江苏省苏州陆慕高级中学2020学年高一数学上学期期中调研测试试题
江苏省2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x -- B. (1)x x - C. (1)x x -+ D. (1)x x +【答案】A【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项， 当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】 令g （x）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值． 【详解】令g （x）＝)lnx ，则g （-x）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力． 12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-. （2）因(1,2]M =-，令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+，而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈，所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为515442y x x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54nn a a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元，投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣， 则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明；（3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =， 此时131()log 1x f x x -=+，由101x x ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1x x -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a x f x x -=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-， 而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-，因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-， 所以()()()()121211111x x x x -+>+-， 所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增.（3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-，又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩， 解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x化简得，2ax+a+b=2x ，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立．即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得； （2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解.详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++. （2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+， 当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0．当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+； （3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(I)卷
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·连云港期中) 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）A . B。
B .C .3. （2分）下列函数中与函数y=﹣3|x|奇偶性相同且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A . y=﹣B . y=log2|x|C .D .4. （2分）已知函数f（x）=|lnx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·淄博模拟) 已知，，设，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .6. （2分）函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·怀仁期中) 若满足关系式，则的值为（）A . 1B .C .D .8. （2分）下列函数中，为奇函数的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·仙桃期末) 已知奇函数是上的减函数，，，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·淮南月考) 定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有 <1，且函数y＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是（）A . (－2,0)∪(0,2)B . (－∞，－2)∪(2，＋∞)C . (－∞，－2)∪(0,2)D . (－2,0)∪(2，＋∞)11. （2分）已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A . （0，1）B . （0，1]C . （1，+∞）D . [1，+∞）12. （2分）已知函数f（x十1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式f（1－x）<0的解集为（）A . （1，＋）B . （一， 0）C . （0，＋）D . （一，1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·建平期中) 设全集 2，3，4，5，，集合 4，，则________．14. （1分）计算：= ________．15. （1分） (2019高一上·宁波期中) 函数（且）的图象恒过定点，则点坐标为________；若点在幂函数的图象上，则 ________.16. （1分） (2018高一上·安吉期中) 函数．若存在，使得，则的最大值为________．三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分） (2018高一上·重庆期中) 已知集合，，．（1）若，求实数a的取值集合；（2）若，求实数a的取值范围．18. （5分）计算：（1）；（2）．19. （5分） (2020高一上·秭归期中) 已知a＞0，函数f(x)＝x2-ax+3， .（1）求f(x)在[1，3]上的最小值h(a)；（2）若对于任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得f(x1)＞g(x2)成立，求a的取值范围.20. （10分） (2019高一上·怀仁期中) 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之和为，记．（1）求的值；（2）证明：；（3）求的值．21. （5分） (2016高一上·烟台期中) 已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．22. （5分） (2019高一上·河南月考) 已知函数 .（1）若对任意，恒有 .①求a的值；②求在上的最小值 .（2）若在上是增函数，求a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(I)卷(模拟)
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）如图所示，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A .B .C .D .3. （2分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2x ，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是（）A . （-1，2）B . （-2，1）C .D .4. （2分） (2019高一上·安徽期中) 已知，f(m)=6，则m等于（）A . -B .C .D . -5. （2分） (2019高一上·长春期中) 若函数对任意的都有成立，且在上为减函数，则，的大小关系为（）A .B .C .D . 无法确定6. （2分） (2019高一上·临河月考) 已知，若，则（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2014·湖南理) 若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A . （﹣）B . （）C . （）D . （）8. （2分）下列大小关系正确的是（）A . <<B . <<C . <<D . <<9. （2分） (2016高一下·定州开学考) 下列函数f（x）中，满足“对任意x1 ， x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A . f（x）=﹣x+1B . f（x）=x2﹣1C . f（x）=2xD . f（x）=ln（﹣x）10. （2分） (2019高一上·大连月考) 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A .B .C .D .11. （2分）设则=（）A . 2B . 3C . 9D . 1812. （2分） (2019高一上·罗江月考) 已知函数f(x)的定义域是R，且f(－5)＝0，f(x)在(0，＋∞)内的任意两个实数都有，f(x－1)的图像关于点（1，0）对称，则不等式的解集是（）A . {x|－5<x<0或x>5}B . {x|x<－5或0<x<5}C . {x|x<－5或x>5}D . {x|－5<x<0或0<x<5}二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知a＞0且b＞0，函数g（x）=2x ，且g（a）•g（b）=2，则ab的最大值是________．14. （1分）(2017·上海模拟) 满足{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M有________个．15. （1分） (2016高一上·南京期中) 函数f（x）= +1在[﹣3，2]的最大值是________．16. （1分） (2020高二下·长春期中) 已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·启东期末) 设函数f（x）= + 的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．18. （10分） (2019高一上·重庆月考) 已知函数（是常数），且，．（1）求的值；（2）当时，判断的单调性并证明．19. （10分） (2020高二下·林州月考) 已知函数 .（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明：（，且）.20. （10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在定义域上是单调递减函数；（2）用g（a）表示函数y=f（x）的最小值，求g（a）的解析式．21. （10分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x﹣x2 ，（1）求f（x）的表达式；（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为，求a，b的值．22. （10分） (2020高一下·启东期末) 已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且.（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；（2）设函数，若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2020届江苏省苏州市陆慕高级中学高三上学期期中数学试题
绝密★启用前2020届江苏省苏州市陆慕高级中学高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =I __________.2．已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 3．已知向量(,2)a x =v，(2,1)b =-v ，且a b ⊥v v ，则实数x 的值是___________.4．函数y =___________. 5．等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 6．已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.7．“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.9．设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.10．已知函数()ln mf x x =-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________.11．已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 12．已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-u u u v u u u v，则cos C =_________.13．若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 14．已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x e a x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 二、解答题15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.16．已知向量a =r（cos x x ），b =r（cos x ，sin x ）． （1）若a r∥b r，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求x 的值；（2）若f （x ）a =r •b r，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求f （x ）的最大值及相应x 的值． 17．已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .…………○…………线…………○……考号：___________…………○…………线…………○……（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式； （2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ 19．已知函数()f x =（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程； （2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<L ，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t ab +是整数，求1a 的最小值. 21．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵M ；外…………○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※装内…………○…………装…………（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 22．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值.23．