2009年成人高考专升本数学试题及答案

2009年成人高考专升本高数二试题

2009年成人高考专升本高数二试题一、选择题:1～10小,每小题4分,共40分. 1. 2tan(1)lim 1x x x →-=-A . 0B . tan1C .4πD . 22. 设2sin ln 2y x x =++，则y '= A . 2sin x x -+B . 2cos x x +C . 12cos 2x x ++D . 2x3. 设函授()ln xf x e x =,则(1)f '= A . 0B .1C . eD . 2e4. 函授()f x 在[]0,2上连续,且在(0,2)内()f x '＞0，则下列不等式成立的是 A . (0)f ＞(1)f ＞(2)f B . (0)f ＜(1)f ＜(2)f C . (0)f ＜(2)f ＜(1)fD . (0)f ＞(2)f ＞(1)f5. (2)x x e dx +=⎰A . 2xx e C ++B . 22x x eC ++ C . 2xx xe C ++D .22x x xe C ++6.12011d dx dx x =+⎰ A . 21dx x+ B .211x+ C .4πD . 07. 若22()x x f x e dx e C =+⎰,则()f x =A . 2xB . 2xC . 2xeD . 18. 设函数tan()z xy =,则z x∂=∂ A . 2cos ()x xy -B . 2cos ()xxyC .2cos ()yxyD .2cos ()yxy -9. 设函数()z f u =,22u x y =+且()f u 二阶可导，则2zx y∂=∂∂A . 4()f u ''B . 4()xf u ''C . 4()yf u ''D .4()xyf u ''10. 任意三个随机事件A ，B ，C 中至少有一个发生的事件可表示为( ) A . A B C ⋃⋃ B . A B C ⋃⋂ C . A B C ⋂⋂ D .A B C ⋂⋃二、填空题:11～20小题,每小4分,共40分.11. 22343lim 3x x x x x→-+=- . 12. 1lim 13xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13. 设函数223,1()2,11,1x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则0(lim ())x f f x →= .14. 已知3y ax =在1x =处的切线平行于直线21y x =-,则a = . 15. 函数sin y x x =,则y ''= .16. 曲线52108y x x =-+的拐点坐标00(,)x y = . 17.xdx ⎰= .18. 3x e dx =⎰ . 19.1ln exdx x=⎰. 20. 设函数2ln()z x y =+,则全微分dz = .三、解答题: 21～28题,共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. (本小题满分8分)求311ln lim1x x xx →-+-. 22. (本小题满分8分)设函数sin xy e =,求.dy23. (本小题满分8分)计算1ln xdx x +⎰.24. (本小题满分8分)计算arcsin xdx ⎰.25. (本小题满分8分)有10件产品,基中8件是正品,2件是次品,甲、乙两人先后各抽取一件产品,求甲先抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率. 26. (本小题满分10分)求函数22()f x x x=-的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. 27. (本小题满分10分) (1)求在区间[]0,π上的曲线sin y x =与x 轴所围成图形的面积.S （2）求（1）中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V . 28. (本小题满分10分)求函数222482z x y x y =++-+的极值.09年试题参考答案和评分参考一、选择题：每小题4分，共40分。

2009专升本之高等数学答案

2009年福建省高职高专升本科入学考试高等数学试卷答案一、单项选择题1.C;2.B;3.A;4.B;5.A;6.D;7.D;8.D;9.C; 10A 。

二、填空题 11.2; 12.12; 13.211x+; 14.13(3cos sin )d x e x x x --+; 15. 33±; 16.94; 17.212±; 18.4;19.6; 20.112212x xC e C e -+。

三、计算题 21.解：2222222(arctan )11limlim()lim1().222421x x x x x x xxxπππ→+∞→+∞→+∞+==⋅=+⋅=+原式22.解：0ln(12)2(00)lim ()limlim 2x x x x x f f x xx+++→→→++====,01(00)lim ()lim (2sin)2x x f f x x x--→→-==+=,(0)2f =,(00)(00)(0)2f f f +=-== ,()f x ∴在点0x =处连续.23.解：211((ln ))ln 111; .1(ln ))2222ln t t dydyt t t dy t dt dx dx t t t dxt dt t=='+-====∴=='-⋅24.解：方程两边对x 求导：;y yy e xe y ''=+⋅ 整理得：;1yyey xe'=-222222223;(1)()(2)1.(1)(1)(1)(1)yyyy y y y yyyyyyyyy yee e d y dy e y xe e e xe y ee y exe xedxdxxe xe xe xe +⋅''''⋅--⋅--⋅+⋅--=====----25.解：令2sin ,()22x t t ππ=-<<，则2cos dx tdt =，∴原式=222111142cos csccot 4sin 2cos 444x tdt tdt t C C t tx-==-+=-⋅+⋅⎰⎰.26.解：1111222220213arccos arccos 11.66621x xxd x x dx x xπππ-=-=-⋅=--=+--⎰⎰原式27.解：1212(2,1,3),(1,3,1),213(8,1,5),131ij kn n s n n =-=-=⨯=-=--取方向向量所以直线方程为211815x y z -+-==-.28.解：()tan , ()sec P x x Q x x ==，tan tan ln cos ln cos 21(sec )(sec )cos (sec )cos cos (sec )cos (tan )sin cos xdx xdx x xy e xe dx C e xe dx C x x dx C xx xdx C x x C x C x--⎰⎰∴=+=+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰通解又由00x y==知0C =，所以特解sin y x =.四、应用题29.解：设围成圆形的铁丝长为x ，则另一段为a x -，总面积为S ， 2222()()()(),2444x a x xx a S x πππ--=+=+211()2(),44222x x a a S x x ππ-'=+⋅=+- 令()0S x '=得唯一驻点11, (),122a x S x πππ''==++且11()0,122a S πππ''=+>+∴总面积在1a x ππ=+处取得最小值，从而围成正方形的铁丝长为1aπ+，围成圆形的铁丝长为1a ππ+时，总面积最小。

