第二章系统的数学模型2011第5讲
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第2章：系统的数学模型
第二章
系统的数学模型
数学模型定义：
• 描述控制系统在动态过程中各变量之间的
数学表达式称为数学模型。
输入
系统
输出
2 d x ( t ) dx ( t ) dx ( t ) 0 0 i 3 2 2 4 x ( t ) 2 x ( t ) 0 i dt dt dt
数学模型的表现形式: • 时间域：微分方程组、差分方程、状态方程 • 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
例 c
k1
2 d x 0 m 2 F F F k 1 c k 2 dt
xi
dx dx i 0 F c ( ) c dt dt
m
k2
F k ( x x ) k 1 1 i 0
x0
F k ( x 0 ) k 2 2 0
d x dx dx 0 i m c ( k k ) x c k x 1 2 0 1 i dt dt dt
0 y0 y=f(x)
A
y
y’
x
x0 非线性关系线性化
x
3、系统线性化微分方程的建立
（1）步骤 1）确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；
（2）实例：液位系统的线性化 节流阀
d AH ( t ) H ( t ) q t ) i( dt
人为地对系统施加某种测试信号，记录其 输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。 这种方法也称为系统辨识。
2、实验法
•
合理的数学模型:
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式， 但又能正确地反映所描述系统的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽 略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系 进行线性化，建立一个比较纯粹的近似数学模型。
系统的数学模型
数学模型定义：
• 描述控制系统在动态过程中各变量之间的
数学表达式称为数学模型。
输入
系统
输出
2 d x ( t ) dx ( t ) dx ( t ) 0 0 i 3 2 2 4 x ( t ) 2 x ( t ) 0 i dt dt dt
数学模型的表现形式: • 时间域：微分方程组、差分方程、状态方程 • 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
例 c
k1
2 d x 0 m 2 F F F k 1 c k 2 dt
xi
dx dx i 0 F c ( ) c dt dt
m
k2
F k ( x x ) k 1 1 i 0
x0
F k ( x 0 ) k 2 2 0
d x dx dx 0 i m c ( k k ) x c k x 1 2 0 1 i dt dt dt
0 y0 y=f(x)
A
y
y’
x
x0 非线性关系线性化
x
3、系统线性化微分方程的建立
（1）步骤 1）确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；
（2）实例：液位系统的线性化 节流阀
d AH ( t ) H ( t ) q t ) i( dt
人为地对系统施加某种测试信号，记录其 输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。 这种方法也称为系统辨识。
2、实验法
•
合理的数学模型:
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式， 但又能正确地反映所描述系统的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽 略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系 进行线性化，建立一个比较纯粹的近似数学模型。
第二章 系统的数学模型
阶跃函数表示为：
0 t 0 1(t ) 1 t 0
出现在
t t 0 时刻的阶跃函数，表示为：
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
t0
2.脉冲函数 数学表达式为:
0 t0 A r (t ) 0t t 0
斜坡函数从t =0时刻开始， 随时间以恒定速度增加。如图 所示。A=1时斜坡函数称作单 位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对 时间的积分，反之，阶跃函数 等于斜坡函数对时间的导数。
4.（单位）加速度函数
它的数学表达式为:
1 0 r (t ) 2 At 2 t0 t0
曲线如图所示。
3、微分定理：
若 Lf（t） F(s) ，则有
df (t ) L sF ( s) f (0) dt d 2f (t ) 2 L 2 s F ( s) sf (0) f ' (0) dt
同理
d 3f (t ) 3 L 3 s F (s) s 2 f (0) sf ' (0) f ' ' (0) dt d n f (t ) n L n s F ( s) s n1 f (0) s n2 f ' (0) ... f ( n1) (0) dt
常采用的典型输入信号有： 1.阶跃函数
它表示一个在t=0时刻出现的，幅值为A的阶跃变化函 数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小， 流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。
它的数学表达式为：
0 t 0 r (t ) A t 0
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位
0 t 0 1(t ) 1 t 0
