苏教版数学高一必修四模块综合检测
苏教版数学高一必修四 作业 模块综合检测
模块综合检测(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若角α的终边过点(sin 30°，－cos 30°)，则sin α等于________．解析：sin α＝－cos 30°sin 2 30°＋(－cos 30°)2＝－cos 30° ＝－32. 答案：－32 2．(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)＝________.解析：(cos 15°＋sin 15°)(cos 15°－sin 15°)＝cos 2 15°－sin 2 15°＝cos 30°＝32. 答案：32 3．设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则实线λ的值等于__________．解析：由－(b －2a )＝2a －b 与a ＋λb 共线，故λ＝－12. 答案：－124．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 解析：tan(α＋β)＝tan[(α－π6)＋(π6＋β)] ＝37＋251－37×25＝1. 答案：15．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________. 解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2cos (10°－60°)2sin 240°＝2cos 50°2sin 40°＝ 2.答案： 26．(2012·全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2(12sin x －32cos x )＝2sin(x －π3)的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2， 即x ＝5π6时，y 取得最大值． 答案：56π 7．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α等于________．解析：由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，那么sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 答案：－258．设函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：因为图象的对称中心是与x 轴的交点，所以由3sin(2x 0＋π3)＝0， x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6. 答案：－π69．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 2 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为a ＝12cos 6°－32sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， c ＝ 1－cos 50°2＝sin 25°，[]b ＝2tan 13°1＋tan 213°＝2sin 13°cos 13°sin 213°＋cos 213°＝sin 26°， 所以a <c <b .答案：a <c <b10．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．解析：由题意知，b －c ＝(－3,1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.， ∴c ＝(1,2)，∴b ·c ＝0，∴b ⊥c .答案：90°11．若b ＝(1,1)，且a ·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________.解析：由(a －b )2＝3，得a 2－2a ·b ＋b 2＝3，则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 答案： 512．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α的值为________． 解析：∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos ＝45， 则1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(sin α＋cos α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝sin α＋cos αcos α－sin α＝35＋4545－35＝7. 答案：713．已知△ABC 的外心为O ，AO ·AB ＝8，则| AB |等于________．解析：因为AO ·AB ＝8＝|AO ||AB |cos ∠BAO ，则BO ·AB ＝|BO ||AB |cos(π－∠BAO )＝－8，那么AO ·AB ＝(AB ＋BO )·AB ＝8，所以AB 2＋BO ·AB ＝8，从而有AB 2＝16，所以|AB |＝4.答案：414．已知函数y ＝3sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )图象，则函数y ＝f (x )的单调增区间为________． 解析：由题意知ω＝2.f (x )＝3cos[2(x －π8)－π2]＝3cos(2x －3π4)． 由2k π－π≤2x －3π4≤2k π得k π－π8≤x ≤k π＋3π8. 所以y ＝f (x )的单调增区间为：[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)． 答案：[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z) 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin (α－π6)＋1＝2， 即sin (α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 16．(本小题满分14分)设两个非零向量e 1和e 2不共线，若|e 1|＝2，|e 2|＝3，e 1与e 2的夹角为60°，是否存在实数m ，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直？并说明理由．解：假设存在实数m ，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直，则(me 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝0， 所以me 21＋(1－m )e 1·e 2－e 22＝0，又因为|e 1|＝2，|e 2|＝3，e 1与e 2的夹角为60°，所以e 21＝|e 1|2＝4，e 22＝|e 2|2＝9，e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝2×3×cos 60°＝3，所以4m ＋3(1－m )－9＝0，解得m ＝6，故存在实数m ＝6，使得me 1＋e 2与e 1－e 2垂直．17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象？写出变换过程．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π， 故ω＝2πT ＝2.将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)变换过程如下： y ＝2sin x −−−−−−−→π象向左平移6图个单位y ＝2sin(2x ＋π6)．−−−−−−−−−→12所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin(2x ＋π6)． 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(sin x,23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a ·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)(0<θ<π2)为偶函数，求θ的值． 解：f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)． (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 解得函数y ＝f (x )的单调递减区间是[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z)． (2)f (x ＋θ)＝2sin(2x ＋2θ－π3)， 根据三角函数图象性质可知y ＝f (x ＋θ)(0<θ<π2)在x ＝0处取最值，从而由sin(2θ－π3)＝±1，得2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z. 又0<θ<π2，所以θ＝5π12. 19．(本小题满分16分)如图，三个同样大小的正 方形并排一行．(1)求OA 与OB 夹角的余弦值；(2)求∠BOD ＋∠COD 的值．解：(1)因为A (1,1)，B (2,1)，所以OA ＝(1,1)，OB ＝(2,1)． cos ∠AOB ＝OA ·OB |OA ||OB |＝1×2＋1×11＋1×4＋1＝31010. (2)因为C (3,1)，D (3,0)，所以tan ∠BOD ＝12，tan ∠COD ＝13. 所以tan(∠BOD ＋∠COD )＝tan ∠BOD ＋tan ∠COD 1－tan ∠BOD tan ∠COD ＝12＋131－12×13＝1. 又因为∠BOD 和∠COD 均为锐角，故∠BOD ＋∠COD ＝45°.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋2sin x cos x －3. (1)化简函数f (x )的解析式，并求f (x )的最小正周期；(2)若方程f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin x －t ＝0恒有实数解，求实数t 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝2cos 2(x ＋π12)＋2sin x cos x －3 ＝cos(2x ＋π6)＋sin 2x －2 ＝32cos 2x ＋12sin 2x －2 ＝sin(2x ＋π3)－2. 故其最小正周期为π.(2)方程f (x ＋π12)＋sin x －t ＝0恒有实数解，等价于求函数t ＝f (x ＋π12)＋sin x 的值域． 因为t ＝f (x ＋π12)＋sin x ＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＋sin x －2 ＝cos 2x ＋sin x －2＝－2sin 2x ＋sin x －1＝－2(sin x －14)2－78， 又－1≤sin x ≤1，所以t ∈[－4，－78]．。
苏教版数学高一必修4练习模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．sin 330°＝________.【解析】 sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－12. 【答案】 －122．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________． 【解析】 据三角函数的定义，可知|OP |＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】 －253．化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 【解析】 原式＝2cos 22－1＋1＋cos 22 ＝3cos 22 ＝－3cos 2【答案】 －3cos 24.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝________. 【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 325．已知a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则k ＝________. 【解析】 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k ) ∴b ＝(－1，k －1)又a ⊥b ，∴a·b ＝－2＋(k －1)＝0， ∴k ＝3.【答案】 36．过点A (－2,1)，且平行于向量a ＝(3,1)的直线方程为________． 【解析】 直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0.【答案】 x －3y ＋5＝07．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π6的值域为________． 【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9．若b ＝(1,1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】 由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3， 则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．【解析】 由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z11．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．【解析】 由题意知，b －c ＝(－3,1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3)．依题意，得⎩⎨⎧ －3x －3(1－y )＝0，x ＋1＋2(y －3)＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴c ＝(1,2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90°12．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143.【答案】 14313．如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图2【解析】 分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC |cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614．(2016·南通高一检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________. 【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．【解】 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16．(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17．(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式．【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [](α＋β)＋α＝3sin [](α＋β)－α，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.19．(本小题满分16分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示．图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0， ∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4－42cos x＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
