等比数列前n项和公式的推导
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S3+S6=2S9
这里q≠1。事实上，如果q=1，则S3=3a1， S6=6a1，S9=a1，由a1≠0，得S3+S6≠2S9， 与题设矛盾，所以q≠1
由S3+S6=2S9，得
a1(1 q3 ) a1(1 q6 ) 2a1(1 q9 )
1 q
1 q
1 q
整理，得 q3+q6=2q9 由q 0, 得1 q3 2q6
例2. 求和
(x 1) (x2
1 ) (xn
1 )
y
y2
yn
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
例1：
解：由a1= 1/2 ，
q=1/4÷1/2=1/2 n=8,得
Sn
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 256
Leabharlann Baidu
解：根据题意，每年的产量比上一年增加的 百分率相同，所以从第１年起，每年的产量 组成一个等比数列｛an｝。
其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
于是得到： 5(11.1n ) 30 1 1.1
整理得： 1.1n=1.6
两边取对数： n·lg1.1=lg1.6 n lg1.6 0.20 5(年） lg1.1 0.041
等比数列的前n项和
引入:
国际象棋的棋盘上共有8行8列,构成 64个格子.国际象棋起源于古代印度,关于 国际象棋有这样一个传说.
国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有 什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格 子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗 麦粒,在第3个格子里放上
4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此 类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个 格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请
因为 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
所以
a2 a3 a4 an a1 a2 a3 an1
q
Sn a1 q
Sn an
Sn
a1 anq 1q
或
Sn
a1(1 qn ) 1q
(q
1)
当 q = 1 时 Sn = n a1
(二) 从基本问题出发
给我足够的粮食来实现上述要求”.国王 觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了 他的要求.
你认为国王有能力满足发明者上述 要求吗?
让我们来分析一下:
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个 格子里的麦粒数依次是
1, 2, 22 , 23 , , 263 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2
例2：
解:当x 0,x 1,y 1时,
(x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)
(x x2
xn)
(1 y
1 y2
1 yn )
x(1
xn )
1 y
(1
1 yn
)
1 x
1 1
y
x xn1 yn 1
1 x
yn1 y n
例3：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每
年的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约 几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？
三、小结
❖上述几种求和的推导方式中 ❖ 第一种依赖的是定义特征及等比性质
进行推导, ❖ 第二种则是借助的和式的代数特征进
行恒等变形而得, ❖而第三种方法我们称之为错位相减法. ❖ 由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
四、例题选讲 :
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
公式
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
a1 (1 q n ) 1q
(q 1)
(三) 从 (二) 继续发散开有 Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*) q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn ( ** )
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n …. S n = ……….
因此, a2a5 a1q a1q4 a1q(1 q3 ) =a1q(2q6 ) 2a1q7 2a8
所以a2 , a8 , a5成等差数列
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
20
1 2 22 23 263,
一、复习
1.
等比数列的定义： an1 q 0 an
a a q 2．等比数列的通项公式： n
n1 1
３．数列的前ｎ项和与通项之间的关系：
Sn a1 a2 an
an
S1 Sn
Sn1
n1 n2
二、等比数列前n项和公式的推导
(一) 用等比定理推导
答：约5年内可以使总产量达到30万吨。
例4： 已知Sn是等比数列{an}的前n项和， S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8， a5成等差数列。 分析：由S3，S9，S6成等差数列，得 S3+S6=2S9，要证a2，a8，a5成等差数列， 只要证：a2+a5=2a8
证明：由S3，S9，S6成等差数列，得
这里q≠1。事实上，如果q=1，则S3=3a1， S6=6a1，S9=a1，由a1≠0，得S3+S6≠2S9， 与题设矛盾，所以q≠1
由S3+S6=2S9，得
a1(1 q3 ) a1(1 q6 ) 2a1(1 q9 )
1 q
1 q
1 q
整理，得 q3+q6=2q9 由q 0, 得1 q3 2q6
例2. 求和
(x 1) (x2
1 ) (xn
1 )
y
y2
yn
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
例1：
解：由a1= 1/2 ，
q=1/4÷1/2=1/2 n=8,得
Sn
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 256
Leabharlann Baidu
解：根据题意，每年的产量比上一年增加的 百分率相同，所以从第１年起，每年的产量 组成一个等比数列｛an｝。
其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
于是得到： 5(11.1n ) 30 1 1.1
整理得： 1.1n=1.6
两边取对数： n·lg1.1=lg1.6 n lg1.6 0.20 5(年） lg1.1 0.041
等比数列的前n项和
引入:
国际象棋的棋盘上共有8行8列,构成 64个格子.国际象棋起源于古代印度,关于 国际象棋有这样一个传说.
国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有 什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格 子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗 麦粒,在第3个格子里放上
4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此 类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个 格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请
因为 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
an1
所以
a2 a3 a4 an a1 a2 a3 an1
q
Sn a1 q
Sn an
Sn
a1 anq 1q
或
Sn
a1(1 qn ) 1q
(q
1)
当 q = 1 时 Sn = n a1
(二) 从基本问题出发
给我足够的粮食来实现上述要求”.国王 觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了 他的要求.
你认为国王有能力满足发明者上述 要求吗?
让我们来分析一下:
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个 格子里的麦粒数依次是
1, 2, 22 , 23 , , 263 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2
例2：
解:当x 0,x 1,y 1时,
(x
1) y
(x2
1 y2
)
(xn
1 yn
)
(x x2
xn)
(1 y
1 y2
1 yn )
x(1
xn )
1 y
(1
1 yn
)
1 x
1 1
y
x xn1 yn 1
1 x
yn1 y n
例3：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每
年的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约 几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？
三、小结
❖上述几种求和的推导方式中 ❖ 第一种依赖的是定义特征及等比性质
进行推导, ❖ 第二种则是借助的和式的代数特征进
行恒等变形而得, ❖而第三种方法我们称之为错位相减法. ❖ 由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
四、例题选讲 :
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
公式
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
a1 (1 q n ) 1q
(q 1)
(三) 从 (二) 继续发散开有 Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*) q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn ( ** )
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n …. S n = ……….
因此, a2a5 a1q a1q4 a1q(1 q3 ) =a1q(2q6 ) 2a1q7 2a8
所以a2 , a8 , a5成等差数列
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
20
1 2 22 23 263,
一、复习
1.
等比数列的定义： an1 q 0 an
a a q 2．等比数列的通项公式： n
n1 1
３．数列的前ｎ项和与通项之间的关系：
Sn a1 a2 an
an
S1 Sn
Sn1
n1 n2
二、等比数列前n项和公式的推导
(一) 用等比定理推导
答：约5年内可以使总产量达到30万吨。
例4： 已知Sn是等比数列{an}的前n项和， S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8， a5成等差数列。 分析：由S3，S9，S6成等差数列，得 S3+S6=2S9，要证a2，a8，a5成等差数列， 只要证：a2+a5=2a8
证明：由S3，S9，S6成等差数列，得