第课时 指数型对数型函数模型的应用举例
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
2018高中数学必修1课件：3.2.2 函数模型的应用举例 第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举
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【规律总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函 数解析式，然后根据实际问题再求解. (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的 参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析 式求值，然后根据数值回答其实际意义.
【巩固训练】20世纪70年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量 的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振 幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式 为：M=lgA-lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅.
第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例
类型一：指数型函数模型的应用实例 【典例1】某城市现在人口总数为100万人，如果年自 然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关 系式.
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精 确到1年).
为函数v=5log2 ，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗
Q
氧量.
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(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度 是多少？
【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v=0时Q的值. (2)两岁燕子的耗氧量是80个单位时，求它的飞行速度， 即为当Q=80时v的值.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模 型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接 代入表中的数据，问题即可获解. (2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则 可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.
高中数学指数函数与对数函数的综合运用案例分析
高中数学指数函数与对数函数的综合运用案例分析高中数学中，指数函数和对数函数是非常重要的内容，它们在各个领域的应用都非常广泛。
本文将通过一些实际案例，来分析指数函数和对数函数的综合运用。
一、人口增长模型在人口学中，指数函数和对数函数可以用来描述人口的增长和衰减。
以某国家的人口增长为例，假设该国的人口增长率为2%。
我们可以使用指数函数来描述人口的增长情况。
设该国的初始人口为P0，年增长率为r，则经过t年后的人口为P(t) = P0 * (1 + r)^t。
其中，r为增长率，t为时间。
假设该国的初始人口为1000万人，年增长率为2%，我们可以计算出10年后的人口为P(10) = 1000 * (1 + 0.02)^10 ≈ 1218.99万人。
而对数函数则可以用来反推初始人口。
假设我们知道10年后的人口为1218.99万人，我们可以使用对数函数来计算初始人口。
设10年后的人口为P(10) = P0 * (1 + r)^10，我们可以通过对数函数求解P0。
即 log(P(10)) = log(P0 * (1 + r)^10) = log(P0) + 10 * log(1 + r)。
通过求解log(P0) = log(P(10)) - 10 * log(1 + r)，我们可以得到初始人口P0。
二、金融领域中的应用指数函数和对数函数在金融领域中也有广泛的应用。
以复利计算为例，复利是指在一定时间内，本金和利息再次计算利息的方式。
复利计算可以用指数函数和对数函数来描述。
假设我们有一笔本金P0，年利率为r%，我们可以使用指数函数来计算n年后的本金。
设n年后的本金为P(n) = P0 * (1 + r/100)^n。
其中，r为年利率，n为时间。
假设我们有1000元的本金，年利率为5%，我们可以计算出5年后的本金为P(5) = 1000 * (1 + 0.05)^5 ≈ 1276.28元。
而对数函数则可以用来反推初始本金。
指数函数与对数函数的应用
指数函数与对数函数的应用导言：指数函数和对数函数是数学中常见的两类函数，它们在不同领域中有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数和对数函数的基本概念及其应用领域，并通过实际案例来说明其重要性和实用性。
一、指数函数的应用指数函数是以底数为常数的自然指数e为底的幂函数，即y = a^x或 y = e^x。
指数函数在各个领域中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
1. 生物学中的指数增长生物学中的人口增长、细菌繁殖等现象都可以用指数函数来描述。
例如，一个细菌种群的数量随时间的变化可以用指数函数模型来表示。
假设初始时刻细菌数量为N0，每单位时间细菌数量增加的速率与当前细菌数量成正比，即N' = kN，其中N'表示细菌数量的增长速率。
解这个微分方程可以得到细菌数量随时间变化的函数，即N = N0e^(kt)。
这个指数函数描述了细菌数量与时间的关系。
2. 经济学中的复利计算复利是指在固定的时间间隔内，将本金和利息重新投入到资金中进行计算，并按照一定利率进行增长。
复利计算中就涉及到指数函数的运算。
例如，银行存款的利息计算、贷款的利息计算等都是通过指数函数来计算的。
复利的概念在金融领域中具有重要的应用价值。
3. 物理学中的衰变过程指数函数在物理学中也有重要应用，尤其是在描述元素衰变过程中。
例如，放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，这可以用指数函数来描述。
放射性元素的衰变速率可以表示为N' = -kN，其中N'表示衰变速率，N表示元素数量，k为常数。
解这个微分方程可以得到元素数量随时间变化的函数，即N = N0e^(-kt)。
指数函数可以准确地描述元素衰变的过程。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，它是指数函数的反函数。
常见的对数函数有以10为底的常用对数(log)和以e为底的自然对数(ln)。
对数函数在各个领域中也有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
1. 信号处理中的动态范围在音频处理、图像处理等信号处理领域，对数函数常常用来测量信号的动态范围。
指数函数与对数函数 函数模型的应用
3
自主预习 探新知
4
1．常用函数模型
常用 函数 模型
(1)一次函数 模型
(2)二次函数 模型
(3)指数函数 模型