苏教版高中数学必修4模块检测(含参考答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版
高一数学综合检测试卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知98απ=，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．cos75o ·cos15o 的值是（ ）A ．12 B ．14C 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ ） A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 4．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-5．若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，－2），则c =（ ） A ．1322a b -- B ．1322a b -+ C ．3122a b - D ．3122a b -+ 6．已知a =8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为6π时，a 有e 方向上的投影长度为 （ ） A ．43 B ．4 C ．42 D ．8+23 7. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 8．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．－23169．设OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u rc ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点10．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）11．把函数y =sin2x 的图象按向量a 平移后得到函数sin 236y x π=++⎛⎫⎪⎝⎭的图象，则向量a 可以是（ ）A ．,36π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(cos )(sin βαf f <C.)(sin )(sin βαf f >D.)(cos )(cos βαf f >二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上. 13．若)30(sin ,3cos )(cos οf x x f 则==_______________.14. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 15．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠u u r u u r u u r u u u r则= . 16. 已知向量a ＝（2，－1）与向量b 共线，且满足a ·b ＝－10，则向量b ＝_______________ 17. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为θ，由此处向铁塔的方向前进30m ，测得铁塔顶的仰角为2θ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4θ．如果测量仪的高为1．5m ，则铁塔的高为 m ．18. 给出下列四个命题：①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数； ③83π-=x 是函数)432sin(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)cos(sin x y =的值域为]1cos ,0[.其中正确命题的序号是 .三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19.(本题满分12分)（1）已知2tan -=α，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知044513<<-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x ππ,sin ,求cos cos 24xx π+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值.20. (本题满分12分)已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)． (1)求(2)+g a a b 的取值范围；(2)若3παβ-=，求2a b +．已知tan ,tan αβ是方程2430x px --=( p 为常数)的两个根． (1)求tan(αβ+)；(2)求()22cos 2cos 22sin αβαβ+-．(可利用的结论：2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan θθθθθθ-==++)22. (本题满分14分)已知△ABC 的顶点坐标为A (1，0)，B (5，8)，C (7， —4)，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4．(1)设AB AP λ=u u u r u u u r，求实数λ；(2)在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分．设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭，给出下列三个论断： ①()f x 的图象关于直线6x π=-对称；②()f x 的周期为π； ③()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．[参考答案]二、填空题13. －1 14. 17 15. 23π16. (－4，2) 17. 16.5 18. ②③三、解答题19．(1)sin cos αα== (2)241320．(1)[－．(1)p (2)221p + 22．(1)43 (2)Q 85,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23．⎫⇒⎬⎭①③②或⎫⇒⎬⎭①②③，证明略.。
苏教版高中数学必修4模块综合检测(b).docx
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知sin α＝35，则cos 2α的值为________． 2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则a ·b ＝________.4．设cos(α＋π)＝32(π<α<3π2)，那么sin(2π－α)的值为________． 5．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________. 6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________．7．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝________. 8．若向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，则|a －b |＝________.9．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.10．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[－π2，π2]，则|a ＋b |的取值范围是________． 11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．12．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围是________． 13．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________． 14.如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：①AC →＋AF →＝2BC →；②AD →＝2AB →＋2AF →；③AC →·AD →＝AD →·AB →；④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知0<x <π2，化简：lg(cos x ·tan x ＋1－2sin 2x 2)＋lg[2cos(x －π4)]－lg(1＋sin 2x )．16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 点的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．19．(16分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.20．(16分)已知a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(2cos ωx ＋sin ωx ，cos ωx )，x ∈R ，ω>0，记f (x )＝a ·b ，且该函数的最小正周期是π4. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．模块综合检测(B)1.725解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725. 2．0解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,2)＝(3－k ，－1)，(a －c )⊥b ，b ＝(1,3)，∴(3－k )×1－3＝0，∴k ＝0.3．－10解析 ∵a ∥b ，∴1×(－4)－2x ＝0，x ＝－2.∴a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，∴a ·b ＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.4.12解析 ∵cos(α＋π)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32， ∵π<α<3π2，∴α＝7π6， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝－sin 76π＝12. 5．－247解析 由于α为第二象限的角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45. ∴tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2 ＝－321－916＝－247. 6．－47解析 tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47. 7．－7210解析 ∵cos α＝－45，α是第三象限角． ∴sin α＝－35， ∴sin(α＋π4)＝22(sin α＋cos α)＝－7210. 8．2或10解析 ∵a ·b ＝2x ＋3－x 2＝0.∴x 1＝－1或x 2＝3.a －b ＝(－2x －2,2x )．当x ＝－1时，a －b ＝(0，－2)，|a －b |＝2；当x ＝3时，a －b ＝(－8,6)，则|a －b |＝10.9．1解析 f (x )＝sin(－2x ＋π3)向右平移π3个单位后，图象对应函数解析式为f (x －π3)＝sin[－2(x －π3)＋π3] ＝sin(－2x ＋π)＝sin 2x .∴g (x )＝sin 2x ，g (π4)＝sin π2＝1. 10．[2，2]解析 |a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋(sin θ)2＝2＋2cos θ.∵θ∈[－π2，π2]，∴cos θ∈[0,1]． ∴|a ＋b |∈[2，2]．11.⎣⎡⎦⎤π3，π解析 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π. 12.