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证32a b c b c c a a b ++≥+++． 24．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立.（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设baλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.参考答案1．{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：Q 集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=I ，故答案为：{1,2}． 【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2．1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为−1． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．1 【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =r ，(2,1)b r =-，且a b ⊥r r，∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4．(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可． 【详解】 解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题． 5．31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q =， 则前5项和55213121S -==-，故答案为：31． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6．25【解析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果． 【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题． 7．充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系 8．12π【解析】 【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=，则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 9．(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<Q ，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x '+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11．9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值． 【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立．故答案为：9． 【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题． 12．13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB u u u r u u u r之间的关系即可解决． 【详解】 解：如图，2CE ED =u u u r u u u rQ ，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-u u u r u u u r得()()6DE DA CB CE -⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r，得(1CE ED CB -⋅=u u u r u u u r u u u r ），即1ED CB ⋅=u u u r u u u r ，即113CD CB ⋅=u u ur u u u r133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13．35-【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合已知得答案． 【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈Q112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为35-． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题． 14．)21,ln34e ⎡--⎣【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x e a x -=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围． 【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15．（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=Q ，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin 14B ==，因为sin()sin()sin A C B B π+=-==所以sin()A C + 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．（1）2x π=或3x π=（2）()f x 的最大值为32，此时6x π= 【解析】 【分析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解； （2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 【详解】解：（1）∵()a cosx =r，()b cosx sinx =r ，，a b r P r ，∴2cosxsinx x =，∴()0cosx sinx =，∴cos x ＝0或0sinx =，即cos x ＝0；或tan x = ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x π=或3x π=；（2）()f x a b =⋅rr2cos x =+1222cos x x +=1262sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， ∴()302f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 故f （x ）的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.17．（1）12n n a -=. （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩【解析】 【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b 的前n 项和为nT．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a Q ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =Q ，所以22(21)22q q +=+，解得2q =或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =， 所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++L L()3412222(7921)n n -=++++-+++-L L()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-，综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18．（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫（2）cos θ=【解析】 【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ， 由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OMAB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=，所以OC =OP =所以3OM OP PM OP BC =-=-=，在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，OG OC ==所以GN θ=，ON θ=，所以2GH GN θ==，3GF MN ON OM θ==-=-，所以8(4cos 1)sin 3S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3骣琪Î琪桫， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3骣琪Î琪桫， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫=⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题． 19．（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）由函数()f x=，可得()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）因为()f x=所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增； 在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减， 所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立， 所以()g x 在(0,1]递增， 又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤， 所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈， 所以()0g x '≤对(0,1]恒成立， 所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立， 所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x 11a=>，1(0,1)a ==，所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>， 所以()g x 在()1,1x 递增， 又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去， 综上：1a ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（1）证明见解析；（2）2；（3）120【解析】 【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． （3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值． 【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<L ， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =， 所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>L 恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭L L 211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈， 则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈，所以2(5)l s t --是偶数， 所以1201a ≥， 所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈， 综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．21．（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22．3πβ=.【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==，2=，k ∴= 因为02πβ<<，所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．证明见解析【解析】【分析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式．【详解】证明：由于a +b +c ＝1， 则()()()1111113b c c a a b a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b -+-+-+++=++=++-+++++++++， 对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式()()()21119b c c a a bb c c a a b ⎛⎫⎡⎤+++++++≥= ⎪⎣⎦+++⎝⎭， 所以11192b c c a a b ++≥+++， 从而93322a b c b c c a a b ++≥-=+++， 当且仅当13a b c ===时取等号， 【点睛】本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构，考查恒等变形能力．24．（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =u u u r ，1(0,1,1)A F =-u u u u r .因为1||||AE A F =u u u r u u u u r 11AE A F ⋅=-u u u r u u u u r，所以1111cos ,2||||AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 所以向量AE u u u r 和1A F u u u u r 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°； （2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u u u r ，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则10AE n ⋅=u u u r u r ，且10AF n ⋅=u r . 即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r 是平面AEF 的一个法向量. 同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u r 是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=u r u u r ，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州陆慕高级中学高三上学期期中考试数学试卷含答案
2.己知复数z满足子 2+－1：－ ＝i ( i为虚数单位），则复数z的实部为___A_一 3.己知向量 a = (x,2) , b = (2，一1），且 a l_b ，则实数x的值是一左一－
（ ．函数
… y
所以cos x(sin x - J3cos 半。， ．
2分
所以cosx=O或sinx -./3 cosx = 0 ，即cosx =0或tanx=./3, ..........................................4分
因为x
ElL｜ O，�π2 iII ，所以
x
π
＝一2 或X
必要”边一 填写．〉
8.己知函数 y = sin2x的图象上每个点向左平移伊（0＜ψ＜一π ）个单位长度得到函数
2
y = si卡匀的图象则州的」一
叫 9时 f
10.己知函数 f(x) = lnx 一 m 的极小值大于0 ，则实数m的取值范围为一_A一一· X
11.己知各项都为正数的等差数列｛αn ｝中，何＝3 ，则峭的最大值为＿＿＿...＿一
形状改造为矩形 EFGH ， 其中 E, F 在边 AB 上， G, H 在圆弧 CD 上． 设ζOGF ＝ θ，矩
形 EFGH的面积为 s.