2009专转本高数试卷

11．若幂级数的收敛半径为，则常数
12．微分方程的通解为_______
得评卷复评
3．计算题（本大题共8小题，每小题8
分人人
分，满分64分）
13．求极限
14．设函数由参数方程所确定，求
15．求不定积分 16．求定积分 17．求通过直线且垂直于平面的平面方程。
18．计算二重积分，其中
19．设函数，其中具有二阶连续偏导数，求 20．求微分方程的通解。
选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母填在题后的括号内）
1．已知，则常数的取值分别为
（）
A.
B.
C.
D.
2．已知函数，则为的
（）
A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.振荡间断点
3．设函数在点处可导，则常数的取值范围为（）
得评卷复评分人人
4．综合题（本大题共2小题，每小题10 分，满分20分）
21．已知函数，试求：（1）函数的单调区间与极值；（2）曲线的凹凸区间与拐点；（3）函数在闭区间[—2,3]上的最大值与最小值。
22．设是由抛物线和直线所围成的平面区域，是由抛物线和直线及所围成的平面区域，其中，试求：（1）绕轴旋转所成的旋转体的体积，以及绕轴旋转所成的旋转体的体积；（2）常数的值，使得的面积与的面积相等。
得评卷复评分人人
5．证明题（本大题共2小题，每小题9 分，满分18分）
23．已知函数证明：函数在点处连续但不可导。
24．证明：当时，
合计得分
题号一
二
三
四
五
复查人
得分

2009年全国成人高考高中起点数学试题第一题及解答

09年试题第一题及解答一、选择题：每小题5分，共85分（1）设集合}{1,2,3M =，}{1,3,5N =，则M N ⋂=}{}{}{().;().1,3;().5;().1,2,3,5.A B C D φ（2）函数sin cos y x x =+的最大值为：1().1;().2;().;(2A B C D （3）,a b 为实数，则22a b >的充分必要条件为 ().;().;().;().A a b B a b C a b D a b >><>-（4）抛物线24y x =的准线方程为 C().4;() 2.;().1;().4A x B x C x D x ===-=-.解：抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，准线方程为2p x =-（5）不等式210x ->的解集为C(6) 点P(3,2)、Q(-3,2)，则P 与Q B().;()y ;().y=;().y= - A x B C x D x 关于轴对称关于轴对称关于直线对称关于直线对称（7）公比为2的等比数列}{n a 中，1237a a a ++=，则1a =77().;().1;().;().733A B C x D -=. （8）正六边形中，由任意三个顶点连线构成的三角形的个数为().6;().20;().120;().720A B C D .（9）如果04πθ<<，则().cos sin ;().cos n ;().cos n ;().sin n .A B ta C ta D ta θθθθθθθθ<<><解一：画图法……解二：根据函数的单调性，并考察 0,4πθθ==时的相关函数值…… 如：由于04πθ<<时，函数sin ,n y y ta θθ==都是单调增的，且2sin n (1)442ta ππ<< sin n ta θθ∴< 解三：由sin n ta θθ<，即sin 1sin 1cos cos θθθθ<⇔<，且后者在04πθ<<是恒成立. 故选D.（10）下列函数中，在其定义域上为增函数的是234().;().;().;()..A y x B y x C y x D y x ====（11）ABC ∆中，AB=3，060B =，BC=2，则AC=().4;(A B C D（12）过点（1，2）且与直线230x y +-=平行的直线方程为().250;().230;().240;().20.A x y B y x C x y D x y +-=--=+-=-=（13）平面上到两定点12(1,0),(1,0)F F -距离之和为4的点的轨迹方程为2222222().1;().1;4343().1;().2.34x y x y A B x y C D y x +=-=+== （14）圆222x y a +=与直线 20x y +-=相切，则a =B().4;().2;().1.A B C D （15）设1a b >>，则 D3333().0.30.3;().33;().log log ;.().log log .a b a b a b a b A B C D ><<>（16）某人打靶，每枪命中目标的概率都是0.9，则4枪中恰有2枪命中的概率为().0.0486;().0.81;().0.5;().0.0081.A B C D 解：设在同一条件下做n 次独立重复试验，每次出现的概率为p ，则n 次中恰好出现k 次的概率为{}(1)k k n k n P k C p p ξ-==-，所以22424(1)0.9(10.9)kk n k n C p p C ---=- .430.810.010.04862!⨯=⨯⨯= . 选A. （17）函数1y x =-的图像在（A ）第一、二象限；（B ）第一、三象限；（C ）第三、四象限；（D ）第二、四象限.选D.。

2009年成人高考高中起点升专科、本科《数学》(理科)试卷及详解【圣才出品】

15．圆
（r＞0，θ为参数）与直线 x－y＝0 相切，则 r＝（）．
A．
B．
C．2 D．4 【答案】A
【解析】消去圆的参数方程中的参数，有（x－1）2＋（y＋1）2＝r2，圆心为（1，
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－1）．因为圆和 x－y＝0 相切，应有

17．某人打靶，每枪命中目标的概率都是 0.9，则 4 枪中恰有 2 枪命中目标的概率为（）．
A．0.0486 B．0.81 C．0.5 D．0.0081 【答案】A 【解析】所求概率应为
A．{x|－1≤x＜1}
B．
C．{x|－1＜x≤1}
D．
【答案】B
【解析】解不等式 3x ＋ 1 ≥ 0 ，得
，集合 B ＝ {x|x ＜ 1} ，所以
．
2．设 z＝1＋2i，i 为虚数单位，则
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
【答案】D
【解析】z＝1＋2i，则
，所以
（）．
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2009 年成人高考高中起点升专科、本科《数学》（理科）试卷及详解
－、选择题：本大题共 17 小题，每小题 5 分，共 85 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．集合 A 是不等式 3x＋1≥0 的解集，集合 B＝{x|x＜1}，则集合 A∩B＝（）．
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B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D．甲是乙的充分必要条件【答案】D 【解析】由于 y＝2x 是（－∞，＋∞）内的增函数，所以 2a＞2b 等价于 a＞b，亦即甲是乙的充分必要条件．