⎝⎛⎦⎤0，32 解析 令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω， 则⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω是函数关于原点对称的递增区间中范围最大的，即⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，则 ⎩⎨⎧π4≤π2ω－π3－π2ω⇒0<ω≥32. 13.1118解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12(1－cos 2 2θ)＝1118. 14．①②④解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →，①正确；设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →，②正确；易知向量AC →和AB →在AD →上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →|AD →|.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；∵AD →＝－2EF →，∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF →⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →)＝0成立．从而④正确．15．解 0<x <π2， ∴原式＝lg(cos x ·sin x cos x＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x ) －lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x )＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4. 17．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·(－35)2＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2， ∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35， cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45. ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 18．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为π.令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k π2＋π6，k ∈Z . 故所求对称中心的坐标为(k π2＋π6，0)，(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 即f (x )的值域为[－32，1]． 19．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3， 即f (x )的最小正周期为2π3. (2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4. ∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4. ∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝4cos 2α. 由f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin 2α＝12(1－cos 2α)＝15， ∴sin α＝±55. 20．解 (1)f (x )＝a ·b＝cos ωx ·(2cos ωx ＋sin ωx )＋sin ωx ·cos ωx＝2cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＝2·1＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx ＋π4)＋1.∴f (x )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，其中x ∈R ，ω>0. ∵函数f (x )的最小正周期是π4，可得2π2ω＝π4， ∴ω＝4.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(8x ＋π4)＋1. 当8x ＋π4＝π2＋2k π， 即x ＝π32＋k π4(k ∈Z )时， sin(8x ＋π4)取得最大值1， ∴函数f (x )的最大值是1＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π32＋k π4，k ∈Z }．。
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版
高一数学综合检测试卷 必修4 苏教版一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知98απ=，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．cos75·cos15的值是（ ）A ．12 B ．14C 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ ） A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 4．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-5．若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，－2），则c =（ ） A ．1322a b -- B ．1322a b -+ C ．3122a b - D ．3122a b -+ 6．已知a =8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为6π时，a 有e 方向上的投影长度为 （ ） A ．43 B ．4 C ．42 D ．8+23 7. △ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形 8．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316D ．－23169．设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点10．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π] D．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）11．把函数y =sin2x 的图象按向量a 平移后得到函数sin 236y x π=++⎛⎫⎪⎝⎭的图象，则向量a 可以是（ ）A ．,36π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（ ）A.)(cos )(sin βαf f >B.)(cos )(sin βαf f <C.)(sin )(sin βαf f >D.)(cos )(cos βαf f >二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上. 13．若)30(sin ,3cos )(cos f x x f 则==_______________.14. 已知33cos ,,tan 524πθπθπθ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭且则= . 15．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= . 16. 已知向量a ＝（2，－1）与向量b 共线，且满足a ·b ＝－10，则向量b ＝_______________ 17. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为θ，由此处向铁塔的方向前进30m ，测得铁塔顶的仰角为2θ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4θ．如果测量仪的高为1．5m ，则铁塔的高为 m ．18. 给出下列四个命题：①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数； ③83π-=x 是函数)432sin(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)cos(sin x y =的值域为]1cos ,0[.其中正确命题的序号是 .三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19.(本题满分12分)（1）已知2tan -=α，且α是第二象限的角,求αsin 和αcos ; （2）已知044513<<-⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x ππ,sin ,求cos cos 24xx π+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值.20. (本题满分12分)已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)． (1)求(2)+a a b 的取值范围；(2)若3παβ-=，求2a b +．已知tan ,tan αβ是方程2430x px --=( p 为常数)的两个根． (1)求tan(αβ+)；(2)求()22cos 2cos 22sin αβαβ+-．(可利用的结论：2222tan 1tan sin 2,cos 21tan 1tan θθθθθθ-==++)22. (本题满分14分)已知△ABC 的顶点坐标为A (1，0)，B (5，8)，C (7， —4)，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4．(1)设AB AP λ=，求实数λ；(2)在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分．设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭，给出下列三个论断： ①()f x 的图象关于直线6x π=-对称；②()f x 的周期为π； ③()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称． 以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．[参考答案]二、填空题13. －1 14. 1715. 23π16. (－4，2) 17. 16.5 18. ②③三、解答题19．(1)sin cos αα== (2)241320．(1)[－．(1)p (2)221p + 22．(1)43 (2)Q 85,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23．⎫⇒⎬⎭①③②或⎫⇒⎬⎭①②③，证明略.。
苏教版高中数学必修4高一年级综合检测试题
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ ……………………………………密…………………………………………………封……………………………………………………线………………… 东海县第二中学高一年级必修4综合检测试题 时间：120分钟 满分：160分 一、 填空（每题5分，共计70分） 1．已知向量a ，b 满足|a |=1，(2,1)b =，且0a b λ+=（λ∈R ），则||λ= . 2. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 3. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //， 则=θtan _______. 4. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是 A.)2,1(),0,0(21==e e B.)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 5. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则,,a b c 按从大到小的顺序是 6. 平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = 7. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为________. 8.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b = 9. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 10. 设函数()(f x x ∈R )满足()()s i n f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ．则=)623(πf 11. 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= . 12. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则的)122sin(πα+值为 ．。
高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修4