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江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
江苏省苏州市陆慕高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}22{|60},|4A x x x B x x =--≤=> ，则A B =（ ）A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(]2,3D ．[2,3]{2}⋃-2．角α的终边经过点(3sin ,cos )αα-，则sin α的值为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =R ”是“1a ≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件5．函数()2()cos --=x x e e xf x x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()ln f x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线():C y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ）A ．-2B ．1e e -C ．e -D ．27．衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：kt V a e -=⋅.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为（ ） A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=则（ ） A ．()g x 的图象关于点(,0)6π对称B ．()g x 的图象的一条对称轴是6x π=C ．()g x 在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上递减 D ．()g x 在(,)33ππ-值域为(0,1) 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >D ．若67S S >则56S S >.11．已知函数()()lg 1,1f x x b a =->>且()()f a f b =，则（ ） A ．1<2a <B ．a b ab +=C ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>-- 12．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（ ） A ．001x x e=B ．0112x << C ．1k = D ．1k >三、填空题13．已知函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式()2()0x f x -<的解集为______.14．对任意正数x ，满足224yxy y x+=-，则正实数y 的最大值为______. 15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____.四、解答题17．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域； （2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.18．已知函数321()2()32a f x x x x a R =-+-∈. (1)当3a =时，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若对于任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a '<-成立，求实数a 的取值范围. 19．在①sinsin 2B Cc a C +=；②2cos cos co (s )A b C c B a +=；③()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在△ABC 中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若1)c b =，______. (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为3-b 的值.20．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.21．若函数()f x 在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为,,(0)k k k b a ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，则称[],a b 为()f x 的一个“k 倍倒域区间”.定义在[]4,4-上的奇函数()g x ，当[]0,4x ∈时()24g x x x =-+.（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“()8k k ≥ 倍倒域区间”，求k 的取值范围. 22．已知函数()sin xf x e ax x =+⋅.(1)求曲线():C y f x =在0x =处的切线方程； (2)当2a =-时， 设函数()()f xg x x=，若0x 是()g x 在(),0π-上的一个极值点，求证:0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点，且()00 2.g x <<参考答案1．C 【分析】求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】[2,3],(,2)(2,),(2,3]A B A B =-=-∞-⋃+∞⋂=故选：C 2．C 【分析】易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，从而得到cos 0α>，再利用三角函数的定义，即可得答案； 【详解】易知3sin 0α->，可得角α的终边在第一象限或第四象限，∴cos 0α>， 点(3sin ,cos )αα-的纵坐标大于0，∴角α的终边在第一象限，∴1sin 0sin 3αα=>⇒=，故选：C. 3．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 4．B 【分析】根据集合间的基本关系，即可得答案；【详解】()f x =R 0a ⇔≥，0a ≥推不出1a ≥，反之成立，故“()f x =R ”是“1a ≥”的必要不充分条件.故选：B. 5．A 【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，结合函数图象即可排除C ，D ，代入特殊值x π=，可排除B ，进而可得结果. 【详解】f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数， 排除C 和D ，因为f (π)<0，所以排除B . 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数性质判断函数图象问题，考查了逻辑推理能力，属于中档题目. 6．B 【分析】设切点坐标为(),ln t t ，利用导数求出切线l 的方程，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程，求出t 的值进而可求得直线l 的斜率. 【详解】因为()ln (0)f x x x =>，设切点坐标为(),ln (0)t t t >， ()1f x x'=， 直线l 的斜率为()1k f t t '==，所以直线l 的方程为()1ln y t x t t-=-， 将点()0,e -代入直线l 的方程得()1ln e t t t--=-，解得1e t e -=， 因此，直线l 的斜率为()1e kf t e -'==.故选：B. 7．C 【分析】由题意得5049ka V a e-==⋅，可令t 天后体积变为827a ，得到827kt a a V e -==⋅，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，可得5049ka V a e-==⋅，解得5049k e -=， 令t 天后体积变为827a ，即827kt a a V e -==⋅， 两式相除可得(50)23t ke--=，平方得(2100)49t k e --=， 所以210050t -=，解得75t =， 即经过75天后，体积变为原来的827a . 故选：C. 8．A 【分析】根据等比数列前n 项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为0n a >，112a =，2n S <，所以01q <<， 1(1)144342200111n n n n q q q q q S q q q---+--+=<⇒<⇒<---，因为01q <<， 所以有34034nq q q -+<⇒-+<，因为01q <<，所以01nq <<，因此要想34nq q -+<对于n *∈N 恒成立，只需33404q q -+≤⇒≤，而01q <<， 所以304q <≤. 故选：A 9．BC 【分析】首先根据求导公式得到()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质依次判断选项即可. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 3g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对选项A ，2sin 2062g ππ⎛⎫=-=-≠⎪⎝⎭，故A 错误； 对选项B ，2sin 262g ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以6x π=为()g x 图象的一条对称轴， 故B 正确.