出现在
t t 0 时刻的阶跃函数，表示为：
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
t0
2.脉冲函数 数学表达式为:
0 t0 A r (t ) 0t t 0
斜坡函数从t =0时刻开始， 随时间以恒定速度增加。如图 所示。A=1时斜坡函数称作单 位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对 时间的积分，反之，阶跃函数 等于斜坡函数对时间的导数。
4.（单位）加速度函数
它的数学表达式为:
1 0 r (t ) 2 At 2 t0 t0
曲线如图所示。
3、微分定理：
若 Lf（t） F(s) ，则有
df (t ) L sF ( s) f (0) dt d 2f (t ) 2 L 2 s F ( s) sf (0) f ' (0) dt
同理
d 3f (t ) 3 L 3 s F (s) s 2 f (0) sf ' (0) f ' ' (0) dt d n f (t ) n L n s F ( s) s n1 f (0) s n2 f ' (0) ... f ( n1) (0) dt
常采用的典型输入信号有： 1.阶跃函数
它表示一个在t=0时刻出现的，幅值为A的阶跃变化函 数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小， 流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。
它的数学表达式为：
0 t 0 r (t ) A t 0
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位
系统的数学模型(2)
主要内容 第一节 控制系统的微分方程 第二节 传递函数 第三节 系统的动态结构图 第四节 闭环控制系统的传递函数 第五节 相似系统
1
研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解 系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、 参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型。
图3-1-1 弹簧-质量 -阻尼器系统
5
阻尼器 (1)根据牛顿第二定律，有弹：簧弹力
阻力
f (t) k
f
(t)
f1(t)
f2 (t)
M
d2 y dt 2
M
B yt
(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：
f1 (t )
B
dy (t ) dt
f2 (t) ky(t) B为阻尼比
K为弹性系数
6
(3) 系统的微分方程式 :
18
第二节 传递函数
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法－－频率法和根 轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一 种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响， 十分方便。
19
第二节 传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、由微分方程直接求传递函数 四、典型环节及其传递函数
电磁转矩(牛顿·米)
转动部分粘性摩擦系数(牛顿·米／ 弧度／秒)
M d Cmia
电磁转矩系数(牛 顿·米/安)
13
JLa
d 2
dt 2
( JRa
fLa )
d
dt
(
fRa
CmKe )
Cmua
La
dM L dt
RaM L
若输出为电动机的转角 ，则按式(2.17)有:
1
研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解 系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、 参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型。
图3-1-1 弹簧-质量 -阻尼器系统
5
阻尼器 (1)根据牛顿第二定律，有弹：簧弹力
阻力
f (t) k
f
(t)
f1(t)
f2 (t)
M
d2 y dt 2
M
B yt
(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：
f1 (t )
B
dy (t ) dt
f2 (t) ky(t) B为阻尼比
K为弹性系数
6
(3) 系统的微分方程式 :
18
第二节 传递函数
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法－－频率法和根 轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一 种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响， 十分方便。
19
第二节 传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、由微分方程直接求传递函数 四、典型环节及其传递函数
电磁转矩(牛顿·米)
转动部分粘性摩擦系数(牛顿·米／ 弧度／秒)
M d Cmia
电磁转矩系数(牛 顿·米/安)
13
JLa
d 2
dt 2
( JRa
fLa )
d
dt
(
fRa
CmKe )
Cmua
La
dM L dt
RaM L
若输出为电动机的转角 ，则按式(2.17)有:
2系统的数学模型
x x0
( x x0 )
线 性 化 增 量 方 程
y Kx
dy K dx
x x0
（2）多变量系统
y f ( x1 , x2 )
f K1 x1
注意:
x1 x10 x2 x20
y K1x1 K 2 x2
f K2 x2
x1 x10 x2 x20
③非线性函数线性化