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．平行 B ．相等 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a |＝|b |，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB ⊥OC ，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：D2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5.所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象． 答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数． 答案：D6．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T＝2π2＝π. 答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22， 得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32. 答案：B9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)．答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a |＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b |＝1，a ·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF →＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3. 解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311. 所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311. 19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos(β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ. 解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45. x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213. 所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.(2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1， 又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC ＝60°.所以∠AOB ＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3·sin 2x ＋s in x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x－π6π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 02－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍． 法二：由以下变换可得f (x )的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍． 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x ∈R，求f (x )的递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．解：由f (x )＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f (x )的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)．(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f (x )max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。
苏教版高中数学必修4高一年级综合检测试题.docx
______ 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________…………………………………………………封……………………………………………………线…………………高中数学学习材料唐玲出品东海县第二中学高一年级必修4综合检测试题时间：120分钟 满分：160分一、 填空（每题5分，共计70分）1．已知向量a ，b 满足|a |=1，(2,1)b =，且0a b λ+=（λ∈R ），则||λ= . 2. 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 3. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //， 则=θtan _______.4. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是 A.)2,1(),0,0(21==e e B.)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e5. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则,,a b c 按从大到小的顺序是6. 平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c与b 的夹角，则m =7. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为________.8.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =9. 若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 10. 设函数()(f x x ∈R )满足()()s i n f x f x x π+=+，当π<≤x 0时，0)(=x f ．则=)623(πf 11. 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .12. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则的)122sin(πα+值为 ． 13. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3CP PD =，2=⋅BP AP ，则AB AD ⋅的值是 .14. 设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0，2π]上恰有三个解123,,x x x ，则321x x x ++= .二、解答题（15、16题每题12分，17、18每题13分，共计50分）15．（本题满分14分） 已知),2(ππα∈，55sin =α．（1）求)4sin(απ+的值；（2）求)265cos(απ-的值．16．（本题满分14分）已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ABDCP（第13题）17. （本题满分14分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，(,)22ππθ∈-．（1）当2a=，4πθ=时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()02f π=，()1f π=，求a ，θ的值．18. （本题满分16分）已知向量(,cos 2)am x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(,3)12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间．……密…………………………………………………封……………………………………………………线…………………19. （本题满分16分）已知函数()sin(3)4f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．20. （本题满分16分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值．参考答案一、 填空（每题5分，共计70分）1．5 2. ①②③ 3. 214. B5. c b a >>6. 27. 18. 29. 38π． 10. 2111.223 12. 50217 13. 22 14. 7π3 二、解答题（15、16、17题每题14分，18、19/20每题16分，共计90分）15．解：（1）因为∈α),2(ππ，55sin =α，所以552sin 1cos 2-=--=αα． 故)4sin(απ+απαπsin 4cos cos 4sin+=10105522)552(22-=⨯+-⨯=． （2）由（1）知54)552(552cos sin 22sin -=-⨯⨯==ααα， 53)55(21sin 212cos 22=⨯-=-=αα， 所以απαπαπ2sin 65sin 2cos 65cos )265cos(+=- 10334)54(2153)23(+-=-⨯+⨯-=． 16．解：（1）35523()sin()sin 12124322f A A A ππππ=+===，∴3A =．（2）由（1）知()3sin()4f x x π=+，故3()()3sin()3sin()442f f +-=++-+=ππθθθθ，2233[(sin cos )(cos sin )]222θθθθ∴++-=，36cos 2∴=θ，∴6cos 4=θ．又)2,0(πθ∈，210sin 1cos 4∴=-=θθ， 3()4f πθ-303sin()3sin 4=-==πθθ．17.解析：（1）()sin()2cos()42f x x x ππ=+++2(sin cos )2sin 2x x x =+- 22cos sin sin 224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 因为[0,]x π∈，所以3[,]444x πππ-∈-． 故()f x 在区间[0,]π上的最大值为22，最小值为1-． （2）由()0,2()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )0,2sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩ 由(,)22ππθ∈-知cos 0θ≠，解得1,.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩18.解：（1）由题意知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=．()y f x =的过图象过点(,3)12π和2(,2)3π-，所以3sin cos ,66442sin cos ,33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩即133,22312,22m n m ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩解得3,1.m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （2）由（1）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ．由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++．设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知2011x +=，所以00=x ，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）． 将其代入()y g x =得sin(2)16πϕ+=，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=．由222,k x k k πππ-+≤≤∈Z 得,2k x k k πππ-+≤≤∈Z ，所以函数()y f x =的单调递增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．19.解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]22k k ππππ-++，k ∈Z ，由232242k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得2243123k k x ππππ-+≤≤+，k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间为22[,]43123k k ππππ-++，k ∈Z ． （2）由已知，有224sin()cos()(cos sin )454ππαααα+=+-，所以224sin coscos sin(cos cos sin sin )(cos sin )44544ππππαααααα+=--， 即24sin cos (cos sin )(cos sin )5αααααα+=-+． 当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知324k παπ=+，k ∈Z ． 此时，cos sin 2αα-=-．当sin cos 0αα+≠时，有25(cos sin )4αα-=． 由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=52-． 综上所述，cos sin αα-=2-或52-．20. 解：（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+，0,1,2,k =±±．由22ππϕ-≤<得0k =，所以2236πππϕ=-=-． （2）由（1）得3()3sin(2)2264f ααπ=⋅-=，所以1sin()64πα-=． 由263ππα<<，得062ππα<-<，所以 22115cos()1sin ()1()6644ππαα-=--=-=． 所以3cos()sin sin[()]266πππααα+==-+ 13151315sin()coscos()sin.666642428ππππαα+=-+-=⋅+⋅=。
苏教版高中数学必修4模块综合检测(c).docx