y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
5
常用 函数 模型
(4)对数函数 模型
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[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝－ t2－t2＋ 14020t＋t＋480000002<5t≤<2t5≤，30. (t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900， 所以当t＝10时，ymax＝900(元)． ②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900， 所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)． 结合①②得ymax＝1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售 金额达到最大．
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
8
1．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能
的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9 10
y 15 17 A.一次函数模型
19 21 23 B．二次函数模型
25 27
C．指数函数模型
D．对数函数模型
A [自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值的增量是均匀的，故为一
35
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般 方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的 研究，从而间接求出所需要的结论．
指数函数与对数函数的应用举例
指数函数与对数函数的应用举例指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将通过几个具体的例子来说明指数函数与对数函数在实际中的应用。
第一种应用是在经济学中，指数函数常用于描述经济增长的速度和趋势。
经济增长往往呈现出指数增长的趋势，例如国内生产总值（GDP）的增长。
指数函数的特点是随着自变量的增加，函数值呈现出逐渐加快的增长速度。
利用指数函数可以建立经济增长的模型，预测未来的经济趋势，为政府制定经济政策提供依据。
第二种应用是在生物学领域中，对数函数常用于描述生物种群的增长和衰减。
生物种群的增长不是无限制的，而是在一定资源限制下进行的。
对数函数与指数函数是一对逆运算，可以通过对数函数来逆向建立生物种群的增长模型。
例如，病毒的传播速度就可以通过对数函数来描述，由此可以预测疫情的发展趋势，为防控措施的制定提供依据。
第三种应用是在工程领域中，指数函数和对数函数常用于描述信号的增长和衰减。
在通信领域中，信号在传输过程中会受到噪声的干扰，而且信号的强度通常会随着传输距离的增加而衰减。
指数函数可以描述信号的衰减速度，对数函数可以描述信号的增长速度。
通过对信号进行适当的增益和衰减处理，可以使得信号在传输过程中保持合适的强度，提高通信质量。
第四种应用是在金融领域中，对数函数常用于计算复利的利息。
复利是一种与时间相关的利息计算方式，利息在每个计息周期内都会基于本金和利率进行计算，从而实现利息的复利效应。
对数函数可以简化复利计算公式，使得复利计算更加简便和高效。
金融从业人员可以利用对数函数来计算投资收益和利息，进行风险评估和资产配置。
综上所述，指数函数与对数函数在经济学、生物学、工程学和金融学等各个领域都有着重要的应用。
它们可以用来描述增长和衰减的趋势，建立模型预测未来的发展趋势。
同时，指数函数和对数函数也是计算复利、信号处理和经济增长等方面的重要工具。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的函数来描述和解决问题，充分发挥指数函数与对数函数在不同领域的优势。
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析引言：数学是一门抽象的学科，然而它的应用却无处不在。
在高中数学中，指数与对数函数是一种重要的数学工具，它们不仅仅是纸上的符号，更是实际问题中的解析工具。
本文将通过探讨指数与对数函数在实际问题中的应用，展示它们在解决现实生活中的难题中的重要性和价值。
一、指数函数的应用指数函数是一种以指数为自变量的函数，通常表示为y=a^x，其中a是底数，x 是指数。
指数函数在实际问题中的应用非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 生物学中的指数增长模型生物学中的许多现象都可以用指数函数来描述。
例如，人口增长模型中，假设每年的人口增长率是一个固定的百分比，那么人口数量的增长可以用指数函数来表示。
指数函数可以帮助我们预测未来的人口数量，为制定合理的人口政策提供依据。
2. 经济学中的复利计算在经济学中，复利计算是非常重要的。
复利是指在一定时间内，利息不仅仅是基于本金，还是基于之前的利息。
复利计算可以用指数函数来表示，通过指数函数的运算，我们可以计算出未来的资金增长情况，帮助我们做出理性的投资决策。
3. 物理学中的指数衰减在物理学中，指数衰减是一种常见的现象。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数来描述。
指数函数可以帮助我们计算出物质的衰变速度，并预测未来的衰变情况，为核能的应用提供理论依据。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，通常表示为y=loga(x)，其中a是底数，x是真数。
对数函数在实际问题中的应用也非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 音乐和声音的测量在音乐和声学中，声音的强度可以用对数函数来测量。
由于人类对声音的感知是以对数的方式进行的，因此使用对数函数可以更准确地描述声音的强度。
对数函数的应用使得我们能够更好地理解和控制声音的特性。
2. 化学中的pH值计算在化学中，pH值是用来表示溶液酸碱性的指标。
pH值的计算是基于对数函数的，通过对数函数的运算，我们可以准确地计算出溶液的酸碱性，为化学实验和工业生产提供准确的数据。
指数函数与对数函数的应用举例
指数函数与对数函数的应用举例指数函数与对数函数是高中数学中重要的内容之一，它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将通过几个具体实例，介绍指数函数与对数函数在不同领域中的应用。
1. 财务领域：复利计算在财务领域，指数函数与对数函数被广泛应用于计算复利。
复利是指在固定时间间隔内，将利息重新投资并计入本金，从而实现本金和利息的持续增长。
复利计算涉及到指数函数和对数函数的运算。
举例来说，假设某银行年利率为5%，想要计算某笔本金在5年后的复利总额。
利用指数函数公式，可以计算出复利总额：A =P*(1+r)^n，其中P为本金，r为利率，n为时间。
本题中，P为已知，为方便计算，将利率转化为小数形式，即r=0.05，时间n=5年。
代入公式计算后，得到复利总额A。
而在实际计算中，对数函数也可以用来求解复利问题，通过求解对数函数方程，可以反推出原始本金。
2. 科学领域：放射性衰变指数函数在科学领域中的应用非常广泛，其中一个重要的领域是放射性衰变。
放射性元素的衰变速度可以用指数函数来描述，衰变速率与剩余未衰变的原子数量成正比。