平 衡 点 QL0 , pL0 , x0
f pL ,x QL f ( pL0 ,x0 ) x x0 x x p L p L0 f pL ,x x x pL pL pL 0pL0
ua , ml
若电动机处于平衡状态，有
Kuua Kmml
平 衡 点 0 , ua0 , ml 0
0 Kuua0 Kmml 0
ua ua0 ua , ml ml 0 ml , 0
d 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d ml 0 ml K u ua 0 ua K m (Ta ml 0 ml ) dt
y
（1）单变量系统 对连续的非线性系统 y = f(x),在工作点y0=f(x0)附 近展成Talor级数:
dy y f ( x0 ) dx
y0
A
x
x0
1 d2y x x0 ( x x 0 ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x0 0
x
当( x x 0 )很 小 时 ， 忽 略 二 阶 以 各 上项 ， 得 dy y y0 dx
2
dml d 2 d TaTm Tm K u ua K m (Ta ml ) 2 dt dt dt
( x x0 )
线 性 化 增 量 方 程
y Kx
dy K dx
x x0
（2）多变量系统
y f ( x1 , x2 )
f K1 x1
注意:
x1 x10 x2 x20
y K1x1 K 2 x2
f K2 x2
x1 x10 x2 x20
③非线性函数线性化
平 衡 点 QL0 , pL0 , x0
f pL ,x QL f ( pL0 ,x0 ) x x0 x x p L p L0 f pL ,x x x pL pL pL 0pL0
ua , ml
若电动机处于平衡状态，有
Kuua Kmml
平 衡 点 0 , ua0 , ml 0
0 Kuua0 Kmml 0
ua ua0 ua , ml ml 0 ml , 0
d 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d ml 0 ml K u ua 0 ua K m (Ta ml 0 ml ) dt
y
（1）单变量系统 对连续的非线性系统 y = f(x),在工作点y0=f(x0)附 近展成Talor级数:
dy y f ( x0 ) dx
y0
A
x
x0
1 d2y x x0 ( x x 0 ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x0 0
x
当( x x 0 )很 小 时 ， 忽 略 二 阶 以 各 上项 ， 得 dy y y0 dx
2
dml d 2 d TaTm Tm K u ua K m (Ta ml ) 2 dt dt dt
第二章线性系统的数学模型ppt课件
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
第二章 系统的数学模型(2011第5讲)
(t x 其中，i (t)，x0 (t) 分别为系统的输入和输出。
X 0 (s) G =K 其传递函数为： (s) = Xi (s)
若输入、输出的量纲相同，则K为放大系数。 常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠 杆、无间隙的传动齿轮组等均属比例环节。
石家庄铁道学院机械工程分院
如对齿轮，转速分别为
石家庄铁道学院机械工程分院
例4 图2.2.11所示为有源积分网络，输入电压为
ui (t)，输出电压为 u0 (t)，R为电阻，C为电容。
由图可得：
ui (t) du0 (t) = −C R dt
故其传递函数为：
U0 (s) k G(s) = = , Ui (s) s
式中， k = −1 RC
石家庄铁道学院机械工程分院
取拉氏反变换得到输出量的时域响应为：
第5讲
复习上一讲内容
2.2系统的传递函数
1、传递函数的提出 2、拉氏变换的预备知识
⑴、拉氏变换与拉氏反变换 ⑴拉氏变换 ⑵拉氏反变换
⑵、常用函数的拉氏变换 ⑶、拉氏变换的主要运算定理
3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤 4、传递函数的定义 5、传递函数特点 6、传递函数的零、极点和放大系数及其对系统性能的影响 传递函数的零、
x01(t) = K p r(t) = K pt, (t ≥ 0)
当 K p = 1时，在时域中此环节为一条450斜线。 若对此环节再并联一个微分环节 G2 (s) = K pTs,
如右图所示：
石家庄铁道学院机械工程分院
则系统传递函数为：
X 0 (s) G(s) = = K p + K pTs = K p (Ts +1) Xi (s)
1 纯积分环节： G(s) = s
X 0 (s) G =K 其传递函数为： (s) = Xi (s)
若输入、输出的量纲相同，则K为放大系数。 常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠 杆、无间隙的传动齿轮组等均属比例环节。
石家庄铁道学院机械工程分院
如对齿轮，转速分别为
石家庄铁道学院机械工程分院
例4 图2.2.11所示为有源积分网络，输入电压为
ui (t)，输出电压为 u0 (t)，R为电阻，C为电容。
由图可得：
ui (t) du0 (t) = −C R dt
故其传递函数为：
U0 (s) k G(s) = = , Ui (s) s
式中， k = −1 RC
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取拉氏反变换得到输出量的时域响应为：
第5讲
复习上一讲内容
2.2系统的传递函数
1、传递函数的提出 2、拉氏变换的预备知识
⑴、拉氏变换与拉氏反变换 ⑴拉氏变换 ⑵拉氏反变换
⑵、常用函数的拉氏变换 ⑶、拉氏变换的主要运算定理
3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤 4、传递函数的定义 5、传递函数特点 6、传递函数的零、极点和放大系数及其对系统性能的影响 传递函数的零、