模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．3．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.4．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α＝________. 5．已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.6．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝________.7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝________.8．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________. 9．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)10．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是最小正周期为________的________(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)函数．11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→的模长的最大值为________．12．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值．16．(14分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．17．(14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．18．(16分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．19．(16分)已知函数f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)若A 为锐角，且向量m ＝(1,5)与向量n ＝(1，f (π4－A ))垂直，求cos 2A 的值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．模块综合检测(C)1．－4 3解析 ∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a <0.∵tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝a －4＝3， ∴a ＝－4 3.2．6解析 a ·b ＝6－m ＝0，∴m ＝6.3.π2解析 ∵a ∥b ，∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0.∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2. 4．－12解析 ∵|a |＝cos 2α＋14＝22， ∴cos 2α＝14. ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 5．－8解析 若A 、B 、D 三点共线，则AB →∥BD →，设AB →＝λBD →.∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6．1解析 tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.7．4解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.8.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156. 9．锐角解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0. ∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数， ∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B . ∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．10.π2偶 解析 f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x 2＝14－14cos 4x ， ∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，为偶函数． 11．3 2 解析 |P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2 ＝10－8cos θ≤18＝3 2.12.12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tan θ21＋tan 2θ2＝45. ∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0， ∴tan θ2＝12或tan θ2＝2. ∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]． ∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12. 13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14.12解析 由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx ＋π6)， 即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)． ∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12， 则ωmin ＝12(ω>0)．15．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4. (2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 16．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT ＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )． 又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x . (2)由已知得cos(α＋π3)＝13. ∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)． ∴sin(α＋π3)＝223. ∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3) ＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429. 17．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1. 由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－32. ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z ) 得函数单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z ). x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 218．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)． 当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)． 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]． 若a >0，当2x ＋π6＝π2时， f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52； 若a <0，当2x ＋π6＝7π6时， f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5. 19．解 (1)f (x )＝3sin 2(x ＋π4)－cos 2x －1＋32＝3[22(sin x ＋cos x )]2－cos 2x －1＋32＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， 所以f (x )的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m ＝(1,5)与n ＝(1，f (π4－A ))垂直， 得5f (π4－A )＋1＝0， ∴5sin[2(π4－A )－π6]－4＝0，即sin(2A －π3)＝－45. ∵A ∈(0，π2)，∴2A －π3∈(－π3，2π3)， ∵sin(2A －π3)＝－45<0， ∴2A －π3∈(－π3，0)， ∴cos(2A －π3)＝35.∴cos 2A ＝cos[(2A －π3)＋π3] ＝35×12＋45×32＝43＋310. 20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋ cos x )．令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2. ∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于0<x <π，故x ＝11π12. 所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12. (2)∵a 与b 的夹角为π3， ∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)． ∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3. ∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35.。
高中数学苏教版必修4模块综合检测卷
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.AB →＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA →C.AB →＝－OB →＋OA →D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解． ∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)， 则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：如图，设AB→||AB →＝AE →，AC →||AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC →＝0，即AD →·BC→＝0，∴AD →⊥BC →.∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC . ∵AE →·AF →＝||AE→||AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD→＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2.答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23. 答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ， 设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R.∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题： ①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)． 解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确．②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，求AB 的长．解析：∵E 为CD 的中点，∴BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →.∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD→＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13， ∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解析：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32.∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64.又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A .解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝ sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值， ∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1. 又0<θ<π，∴θ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A .代入sin B ＝2sin A 中， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A .∴sin 2π3cos A －cos 2π3 sin A ＝2sin A .∴tan A ＝33. ∵0<A <π，∴A ＝π6.。
高中数学 模块综合检测 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