对选项C ，因为566x ππ-<<，所以232x πππ-<+<， 所以函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为增函数， 即()2sin 3g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭在5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭为减函数，故C 正确. 对选项D ，33x ππ-<<，所以2033x ππ<+<，所以0sin 13x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()20g x -≤<，故D 错误.故选：BC 10．BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 11．ABD 【分析】由()()f a f b =，可得lg(1)lg(1)a b -=-，而1b a >>，得11b a ->-，从而可得lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，其中lg(1)0a -<，从而可求出a 的取值范围和,a b 的关系式，然后对各选项进行判断 【详解】解：因为()()lg 1f x x =-且()()f a f b =， 所以lg(1)lg(1)a b -=-， 因为1b a >>，所以11b a ->-，所以lg(1)a -≠lg(1)b -，所以lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，其中lg(1)0a -<， 所以011a <-<，所以1<2a <，所以A 正确；因为lg(1)a -与lg(1)b -互为相反数，所以lg(1)lg(1)a b --=-， 所以(1)(1)1a b --=，化简得a b ab +=，所以B 正确；因为10,10b a ->->，所以11211a b +≥=--， 因为11b a ->-，所以取不到等号，所以11211a b +>--，所以D 正确；因为ab a b =+≥4ab ≥， 因为ab ，所以4ab >，所以C 错误，故选：ABD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 12．ABC 【分析】由()0f x =，可得出()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，0x >，利用导数得出函数()u x 在()0,∞+上为增函数，再令()ln g t t t =-，其中0t >，利用导数分析函数()g t 在()0,∞+上的单调性，可求得1k =，可判断ACD 选项的正误，再结合函数()u x 的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】由()0f x =，可得()ln 0xxe x x k -+-=，即()ln xxk xe xe=-，令()xu x xe =，其中0x >，则()()10xu x x e '=+>，所以，函数()xu x xe =在区间()0,∞+上单调递增，则()()00u x u >=，令()ln g t t t =-，其中0t >，()111t g t t t'-=-=. 当01t <<时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减； 当1t >时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增. 所以，()()min 11g t g ==.若函数()f x 在()0,∞+上有唯一零点0x ，则1k =. 所以，()0001x u x x e==，由于函数()u x 在()0,∞+上单调递增，1122u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()11u e =>，即()()0112u u x u ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0112x ∴<<，所以，ABC 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.13．((2,)+∞【分析】由()f x 为偶函数求出a 的值，然后解不等式即可 【详解】解：因为函数()22(2)f x ax a x a =+++为偶函数，所以()()f x f x -=，即2222()(2)()(2)a x a x a ax a x a -++-+=+++，化简得2(2)0a x +=，得2a =-， 所以()224f x x =-+，所以()2()0x f x -<，得2(2)(0x x x --<，即(2)(0x x x --+>，解得x <<或2x >，所以不等式的解集为((2,)+∞，故答案为：((2,)+∞14．12【分析】 先将224y xy y x +=-两边同时除以y ，得124x y x y +=-，再根据1x x+的范围得到不等式242y y-≥，解得y 的范围，即可求得y 的最大值 【详解】 解：224yxy y x+=-， 两边同除以y 得：124x y x y+=-，12x x+≥， 当且仅当“1x x=”时，即“1x =” 时取等号， 242y y∴-≥， 0y >，2210y y -∴+≤，解得：102y <≤， y ∴的最大值为12. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据224yxy y x+=-得到124x y x y +=-.15．40000 【分析】设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果. 【详解】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-， 所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000. 【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目. 16．2 【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 不等式()()0xx xe f e eax axf ax -+->恒成立，即()()xx xe f eeaxf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x -'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg eg ax >，利用单调性可得exax >，再分类参数求最值.17．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()f α=【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，())21sin 2sin 22sin cos 2cos 132f πααααααα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭2sin cos ααα=-===+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 18．（1）(),1-∞和()2,+∞；（2）()1,8-. 【分析】（1）求出函数的导数，令导数小于0，解出不等式即得单调递减区间；（2）可得不等式等价于220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，讨论对称轴的范围，令22x ax a -+在[)1,x ∈+∞的最小值大于0即可求出. 【详解】（1）当3a =时，3213()232f x x x x =-+-， 则()()()23212f x x x x x '=-+-=---， 令()0f x '<，解得1x <或 2x >，()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞；（2）()22'=-+-f x x ax ，则()2221x ax a -+-<-，即 220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，令()22g x x ax a =-+，对称轴为 2ax =，开口向上， 当12a≤，即2a ≤时，()g x 在 [)1,+∞单调递增， ∴()()min 1120g x g a a ==-+>，解得 1a >-，12a ∴-<≤；当12a >，即2a >时，()2min 20242a aa g x g a a ⎛⎫==-⨯+> ⎪⎝⎭，解得 08a <<， 28a ∴<<，综上，18a -<<. 【点睛】方法点睛：解决一元二次不等式在给定区间的恒成立问题的方法：构造二次函数，求出函数的对称轴和开口方向，讨论对称轴的范围，结合二次函数的单调性求出最值，然后列出不等式即可求解. 19．（1）4π；（2）2. 【分析】根据选项分别运用正弦定理或余弦定理化简得3A π=，再利用两角和差公式求得4Cπ；利用面积公式和已知条件化简得解 【详解】 选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= 0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02AA π<<∴≠ 1sin 223A A π∴=⇒=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴=选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+=2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴=0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒= 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)32ABCScb A b === 2b ∴=选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ，1cos 2A ∴=0,A π<<3A π∴=21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=(2) 21sin 1)324ABCScb A b === 2b ∴=【点睛】熟练运用正弦定理或余弦定理和面积公式是解题关键，属于基础题.20．