分 ） 8 。.
嘉 兴 学 院
2010— 2011 学 年 第 一 学 期 期
课 程 名 称 ： 线 性 代 数 C(N) 班 级 ：____________
6. 已 知 An × n , Bm × n ， 则 ( AB ) 等 于 ： (A)、 AB ， (C)、 BAT ， (B)、 AT B ， (D)、 B T AT 。
2019线性代数考试_期中
2019~2020年第一学期《线性代数》期中考试专业 学号 姓名一、单选题（每题3分,共15分）⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于0，则行列式的值为 A ．1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式D=1321321321-=z z z y y y x x x ，则三阶行列式=---------321321321222222z z z y y y x x x （ ） A ． 8- B ．8 C ．4- D ．4⑶ 若矩阵()()(),,,m n ij n l ij lm ijc C b B a A ⨯⨯⨯===则下列运算中（ ）无意义。
A ． ABCB ．BCAC ．A+BCD ．BC A T+ (4) 设A 为n 阶方阵，且2A A =，则（ ）成立（A ）0A =； （B ）若A 不可逆则0A = （C ）A E = （D ）若A 可逆则A E =(5) n 阶方阵A 经过若干次初等变换后化为矩阵B ，则 .A. 必有||||B A =；B. 必有||||B A ≠；C. 若0||=A 则必有0||=B ；D. 若0||>A 则必有0||>B . 二、填空题（每题3分,共15分）（1） 若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241241A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=253121B ，则积ABC =的元素=12c （2） =⎪⎪⎭⎫⎝⎛53001(3) 已知四阶行列式D 中第二行上元素分别是4201，，，-，第三行上的元素的余子式分别为421，，，a ，则=a ⑷ 已知二阶方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2131A ，则二阶方阵A 的逆矩阵=-1A ⑸ 已知线性方程组B AX =，其中系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1201A ，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210X 为它的解，则常数项矩阵=B三、利用行列式的性质计算下列各行列式：（每题10分，共20分）1．2164729541732152-----2．111111111111-----+---xx x x x x x四、计算下列n 阶行列式：（每题10分，共20分）1．ab b a a b a b a 00000000000000002．abab b a b aD n=2五、问μλ、取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解？（10分）六、求解下列矩阵方程： （10分）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--X 30230241⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-312七 证明下列等式：（每题10分，共20分） 1．A B A B B A 1111)()(----+=+2．若A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明1*-=n AA。
线性代数期中卷 线性代数讲解
扬州大学试题纸( 2008－2009学年第 二 学期)学院 08级 课程 线性代数 期中试卷 班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则 成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是 （ ）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有 （ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （ ）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中 （ ）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （ ） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。
《线性代数B》(期中考试)试题——期中试卷资料文档
厦门大学《线性代数B 》期中课程试卷 （考试日期：2021.12.9） 成绩： 学号： 院系： 姓名：一、 （10分）若A 是3阶矩阵，21=A ，求()*123A A --。
二、 （10分）设方阵A 满足022=--E A A ，证明矩阵E A 4+可逆，并求其逆矩阵。
三、（10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111111k k A ，且秩()2=A ，求常数k 。
四、（10分）设矩阵B A ,满足关系：B A AB 2+=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。
五、（10分）已知B A ,是三阶矩阵，满足02=+++E B A AB 。
若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121021021B ，计算E A +。
六、（15分）设A 是 m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，证明分块矩阵 D = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A O 为可逆的，并求其逆矩阵。
七、（15分）齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0212121n n n ax bx bx bx ax bx bx bx ax 其中，2,0,0≥≠≠n b a 。
试讨论b a ,为何值时，方程组仅有零解，有无穷多个解？如果方程组有无穷解，求出解的表达式。
七、（15分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+,23,12,022432143214321αx x x x x x x x x x x x试确定α的值，使方程组有解，并求其全部解。
八、（5分）设 B A ,均为n 阶矩阵，其中B 可逆且()E B A =+2，证明矩阵1-+AB E 可逆，并求其逆阵。
《线性代数》期中考试试卷