2009年江苏专转本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知：则常数a，b的取值分别为( )A．z=-1，b=-2B．a=-2，b=0C．a=-1，b=0D．a=-2，b=-1正确答案：A解析：由已知得+ax+b=0，4+2a+b=0，+a=4+a=3解得a=-1，b=-2．2．已知函数f(x)=则x=2为f(x)的( )A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．震荡间断点正确答案：B解析：由于，所以x=2为f(x)的可去间断点．3．设函数在点x=0处可导，则常数a的取值范围为( )A．0＜a＜1B．0＜a≤1C．a＞1D．a≥1正确答案：C解析：由已知f(x)在点x=0处可导,则存在，所以a-1＞0，即a＞1．4．曲线的渐近线的条数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：两条，一条垂直渐近线，一条水平渐近线．5．设F(x)=ln(3x+1)是函数f(x)的一个原函数，则f’(2x+1)dx=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由已知f(x)=F’(x)=，则∫f’(2x+1)dx=∫f’(2x+1)d(2x+1)=f(2x+1)+C=6．设a为非零常数，则数项级数( )A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．敛散性与a有关正确答案：C解析：，故原级数发散．填空题7．已知，则常数C=_____．正确答案：ln2解析：所以C=ln2．8．设函数φ(x)=∫02xtetdt，则φ’(x)=______．正确答案：4xe2x解析：利用变上限积分求导，φ’(x)=2xe2x.2=4xe2x．9．已知向量a=(1，0，-1)，b=(1，-2，1)，则a+b与a的夹角为_____．正确答案：解析：利用向量夹角公式10．设函数z=z(x，y)由方程xz2+yz=1所确定，则_______．正确答案：解析：隐函数求导，方程两边对x求导，得z2+x.2z.zx+zx.y=0，整理得zx=11．若幂级数(a＞0)的收敛半径为，则常数a=______．正确答案：2解析：根据所给幂级数an=(2n-1) 收敛半径R=所以a=2．12．微分方程(1+x2)ydx-(2-y)xdy=0的通解为_____．正确答案：2ln｜y｜-y=ln｜x｜+x2+C解析：这是一个可分离变量的常微分方程，分离变量得，化简得(+x)dx=(-1)dy．两边积分得2ln｜y｜-y=ln｜x｜++C 解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2009年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案

一、一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：A第2题参考答案：B第3题参考答案：D第4题参考答案：C第5题参考答案：B 第6题参考答案：A 第7题参考答案：D 第8题参考答案：B 第9题参考答案：C第10题参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。

每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。

第11题第12题参考答案：0第13题第14题第15题第16题第17题第18题过点M0(1,-1,0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为___.参考答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2) 因平面x-y+3z=1的法向量n={1，-1，3}，又因所求平面与平面x-y+3z=1平行，所以所求平面的法向量也为n，故所求平面的方程为(x-1)-(y+1)+3z=0（或x-y+3z=2）.第19题参考答案：4第20题设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3.则曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线方程为___.参考答案：y=3 因x0=2为f(x)的极小值点，所以f′(2)=0,即f(x)在点(2，3)处的切线的斜率为0，故此切线方程为y=3.三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。

解答应写出推理，演算步骤。

第21题第22题设y=xsinx,求y′.参考答案：y=xsinx y′=x′sinx+x(sinx)′(4分) =sinx+xcosx.（8分）第23题第24题第25题第26题第27题第28题。

2009年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2009年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．当x→0时，函数f(x)=sinax与g(x)=ln(1—2x)为等价无穷小，则常数a 的值为( )．A．一1B．1C．一2D．2正确答案：C解析：因为f(x)与g(x)为等价无穷小量．所以又x→0时，sinax～ax，ln(1—2x)～一2x，所以a=一2．2．已知函数f(x)=sinx，则f(2009)(x)=( )．A．sinxB．cosxC．—sinxD．—cosx正确答案：B解析：f’(x)=cosx，f’’(x)=一sinx，f’’(x)=一cosx，f(4)(x)=sinx，周期为4．因为2009=2008+1，f(2009)(x)=f’(x)=cosx．3．已知∫(x)dx=2x+C，则=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：4．幂级数的收敛域为( )．A．(一2，2)B．[一2，2)C．(一2，2]D．[-2，2]正确答案：B解析：5．已知闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积∮L(4x2+4y2－6)ds=( )．A．40πB．12πC．6πD．4π正确答案：A解析：填空题6．定积分∫-11(3x2+4sinx)dx的值为__________．正确答案：2解析：7．极限的值为________．正确答案：e—1解析：8．过点(1，1，1)且与向量a={1，1，0}和b={一1，0，1)都垂直的直线方程为_________．正确答案：解析：设所求直线方向向量为(x，y，z)，则由题意可求得x=1，y=-1，z=1，所以(1，一1，1)为直线方向向量．又因为过点(1，1，1)，所以直线方程为9．微分方程的通解为__________．正确答案：解析：，所以，所以，两边积分，lny=一lnx+C1所以lnx+lny=C1，lnxy=C1，所以xy=eC1，所以10．已知函数z=sin(x2y)，则dz｜(1,π)___________．正确答案：—2ndx—dy解析：综合题11．设函数在x=0处连续，求常数a的值．正确答案：12．设参数方程确定函数y=y(x)，求正确答案：13．求函数f(x，y，z)=ln(x2+y2+z2)在点P(-1，1，一1)处沿从点P到点Q(-2，一1，1)的方向的方向导数．正确答案：其方向余弦为14．设函数z=f(xy，x2一y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求正确答案：15．设方程∫0xetdt—∫0yetdt一sin(xy)=0确定函数y=y(x)，求正确答案：方程两边对x求导数，有16．求函数的单调区间和极值．正确答案：f(x)的定义域为解得x=1是f(x)的驻点，x=0是f(x)不可导的点当x∈(一∞，0)时，f’(x)＞0，f(x)在(一∞，0]内单调增加。

2009年成人高考专升本高等数学二考试真题及参考答案

一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题
参考答案：B
第2题
参考答案：B
第3题
参考答案：C
第4题
参考答案：B
第5题
参考答案：A 第6题
参考答案：D 第7题
参考答案：A 第8题
参考答案：C 第9题
参考答案：D
第10题
参考答案：A
二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上。

第11题
参考答案：2/3
第12题
参考答案：
第13题
参考答案：8
第14题
参考答案：2/3
第15题
参考答案：2cosx-xsinx 第16题
参考答案：(1,-1)
第17题
参考答案：
第18题
参考答案：
第19题
参考答案：1/2
第20题
参考答案：
三、解答题：共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