（1）2n a n =，2nn b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.【分析】（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210nn n -+≤，令()()21nf n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集.【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，所以510a =.设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -==- 所以()112n a a n d n =+-=. 设等比数列{}nb 的公比是q ，因为2316b b a =所以2331432b q q ==，所以2q，所以112n n n b b q -==.（2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则132k k b b +=+所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =. 存在正整数5k =满足条件. ②()()112n n n a a S n n +==+所以()12nn n +≥，即()210nn n -+≤ 令()()21nf n n n =-+，因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦所以当4n ≥时，(){}f n 单调递增.又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -= 所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<因为()10f =，()44f =-，()52f =，所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >， 所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4. 【点睛】解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集.21．（1）()[)[]224,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）1⎡⎤⎣⎦；（3）256827k ≤<. 【分析】（1）当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈,求出()g x -，再根据()()g x g x -=-求出()g x 可得解；（2）设24a b ≤<≤，根据()g x 在[2,4]上单调递减，得228484a a ab b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得结果即可得解；（3）设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ，则04a b <<≤或40a b -≤<<， 当04a b <<≤时，根据()g x 在[0,4]上的最大值推出2a ≥，根据()g x 在[,]a b 为递减函数可得()k g a a =，()kg b b=，可得方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解，再构造函数利用导数可解得k 的范围，同理可求得当40a b -≤<<时，k 的范围. 【详解】（1）因为()g x 为定义在[4,4]-上的奇函数，所以当[4,0)x ∈-时，(0,4]x -∈，22()()4()4g x x x x x -=--+-=--， 因为()()g x g x -=-，所以22()()(4)4g x g x x x x x =--=---=+，所以()[)[]224,4,04,0,4x x x g x x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩. （2）因为()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”， 设24a b ≤<≤，因为()g x 在[2,4]上单调递减，所以228484a a a b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，整理得22(2)(24)0(2)(24)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩，解得2,1a b ==所以()g x 在[]2,4内的“8倍倒域区间”为1⎡⎤⎣⎦.（3）设()g x 在定义域内的k 倍倒域区间为[,]a b ，则函数值的取值区间为,k k b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(8)k ≥，所以04a b <<≤或40a b -≤<<，当04a b <<≤时，因为()g x 在[0,4]上的最大值为4，所以4ka≤，又8k ≥，所以2a ≥， 因为()g x 在[2,4]上递减，所以()g x 在[,]a b 上递减，所以()k g a a =，()kg b b=，即2244k a a a k b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以32324040a a k b b k ⎧-+=⎨-+=⎩， 所以方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解， 令32()4h x x x k =-+，[2,4]x ∈，则2()38h x x x '=-(38)x x =-，令()0h x '<，得823x ≤<，令()0h x '>，得843x <≤， 所以()h x 在8[2,)3上递减，在8(,4]3上递增， 因为(2)80h k =-≥，(4)8h k =≥，所以要使方程3240x x k -+=在区间[2,4]上有两个不等的实数解，只需8()03h <，即32884033k ⎛⎫⎛⎫-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25627k <，所以256827k ≤<. 同理可得当40a b -≤<<时，256827k ≤<. 综上所述：k 的取值范围是256827k ≤<.【点睛】关键点点睛：第（3）问中当04a b <<≤时，根据函数[0,4]上的最大值和函数在[,]a b 上函数值的取值区间推出2a ≥是解题关键. 22．（1）1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，计算'(0),(0)f f ，可求出切线方程；（2）代入2a =-，求出函数的导数，得到()g x 在0(,)x π-递增，在0(,0)x 递减，得到0000()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<，从而可证得结论【详解】（1）解：由题意得0(0)01f e =+=，由()sin xf x e ax x =+⋅，得'()sin cos x f x e a x ax x =++，则'(0)1f =， 所以所求切线方程为1y x =+，（2）证明：当2a =-时，()2sin xf x e x x =-，()2sin xe g x x x =-，(),0x π∈-， 则2'2(1)2cos ()x x e x x g x x --=，当[,0)2x π∈-时，'()0g x <， 所以()g x 在[,0)2π-上递减，令2()(1)2cos x h x x e x x =--，(,)2x ππ∈--，'2()4cos 2sin (4cos 2sin )x x h x xe x x x x x e x x x =-+=-+，当 (,)2x ππ∈--时，'()0h x <，所以()h x 在(,)2ππ--上递减， 因为221()20,()(1)022h h e e πππππππ-+-=->-=--<， 所以()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点，即'()g x 在(,)2ππ--上有唯一零点，设此零点为0x ， 当0(,)x x π∈-时，()0h x >，即'()0g x >，当0(,0)x x ∈时，()0h x <，即 '()0g x <， 又因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，'()0g x <， 所以()g x 在0(,)x π-递增，在0(,0)x 递减， 因为0(,)2x ππ∈--，所以202222(1)()()202e g x g e e πππππππ->-=-=>， 因为0(,)2x ππ∈--，所以00000()2sin 2sin 2x e g x x x x =-<-<， 所以0x 是函数()g x 在(),0π-上的唯一极大值点，且()00 2.g x <<【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数的单调性、极值，考查利用导数证明不等式，解此题的关键是构造函数2()(1)2cos x h x x e x x =--，(,)2x ππ∈--，然后利用导数判断()h x 在(,)2ππ--上有唯一零点，即'()g x 在(,)2ππ--上有唯一零点，再利用了函数的单调性求得函数的最值，考查了数学转化思想。
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(I)卷(新版)