x01(t) = K p r(t) = K pt, (t ≥ 0)
当 K p = 1时，在时域中此环节为一条450斜线。 若对此环节再并联一个微分环节 G2 (s) = K pTs,
如右图所示：
石家庄铁道学院机械工程分院
则系统传递函数为：
X 0 (s) G(s) = = K p + K pTs = K p (Ts +1) Xi (s)
1 纯积分环节： G(s) = s
自动控制系统的数学模型
i1 nN
• K为系统增益或开环S N 放j1 (大S 倍Pj ) 数，
第二章 自动控制系统的数学模型
• 分子多项式根，系统零点（开环）， • 分母多项式根，系统极点（开环）。
m
K Ti
Kg
i1 nN
Tj
j1
第二章 自动控制系统的数学模型
• 三、关于传递函数，有如下几点说明： • ⑴ 传递函数表征了系统对输入信号的传递
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.3 典型环节传函分析 • 自动控制系统是由不同功能的元器件构成
的。从物理结构上看，控制系统的类型很 多，相互差别很大，似乎没有共同之处。 在对控制系统进行分析研究时，我们更强 调系统的动态特性。具有相同动态特性或 者说具有相同传递函数的所有不同物理结 构，不同工作原理的元器件，我们都认为 是同一环节。
dt t0
Tc
T t0
c
• 可从图上求出 Tc
第二章 自动控制系统的数学模型
• 过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳 定值的95％（98％）所需的时间。 Ts=3T(Ts=5T)
• 一个流出水箱的水流量由阀门控制的蓄水 箱就是一个惯性环节的实例。无源RC网络、 单溶液槽、盲室压力系统和无套管热电偶 系统等也都是典型的惯性环节。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能
满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进
行预测,并加以控制。控制精度与模型精度 有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也
第2章第5讲转速反馈控制直流调速系统
（2-91） 式中Tsam为采样周期。
2.4.3 数字PI调节器
数字PI调节器有位置式和增量式两种算法， 位置式算法中，u(k)为第k拍的输出值。比例部分只 与当前的偏差有关，积分部分则是系统过去所有偏 k 差的累积。
u(k ) K P e(k ) K I Tsam
e (i ) K
i 1
P e( k ) u I ( k )
K P e(k ) K I Tsame(k ) u I (k 1)
增量式算法只需要当前的和上一拍的偏差即可计算 输出值。
（2-93） u(k ) u(k ) u(k 1) K P e(k ) e(k 1) K I Tsame(k )
RI d n ( Rs I d U com ) Ce (1 K ) Ce (1 K ) Ce (1 K )
* K p K s (U n U com ) * K p K sU n
K p Ks
Ce (1 K )
( R K p K s Rs ) I d Ce (1 K )
Q n2 n1
2．数字测速方法的精度指标
（2）测速误差率
测速误差率:转速实际值和测量值之差与实际值 之比, 记作
（2-76） 测速误差率反映了测速方法的准确性，δ越小， 准确度越高。
n 100% n
2．数字测速方法的精度指标 (3) 测速原理
由光电式旋转编码器产生与被测转速成正比的 脉冲，测速装置将输入脉冲转换为以数字形式表 示的转速值。 脉冲数字（P/D）转换方法： （1）M法—脉冲直接计数方法； （2）T 法—脉冲时间计数方法； （3）M/T法—脉冲时间混合计数方法。
第二章 系统的数学模型
动态 模型
图1.2.2 机器与隔振垫系统
x(t ) 0 x(t ) 0
静态 模型
m x(t ) c x(t ) k x(t ) F (t )
x(t ) F (t ) / k
静态模型反映系统在恒定载荷或缓变载荷作用下或在系统平衡状态 下的特性。 动态模型研究系统在迅变载荷作用下或在系统不平衡状态下的特性。
机械工程控制基础 2014，9
2.1
系统的微分方程
第二章 控制系统的数学模型
二、典型元件所遵循的物理定律
质量 M
机械工程控制基础 2014，9
2.1
系统的微分方程
第二章 控制系统的数学模型
二、典型元件所遵循的物理定律
弹簧 K
பைடு நூலகம்
机械工程控制基础 2014，9
2.1
系统的微分方程
第二章 控制系统的数学模型
机械工程控制基础 2014，9
三、动态数学模型的形式
第二章 控制系统的数学模型
时间域
微分方程 差分方程 状态变量矩阵
复数域
传递函数 结构图 信号流图
频率域
频率特性
机械工程控制基础 2014，9
四、建立数学模型的方法
第二章 控制系统的数学模型
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
课堂练习
解（a）： 1、输入为Fi (t)，输出为 xo (t)。 2、对M作受力分析如图，
第二章 控制系统的数学模型
K
Fi(t)
M
C
k xo (t )
C xo (t )
M
Fi (t )
Xo (t)
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第2章系统的数学模型
2
机械平移系统练习题
如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入 位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 （f、f1、f2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数）
f2 xi
k1
f
xi
xi
f
k1
xo
m f1