第21题
第22题
第23题
第24题
第25题有10件产品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙两人先后各抽取一件产品，求甲先抽到正品的条件下，乙抽到正品的概率.
第26题
第27题(1)求在区间[0，π]上的曲线y=sinx与x轴所围成图形的面积S;
(2)求(1)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
第28题。

2009年江苏“专转本”高等数学试题及参考答案

2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填在题后的括号内。

）1、已知32lim 22=-++→x bax x x ，则常数a ，b 的取值分别为A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a 2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的A 、跳跃间断点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、震荡间断点3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,1sin 0,0)(x x x x x f a 在0=x 处可导，则常数a的取值范围是A 、10<<aB 、10≤<aC 、1>aD 、1≥a 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐近线条数为A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f )12('A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、Cx ++81236、设a 为非零常数，则数项级数∑∞=+12n nan A 、条件收敛B 、绝对收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知2)(lim =-∞→x x Cx x ，则常数=C 8、设函数⎰=x t te x 20)(ϕ，则=)('x ϕ9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹角为10、设函数),(y x z z =由方程12=+yz xz 所确定，则=∂∂x z 11、若幂级数n n n x na ∑∞=12)0(>a 的收敛半径为21，则常数=a 12、微分方程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，求dt dy ，22dx y d 15、求不定积分dx x ⎰+12sin 16、求定积分dxx x ⎰-1022217、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程.18、计算二重积分⎰⎰D ydxdy，其中{}2,2,20|),(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .19、设),(sin xy x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2.20、求微分方程x y y =-'''的通解.四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、已知13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间[]3,2-上的最大值和最小值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线22x y =和直线a x =，2=x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：（1）1D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积2V ；（2）常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、已知⎩⎨⎧≥+<=-010)(x x x e x f x ，证明)(x f 在0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<<x 时，32ln 42-+>x x x x .。

09年专升本高数真题答案

共 10 页，第 1 页2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学答案及【解析】析一、选择题（每小题2分，共计60分）1.答案D.【解析】：注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.答案C.【解析】:，()ln(f x x -=-()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-++==，选C.()()f x f x -=-3．答案D.【解析】：，，应选D.11lim 11x x x +→-=-11lim 11x x x -→-=--4.答案C.【解析】：由等价无穷小量公式，应选C.5.答案B.【解析】：是的可去间断点,应选B.00e 1lim ()lim 1x x x f x x→→-==⇒0=x )(x f 6. 答案D.【解析】：，应选D.(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-7.答案D.【解析】：，，应选D.1(3)21()2f x x -=(4)()f x =3214x --8.答案A.共 10 页，第 2 页【解析】：，应选A.0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切9.答案B.【解析】:由得d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦把代入得,所以,应选B.(0)0f =1C =-2()e e x x f x =-10.答案A.【解析】:根据可导与连续的关系知，应选A.11.答案A.【解析】: ，，应选A.34486y x x '=-+212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-12. 答案B.【解析】: ，，应选B.e lim 0x x x →-∞=0e lim xx x→=∞13.答案D.【解析】: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 答案A.【解析】:根据连续函数在闭区间上的性质及的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,()()f a f b =应选A.15.答案B.【解析】: ,应选B.()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-16.答案C.【解析】: =,应选C.2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰221(1)2x C --+17.答案D.【解析】: 根据定积分的保序性定理，应有，应选D.22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰18.答案C.共 10 页，第 3 页【解析】:因,考察积分的可加性有1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，应选C.1111ln ln ln eeeex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰19．答案C.【解析】:由广义积分性质和结论可知:是的积分,收敛的,应选C.21(ln )edx x x +∞⎰2p =20.答案C.【解析】:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程在空间直角220x y z +-=坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21.答案D.【解析】:,应选D.0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒= :22.答案A.【解析】:因,直线在平面内或平行但直线不在平面{}2,7,3s =-- {}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒内.又直线上点不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.(3,4,0)--23.答案B.【解析】:原式00(,)(,)(,)(,)limlim h h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=-00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=-应选B.24．答案D 【解析】：，应选D 22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---25．答案D.【解析】:积分区有{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭(,)ady f x y dx⎰共 10 页，第 4 页,应选D.20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰26.答案A.【解析】: 由格林公式知, ，(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰:应选A.27.答案C.【解析】: 根据可分离变量微分的特点,可化为220x y xdx e dy y++=知,应选C.22y x ye dy xe dx -=-28.答案A.【解析】: 由级数收敛的性质知,收敛,其他三个一定发散,应选A.110nn u ∞=∑29.答案C.【解析】: 根据可知,23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤ ,应选C.23ln(1),1123x x x x x -=-----≤< 30.答案B.【解析】: 令,级数化为,问题转化为:处收敛,确定处是否收敛.1x t -=1(1)nn n a x ∞=-∑1n n n a t ∞=∑2t =-1t =由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：.⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-21,121x x x x 【解析】：.()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--32.答案：.21共 10 页，第 5 页【解析】：.2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12limlim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============:::33.答案：.2ln 【解析】：因，2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭所以有 .38a e =ln 2a ⇒=34.答案：.1=a 【解析】：函数在内处处连续，当然在处一定连续，又因为(,)-∞+∞0x =，所以.0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=35.答案：.043=+-y x 【解析】：因.2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+36.答案：.1=ξ【解析】：.(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-37.答案：.⎪⎭⎫⎝⎛41,0【解析】：,应填或或或.1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,4⎛⎤⎥⎝⎦38.答案：.7【解析】：.222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰39.答案：.{}12,8,4-【解析】：因向量与共线,可设为，b a b{},2,3k k k -,所以.5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒={}4,8,12b =- 40.答案：.()222212y xe x ++共 10 页，第 6 页【解析】：.22222222222(12)x y x y x y z z z e xe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂41.答案：.()0,0【解析】：.40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩42．答案：0.【解析】：利用对称性知其值为0或.232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰43.答案：.()⎰⎰102,yydx y x f dy 【解析】：积分区域,{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤则有.21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰44.答案：.xx x xe e C e C y ---+=41231【解析】：的通解为，根据方程解的结构,原方程的通解为230y y y '''--=312x x y C e C e -=+.31214x x x y C e C e xe --=+-45.答案：.1332+-n n 【解析】：当时,.2n ≥3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+三、计算题（每小题5分，共40分）46．求.011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 【解析】：20001111lim lim lim1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭.0011lim lim 222x x x e x x x →→-===47.设是由方程确定的隐函数，求.()y y x =ln sin 2xy e y x x +=dxdy共 10 页，第 7 页【解析】：方程两边对求导得x ()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y'+=--所以 .dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+ 48.已知，求.2()x xf x dx e C -=+⎰1()dx f x ⎰【解析】：方程两边对求导得2()x xf x dx e C -=+⎰x ，即，2()2xxf x e-=-22()xe f x x--=所以.211()2x xe f x =- 故22111()24x xdx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ .222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰49.求定积分.44|(1)|x x dx --⎰【解析】：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx---=-+-+-⎰⎰⎰⎰ 01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx-=-+-+-⎰⎰⎰ 014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.641164118843323332=++-+--+=50.已知求全微分.22xxy y z e +-=dz 【解析】：因,222222()(2)x xy y x xy y x z ex xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂共 10 页，第 8 页,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂且它们在定义域都连续，从而函数可微，并有22xxy y z e +-=.z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-51.求，其中区域由直线围成.(2)Dx y d σ+⎰⎰D ,2,2y x y x y ===【解析】：积分区域如图所示：D 把看作Y 型区域，且有D (,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰.2222025()4y y x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==52.求微分方程的通【解析】.22x y xy xe -'-=【解析】：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程的通【解析】为，20y xy '-=2x y Ce =设原方程的【解析】为代入方程得,2()x y C x e =22()x x C x e xe -'= 即有，22()x C x xe -'=所以 ,222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰ 故原方程的通【解析】为.2214x x y e Ce -=-+53.求幂级数的收敛区间（考虑区间端点）.212nn n n x ∞=∑【解析】：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数，212nn n n x ∞=∑x y→=2yx因,221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯= 当，即是绝对收敛的；212x l =<||x <212n n n n x ∞=∑ 当，即是发散的；212x l =>||x >212n n n n x ∞=∑ 当，即化为，显然是发散的。