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·河南模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·会宁期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一上·包头月考) 已知函数为奇函数，且当x > 0时，＝x2＋，则等于（）A . －2B . 0C . 1D . 24. （2分） (2018高一上·台州月考) 函数（）．A . 是奇函数且在区间上单调递增B . 是奇函数且在区间上单调递减C . 是偶函数且在区间上单调递增D . 是偶函数且在区间上单调递减5. （2分） (2016高一上·昆明期中) 设，则（）A . b＜a＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . a＜b＜c6. （2分） (2016高一上·武邑期中) 定义域为R的函数f（x）= （x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ，则f（x1+x2+x2+x4+x5）等于（）A . 0B . 21g2C . 31g2D . 17. （2分） (2019高一上·龙江期中) 如果函数且的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有（）A . 且B . 且C . 且D . 且8. （2分）(2020·天津) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·宜丰月考) 一元二次函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到（）A . 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B . 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C . 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D . 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位10. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 函数y= 的值域是（）A . （﹣∞，3）∪（3，+∞）B . （﹣∞，2）∪（2，+∞）C . RD . （﹣∞，2）∪（3，+∞）11. （2分）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），则其腰长x的取值范围是（）A . [3，5]B . （3，5）C . （2，6]D . [2，6）12. （2分） (2017高一上·中山月考) 对于函数的定义域中任意的，有如下结论：① ；② ；③ .当时，上述结论中正确的有（）个．A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·菏泽期末) 若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则 + 的最小值是________．14. （1分）(2018·许昌模拟) 已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是________．15. （1分）已知点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（﹣2）=________ ．16. （1分）若函数的最小值为5，则实数________ 。
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(II)卷
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·吉林期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·玉溪期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·济南期中) 设，，，则（）A . y3＞y1＞y2B . y2＞y1＞y3C . y1＞y2＞y3D . y1＞y3＞y24. （2分） (2016高二下·大庆期末) 设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），则下列关系式中一定成立的是（）A . 3c＞3bB . 3b＞3aC . 3c+3a＞2D . 3c+3a＜25. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B . 当α=0时，函数的图象是一条直线C . 若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大D . 幂函数，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小6. （2分）若函数f(x)为奇函数，且当时，则的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A .B . f（x）=x2+1C . f（x）=x3D . f（x）=|x|8. （2分）函数f（x）=lgx﹣sinx在（0，+∞）的零点个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2018高一上·宜宾月考) 若函数在上是增函数,则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 至少1个11. （2分） (2019高三上·长春月考) 设 , , ,则的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·包头期中) 已知，则的表达式是________．14. （1分）已知函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2（x2+x+2）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=________．15. （1分） (2018高一上·佛山期末) 计算： ________．16. （1分） (2019高二上·丽水月考) 函数为偶函数，且在上单调递增，则 ________；不等式的解集为________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （5分）(2017高一上·沛县月考) 已知集合，求（1）（2）18. （10分） (2018高一上·华安期末) 求值：lg 8 + lg 125 − ( 1 7 ) − 2 + 16 3 4 + ( 3 − 1 ) 0（1）（2）19. （15分） (2018高一上·衢州期中) 设函数（且）是定义域为的奇函数．（1）求实数的值；（2）若 ,判断函数的单调性，并简要说明理由；（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.20. （10分） (2017高三上·邳州开学考) 已知函数f（x）= + ．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）= •[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．21. （15分） (2019高一上·石家庄月考) 已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．（1）求证：对任意x1 ，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；（2）若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．22. （15分） (2019高一上·三台月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
江苏省苏州市2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷
江苏省苏州市2020—2021学年度第一学期期中考试高三数学2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}260x x x --≤，B ＝{}24x x >，则A B ＝A ．(2，3)B ．[2，3]C ．(2，3]D ．[2，3] {﹣2}2．角α的终边经过点(3﹣sin α，cos α)，则sin α的值为A ．15B ．14C ．13D ．343．等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列的前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2204．函数“()f x =的定义域为R”是“a ≥1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2(e e )cos ()x x x f x x --=的部分图像大致是6．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点(0，﹣e)，且与曲线C ：()y f x =相切，则直线l 的斜率为A ．﹣2B ．2C ．﹣eD ．e 7．衣棚里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：e kt V a -=⋅．已知新丸经过50天后，体积变为49a ．若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为A ．125B ．100C ．75D ．508．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，112a =，2n S <，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是A ．(0，34]B ．(0，23]C ．(0，34)D ．(0，23)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则A ．()g x 的图像关于点(2，0)对称B ．()g x 的图像的一条对称轴是x ＝6πC ．()g x 在(56π-，6π)上递减D ．()g x 在(3π-，3π)值域为(0，1)10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差d ≠0，则A ．若59S S >，则150S >B ．若59S S =，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >，则56S S >11．已知函数()lg(1)f x x =-，1b a >>且()()f a f b =，则A ．