xo
xo
k2
图a
k2
图c
图b
解：（1）对图a所示系统，由 牛顿定律有
dxo d xo dxi dxo f 1 f2 m 2 dt dt dt dt
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统 y(t) 中一种常见的非线性特性现象。 在机械传动中，由于加工精度 的限制及运动件相互配合的需 O +x x(t) -x 要，总会有一定的间隙存在。 例如齿轮传动，为保证转动灵 活不发生卡死现象，必须容许 有少量间隙。 由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮 （其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行 程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y(t) ）转 动，形成如图所示的环状间隙特性。
2
m3 (t ) k ( t )
所以系统的运动方程式为
d (t ) d ( t ) J f k ( t ) m( t ) （2-4） 2 dt dt
2
例2-2 齿轮传动的动力学分析
如图2-5所示的齿轮传动链 ，由电动机M输入的转矩 为Tm，L为输出端负载，TL为负载转矩。zi为各齿轮 齿数，J1、J2、J3及1、 2、 3分别为各轴及相应齿 轮的转动惯量和转角， f1、f2、f3为传动中各轴及齿 轮的粘性阻尼系数。 Tm z1 J1 T1 M θ1 f1 z3 J 2 θ2 T2 T 3 f2 J θ 3 3 z2 T4 L TL f3 z4
第二章 系统的数学模型
第二章 系统的数学模型
描述系统中各变量关系的数学形式与方法。 描述系统中各变量关系的数学形式与方法。经典控制与现代 控制理论的基础。 控制理论的基础。 静态关系：对时间的导数可忽略不计。由输入可确定输出。 静态关系：对时间的导数可忽略不计。由输入可确定输出。 动态关系：对时间的导数不可忽略， 动态关系：对时间的导数不可忽略，由输入和初始条件共同 确定输出。 确定输出。 动态系统数学模型的基础是微分方程。 动态系统数学模型的基础是微分方程。 建模方法：分析法（理论建模）和实验法（系统辨识）。 建模方法：分析法（理论建模）和实验法（系统辨识）。 定常系统和集总参数系统。 定常系统和集总参数系统。 不同的系统可能有相同的数学模型。 不同的系统可能有相同的数学模型。
(t ) + b2 r
( n 2)
输出在左，输入在右，降阶排列。 输出在左，输入在右，降阶排列。 列写步骤： 列写步骤： 1）确定输出与输入量。 ）确定输出与输入量。 2）列写原始方程组，方程个数比中间变量多1。 ）列写原始方程组，方程个数比中间变量多 。 3）消去中间变量。 ）消去中间变量。 4）标准化整理。 ）标准化整理。
f ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) + + f n ( t )
象函数的一般形式： 象函数的一般形式：
N ( S ) a0 S m + a1 S m 1 + + a m F(S) = (n ≥ m ) = n n 1 D( S ) b0 S + b1 S + + bn
由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式 利用公式
1 σ + j∞ st f (t ) = ∫σ j∞ F ( S )e ds 2πj
描述系统中各变量关系的数学形式与方法。 描述系统中各变量关系的数学形式与方法。经典控制与现代 控制理论的基础。 控制理论的基础。 静态关系：对时间的导数可忽略不计。由输入可确定输出。 静态关系：对时间的导数可忽略不计。由输入可确定输出。 动态关系：对时间的导数不可忽略， 动态关系：对时间的导数不可忽略，由输入和初始条件共同 确定输出。 确定输出。 动态系统数学模型的基础是微分方程。 动态系统数学模型的基础是微分方程。 建模方法：分析法（理论建模）和实验法（系统辨识）。 建模方法：分析法（理论建模）和实验法（系统辨识）。 定常系统和集总参数系统。 定常系统和集总参数系统。 不同的系统可能有相同的数学模型。 不同的系统可能有相同的数学模型。
(t ) + b2 r
( n 2)
输出在左，输入在右，降阶排列。 输出在左，输入在右，降阶排列。 列写步骤： 列写步骤： 1）确定输出与输入量。 ）确定输出与输入量。 2）列写原始方程组，方程个数比中间变量多1。 ）列写原始方程组，方程个数比中间变量多 。 3）消去中间变量。 ）消去中间变量。 4）标准化整理。 ）标准化整理。
f ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) + + f n ( t )
象函数的一般形式： 象函数的一般形式：
N ( S ) a0 S m + a1 S m 1 + + a m F(S) = (n ≥ m ) = n n 1 D( S ) b0 S + b1 S + + bn
由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式 利用公式
1 σ + j∞ st f (t ) = ∫σ j∞ F ( S )e ds 2πj
第系统的数学模型
sn
sn
s n1
s
若 f 1(0) f 2 (0) f n (0) 0
则
L f (t)(dt)n
F(s) sn
(4) 延迟定理
L[ f (t a)] eas F(s)
(5) 初值定理
若 f (t)和 df (t)存在拉氏变换且lim sF (s) 也存在，则
[例2.4] 求单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数为
1(t)
0 1
根据拉氏变换定义
(t 0) (t 0)
L[1(t)]
1(t
)e
st
dt
est dt 1 est 1
0
0
s 0s
2019/5/30 10
[例2.5] 斜坡函数的拉氏变换
斜坡函数
2
单位阶跃函数 1(t)
3
k
4
1 tr r!