2009年成人高考专科起点升本科《高等数学(二)》真题及详解【圣才出品】

D．2x2＋xex＋C
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【答案】A
【解析】根据丌定积分加法原则
．
6．
（）．
A．
B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为定积分
是个常数，故对其求导为 0．
7．若 A．2x B．x2 C． D．1 【答案】A 【解析】由
，则
＝（）．
（1）（2）
9 / 10
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28．求函数 z＝x2＋2y2＋4x－8y＋2 的极值．（本题满分 10 分）
解：令
，得
，，且 A＝2＞0，所以 f（－2，2）＝－10 为极小值．
10 / 10
，得
3 / 10
，故
．
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8．设函数 z＝
，则（）．
A．
B．
C．
D．【答案】C
【解析】
．
9．设函数 z＝
，u＝x2＋y2 且
二阶可导，则
（）．
A．4 B．4x C．4y D．4xy 【答案】D
【
解
析
】
，
．
10．任意三个随机事件 A、B、C 中至少有一个发生的事件可表示为（）． A．A∪B∪C
21．计算
（本题满分 8 分）
解：由洛必达法则得
22．设函数 y＝esinx，求 dy．（本题满分 8 分）
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解：
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则
23．计算解：
（本题满分 8 分）
24．计算解：

安徽省2009年普通高等学校专升本高等数学试题和答案

安徽省2009年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内。

1．A x f x x =→)(lim是0x x →时，函数A x f -)(为无穷小量的是（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)21()(1x ax x x f x 在0=x 处连续，则=a （）A ．1B ．eC ．2e D ．2-e 3．函数x xe y -=在区间（3，5）内是（） A ．单调递增且凸B ．单调递增且凹C ．单调递减且凸D ．单调递减且凹 4．已知⎰+=C x dx x f sin )(则⎰')(x ＝（）A ．x cosB ．x sinC ．x cos -D ．x sin - 5．设dx y x f dy I y⎰⎰=100),(，交换积分次序得=I （）A ．⎰⎰112),(xdy y x f dx B ．⎰⎰11),(dy y x f dxC ．⎰⎰12),(x dy y x f dx D ．⎰⎰xdy y x f dx 010),(6．下列级数中发散的是（）A ．∑∞=021n n B ．∑∞=+131n n nC ．1)1(1+-∑∞=n n n nD ．n n n 1)1(1∑∞=-7．已知A A A A A A n A 表示的行列式，表示，且阶方阵，为**)(42==的伴随矩阵），则=n （）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110,000,121321a a a ，则（）A ．1a 线性相关B ．21,a a 线性相关C ．21,a a 线性无关D ．321,,a a a 线性相关9．学习小组有10名同学，其中6名男生，4名女生，从中随机选取4人参加社会实践活动，则这4人全为男生的概率是（） A ．141 B ．143 C ．74 D ．7110．已知=+===)(,8.0)|(,4.0)(,3.0)(B A P A B P B P A P 则（）A ．0.7B ．0.46C ．0.38D ．0.24二、填空填：本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。