《线性代数》期中练习一、选择题（只有一个正确答案，每小题3分） 1. 行列式D = 0的必要条件是（ ）(A) D 中有两行（列）元素对应成比例；(B) D 中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0； (C) D 中有一行元素全为0；(D) D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为0.2. 若,0333231232221131211≠==m a a a a a a a a a D 则3332313123222121131211111254254254a a a a a a a a a a a a D ---==( ) (A) –40m (B) 40m (C) –8m (D) 20m 3. 设A ,B 均为n 阶方阵，则必有（ ）.(A) |A+B | = |A |+|B | (B) AB = BA (C) |AB | = |BA | (D) (A+B ) –1 = A –1 +B –1 4. 设A , B 均为n 阶非零矩阵，且AB = 0, 则R(A )，R(B )满足( ).(A) 必有一个等于0； (B) 都小于n; (C) 一个小于n ，一个等于n; (D) 都等于n.5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100'2B A =( ).(A) (–2)n |A ||B –1| (B) –2|A '||B | (C) –2|A ||B –1| (D) (–2)2n |A ||B –1|6. 设A , B , C 为n 阶方阵，AB = BA ，AC = CA ，则( )不一定成立.(A) ABC = BCA (B) ABC = CBA (C) ABC = BAC (D) CBA = CAB 7. 设向量组(I)为 α1=(a 11, a 12, a 13)，α2=(a 21, a 22, a 23)，α3=(a 31, a 32, a 33)，向量组(II)为β1=(a 11, a 12,a 13, a 14), β2=(a 21, a 22, a 23, a 24)，β3=(a 31, a 32, a 33, a 34), 则( )(A) (I)组线性相关⇒(II)组线性相关； (B) (I)组线 性无关⇒(II)组线性无关； (C) (II)组线性无关⇒(I)组线性无关； (D) (I)组线性无关⇔(II)组线性无关. 8. 已知β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( ).(A) α1，α2，α3线性相关； (B) α1，α2，α3线性无关； (C) α1可用β，α2，α3线性表示； (D) β可用α1，α2线性表示.9. 若向量β可由向量组A : α1, α2, … αm 线性表示, 那么向量组B : α1, α2, … αm , β的秩( )(A) 大于A 的秩 (B) 小于A 的秩 (C) 等于A 的秩 (D) 与A 的秩无关 10. 设C m ⨯n = A m ⨯s B s ⨯n , 则( ).(A) C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示； (B) C 的列向量组可由B 的列向量组线性表示； (C) A 的行向量组可由C 的行向量组线性表示； (D) B 的行向量组可由C 的行向量组线性表示. 二、填空题（每小题3分）1. 设xxxx x x x f 412412102132)(=，则x 3项的系数为_____________.2. n 阶行列式ab b a a b a b a 0000000000000000 =________________________.3. 方程02781941321111132=x xx 的全部根是___________________.4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且R (A )=2，则a =____________.5. 设A 为3阶方阵，且|A |=4，则|A *-6A -1|=______________.6. 设3阶方阵A , B 满足A 2B -A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102020101A ，则|B |=_________________.7. A 是4⨯3矩阵，R (A )=3, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301120201B , 则R (AB ) =____________.8. 设α1=(1, 0, 3, 5), α2=(1, 2, 1, 3), α3=(1, 1, 2, 6), α4=(1, λ, 1, 2)线性相关, 则λ=___________.9. 若矩阵A =(α1, α2, α3, α4)经初等行变换变为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00005100302102001，那么向量组α1, α2, α3, α4的一个最大线性无关组为______________, 其余向量由此最大无关组线性表示的关系式为________________________.10. 设3阶矩阵A = (α, γ 1, γ 2), B = (β, γ 1, γ 2), 且|A |=3, |B |=5, 则|A+B | =_________.三、(6分)计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x .四、（8分）用克莱姆法则解方程组.52453⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++z y x z y x z y x五、（10分）设n 阶方阵A 和B 满足条件A+B = AB ,(1) 证明A - E , A +E 都为可逆矩阵，其中E 为n 阶单位方阵；(2) 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B , 求矩阵A .六、（8分）求向量组α1 = (1,0,2,1) , α2 = (1,2,0,1) , α3 = (2,1,3,0) , α4 = (2,5, -1,4) , α5 = (1,-1, 3, -1) 的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组线性表出.七、（8分）设向量组(I): α1, α2, …, αm ；(II): β1, β2, …, βm; (III): γ1, γ2, … , γm的秩分别为s1, s2, s3. 如果γi=αi-βi, (i=1,2,… , m), 证明s1≤s2+s3, s2≤s1+s3, s3≤s2+s1.。
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广东商学院试题纸
2009—2010学年度第1学期线性代数期中试题
一、填空题（每小题3分 ，共30分）
1、行列式3090