模块综合检测[学生用书P129(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知750°<α<800°，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选A ．因为750°<α<800°，所以375°<α2<400°，所以α2是第一象限角．2．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．－89C ．－79D ．429解析：选A ．因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝79. 3．已知a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，且(a ＋λb )⊥a ，则λ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选D ．因为a ＋λb ＝(1，0)＋(λ，λ)＝(1＋λ，λ)，所以(a ＋λb )·a ＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ.由(a ＋λb )⊥a 得1＋λ＝0，得λ＝－1，故选D ．4．已知sin (π＋α)＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．2 2B ．－2 2C ．24D ．±2 2解析：选D ．因为sin (π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D ． 5.3－tan 15°1＋3tan 15°的值为( )A ．0B ．1C ．12D ．2解析：选B ．原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°·tan 15°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.6．函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2(x ∈R )的值域是( ) A ．[2，3] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 C ．[1，4]D ．[2，4]解析：选A ．因为f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2＝3－2sin 2x ＋sin 2x ＝3－sin 2x ，sin x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[2，3]．故选A ．7．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在定义域内是增函数B ．f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )C ．f (x )是奇函数D ．f (x )图象的对称轴是x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：选B ．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在定义域内不是增函数，不是奇函数，且其图象没有对称轴，因此A ，C ，D 错误．由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．因此f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )．故选B ．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析：选B ．因为AD →＝23AC →，所以BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝29AC →－13AB →，所以AP →＝AB →＋BP →＝23AB →＋29AC →，又AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，从而λμ＝3，故选B ．9．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为π3，a ＝AB →，b ＝CD →，则a ·b＝( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．－6解析：选B ．设菱形中过A 点的两邻边对应的向量分别表示为i ，j ，且i 的方向水平向右，则|i |＝|j |＝1，〈i ，j 〉＝60°，从而i ·j ＝12.因此a ＝i ＋2j ，b ＝－3i ＋2j ，所以a ·b ＝(i ＋2j )·(－3i ＋2j )＝－3i 2－4i ·j ＋4j 2＝－3×12－4×1×1×12＋4×12＝－1，故选B ．10．先将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12是奇函数 C ．g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0对称D ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增 解析：选D ．由题意得f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos 2x ＋1为偶函数，B 错误；将f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2，g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2对称，C 错误；g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，D正确．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝3π4对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，则ω等于( )A ．83 B ．23 C ．43或83D ．43解析：选D ．因为f (x )在R 上是偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为0≤φ≤π.所以φ＝π2，所以f (x )＝cos ωx ，因为f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，所以3π4ω＝k π，即ω＝43k ，k ∈Z ，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，所以23ωπ≤π，ω≤32，所以只有k ＝1时，ω＝43符合题意．12．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A ． 3B ． 2C ．2D ．33解析：选A ．作CE ⊥BD 于E .由AB →＝DC →＝(1，1)可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝2，因为1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，平行四边形ABCD 为菱形，其边长为2，且对角线BD 的长等于边长的3倍，即BD ＝3×2＝6，则CE 2＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝12，即CE ＝22，所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD的面积为2×32＝ 3. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________． 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：7814．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若b ，c 为一组基底，则向量a ＝________．解析：设a ＝x b ＋y c ，由题意可知－l 1＋3l 2＝x (4l 1＋2l 2)＋y (－3l 1＋12l 2)，整理得－l 1＋3l 2＝(4x －3y )l 1＋(2x ＋12y )l 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝－1，2x ＋12y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－118，y ＝727.答案：－118b ＋727c15．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α＋23，若a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值是________． 解析：由a ∥b ，可得12⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋23－32sin α＝0，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13.而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝79.答案：7916．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP →|＝|BQ →|，则PA →·PQ →的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0. 因为|DP →|＝|BQ →|，所以|x |＝|y |，所以x ＝－y . 因为PA →＝(－x ，－1)，PQ →＝(2－x ，y －1)， 所以PA →·PQ →＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，所以当x ＝12时，PA →·PQ →取得最小值为34.答案：34三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过点P (3，4)． (1)求tan (π－α)的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)的值．解：因为角α的终边经过点P (3，4)， 所以设x ＝3，y ＝4，则r ＝32＋42＝5，所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.(1)tan (π－α)＝－tan α＝－43.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)＝sin αcos α·sin α·(－cos α) ＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－1625. 18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)． (1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )，使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2.所以c ＝(2，23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.19．(本小题满分12分)已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α的值． 解：因为(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以4cos α－3sinα＝0，所以tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35.(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－43＝－7.(2)cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos π3cos 2α＋sin π3sin 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＋32×2425＝243－750.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 2x ，sin 2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值． 解：(1)由题意知：f (x )＝(cos 2x ，sin 2x )·(3，1)＋m ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π. (2)由(1)知：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.所以当2x ＋π3＝4π3时，f (x )取得最小值－3＋m .又f (x )的最小值为5，所以－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.21．(本小题满分12分)已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解：(1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175，所以ω＝2πT ＝150π.t ＝－1900时，I ＝0，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤150π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900＋φ＝0， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.而|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，所以ω≥300π>942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos x ＋sin x ，2cos x )，n ＝(cos x －sin x ，－sin x )． (1)求f (x )＝m ·n 的最小正周期和单调减区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，g (B )＝22，求C 的值．解：(1)f (x )＝cos 2x －sin 2x －2cos x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得：2k π－π4≤2x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )＝m ·n 的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得函数为y ＝2cos x ，即g (x )＝2cos x ，由题设得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋3π4＝0，所以A ＝π4.又2cos B ＝22，所以cos B ＝12，B ＝π3. 所以C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝5π12.。