因此，可以使用指数函数来计算某个放射性元素剩余未衰变的原子数量。
举例来说，假设某个放射性物质的半衰期为10天，初始含有1000个原子。
那么经过10天后，根据指数函数公式N(t) = N0 * 2^(-t/T)，其中N(t)为时间t后剩余的原子数量，N0为初始原子数量，T为半衰期，代入数值计算可以得到剩余的原子数量。
同样，对数函数也可以用来计算与放射性衰变相关的问题，例如计算衰变所需的时间。
3. 经济学领域：GDP增长模型指数函数与对数函数在经济学领域中也有重要的应用，特别是用于GDP增长模型的建立和预测。
经济学家通常使用指数函数来描述经济增长的趋势，因为经济增长具有累乘的特征。
举例来说，假设某国GDP的年均增长率为3%，想要预测未来10年的GDP变化情况。
在这种情况下，可以利用指数函数的特性，计算出10年后的GDP相对于初始GDP的增长倍数。
高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例
x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
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例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
第课时 指数型对数型函 数模型的应用举例
2020年4月23日星期四
1.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问题；（重点） 2.能够收集数据信息，建立拟合函数解决实际问题； 3.进一步熟悉运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对 给定的函数模型进行简单的分析评价.（易混点）
想一想： 函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释 有关现象，对某些发展趋势进行预测．
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图
象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与
身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可
以选为
⑵将x=175代
得
人
由计算器计算得 y≈63.98，
由于
加强锻炼 ，增强体
质。
所以，这个男生偏胖．
函数拟合与预测的步骤 ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中 ，这种情况几乎是不可能发生的．
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
令 增长模型为
则我国在1950～1959年期间的人 口
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
验证其准 确性
由图可以看出,所得模型 与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130 000代入Leabharlann 由计算器可得计划生育
勇于开始，才能，找利到国成利
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型 ，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高y kg与 身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高175 cm，体重 为78 kg的在校男生的体重是否正常？
所以,如果按上表的增长趋势,那么功大的约路在1950年民后。的第39年(
即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实
行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的
人口压力.
科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(105Pa)， y与x之间的函数关系式是y=cekx （c,k为常量）在海拔 5 (km)处的大气压强为0.568 3 (105Pa) ，在海拔 5.5 (km)处的大气压强为0.536 6 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.000 1) （2）海拔为h米处的大气压强为0.506 6(105Pa)， 求该处的海拔h.
指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容 ，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中，有关人 口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函 数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原 来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，指 数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中 可转化应用．
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的 具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 由 可得1951的人口增长率为 同理可得，
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.536 6 代入函数关系式y=cekx ，得：
把 x=6.712代入上述函数关系式，得 ≈0.466 8 (105Pa)
答：6.712(km)高空的大气压强为 0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.506 6
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利 率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x 变化的函数式.如果存入本金1 000元，每期利率2.25% ，试计算5期后的本利和是多少？ 思路分析：复利是计算利率的一个方法，即把前一期的 利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设 本金为a，每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利 函数式为y=a(1+r)x.
解：1期后本利和为： 2期后本利和为： …… x期后，本利和为： 将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
O
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线， 根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=a•bx来近似 反映.
勇于开始，才能找到成 功的路
解已输机图如两7（4根代入函数由计算器得从而函数模型07：知入，象果组1据.，26⑴ 数 计 画 ； 取 数 图570），.将据算出其据象90进行拟合．中（，）的选, 择函数 为