20625170
0050
-=--- 。
2、A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------3301113111211111 的秩r(A )= 。
3、=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5
000000c b a 。
4、行列式
21
32312121123
x x x x
x ---中3x 的系数为 。
5、设=D 2
620357
2111
1421
3--，则=+++34333231A A A A 。
6、设1(1,0,0,0,2)
α=，2(0,1,0,0,2)α=，3(0,0,1,0,2)α=，4(0,0,0,1,2)α=，则向量组1234,,,αααα，
线性 。
7、设矩阵A 为3阶矩阵，且2=A ，则14A A -*+= 。
8、设A 为43⨯阶矩阵，且()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则()r AB = 。
9、设实矩阵A =≠⨯33)(ij a 0，且≠11a 0，ij a =ij A （ij A 是ij a 的代数余子式），则A = 。
10、设向量1β=32172ααα--，2β=3213ααα++，3β=321153ααα++-，4β=3215
3114ααα--，则1β，2β，3β，4β线性 。
二、选择题（每小题3分 ，共15分）
1、设A 为方阵,则 A =0的必要条件是( )。
（A ） 两行(列)元素成正比例 ； （B ）任一行为其它行的线性组合；
（C ） 必有一行为其它行的线性组合； （D ）A 中至少有一行元素全为0。
2、设非齐次线性方程组A X =b, A X =0为其导出组,下列结论正确的有( )。
（A ） A X =0仅有零解,则A X =b 有唯一解； （B ） A X =0有非零解,则A X =b 有无穷多解；
（C ） A X =b 有唯一解,则A X =0仍有可能有非零解； （D ） A X =b 有无穷多解,则A X =0有非零解。
3、列式0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，而33
3231312322212113
1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D ( )。
（A ） M 12； （B ） M 12-； （C ） M 3-； （D ） M 3。
4、设B A ,均为n 阶方阵,A o ≠，且AB o =， 则 ( )。
（A ） B o =； （B ） BA o =； （C ） 222()A B A B -=+； （D ） 0B =或0A =。
5、设A 为m ⨯n 阶矩阵, 则齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是( )。
（A ） A 的列向量组线性无关； （B ） A 的列向量组线性相关；
（C ） A 的行向量组线性无关； （D ） A 的行向量组线性相关。
三、计算题（每小题8分 ，共32分）
1、计算行列式 y
y x x -+-+11111
1111111
1
111 。
2、求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=153132543A 的逆矩阵1-A 。
3、已知向量组)4 ,2 ,1 ,1(1-=α，)2 ,1 ,3 ,0(2=α，)14 ,7 ,0 ,3(3=α，
=4α)0 ,2 ,2 ,1(-，试求4321 , , ,αααα的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
4、求矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值及其特征向量。
四、综合应用题（每小题9分，共18分）
1、试讨论下列非齐次线性方程组解的情况，若有解，求出其解：
1231232
12
32222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
2、已知矩阵A ＝102012220-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
求正交矩阵Q ，使AQ Q T 为对角矩阵。
五、证明题（每小题5分，共5分）
如果向量组123,,ααα线性无关,试证:向量组122313,,αααααα+++线性无关。
附加题：（主要是第四章的内容）
1、已知n 阶方阵A 满足关系式223A A E --＝0，证明A 是可逆矩阵，并求A 的逆矩阵。
2、设(1,0,2,5)α=-，(3,1,0,2)β=-，，则(,)αβ＝ 。
3、设)1,1,1(),2,1,1(-=-=βα，A =βαT E +，则n A =_______________.
4、设三阶实对称矩阵A 有三个不同的特征值321,,λλλ，且21,λλ所对应的特征向量分别为1(1,,1)T a α=，2(,1,1)T a a α=+，则3λ所对应的特征向量3α=________________.
5、已知三阶矩阵A 的特征值为0，1±，则下列结论中不正确的是( )。
(A) 矩阵A 是不可逆的. （B ）矩阵A 的主对角元素之和为0.
(C) 1和-1所对应的特征向量是正交的. （D) A x =0的基础解系由一个向量组成.
6、已知可逆矩阵A 的一个特征值为λ ,则1)2(-A 的特征值为( )。
(A)
λ21； （B ）λ2 ； （C ）λ2 ； （D ）2
λ 。
7、若B A ~ ,则有( )。
（A ）B E A E -=-λλ ； （B ） B A = ；
(C)对于λ,矩阵A 与B 有相同的特征向量 ； （D ）A 与B 均与一个对角矩阵相似。
8、已知4
R 三维向量空间中两个向量12(1,1,1,1),(1,2,1,0)T T αα==-，试求与向量12,αα正交的所有的向量。
9、设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=320011323A 满足X A XA +=, 求矩阵X 10、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知321 , ,ξξξ是它的3个解向量，且T )5 ,4 ,3 ,2(1=ξ，T )4 ,3 ,2 ,1(32=+ξξ，求该方程组的通解。
11、设123(,2,10),(1,1,4),(2,1,5),(1,,)T T T T a b c αααβ==-=-=，问：
（1）123,,ααα什么时候线性相关？
（2）β什么时候可由123,,ααα唯一线性表示？表示法不唯一？
12、已知矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30001101a 与B ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛b 00030000相似
（1）求a ，b 的值
（2）求正交矩阵Q ，使AQ Q T
为对角矩阵。