特征函数和矩母函数概要
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r 0
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0
P{Y k , N l}s
k 0 l 0
k
P{Y k}P{ N l}s k
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散 型随机变量X，特征函数为
(t ) eitx pk
k
k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征 函数为 (t ) eitx f ( x)dx 对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
(t ) (t1 , t2 ,, tn ) Ee
itX
n E exp i tk X k k 1
性质： (1) (0) 1, (t ) 1, (t ) (t ) 。 (2) (t ) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则 (k ) k k (0) i EX , k n 当k=1时，EX = (1) (0) / i ； (2) (1) 2 当k=2时，DX = (0) ( (0) / i) 。
二、特征函数
1 .特征函数 设X为随机变量，称复随机变量 e itX 的数学期望
X (t ) E[e
itX
]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t) X (it )
还可写成
ei cos i sin
欧拉公式：
பைடு நூலகம்X (t ) E[costX ] iE[sin tX ]
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n 0,1,
k n k
P
( n)
( s) n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数 定理1
r (t ) ， 2 (t ) ，…， 矩母函数分别为 1 (t ) ，
Y X 1 X 2 X r 的矩母函数为
，X r 的 设相互独立的随机变量 X 1，X 2，
则其和
Y (t ) 1 (t ) 2 (t ) … r (t )
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整 数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非 负整数值随机变量，则 Y N X
k 1
k
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
l
P{N l} P( s )
l 0 j 1
l
P{N l}[ P( s )]l G ( P( s))
l 0
dG( P ( s )) EY H (1) ds s 1 dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s 1 G (1) P (1) EN EX 1 (注P (1) 1)
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有 k k PX ( s) pk s , PY ( s) qk s
P (1) k (k 1) pk k (k 1) pk
k 2 k 1
k pk kpk EX 2 EX
2 k 1 k 1
DX EX 2 ( EX ) 2 P (1) EX ( EX ) 2 P (1) P (1) [ P (1)]2
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
1．定义
称
e
tX
的数学期望
(t ) E[e ]
tX
为随机变量X的矩母函数。
2．原点 矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t )逐次求导，并计算在 t 0
值：
tX (t ) E[ Xe ]
（n )
点的
n tX
(t ) E[ X e ]
( n)
(0) ，n 0,1， n!
(2)
P ( s ) pk s k , P ( s ) kpk s k 1
k 0 k 1
E ( X ) kpk P (1)
k 1
P ( s ) k (k 1) pk s k 1
k 2
(4) H ( s ) P{Y k}s k
k 0 k P Y k , { N l} s k 0 l 0
P{Y k , N l}s
k 0 l 0
k
P{Y k}P{ N l}s k
分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散 型随机变量X，特征函数为
(t ) eitx pk
k
k 1
概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征 函数为 (t ) eitx f ( x)dx 对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特 征函数为
(t ) (t1 , t2 ,, tn ) Ee
itX
n E exp i tk X k k 1
性质： (1) (0) 1, (t ) 1, (t ) (t ) 。 (2) (t ) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则 (k ) k k (0) i EX , k n 当k=1时，EX = (1) (0) / i ； (2) (1) 2 当k=2时，DX = (0) ( (0) / i) 。
二、特征函数
1 .特征函数 设X为随机变量，称复随机变量 e itX 的数学期望
X (t ) E[e
itX
]
为X的特征函数，其中t是实数。
X (t) X (it )
还可写成
ei cos i sin
欧拉公式：
பைடு நூலகம்X (t ) E[costX ] iE[sin tX ]
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n 0,1,
k n k
P
( n)
( s) n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数 定理1
r (t ) ， 2 (t ) ，…， 矩母函数分别为 1 (t ) ，
Y X 1 X 2 X r 的矩母函数为
，X r 的 设相互独立的随机变量 X 1，X 2，
则其和
Y (t ) 1 (t ) 2 (t ) … r (t )
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数 之积。 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整 数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非 负整数值随机变量，则 Y N X
k 1
k
的母函数H(s)=G(P(s)) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。
证明：(1)
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
l
P{N l} P( s )
l 0 j 1
l
P{N l}[ P( s )]l G ( P( s))
l 0
dG( P ( s )) EY H (1) ds s 1 dG dP G ( P (1)) P (1) dP ds s 1 G (1) P (1) EN EX 1 (注P (1) 1)
(3) 设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律
分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中 ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有 k k PX ( s) pk s , PY ( s) qk s
P (1) k (k 1) pk k (k 1) pk
k 2 k 1
k pk kpk EX 2 EX
2 k 1 k 1
DX EX 2 ( EX ) 2 P (1) EX ( EX ) 2 P (1) P (1) [ P (1)]2
矩母函数和特征函数
一、矩母函数
1．定义
称
e
tX
的数学期望
(t ) E[e ]
tX
为随机变量X的矩母函数。
2．原点 矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
(t )逐次求导，并计算在 t 0
值：
tX (t ) E[ Xe ]
（n )
点的
n tX
(t ) E[ X e ]
( n)
(0) ，n 0,1， n!
(2)
P ( s ) pk s k , P ( s ) kpk s k 1
k 0 k 1
E ( X ) kpk P (1)
k 1
P ( s ) k (k 1) pk s k 1
k 2