苏教版高中数学必修4模块综合检测卷.docx
模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD→|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3，f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.AB→＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA → C.AB→＝－OB →＋OA → D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解．∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)， 则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：如图，设AB →⎪⎪⎪⎪AB →＝AE →，AC →⎪⎪⎪⎪AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC→＝0，即AD →·BC →＝0，∴AD→⊥BC →. ∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC .∵AE →·AF →＝⎪⎪⎪⎪AE →⎪⎪⎪⎪AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2. 答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ， 设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)．∵x ∈R ，∴x －α∈R. ∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题：①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确． ②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，求AB 的长． 解析：∵E 为CD 的中点，∴BE→＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB→. ∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD →＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB→|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32. ∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8， ∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A . 解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A . 代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A . ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A .∴tan A ＝33. ∵0<A <π，∴A ＝π6.。
苏教版数学高一必修四练习模块检测
模块检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析 cos(2π－α)＝53＝cos α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－23，∴sin(π－α)＝sin α＝－23. 答案 －23 2．若＝3a ，＝－5a ，且，则四边形ABCD 的形状是________． 解析 ∵＝3a ，＝－5a ，∴＝－35∴∥且即ABCD 是梯形．∴四边形为等腰梯形． 答案 等腰梯形3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 由t (a ＋λb )＝－(b －2a ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2λt ＝－1 ∴λ＝－12. 答案 －124．若函数f (x )＝cos(ωx )·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos(ωx )·sin(ωx )＝12sin(2ωx ) T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. 答案 15．已知α∈(0，π)，cos(π＋α)＝35，则sin α＝________. 解析 由cos(π＋α)＝－cos α，cos α＝－35，α∈(0，π) ∴sin α＝45. 答案 456．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________.解析 由已知得：sin α＝－2cos α. 由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＋(－2cos α)2＝1 ∴cos 2α＝15，∴sin α·cos α＝－2cos 2α＝－25.答案 －257．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．解析 由题意知α的终边在第三象限， 且sin α·cos α＝34 ∴tan α＝3或33， ∴a ＝－43或－43 3. 答案 －43或－43 38．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．解析 由题设得：A ＝2，n ＝2，ω＝4，又x ＝π3时 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝±1，且0＜φ＜π2，故φ＝π6. 答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由a ，b 共线，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1) ∴λ＝2.sin θ＝2cos θ，得tan θ＝2 ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝13.答案 1310．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析 |a －t b |＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝1＋t 2－2t a ·b又∵a ·b ＝cos 55°cos 25°＋sin 55°sin 25°＝cos 30°＝32 ∴|a －t b |＝1＋t 2－3t ＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋14∴|a －t b |的最小值为12. 答案 12 11.将函数y ＝sin ωx ，(ω＞0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为________．解析 将y ＝sin ωx 向左平移π6个单位，得：y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ6又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1由五点作图得：7ωπ12＋ωπ6＝3π2 ∴ω＝2.∴解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π312．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin α＝35，∴cos α＝－45 ∴tan α＝－34∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.答案 17 13．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝2cos 2 x 2cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∵f (x )的最大值为2＋3 ∴a 2＝3，∴a ＝±3. 答案 ±314．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，若＝＝1，那么c ＝________.答案2二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知0＜x ＜π2，化简：lgcos x ·tan x ＋1－2sin 2x2＋lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－lg(1＋sin 2x )． 解 ∵0＜x ＜π2，∴原式＝lg(cos x ·sin xcos x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(cos x ＋sin x )－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(sin x ＋cos x )2－lg(1＋sin 2x ) ＝lg(1＋sin 2x )－lg(1＋sin 2x )＝0.16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ，(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2 ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 17．(本小题满分14分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )(1)若a ·b ＝0，求角A . (2)若a ·b ＝－15，求tan 2A .解 (1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )·sin C ＋cos C ·(sin B －cos B )＝0 化简得：sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0 即sin A ＋cos A ＝0∴tan A ＝－1，而A ∈(0，π)∴A ＝34π (2)∵a ·b ＝－15，即sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15 ∴sin A ＋cos A ＝－15①将①平方得：1＋2sin A ·cos A ＝125 ∴2sin A ·cos A ＝－2425＜0 ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πsin A －cos A ＝1－2sin A ·cos A ＝75 ∴sin A ＝35 cos A ＝－45 ∴tan A ＝－34∴tan 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－916＝－247. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4(1)若a ∥b ，求tan α的值． (2)若a ·b ＝178，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值． 解 (1)∵a ∥b ∴2sin α＝cos α 故tan α＝12. (2)a ·b ＝178，所以sin α·cos α＋2＝178 即sin 2α＝14因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2α＝154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝2＋308.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin 2 x ＋23sin x cos x ＋5cos 2 x . (1)求函数f (x )的周期和最大值； (2)已知f (α)＝5，求tan α的值． 解 (1)f (x )＝3＋3sin 2x ＋2cos 2 x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋4∴周期T ＝2π2＝π，最大值为6 (2)由f (α)＝5，得： 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋4＝5∴3sin 2α＋cos 2α＝1 即 23sin αcos α＝2sin 2α ∴sin α＝0或tan α＝ 3 ∴tan α＝0或tan α＝ 3. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝4cos 4 x －2cos 2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 2 2xcos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1712π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝2cos 56π＝－ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π ∴x ＝π8时，g (x )max ＝2， x ＝π2时，g (x )(min)＝－1.。