2009年成考专升本高数真题及答案

/cctvchildren/dongmanshijie/videopage/index.shtmlLXGIWYL = 一般武器KJKSZPJ = 暴力武器UZUMYMW‘= 超级武器HESOYAM = 恢复生命值, 防弹衣, $250kOSRBLHH = 增加两颗警星ASNAEB = 清除警星(偷渡和闯如军事基地无效) AFZLLQLL = 好天气ICIKPYH = 非常好的天气ALNSFMZO = 变阴暗天气AUIFRVQS = 下雨的天气CFVFGMJ = 雾深的天气YSOHNUL = 时间过的更快PPGWJHT = 快速游戏LIYOAAY = 慢速游戏AJLOJYQY = 暴动BAGOWPG = 街上的人见了你都逃跑(胆大者会向你开枪) FOOOXFT = 行人拥有武器AIWPRTON = 坦克CQZIJMB = 破旧的车JQNTDMH = 农场工人的车PDNEJOH = 赛车1VPJTQWV = 赛车2AQTBCODX = 葬礼车KRIJEBR = 环座型贵宾车UBHYZHQ = 垃圾车RZHSUEW = 高尔夫车CPKTNWT = 附近所有车爆炸XICWMD = 看不见的汽车PGGOMOY = 完美的处理SZCMAWO = 自杀ZEIIVG = 所有的红绿灯变绿灯YLTEICZ = 攻击性的驾驶员LLQPFBN = 粉红的交通(所有车变粉红色) IOWDLAC = 黑色的交通(所有车变黑色) AFSNMSMW = 船可以飞BTCDBCB = 肥胖JYSDSOD = 强壮值全满KVGYZQK = 薄的ASBHGRB = Elvis 在各处BGLUAWML = Peds 用武器攻击你, 火箭发射者CIKGCGX = 海滩党MROEMZH = 各处一组成员BIFBUZZ = 团队控制街道AFPHULTL = 忍者主题BEKKNQV = 所有丑女被你吸引BGKGTJH = 交通是便宜的汽车GUSNHDE = 交通是快速的汽车RIPAZHA = 汽车会飞JHJOECW = 未知JUMPJET = 战斗机Spawn HydraKGGGDKP = 水翼船Spawn Vortex HovercraftJCNRUAD = 非常的繁荣COXEFGU = 所有的汽车有Nitro All Cars Have Nitro(氮气) BSXSGGC = 未知Cars Float Away When HitXJVSNAJ = 总是午夜的OFVIAC = 橘色天空21:00MGHXYRM = 雷雨CWJXUOC = 沙暴LFGMHAL = 跳的更高BAGUVIX = 无限健康CVWKXAM = 无限氧气AIYPWZQP = 降落伞YECGAA = 火箭飞行器JetpackAEZAKMI = 不被通缉LJSPQK = 警星全满IAVENJQ = 百万打洞器AEDUWNV = 不会饥饿IOJUFZN = 暴动模态PRIEBJ = 玩趣屋主题MUNASEF = 肾上腺素模态WANRLTW = 无限弹药, 没有再装填OUIQDMW = 当驾驶的时候可以在车内使用准星瞄准攻击THGLOJ = 交通畅通FVTMNBZ = 交通是国家车辆SJMAHPE = 补充每一个子弹BMTPWHR = 国家车辆和Peds,拿天生的2个卡车用具ZSOXFSQ = 补充每一个(火箭筒)OGXSDAG = 最大威望Max RespectEHIBXQS = 最大性感Max Sex AppealVKYPQCF = Taxis 车可以跳舞NCSGDAG = 武器熟练度全满VQIMAHA = 更好的驾驶技能OHDUDE = 猎人(Ah-64阿帕奇战斗机)AKJJYGLC = 四轮摩托车AMOMHRER = 超长拖粪车EEGCYXT = 推土机URKQSRK = 杂技飞机Spawn Stunt PlaneAGBDLCID = 越野型大脚车回答者：爲楽谁 - 护国法师十五级发消息加为好友12-15 00:43 圣安地列斯的秘籍：LXGIWYL = 一般武器KJKSZPJ = 暴力武器UZUMYMW = 超级武器HESOYAM = 恢复生命值, 防弹衣, $250kOSRBLHH = 增加两颗警星ASNAEB = 清除警星(偷渡和闯如军事基地无效)AFZLLQLL = 好天气ICIKPYH = 非常好的天气ALNSFMZO = 变阴暗天气AUIFRVQS = 下雨的天气CFVFGMJ = 雾深的天气YSOHNUL = 时间过的更快PPGWJHT = 快速游戏LIYOAAY = 慢速游戏AJLOJYQY = 暴动BAGOWPG = 街上的人见了你都逃跑(胆大者会向你开枪)FOOOXFT = 行人拥有武器AIWPRTON = 坦克CQZIJMB = 破旧的车JQNTDMH = 农场工人的车PDNEJOH = 赛车1VPJTQWV = 赛车2AQTBCODX = 葬礼车KRIJEBR = 环座型贵宾车UBHYZHQ = 垃圾车RZHSUEW = 高尔夫车CPKTNWT = 附近所有车爆炸XICWMD = 看不见的汽车PGGOMOY = 完美的处理SZCMAWO = 自杀ZEIIVG = 所有的红绿灯变绿灯YLTEICZ = 攻击性的驾驶员LLQPFBN = 粉红的交通(所有车变粉红色) IOWDLAC = 黑色的交通(所有车变黑色) AFSNMSMW = 船可以飞BTCDBCB = 肥胖JYSDSOD = 强壮值全满KVGYZQK = 薄的ASBHGRB = Elvis 在各处BGLUAWML = Peds 用武器攻击你, 火箭发射者CIKGCGX = 海滩党MROEMZH = 各处一组成员BIFBUZZ = 团队控制街道AFPHULTL = 忍者主题BEKKNQV = 所有丑女被你吸引BGKGTJH = 交通是便宜的汽车GUSNHDE = 交通是快速的汽车RIPAZHA = 汽车会飞JHJOECW = 未知JUMPJET = 战斗机Spawn HydraKGGGDKP = 水翼船Spawn Vortex HovercraftJCNRUAD = 非常的繁荣COXEFGU = 所有的汽车有Nitro All Cars Have Nitro(氮气) BSXSGGC = 未知Cars Float Away When HitXJVSNAJ = 总是午夜的OFVIAC = 橘色天空21:00MGHXYRM = 雷雨CWJXUOC = 沙暴LFGMHAL = 跳的更高BAGUVIX = 无限健康CVWKXAM = 无限氧气AIYPWZQP = 降落伞YECGAA = 火箭飞行器JetpackAEZAKMI = 不被通缉LJSPQK = 警星全满IAVENJQ = 百万打洞器AEDUWNV = 不会饥饿IOJUFZN = 暴动模态PRIEBJ = 玩趣屋主题MUNASEF = 肾上腺素模态WANRLTW = 无限弹药, 没有再装填OUIQDMW = 当驾驶的时候可以在车内使用准星瞄准攻击THGLOJ = 交通畅通FVTMNBZ = 交通是国家车辆SJMAHPE = 补充每一个子弹BMTPWHR = 国家车辆和Peds,拿天生的2个卡车用具ZSOXFSQ = 补充每一个(火箭筒)OGXSDAG = 最大威望Max RespectEHIBXQS = 最大性感Max Sex AppealVKYPQCF = Taxis 车可以跳舞NCSGDAG = 武器熟练度全满VQIMAHA = 更好的驾驶技能OHDUDE = 猎人(Ah-64阿帕奇战斗机)AKJJYGLC = 四轮摩托车AMOMHRER = 超长拖粪车EEGCYXT = 推土机URKQSRK = 杂技飞机Spawn Stunt PlaneAGBDLCID = 越野型大脚车操作类AJLOJYQY = 行人互相攻击BAGOWPG = 行人都来攻击你FOOOXFT = 行人全副武装BLUESUEDESHOES = 行人变成猫王BGLUAWML = 行人用武器攻击你，路上只有军人，牛仔，帮派成员。

