弹塑性力学习题解答讲课教案

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弹塑性力学习题解答

塑性:

弹性:

2-16设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。

证明: (1)将应力分量q y x -==σσ,0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy y

y x y yx

x

x f f τ

στσ (a ) 0)1())((22

22=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂)(y f x f y x y x y x μσσ (b )

显然(a )、(b )是满足的

(2)对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值,斜边上的方向余弦

),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ,0=xy τ代入平面问题的应力边界条

件的表达式

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=+)()()

()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ (c ) 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ,q y -=σ。

对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况,首先,将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程,得形变分量q E x )1(-=

με,q E

y )

1(-=με,0=xy γ (d ) 然后,将(d )的变形分量代入几何方程,得

q E

x u )

1(-=∂∂μ,q E y v )1(-=∂∂μ,0=∂∂+∂∂y u x v (e ) 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-=

μ,)()

1(2x f qy E

v +-=μ (f ) 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式(f )代入(e )的第三式得 dx

x df dy y df )

()(21=-

等式左边只是y 的函数,而等式右边只是x 的函数。因此,只可能两边都等于同一个常数ω,于是有

ω-=dy y df )(1,ω=dx

x df )(2,积分以后得01)(u y y f +-=ω,02)(v x x f +=ω

代入(f )得位移分量

⎪⎩

⎪⎨⎧

++-=+--=v

x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得。

从式(g )可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件,因而,应力分量是正确的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱,在自由端受有集中荷载F ,体力可以不计。试根据材料力学公式,写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式,并取挤压应力

0=y σ,然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明,这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程为

Fx x M -=)(,横截面对z 轴(中性轴)的惯性矩为12

3

h I z =,根据材料力学公式,弯应力xy h

F

I y x M z x 312)(-==

σ;该截面上的剪力为F x F s -=)(,剪应力22

223()346()()24

s xy F x y F h I y h h h τ=-=--;并取挤压应力0=y σ

(2)经验证,上述表达式能满足平衡微分方程

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0

0y x xy y y x y

yx

x

x f f τστσ 也能满足相容方程0)1())((22

22=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂)(y f x f y

x y x y x μσσ

再考察边界条件:在2/h y ±=的主要边界上,应精确满足应力边界条件:

0)(2/==h y y σ,0)(2/==h y yx τ; 0)(2/=-=h y y σ,0)(2/=-=h y yx τ。

能满足

在次要边界x=0上,列出三个积分的应力边界条件:

/2

/2/2

0/2/20/2()0

()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩

⎰⎰⎰ 满足应力边界条件。

在次要边界l x =上,列出三个积分的应力边界条件:

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧-=-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=--=-F

y h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(012)(2

232/2/02/2/23

2/2/2

/2/32/2/2

/2/τσσ 满足应力边界条件

因此,他们是该问题的解答。

3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为ρ,试用纯三次式的应力函数求解。

解(1)相容条件:

设3223Dy Cxy y Bx Ax +++=Φ (a)

不论上述中的系数取何值,纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 (2)体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式

Dy Cx x f y

x x 6222+=-∂Φ

∂=σ (b)

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