高考数学8类热点函数专项训练2 三次函数

专题二 三次函数

一、选择题

1．函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -=（ ） A ．2 B ．4 C ．20 D ．18

【答案】C

【解析】对函数进行求导得到：2

()33f x x '=-， 令()0f x '=，解得：11x =-，21x =，

当01x ≤<时，()0f x '<；当13≤x ≤时，()0f x '≥，

所以函数()f x 在[)0,1上单调递减，函数()f x 在[]1,3上单调递增， 由于(0)f a =-，(1)2f a =--，(3)18f a =-，

所以最大值=18M a -，最小值2N a =--，故20M N -=， 故答案选C

2.函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示,则下列结论成立的是（ ）. A ．0,0,0,0a b c d ><>> B ．0,0,0,0a b c d ><<> C ．0,0,0,0a b c d <<>> D ．0,0,0,0a b c d >>><

【答案】A

【解析】令0x =,可得0d >.又()232f x ax bx c '=++,由函数()f x 图像的单调性,可知0a >.由图可知

1x ,2x 是()0f x '=的两根,且10x >,20x >.所以1212

20303b x x a

c x x a ⎧

+=->⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩

,得00b c <⎧⎨>⎩.故选A.

3．若函数()3

2

233f x x ax bx b =+-+在()0,1上存在极小值点，则实数b 的取值范围是（ ）

A ．(]1,0-

B ．()1,-+∞

C ．[

)0,+∞ D ．()1,+∞ 【答案】B

【解析】当203-<时， ()f x 在()0,1上存在极小值，则()()10

{000,0

f f b ><⇒>∆>''当2

013

a <-<时，即

302a -<<时， ()101{1,30

f b >⇒-<<∆>'当2

13a ->时， ()f x 无极小值.综上可知实数b 的取值范围是()1,.-+∞

4．设函数()()3

2

0f x ax bx cx d a =+++≠，若()()()02233441f f f <==<，则()()15f f +的取

值范围是( ) A ．()0,1 B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

【答案】A

【解析】令()()()()()234xf x t a x x x x m -=----，其中01t <<， 取0x =可得24.t ma ①-=

取1x =可得()()161.f t m a -=--② 取5x =可得()()5565.f t m a -=-③

由②③可得：()()()()515630165f f t m a m a ⎡⎤+-=--+-⎣⎦，④ 将①代入④可得：()()()150,1f f t +=∈．故选A ．

5．函数在内既有极大值又有极小值，则

的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】因为函数在

内既有极大值又有极小值，所以导函数

在

内有两个不同的零点，

所以

因此

因为

又因为

所以故选D.

6． 已知3)2(3

123

++++=

x b bx x y 是R 上的单调增函数,则b 的取值范围是 （ ） A. 12b b <->或 B. 12b b ≤-≥或 C. 21<<-b D. 21≤≤-b 【答案】D 【解析】3

2`21(2)3,2203

y x bx b x y x bx b =

++++⇒=+++≥R 上单调增函数恒成立,所以2(2)4(2)0b b ∆=-+≤⇒12b -≤≤，故选D.

7.若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3

B ．15(,]34

C ．13(,]32

D ．53(,]42

【答案】B

【解析】设32

()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，

设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2

()36g x x x '=-，

所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数， 在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1. 而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图，

要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，

只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)

g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩

，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得15

34a <≤，故选B .

8．当时，不等式

恒成立，则实数的范围（ ）． A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】当

时，不等式

恒成立，

当时，不等式恒成立可转化为：

则

记，则恒成立，

所以当时，，所以

当时，不等式恒成立可转化为：

则，当

时，

所以

，综上所述：

，故选B.

9．已知函数

，当

时，曲线

在点

与点处

的切线总是平行时，则由点

可作曲线

的切线的条数为（ ）