5
u(t a)在t a开始的单位阶跃
6
e at
7
e -at
8
2019/5/30
1 t n1e-at (n 1)!
13
F (s)
1
1 s
k s 1 s r1 1 e -at s
1 sa 1 sa
1 (s a)n
2.2.2 拉氏变换的基本定理
2019/5/30 18
2.3.1 传递函数的定义
输出的拉氏变换 X o (s) G(s)X i (s)
时域中的输出 xo (t) L1[G(s) X i (s)]
2019/5/30 19
2.3.2 典型环节的传递函数
（1）比例环节
第二章_系统的数学模型
e F(s) f (t) stdt存在，
0
则称F(s)为f (t)的拉氏变换。
记为F： (s)或L[f(t)， ] 即
F(s)L[f(t)] f(t)estdt 0
控制工程基础
第二章 数学模型
式中： （1） F (s)为复数 s的函数，称复变函数；
其中， s j，其量纲为时间的倒数 。
（3）将每个分式化为常见函数的象函数形式；
（4）查表和应用叠加定理写出f(t)的表达式。
控制工程基础
三、用拉氏变换求解微分方程：
第二章 数学模型
（1）对线性微分方程中的每一项进行拉氏变换，使微 分方程变成s的代数方程——变换方程；
（2）解变换方程，求出系统输出变量的象函数表达式
（3）利用部分分式法，结合查表，进行拉氏反变换， 得到微分方程的时域解。
Ui(t)
d R(t)iLdi(tt)U o(t)U i(t)0
电容两端电压为：
C u0(t) 图2-1
Uo (t)1
t
i(t)dt
整理得:
C0
d2
d
Ld C 2u to(t)RdC uto(t)uo(t)ui(t)
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-2 如图所示系统，试列写系统输入输出的 微分方程模型。
（2） e st dt — — Laplace 积分； 0
（3）称 F (s)为 f (t )的象函数， f (t)为 F (s)的原函数 （4）拉氏变换实质：在一 定条件下，将实数域 中的实变函数 f (t)变换为在复数域内与之 等价的
复变函数 F (s)。
控制工程基础
二、拉氏变换性质
例：已知系统 d2x(微 t)5分 d(xt方 )6程 x(t)6
第2章系统的数学模型 02
s = zi ( i = 1， Lm)，称为传递函数的零点； 2， 称为传递函数的零点；
an ( s − p1 ) ( s − p2 ) ......( s − pn ) = 0 的根 s = pi ( i = 1,2,Ln) ，称为传递函数的极点； 称为传递函数的极点；
！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！ 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！
e bm b 1 c 1 d 2 K = ⋅ ∏ ⋅ ∏ 2 ⋅ ∏Tj ⋅ ∏Tk an i =1 τi l =1 τl j=1 k=1
！串联
理想微分环节
比例环节
b
一阶微分环节
c
二阶微分环节
G(s) =
K∏(τ i s + 1)∏(τ l2s2 + 2ζ lτ l s + 1) s
v
∏( T s +1)∏( T s
零、极点分布图
传递函数的零 传递函数的零、极点 分布图： 分布图： 将传递函数的零、 将传递函数的零、极 点表示在复平面上的 图形。 图形。 零点用“ 表示 零点用“O”表示 极点用“ 表示 极点用“×”表示
s1 = −2
s2 = −3 s3,4 = −1 ± j
结论 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输 来描述系统的固有特性。 输出特性来描述系统的内部特性。 入——输出特性来描述系统的内部特性。若输 输出特性来描述系统的内部特性 入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 入给定，则系统输出特性完全由传递函数 决定。 决定。 传递函数是复数 域中的系统数学模型。 复数s域中的系统数学模型 传递函数是复数 域中的系统数学模型。其参 数仅取决于系统本身的结构及参数， 数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的 输入形式无关。 输入形式无关。 传递函数分母多项式中 的最高幂数代表了 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了 分母多项式 系统的阶数， 的最高幂数为 则该系统为n 的最高幂数为n则该系统为 系统的阶数，如s的最高幂数为 则该系统为 阶系统。 阶系统。
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第5讲
复习上一讲内容
2.2 系统的传递函数 7、典型环节的传递函数
①比例环节（放大环节） ②一阶惯性环节 ③微分环节 ④积分环节 ⑤振荡环节 ⑥延迟环节
石家庄铁道大学机械工程学院
2.3 系统传递函数方框图及其简化
Block diagram reduction
在系统建模中，对于各个环节，分别用 传递函数代表环节，用环节输入、输出的拉 氏变换代表其输入、输出，从而形成一种表 示系统与外界之间以及系统各变量之间关系 的方框图，即所谓系统传递函数动态结构图， 简言之，它是系统中各个环节的传递函数和 信号流向的图形表示。
1、方框图的构成要素（Components of block diagram）
下面以反馈控制系统的典型结构为例说明：
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
①函数方框图（Block）：由两箭头加一方框组成。指 向函数方框的箭头表示输入信号的拉氏变换，离开函 数方框的箭头表示输出信号的拉氏变换。方框中为该 环节的传递函数。方框的输出为方框输入与该环节传 递函数的乘积。
（Block diagram reduction）
实际自动控制系统的传递函数方框图可能含有多个反馈 回路，甚至出现交叉连接的复杂情况。为便于对系统进行分 析和计算，需要利用等效变换的原则，对系统的方框图加以 简化。
