概率论与数理统计答案(东华大学出版)第七章复习题

第七章 参数估计

复习题（p.259）

1、 对某种布进行强力试验，共试验25块布，试验结果如下（单位：千克）

20 24 20 23 21 19 22 23 20 22 20 22 23 25 21 21 22 24 23 22 23 21 22 21 23 以ξ表示强力，试用矩法估计()ξE ，()ξD 。 解：强力试验的结果的频数

88.21251ˆ251===∑=i i ξξμ ()1056.2251ˆ251

22

=-=∑=i i ξξσ 2、 设总体ξ的密度函数

()⎪⎩⎪

⎨⎧<<=其它

02

2

θθx x f

0>θ未知，n ξξ,,1 为其样本，试求θ的矩法估计量。

解：()(

)

3312

2d 2

d 03220

22

θ

θθθθξθ

θ

θ

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==

⎰⎰x x x x x x x xf E

ξθE 3= ξθ

3ˆ= 3

、 设电话总机在某段时间内接到的呼叫数ξ服从泊松分布，现收集了42个数据

用极大似然估计法估计该分布的未知参数。 解：由习题7.1第5题

[]90476.12534831221017042

1ˆ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==ξλ

4、 总体ξ的密度函数

()⎩⎨

⎧≤>=--c

x c

x x c x f 0

1

θθθ （0>c 为已知数） 1>θ未知参数，n ξξ,,1 为其样本，求θ的矩法估计量和极大似然估计量。

解：① 矩估计：()111d d 1-=+-⋅===+∞

+-+∞

-+∞

⎰⎰θθθθθξθθ

θθc x c x x c x x xf E c c c

c

-=ξξθ

ˆ

② 极大似然估计：()()1211

1--=--==

∏θθθθθθθn n n n

i i x x x c x c L ()()()n x x x c n n L 21ln 1ln ln ln +-+=θθθθ

()()0ln ln d ln d 21∆=-+=n x x x c n n

L θ

θθ

c

n x

n

n

i i

ln ln 1

-=

∑=θ c

n n

n

i i

ln ln ˆ1

-=∑=ξ

θ

5、 总体ξ的密度函数为

()⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=--α

αβ

β

α

x x x f x 0e 1 （式中0

>+∞<<∞-βα为未知参数）

n ξξ,,1 为其样本，求βα,的极大似然估计量。 解：()⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=--

∑

=

=

=∏n

i i i n x n

n

i x L 111

e

1

e

1

,αββ

α

β

ββα

()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∑-+

-==n i i x n n L 11ln ,ln αβββα

()0,ln ∆

==∂∂βαβαn L 无解，则取()1ˆξα

= ()01

,ln 12

∆==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑---=∂∂n i i x n n L αβ

βββα αβ-∑==n

i i x 1

()

1ˆξξβ-= 6、 设总体()1,~1μξN ，n ξξ,,1 为其样本，又设总体()2,~2μηN ，n ηη,,1 为其样本，

又设这两样本独立，求21μμμ-=的无偏估计μˆ。 解：()∑=-=-=n

i i i n E E E 1

211ηξμμμ ηξμ

-=ˆ 7、 设()n

T ξξθ,,ˆ1 =的期望为θ，且()0ˆ>θD ，求证()

2ˆθ不是θ的无偏估计。 证明：()()()[]()θθθθθ

ˆˆˆˆ22

2D E D E +=+=

(

)0ˆ>θD ()2

2

ˆθθ>∴E ()2

ˆθ∴不是2

θ的无偏估计

8、 设分别自总体(

)2

1,σ

μN 和()

22

,σμ

N 中抽取容量为m 和n 的两独立样本，其样本方差

为21S 和22S 。试证：对任意常数()1,=+b a b a ，2

22

1bS aS z +=是2

σ的无偏估计，并

确定常数b a ,使()z D 达到最小。 解：()222

2

2

22

1σσσ

σ=+=+=+=b a b a bES aES Ez

2221bS aS z +=∴是2

σ的无偏估计

4

224

242

22

2

2

1

2

2111212σσσ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-+-=-⋅+-⋅=+=n b m a n b m a DS b DS a Dz 令()()1112

2--+-=n a m a a F ， ()()01

1212∆

=--+-='n a m a a F

1

1

,11-+-=-+-=

∴n m n b n m m a