专升本高等数学(一)真题2009年

______． [答案] 4． [解题指导] 本题考查的知识点为二重积分的性质：
，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积为4，可知
． 20．设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)
在点(2，3)处的切线方程为______． [答案] y=3． [解题指导] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程．由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知
．因此
解法2
． 17．设z=sin(y-x2)，则
=______． [答案] COS(y-x2)． [解题指导] 本题考查的知识点为偏导数运算．求
时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此
． 18．过点M0(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为______． [答案] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)． [解题指导] 本题考查的知识点为平面方程．已知平面π1：x-y+3z=1的法线向量n1=(1，-1，3)．所求平面π与π1，平
[答案] B [解题指导] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．
故选B． 6．设f(x)为连续函数，
( )． A．f(2x) B．2f(x) C．-f(2x) D．-2f(x) [答案] A [解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函
数，则F'(x)=
=( )． A．2x+1 B．2xy+1 C．x2+1 D．2xy [答案] B．
[解题指导] 本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此

2009年河南专升本高数真题+答案解析

2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29．函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题（每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________．【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________．【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________．【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________．【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________．【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx．【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+．方法二令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰．【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51．求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=，所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题（每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小．【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>．令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题（6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>，所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。

2009年河南专升本高数真题+答案解析

2009河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2 分，共50 分） 1．下列函数相等的是（）A ．2,x y y x x==B ．y y x ==C ．2,y x y ==D ．,y x y =【答案】D【解析】由函数相等的定义知D 正确．2．下列函数中为奇函数的是（） A ．()2x xe ef x -+=B ．()tan f x x x =C ．()ln(f x x =+D ．()1x f x x=- 【答案】C【解析】对于C ，()ln(f x x -=-+==)()x f x =-=-，故C 为奇函数．3．11lim1x x x →--的值是（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不存在【答案】D 【解析】1111lim lim 111x x x x x x ++→→--==--，1111lim lim 111x x x x x x --→→--==---，由于1111lim lim 11x x x x x x +-→→--≠--，因此极限不存在．4．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（）A ．22x x -B C ．ln(1)x +D ．2sin x【答案】C【解析】由题意可知00ln(1)lim lim 1x x x xxx →→+==，故选C ．5．设1()x e f x x -=，则0x =是()f x 的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】由于001lim ()lim 1x x x e f x x →→-==，但()f x 在0x =处无定义，因此0x =是()f x 的可去间断点．6．设函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【解析】00(1)(1)(1)(1)(1)lim2lim 22x x f x f f f x f x x→→----'===--．7．设函数()f x 具有四阶导数，且()f x ''=(4)()f x =（）AB C ．1D ．3214x --【答案】D【解析】()f x ''=()f x '''=3(4)21()4fx x -=-．8．曲线sin 2cos x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的法线方程为（）A．x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-【答案】A【解析】切线的斜率为44()2cos 20()sin t t y t t k x t tππ=='==-='，因此法线方程为4cos t x tπ===．9．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（）A ．2x x e e +B ．2x x e e -C ．2x x e e -+D ．2x x e e --【答案】B【解析】对等式两边积分()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦⎰⎰，得()x x e f x e C -=+，所以2()x x f x e Ce =+．因为(0)0f =，所以1C =-，因此2()x x f x e e =-，故选B ．10．函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件【答案】A【解析】根据可导与连续的关系知选A ．11．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（）A ．(2,2)-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】A【解析】34486y x x '=-+，21248y x ''=-，由0y ''<，得22x -<<，因此曲线的凸区间为(2,2)-．12．曲线xe y x =（）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线【答案】B【解析】lim 0x x e x →-∞=，0lim x x e x →=∞，故曲线xe y x=既有水平渐进线，又有垂直渐近线．13．下列说法正确的是（） A ．函数的极值点一定是函数的驻点 B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对【答案】C【解析】由极值的第二判定定理，知C 正确．14．设()f x 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(,)a b 内（） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=【答案】A【解析】根据极值的判定定理、最大值最小值定理和罗尔定理，知A 选项正确．15．若()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=（）A ．1xB ．21x-C ．ln xD ．ln x x【答案】B【解析】因为1()(ln )f x x x '==，所以21()f x x'=-．16．若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）A ．222(1)x C --+B ．222(1)xC -+C ．221(1)2x C --+D ．221(1)2x C -+【答案】C【解析】由题意知，因为2()f x dx x C =+⎰，则2222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x x C -=---=--+⎰⎰．17．下列不等式中不成立的是（）A ．22211ln ln xdx xdx >⎰⎰B ．220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C ．22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰D ．22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D【解析】对于D ，222001x xe dx ee ==-⎰，222001(1)42x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰，应有2200(1)xe dx x dx >+⎰⎰，故D 选项错误．18．1ln ee xdx =⎰（）A ．111ln ln eexdx xdx +⎰⎰B ．111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C ．111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰D ．111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C【解析】1111111ln (ln )ln ln ln eeeeeexdx x dx xdx xdx xdx =-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰．19．下列广义积分中收敛的是（）A ．lnex dx x+∞⎰B ．1ln edx x x+∞⎰C ．21ln edx x x+∞⎰D ．e+∞⎰【答案】C【解析】对于C 选项，22111ln 1ln ln ln eee dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰，故收敛．