苏教版高中数学必修4模块综合检测(a)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．sin 2010°＝________.2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________.3．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________. 4．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k ＝________.5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.6．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α＝________.7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为____________．8．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b ＝________.9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.10．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 11．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是________．12．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)＝________.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f (x )＝________.14．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值．16．(14分)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .17．(14分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．18．(16分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．19．(16分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f (－1112π)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．20．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.模块综合检测(A)1．－12解析 sin 2010°＝sin (5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.2．－1213解析 ∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A)2＝1且cos A<0，解得cos A ＝－1213.3．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22，∴θ＝π4，∴tan θ＝1.4．3解析 ∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3. 5．16解析 AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.6．－25解析 ∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 7．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －34π解析 由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎨⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)．8. 3解析 由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30°∴a ·b ＝ 3. 9.23解析 由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.10.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×(－1)＋2×3(－1)2＋32＝410＝2105. 11．7，－5解析 ∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α ＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎫sin α－322－112， 当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.12．－14解析 a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.13．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得(T2)2＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图象过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)．14.⎣⎡⎦⎤π12，5π12 解析建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB→的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB . ∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12. 15．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)．∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12，∴f (x )max ＝12.16．(1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin α·cos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .17．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.18．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1. 19．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22x sin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22xsin (π2＋2x )＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.20．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1， |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
苏教版高一数学必修4模块检测试卷.doc
9、平面直角坐标系中，高一期中考试模拟试卷一、填空题 1、sin50°(l +V3tanl0°)= 2、已知向量a = (1,2), 5 = (—2,3), c = (4,1),若用。
和方表示 c,贝!Jc=3、某扇形的面积为lc农2,它的周长为4cm,那么该扇形圆心角的度数为4、若。
是△ABC的一个内角，且sinOcose =——，则sin8-cos0的值为85、若角。
的终边经过厂3a),则co矽=JT6、将函数y = sin2x的图象向左平移竺个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解4析式是___________________7、 A ABC三内角满足2 cos B sin A = sin C ,则△/冏7的形状为IT8、函数y = log2sin(2x + -)的单调燮区间是已知两点A ( 3, 1 ) , B ( - 1,3 ),若点C满足O^crOA+^OB 其中a、”eR,且a+/3=\ ,点C的轨迹方程_______________10、函数 f(x)=Asin(3x+w) (A〉0, o>0)的部分图象如图所示，贝Uf⑴+f⑵+…+ f(2011)的值等于11、AABC中，有如下四个命题：®AB-AC = BC ；®AB + BC + CA = 0；%1若(届+衣)•(届—*) = 0,则MBC为等腰三角形;%1若尿•扇>0,则AABC为锐角三角形.其中正确的命题序号是12.给出下列五个命题：%1存在实数。
，使sin a • costt = 1 ；3%1函数y = sin(—+ x)是偶函数，jr S%1x =—是函数y = sin(2x +—的一条对称轴方程;%1若是第一象限的角，且a> (3 ,贝ijsincr > siny5 ；%1若f(sinx) = cos6x ,则/(cosl5°) = 0.其中正确命题的序号是.13、函数y = cos2 x-4sinx的值域是.71 71asm——bcos—只,14、已知非零常数a、人满足——-------- =tan—，则？=丸八•冗15 a 'tz cos bsm —5 5二、解答题 15、已知函数f(x) = A sin(x +(p)(A > 0,0 < ^ < 7i), XE R的最大值是1,其图象经过点(1)求fO)的解析式;(2)已知窿］。
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一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．cos ⎝⎛⎭
⎫－17π
3＝__________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫－17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：12
2．已知⎝⎛⎭⎫12sin 2θ
＜1，则θ所在的象限为__________．
解析：∵⎝⎛⎭⎫12sin 2θ
＜1＝⎝⎛⎭⎫120， ∴sin 2θ＞0，
∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z )，
∴θ表示第一或第三象限的角．
答案：第一或第三象限
3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1
2
)＝－8.
答案：－8
4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1
tan α的值为__________．
解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α
sin α
＝
1
sin αcos α
＝8.
答案：8
5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.
解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－1
2＝49，∴|5a －b |＝7.
答案：7
6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
)的图象如图所示，则y 的表达式为
__________．
解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π
6
.
答案：y ＝2sin(2x ＋π
6
)
7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝__________.
解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝3
2
，b ·c ＝|b ||c |cos60°
＝2×3×1
2
＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4a ·b －
4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×3
2
＝11.
答案：11
8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x (x ∈R )的单调递增区间是__________． 解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π3－x )＝－sin(x －π
3
)．由
2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )，故原函数的单调递增区间是
[2k π＋56π，2k π＋11
6
π](k ∈Z )．
答案：[2k π＋56π，2k π＋11
6π](k ∈Z )
9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝23
3
，则cos A cos B ＝________.
解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin π3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝3
4.
答案：34
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.
答案：－8
11．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4
，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →
＝p －3q ，
D 为BC 的中点，则|AD →
|为__________．
解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝1
2
(5p ＋2q ＋p －3q )
＝1
2
(6p －q )， ∴|AD →
|＝ |AD ―→|2＝12
(6p －q )2
＝ 1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 36×(22)2－12×22×3×cos π4＋32 ＝152
. 答案：152
12．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；。