线性代数期中试题

广东商学院试题纸

2009—2010学年度第1学期线性代数期中试题

一、填空题（每小题3分 ，共30分）

1、行列式3090

20625170

0050

-=--- 。 2、A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-------3301113111211111 的秩r(A )= 。 3、=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5

000000c b a 。

4、行列式

21

32312121123

x x x x

x ---中3x 的系数为 。 5、设=D 2

620357

2111

1421

3--，则=+++34333231A A A A 。 6、设1(1,0,0,0,2)

α=，2(0,1,0,0,2)α=，3(0,0,1,0,2)α=，4(0,0,0,1,2)α=，则向量组1234,,,αααα，

线性 。 7、设矩阵A 为3阶矩阵，且2=A ，则14A A -*+= 。

8、设A 为43⨯阶矩阵，且()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，则()r AB = 。

9、设实矩阵A =≠⨯33)(ij a 0，且≠11a 0，ij a =ij A （ij A 是ij a 的代数余子式），则A = 。

10、设向量1β=32172ααα--，2β=3213ααα++，3β=321153ααα++-，4β=3215

3114ααα--，则1β，2β，3β，4β线性 。

二、选择题（每小题3分 ，共15分）

1、设A 为方阵,则 A =0的必要条件是( )。

（A ） 两行(列)元素成正比例 ； （B ）任一行为其它行的线性组合；

（C ） 必有一行为其它行的线性组合； （D ）A 中至少有一行元素全为0。

2、设非齐次线性方程组A X =b, A X =0为其导出组,下列结论正确的有( )。

（A ） A X =0仅有零解,则A X =b 有唯一解； （B ） A X =0有非零解,则A X =b 有无穷多解；

（C ） A X =b 有唯一解,则A X =0仍有可能有非零解； （D ） A X =b 有无穷多解,则A X =0有非零解。

3、列式0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，而33

3231312322212113

1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D ( )。 （A ） M 12； （B ） M 12-； （C ） M 3-； （D ） M 3。

4、设B A ,均为n 阶方阵,A o ≠，且AB o =， 则 ( )。

（A ） B o =； （B ） BA o =； （C ） 222()A B A B -=+； （D ） 0B =或0A =。

5、设A 为m ⨯n 阶矩阵, 则齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是( )。

（A ） A 的列向量组线性无关； （B ） A 的列向量组线性相关；

（C ） A 的行向量组线性无关； （D ） A 的行向量组线性相关。

三、计算题（每小题8分 ，共32分）

1、计算行列式 y

y x x -+-+11111

1111111

1

111 。 2、求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=153132543A 的逆矩阵1-A 。

3、已知向量组)4 ,2 ,1 ,1(1-=α，)2 ,1 ,3 ,0(2=α，)14 ,7 ,0 ,3(3=α，

=4α)0 ,2 ,2 ,1(-，试求4321 , , ,αααα的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

4、求矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值及其特征向量。

四、综合应用题（每小题9分，共18分）

1、试讨论下列非齐次线性方程组解的情况，若有解，求出其解：

1231232

12

32222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩

2、已知矩阵A ＝102012220-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

求正交矩阵Q ，使AQ Q T 为对角矩阵。

五、证明题（每小题5分，共5分）

如果向量组123,,ααα线性无关,试证:向量组122313,,αααααα+++线性无关。

附加题：（主要是第四章的内容）

1、已知n 阶方阵A 满足关系式223A A E --＝0，证明A 是可逆矩阵，并求A 的逆矩阵。

2、设(1,0,2,5)α=-，(3,1,0,2)β=-，，则(,)αβ＝ 。

3、设)1,1,1(),2,1,1(-=-=βα，A =βαT E +，则n A =_______________.

4、设三阶实对称矩阵A 有三个不同的特征值321,,λλλ，且21,λλ所对应的特征向量分别为1(1,,1)T a α=，2(,1,1)T a a α=+，则3λ所对应的特征向量3α=________________.

5、已知三阶矩阵A 的特征值为0，1±，则下列结论中不正确的是( )。

(A) 矩阵A 是不可逆的. （B ）矩阵A 的主对角元素之和为0.

(C) 1和-1所对应的特征向量是正交的. （D) A x =0的基础解系由一个向量组成.

6、已知可逆矩阵A 的一个特征值为λ ,则1)2(-A 的特征值为( )。 (A)

λ21； （B ）λ2 ； （C ）λ2 ； （D ）2

λ 。 7、若B A ~ ,则有( )。 （A ）B E A E -=-λλ ； （B ） B A = ；

(C)对于λ,矩阵A 与B 有相同的特征向量 ； （D ）A 与B 均与一个对角矩阵相似。

8、已知4

R 三维向量空间中两个向量12(1,1,1,1),(1,2,1,0)T T αα==-，试求与向量12,αα正交的所有的向量。 9、设矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=320011323A 满足X A XA +=, 求矩阵X 10、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知321 , ,ξξξ是它的3个解向量，且T )5 ,4 ,3 ,2(1=ξ，T )4 ,3 ,2 ,1(32=+ξξ，求该方程组的通解。

11、设123(,2,10),(1,1,4),(2,1,5),(1,,)T T T T a b c αααβ==-=-=，问：

（1）123,,ααα什么时候线性相关？

（2）β什么时候可由123,,ααα唯一线性表示？表示法不唯一？

12、已知矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30001101a 与B ＝⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛b 00030000相似

（1）求a ，b 的值

（2）求正交矩阵Q ，使AQ Q T

为对角矩阵。