1＜a ＜2B ．a ＋b ＝abC ．ab 的最小值为1D ．11211a b +>--12．函数ln ()e 1x x k f x x +=--在(0，+∞)上有唯一零点0x ，则A ．00e 1x x =B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数22()(2)f x ax a x a =+++为偶函数，则不等式(2)()0x f x -<的解集为．14．对任意正数x ，满足224y xy y x +=-，则正实数y 的最大值为．15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款1000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为．（取1.211＝7.5，1.212＝9）16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当x ≥0时，()1xf x '>()f x -．若对任意x ∈R ，不等式e (e )e ()0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x x ωϕ=-(ω＞0，ϕ≤2π)的最小正周期为π．（1）求ω的值及()(6g f πϕ=的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=，求()f α的值．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x x =-+-(a ∈R)．（1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若对于任意x ∈[1，+∞)都有()2(1)f x a <-成立，求实数a 的取值范围．在①c sin B C 2+＝a sinC ，②2cosA(b cosC ＋c cosB)＝a ，③(sinB ﹣sinC)2＝sin 2A ﹣sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝(1)b ，．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3-，求b 的值．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．①是否存在正整数k ，使得1k T +=32k k T b ++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥．若函数()f x 在x ∈[a ，b ]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，k a](k ＞0)，则称[a ，b ]为()f x 的一个“k 倍倒域区间”．定义在[﹣4，4]上的奇函数()g x ，当x ∈[0，4]时，2()g x x =-4x +．（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在[2，4]内的“8倍倒域区间”；（3）若()g x 在定义域内存在“k (k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x ax x =+⋅．（1）求曲线C ：()y f x =在x ＝0处的切线方程；（2）当a ＝﹣2时，设函数()()f x g x x=，若0x 是()g x 在(﹣π，0)上的一个极值点，求证：0x 是函数()g x 在(﹣π，0)上的唯一极大值点，且0＜0()g x ＜2．。
江苏省2019-2020学年度第一学期高三期中质量调研数学试卷
第一学期高三期中质量调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分{}{}{}_____,0,12,0,1,0,11=-=⋂=-=a B A a B A 则，若，、已知集合_______--8,2=+k b a k b k a b a 共线，则与量为非零不共线向量，向、已知向量_______02,32的取值范围是”是假命题，则、命题“m m x x R x ≤++∈∃()_______)21(4342的值域为、函数-+-=x x x f()_______21552的解集是、不等式≥-+x x ____002205y 6的最小值为，那么目标函数满足约束条件，、已知实数y x z y y x y x x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+()()条件恒成立”的对于”是“、“______,2117+∞∈>+>z x x a a()()()()______,412822的值为为直角三角形，则两点，若三角形相交于的圆：与圆心为中，设直线、在平面直角坐标系k ABC B A k y x C R k x k y xoy =-+-∈+=()()()()()()______0,0220cos 5,19=<=>+===f f x x f x x f x x 则处的导数在两个相邻的极值点，且是函数、已知ωϕω()()()_______6292sin 220410=+⎪⎭⎫⎝⎛--=<<f f xx x f x R x f 则时，的奇函数，当上且周期为是定义在、已知函数π_____112,7log 3log 2,1112的最小值为则且、若-+=+>>b a a b b a b a()()_______,//,ln 221,cos 3sin 122121若切线为处在点函数处的切线为在点、一种函数l l l B x x x g l A x x x f +=-=______,31tan 90,,,12113=⋅=∠︒=∠==APB CPB C B A P BC AB AC B 则，满足所在直线外非一点，且是点上，在线段、点()()()()_____k ,0-),(34,0,0,221432的取值范围是则若存在唯一的整数使得、设函数<+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=xx x g x f R k x k x g x x x x x f二、解答题：本大题共6小题，共90分()()()422sin 121tan ,71tan 15πβααβαβαα=+=+=、求证的值；、求都是锐角，，，且、已知()()().,2sin 2sin sin 2,31,3,2,,,,16的面积求、；，求的面积等于、若，已知所对应的边分别是中，角、在ABC A A B C b a ABC C c c b a C B A ABC ∆=-+∆==∆π()()()()()()()()().,02-3,21142300331722112221的方程求直线截得的弦长为定值，被圆直线，且对任意，过点、若直线的值；求是存在公共点的充要条件与圆、若圆的方程；、求圆的方程为，且圆，相切于点轴上，且与直线的圆心在中，已知圆、在平面直角坐标系l C l R a l m n n a m C C C R a a y a x C y x x C xoy ∈-≤≤∈=-+--=-+()()()()的长。
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷(I)卷(精编)
江苏省2020版高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·齐齐哈尔月考) 则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·鞍山模拟) 设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A . P⊆QB . Q⊆PC . P⊆∁RQD . Q⊆∁RP3. （2分） (2019高一上·珠海期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）已知方程的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线．一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）函数f（x）= ，则集合{x|f[f （x）]=0}中元素的个数有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个6. （2分） (2018高一上·湖南月考) 已知函数，设，，，，则（）A .B .C .D . ，，的大小关系不能确定7. （2分） (2018高三上·荆门月考) 设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A . 10B . 8C . 16D . 208. （2分）若，则的定义域为（）A .B .C .D .9. （2分）化简的结果为（）A . 5B .C . －D . －510. （2分）已知集合A={y|y=}，B={y|y=（）x ， x＞1}，则A∩B=（）A . （0，）B . （,1）C . （0，1）D . ∅二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高一上·铜仁期中) 已知集合A={1，3，2m+3}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=________．12. （1分） (2016高二下·普宁期中) 已知函数f（x）=ax3+bsinx+1且f（1）=5，则f（﹣1）=________．13. （1分） (2016高三上·连城期中) 设g（x）= ，则g（g（））=________．14. （1分） (2016高二下·宁海期中) 已知 C =36，则n=________；已知6p=2，log65=q，则=________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2016高二上·船营期中) 已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．16. （5分）函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M，x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的值域．17. （10分） (2019高一上·上饶月考) 已知函数 .（1）判断在上的单调性并加以证明；（2）求在的最大值、最小值.18. （15分） (2018高一上·南京期中) 已知函数 .（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、。
