证明n元均值不等式

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证明n 元均值不等式

1212n n n a a a n a a a +++≥证明：

首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。

显然，12122a a a a +≥，

又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥⋅， 同理可以证明得到n 2也成立。

再证明，当k k+1n 22∈（，）

也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k

k 21212

222a a a a a a ++

+≥，

k+1k+1k+1k+121212

222a a a a a a ++

+≥

则k k k 121222+12+i =++

+n a a a a a a a a +++++

+（），

k k k k k k k k k k k k k k k k+1212

22k 2+i 1212

22+12+i

1222+1k 2+i 12

22+1

2++1

2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++

⋅+≥⊗

（则（）（））

k k k k k k k k k 2+i 12

22+1

2+i k 2+i 12

22+1

2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。

k k k k k k k k k k k k 2+i 12

22+12+i

k 2+i 1212

22+12+i 22+1

2+i

2-i ++

+2+i a a a a a a a a a a a a a a a ⊗++

+≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（）

1212

n n n a a a n a a a ++

+≥即：得证。