常用的结构图变换方法有两种：环节的合并；信号分支 点或相加点的移动 。
结构图变换所遵循的原则是：变换前后的数学关系保持 不变，即有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。
例 下图为电枢控制式直流电机原理图。其中：
u 为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，M L为折合到电机轴上的
总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下， u 为给定输入，
M L 为干扰输入， 为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为
e ， i d 为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。
G(s)
X 0 (s) X i (s)
X 1 (s) X i (s)
X 2 (s) X 1 (s)
X 0 (s) X 2 (s)
G1 (s)G2 (s)G3 (s)
②并联环节的等效
两个或多个环节的输入相同，输出量为各个环节输出量的 代数和。其等效传递函数即为各传递函数的代数和：
X i (s)
X1(s) G1(s)
±
G2(s) X2(s)
X o (s)
G(s)
X1(s) Xi (s)
X 2 (s) Xi (s)
G1(s) G2 (s)
③反馈连接的等效
传递函数分别为G(s)和 H (s) 的 两 个 环 节 ， 若 按 右 所示的方法连接，称为反馈连接图。反馈信号B(s) 若取 加号表示正反馈；取减号则表示负反馈。
⑴环节的合并
在控制系统的结构图中，环节的连接方式主要有串联、 并联和反馈连接三种。
①串联环节的等效：
环节与环节首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输 入。忽略其负载效应时，等效环节的传递函数为各个环节的 传递函数之积：
X i (s)
X1(s)
X2(s)
X o (s)
G1(s) G2(s) G3(s)
③分支点（Derivation point /measuring point)：也称引出点， 它表示把一个信号分成两路或多路输出。由于在信号 线上只传递信号，不传递功率，所以每一路输出都与 原①建立系统（或元件）标准化的微分方程； ②对所建立的微分方程在初始状态为零的条件下进行 拉氏变换，并根据各个变换式的因果关系（从输入到 输出），分别给出相应的方框图。 ③从系统的输入量与反馈信号进行叠加的比较环节开 始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框，将所有 中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出 量与主反馈信号。
与物理结构图区别：
微分方程、传递函数等数学模型，都是用 纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统 中各元部件对整个系统性能的影响，而系统原 理图、职能方框图虽然反映了系统的物理结构， 但又缺少系统中各变量间的定量关系。结构图 或称为方框图、方块图等，既能描述系统中各 变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部 件对系统性能的影响。
按各变量的因果关系，得上述各式的传递函数方框图：
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
M (s)
1
I (s) km M (s)
_
Js (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
1
M (s) _
Js
(s)
I (s)
km
M (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
将各传递方框图按信号的传递关系连接起来，便得到下图：
U (s) +
1 Ls R
I (s)
km
M
L
(s)
-
+
M (s)
1 Js
(s)
- Ed (s)
kd
系统传递函数框图
3、传递函数方框图的等效变换
X i (s)
E(s) G(s)
-
H (s) B(s)
X o (s)
GB (s)
X 0 (s) Xi (s)
G(s) 1 H (s)G(s)
据题意可列出如下方程：
L di dt
i R ed
u
ed kd
J
d
dt
M
ML
M kmi
对左边各式进行拉氏变换得：
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s)
Ed (s) kd (s)
Js(s) M (s) M L (s)
M (s) kmI (s)
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s) Ed (s) kd (s) Js(s) M (s) M L (s) M (s) kmI (s)
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
②相加点（Synthesis Point (Comparing point)）：也称综合点 或比较点，作用是对两个或两个以上性质相同的信号 进行代数求和。输入可以有两个或多个，但输出是唯 一的。加号可以省，减号不可省。
复习上一讲内容
2.2 系统的传递函数 7、典型环节的传递函数
①比例环节（放大环节） ②一阶惯性环节 ③微分环节 ④积分环节 ⑤振荡环节 ⑥延迟环节
石家庄铁道大学机械工程学院
2.3 系统传递函数方框图及其简化
Block diagram reduction
在系统建模中，对于各个环节，分别用 传递函数代表环节，用环节输入、输出的拉 氏变换代表其输入、输出，从而形成一种表 示系统与外界之间以及系统各变量之间关系 的方框图，即所谓系统传递函数动态结构图， 简言之，它是系统中各个环节的传递函数和 信号流向的图形表示。
1、方框图的构成要素（Components of block diagram）