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江苏省苏州陆慕高级中学2020学年高一数学上学期期中调研测试试第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共 12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的• 1.已知集合3，5, 7,，, 3，6, 9， ，则.:A.B. - ■C. iD.:-7. 若函数y a x b 1（a0,且a 1）的图像经过第二、三、四象限，则一定有（）A. 0 a 1,且b 0B. a 1,且b 0C. 0 a 1,且b 0D. a 1,且b 0 8. 函数卜隐=严-曲的零点所在的一个区间是；A . .B. C. ■. D..9. 已知日=怡&3门，（扌屮=5,，贝y a ，b ，c 的大小关系为|（）A.「 h ・.1B.<<C. ：jD.A. 0B. 1C. 2D. 33.已知集合A {0,1, a 2}，B {1,0,2a3}， 若A B ，则a 等于(A . -1 或 3B .0或 -1C.3D. -14.函数f(x) 3 xIog 2(x - 1）的定义域为（ ).A . [ 1,3)B .(1,3]C . (1,3)D .[1,3]2x1,x 15.设函数f，则 f(f(10))()lg x,x 1A . lg101B.2C.1D. 02.下列集合关系式：（1）0 （ 2） 0 （ 3） 0 N 中，正确的个数是（） 6.下列函数为奇函数，且在（，0）上单调递减的函数是（）.A . f(x) x 3xB . f(x) 1 Cf(x) x 2 D . f(x) x范围是( 二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.1213.已知集合A {x|-5 x115.已知定义域为 R 的奇函数f (x)在(0, +8)上是增函数，且 f()0，则不等式2f (log 4 x) 0的解集是 ________ .16. 给出下列五个命题：①函数y f(x), X R 的图像与直线x a 可能有两个不同的交点②函数y log 2 x 2与函数y 2log 2 x 是相等函数③对于指数函数y 2x 与幕函数y x 2,存在x °,当x x °时,有2x x 2成立；④对于函数y f (x), x [a, b],若有f(a) f (b) 0 ,则f (x)在(a,b)内有零点;,则实数 a 的取值1,xA.1,3B. (0,3)C.0,2D. 0,1R, n，规定：Hx(x 1)(x 2)(x n1),H-4 (4)( 3)( 2)(1) 24，则5f (x) xHx2的奇偶性为(A . C. 既是奇 是奇函数不是偶函数 函数又是偶函数B D第II.是偶函数不是奇函数 .既不是奇函数又不是偶函数 卷(非选择题共90分)N,x Z}用列举法表示集合 A =14.幕函数f (x)的图像过点(3,)，则 f(8)_10.函数f (x) xln x 的大致图象是()⑤已知&是方程x lgx 5的根，X2是方程x 10x 5的根，则％X2 5.log 213 g 3-log 30.16 log 92519. (本小题满分12分)f(x)是定义在R 上的奇函数,且x 0时,f(x) 3" 2.(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 画出函数y f (x)的图象，并写出函数y f (x)单调递增区间及值域20. (本小题满分12 分) 已知函数f (x) (1)求证：函数f (x)在区间(-1,+ g )上是单调递增⑵设g(x) f (2x ),若g(x 1)g(3 2x) 0,求实数x 的取值集合21. (本小题满分12分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况 的调查发现：该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格kP(x)(元)与时间x (天)的函数关系近似满足 P(x) 1( k 为正常数)x量Q(x)(个)与时间x (天)部分数据如下表所示:其中正确的序号是三、解答题：本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)设全集 U R ,集合 A {x| 1 x 3}, B {x|2x 4x2}. (1)求 AI B ;⑵ 若集合C {x|2x a 0},满足BUC C ,求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)化简、计算10.008 310.25⑵g2已知y已知第10天该商品的日销售收入为121元(1)求k的值；⑵给出以下四种函数模型：① Q(x) ax b,② Q(x) a| x 25| b ,③Q(x) a b x,④ Q(x) a log b x.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；⑶求该商品的日销售收入 f (x)(1 x 30, x N )(元)的最小值•22. (本小题满分12分)已知函数f (x) ax2 2x 2, a R.1(1)若a-，求函数f(x)的零点；3(2)设函数F(x) |f(x)|，若对任意X1,X2 [1,2],为X2，满足F(x1)F (x2)。
，求实数a的取值范围.x-i x22020学年第 学期高一年级期中调研测试231-5.DCCBB, 6-10.DACBA , 11-12.DBB {x|2 x 3；• C {x|xa },••• B C C, ••• B C ,• a 2 ,解得 a 4. 2 18.(本小题满分12 分)0, f( x) 3 x2f (x ),即根据y f(x)的图象知：y f(x)的单调递增区间为(，0),(0,)数学参考答案解：(1)原式= 3 0.20.5 4 ⑵原式1 log 3 2 4 loglog 3 5 512分19.(本小题满分 12分)解：(1).因为yf (x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0) 0f(x) 2 3x3x3x 所以f(x)0,x 2,x 0(2).函数y1_x Jf (x)的图象如下图所示13.{-1 , -7,1,2,3,4, } 14.15. ( ', 1 )U( 2,+s) 16.③⑤17. (本小题满分10分) 解: (1). ••• A x| 1 x{x|2x 4x2} {x|x 2}.(2). 由集合C 中的不等式得10分10分所以F (x) | f (x) |在x ［1,2］单调递增;7分20.(1)证明T f(x)二任取 ％ ,x 2 ( 1,),且 x 1x 2,2x 1 2 x 1 1 2xf(2)有，任取 x R ，g(-x)厂•函数g(x)是奇函数• ..... 8分则 g(x 1) g(3 2x) g(2x 3) .................. 10 分 又函数g(x)是单调递增的 • x 1 2x3，即 x 2.•实数x 的取值集合是{x|x 2} . ............... 12分 21.解:(1)依题意知第10天该商品的日销售收入为110=121,解:F (10) • Q10) I ⑴丿k=1. ............ 2 分⑵由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x) a|x 25| b. ................... 4 分从表中任意取两组值代入可求得Q(x) 125 |x 25|(1 x 30,x N )……5分值域为{y| 3 y 2或y 0或2 y 3} 12分则 f (x 1)f (X 2)2 x-i 12 x 2 12 22( x 1 x 2)x 2 1x-i 1 (x 1 1)( x 21)T x-i 1 0, x 2 1 0,为 X 2 0.f (xjf (X 2) 0. •••函数 f (x)在区间(1,)上是单调递增⑵由题g(x)g(x)HOO+xJ<x<25I xeN +F⑶ 由⑵ 知 Q(x) 125 |x 251 ［「U'SV 用Vx+^+1014<x<25,xeN +P^-x+ 149r 25 <x<30,xEx 100在区间［1,10］上是单调递减的，在区间［10,25)上是单调递增 x所以当x 10时，f (X )取得最小值，且f(x)min =121； ................. 9分150当25 x 30时，yx 是单调递减的，所以当x 30时，f(x)取得最小值，且 xf(x)min =124. .............. 11 分 综上所述，当x 10时，f (X )取得最小值，且f (x)min =121 .故该商品的日销售收入f (x)的最小值为121元 ........ 12分解: (1 )令〔X 2 2x 2 0得 X 1 3 . 3,X 2 3 “3 ..................... 2 分3则函数f (x)的零点是33. ............ 3分(2)由题意得F(x) |f(x)|在x ［1,2］单调递增，2咒二^切① 当a 0时，f (x) ax 2x 2，对称轴为 J又因为f(0)0且f (x)在x ［1,2］单调递减，且f(1) a 0,所以F(x) | f (x) |在x ［1,2］单调递增. ...... 5分② 当 a 0 时，f (x) 2x 2, f (x)在 x ［1,2］单调递减，且 f (1)0 ,••• f(x)P(x) Q(x)当1 x 25时，y所以F (x) | f (x) |在x ［1,2］单调递增;7分所以f (x)在x [1,2]单调递减，要使 F(x)f(1) a 0不符合，舍去;x [1,2]不单调.⑤当a 1时，f(x) ax 2 2x 2，对称轴为 所以f(x)在x [1,2]单调递增，f(1) a 0要使F(x) |f(x)|在x [1,2]单调递增•故a 1 ; .............. 11分 综上所述，a 的取值范围为(-0] U [1 , +R ) ............................. 12分③当2ax 2x 2，对称轴为④当产V时，f (x) ax 2 2x 2，对称轴为，可知 F(x) | f (x) |在|f(x)|在x [1,2]单调递增.。