下面以反馈控制系统的典型结构为例说明：
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
①函数方框图（Block）：由两箭头加一方框组成。指 向函数方框的箭头表示输入信号的拉氏变换，离开函 数方框的箭头表示输出信号的拉氏变换。方框中为该 环节的传递函数。方框的输出为方框输入与该环节传 递函数的乘积。
（Block diagram reduction）
实际自动控制系统的传递函数方框图可能含有多个反馈 回路，甚至出现交叉连接的复杂情况。为便于对系统进行分 析和计算，需要利用等效变换的原则，对系统的方框图加以 简化。
常用的结构图变换方法有两种：环节的合并；信号分支 点或相加点的移动 。
结构图变换所遵循的原则是：变换前后的数学关系保持 不变，即有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。
例 下图为电枢控制式直流电机原理图。其中：
u 为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，M L为折合到电机轴上的
总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下， u 为给定输入，
M L 为干扰输入， 为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为
e ， i d 为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。
G(s)
X 0 (s) X i (s)
X 1 (s) X i (s)
X 2 (s) X 1 (s)
X 0 (s) X 2 (s)
G1 (s)G2 (s)G3 (s)
②并联环节的等效
两个或多个环节的输入相同，输出量为各个环节输出量的 代数和。其等效传递函数即为各传递函数的代数和：
X i (s)
X1(s) G1(s)
±
G2(s) X2(s)
X o (s)
G(s)
X1(s) Xi (s)
X 2 (s) Xi (s)
G1(s) G2 (s)
③反馈连接的等效
传递函数分别为G(s)和 H (s) 的 两 个 环 节 ， 若 按 右 所示的方法连接，称为反馈连接图。反馈信号B(s) 若取 加号表示正反馈；取减号则表示负反馈。
⑴环节的合并
在控制系统的结构图中，环节的连接方式主要有串联、 并联和反馈连接三种。
①串联环节的等效：
环节与环节首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输 入。忽略其负载效应时，等效环节的传递函数为各个环节的 传递函数之积：
X i (s)
X1(s)
X2(s)
X o (s)
G1(s) G2(s) G3(s)
③分支点（Derivation point /measuring point)：也称引出点， 它表示把一个信号分成两路或多路输出。由于在信号 线上只传递信号，不传递功率，所以每一路输出都与 原①建立系统（或元件）标准化的微分方程； ②对所建立的微分方程在初始状态为零的条件下进行 拉氏变换，并根据各个变换式的因果关系（从输入到 输出），分别给出相应的方框图。 ③从系统的输入量与反馈信号进行叠加的比较环节开 始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框，将所有 中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出 量与主反馈信号。
与物理结构图区别：
微分方程、传递函数等数学模型，都是用 纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统 中各元部件对整个系统性能的影响，而系统原 理图、职能方框图虽然反映了系统的物理结构， 但又缺少系统中各变量间的定量关系。结构图 或称为方框图、方块图等，既能描述系统中各 变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部 件对系统性能的影响。
按各变量的因果关系，得上述各式的传递函数方框图：
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
M (s)
1
I (s) km M (s)
_
Js (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
1
M (s) _
Js
(s)
I (s)
km
M (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
将各传递方框图按信号的传递关系连接起来，便得到下图：
U (s) +
1 Ls R
I (s)
km
M
L
(s)
-
+
M (s)
1 Js
(s)
- Ed (s)
kd
系统传递函数框图
3、传递函数方框图的等效变换
X i (s)
E(s) G(s)
-
H (s) B(s)
X o (s)
GB (s)
X 0 (s) Xi (s)
G(s) 1 H (s)G(s)
据题意可列出如下方程：
L di dt
i R ed
u
ed kd
J
d
dt
M
ML
M kmi
对左边各式进行拉氏变换得：
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s)
Ed (s) kd (s)
Js(s) M (s) M L (s)
M (s) kmI (s)
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s) Ed (s) kd (s) Js(s) M (s) M L (s) M (s) kmI (s)
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
②相加点（Synthesis Point (Comparing point)）：也称综合点 或比较点，作用是对两个或两个以上性质相同的信号 进行代数求和。输入可以有两个或多个，但输出是唯 一的。加号可以省，减号不可省。