20．方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的是（）A ．球面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．圆柱面【答案】C【解析】由旋转抛物面的定义知选C ．21．设{}1,1,,2=-a ，{}2,0,1=b ，则a 与b 的夹角为（）A ．0B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D【解析】1210210⋅=-⨯+⨯+⨯=a b ，所以a 与b 的夹角为2π，故选D ．22．直线34:273x y zL ++==--与平面:4223x y z π--=的位置关系是（） A ．平行但直线不在平面上 B ．直线在平面上C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】因为直线L 的方向向量(2,7,3)=--s ，平面的法向量为(4,2,2)=--n ，则 24(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n ．又点(3,4,0)--不在平面上，所以直线与平面平行．23．设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（）A ．0B ．2(,)x f a b 'C ．(,)x f a b 'D ．(,)y f a b '【答案】B【解析】由题意知，00(,)(,)(,)(,)lim2lim 2(,)2x h h f a h b f a h b f a h b f a h b f a b h h→→+--+--'==．24．函数x yz x y+=-的全微分为（）A ．22()()xdx ydy x y --B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 【解析】22()z y x x y ∂-=∂-，22()z x y x y ∂=∂-，故22()()xdy ydx dz x y -=-．25．00(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 2(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，可知02πθ≤≤，0r a ≤≤，故化为极坐标形式为200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰．26．设L 是以(1,0)A -、(3,2)B -、(3,0)C 为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA ，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（）A ．8-B ．0C ．8D ．20【答案】A【解析】由格林公式，知1(3)(2)224282L Dx y dx x y dy dxdy -+-=-=-⨯⨯⨯=-⎰⎰⎰．27．下列微分方程中，可分离变量的方程是（） A ．tan dy y ydx x x=+B ．22()20x y dx xydy +-=C ．220x y xdx e dy y++=D ．2x dyy e dx+= 【答案】C【解析】由可分离变量的方程形式，知选项C 正确．28．若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（）A ．110n n u∞=∑B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)n n u ∞=-∑【答案】A【解析】由无穷级数的基本性质知，1n n u ∞=∑收敛必有110nn u ∞=∑收敛．29．函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开式为（） A ．23...,1123x x x x +++-<≤B ．23...,1123x x x x -+--<≤C ．23...,1123x x x x -----≤<D ．23...,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C【解析】由幂级数展开公式，得()ln(1)f x x =-=23...,1123x x x x -----≤<．30．级数0(1)n n n a x ∞=-∑在点1x =-处收敛，则此级数2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B【解析】由阿贝尔定理知级数在2x =处绝对收敛，故选B ．二、填空题（每小题 2分，共 30分） 31．已知()1xf x x=-，则[]()f f x =________．【答案】12xx- 【解析】[]()1()1()1211xf x xx f f x x f x x x-===----．32．当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim sin x f x x x→=________．【答案】12【解析】由题意可知，()f x 与1cos x -等价，则00()1cos 1lim lim sin sin 2x x f x x x x x x →→-==．33．若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =________．【答案】ln2【解析】333233lim lim 1lim 18x a ax xx a x aa x x x x a a a e x a x a x a -⋅⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ln2a =．34．设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a =________．【答案】1【解析】因为()f x 在(,)-∞+∞内处处连续，所以0sin lim 1x xa x→==．35．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________．【答案】1433y x =+【解析】23(1)y x '=+，所以切线斜率13k =，又因为过点(2,2)，所以切线方程为1433y x =+．36．函数2()2f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=________．【答案】1【解析】由拉格朗日中值定理，知存在(0,2)ξ∈，使得()()(2)(0)()12f b f a f f f b a ξ--'===-，()21f x x '=-，当1x =时，有(1)1f '=，故1ξ=．37．函数()f x x =________．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()1f x '=，令()0f x '<，解得104x <<．38．已知(0)2f =，(2)3f =，(2)4f '=，则2()xf x dx ''=⎰________．【答案】7【解析】2222()()()2(2)()8(2)(0)7xf x dx xf x f x dx f f x f f '''''=-=-=-+=⎰⎰．39.设向量b 与{}1,2,3=-a 共线，且56⋅=a b ，则=b ________．【答案】{}4,8,12-【解析】由a 与b 共线，知λ=b a ，由1456λλ⋅=⋅==a b a a ，知4λ=，故{}4,8,12=-b ．40．设22x y z e+=，则22zx∂=∂________．【答案】222(42)xy x e ++【解析】222x y z xe x+∂=∂，222222222222(42)x y x y x y z e x xe x e x +++∂=+⋅=+∂．41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________．【答案】(0,0)【解析】4x f x y =+，4y f x y =-，令0x f =，0y f =，得驻点为(0,0)．42．设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰________．【答案】0【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，知232323334cos sin cos sin 0Dx yd d r rdr d r dr ππσθθθθθθ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．43．交换积分次序后，10(,)xdx f x y dy =⎰________．【答案】【解析】由题意知积分区域为01xx y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，交换积分次序后，积分区域为201y y x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，故2110(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰．44．已知14x y xe -=-是微分方程23x y y y e -'''-+=的一个特解，则该方程的通解为________．【答案】31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）【解析】由题知，齐次方程所对应的特征方程为2230r r --=，解得11r =-，23r =，故对应的齐次方程的通解为312x x y C e C e -=+，又知特解为14x y xe -=-，故通解为31214x x x y C e C e xe --=+-（12,C C 为任意常数）．45．已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =________．【答案】2331n n -+【解析】当2n ≥时，3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+．三、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭．【答案】【解析】200000111111lim lim lim lim lim 1(1)222x x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x x x →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭．47．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dydx．【答案】22cos2ln xy xyx x xye yx e x x--+ 【解析】方法一方程两边同时对x 求导得()ln 2cos2xy ye y xy y y x x''+++=，故 22cos2ln xy xy dy x x xye yy dx x e x x--'==+．方法二令(,)ln sin 2xy F x y e y x x =+-，则22cos 2ln xy x xy y F dyx x xye y dx F x e x x--=-=+．48．已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰．【答案】21142x x e C ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】等式两边对x 求导，得2()2x xf x e -=-，则211()2x xe f x =-，故 ()222211111()4442x x x x dx xde xe e dx x e C f x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰．49．求44(1)x x dx --⎰．【答案】1293【解析】40142224401(1)()()()x x dx x x dx x x dx x x dx ---=---+-⎰⎰⎰⎰32041132x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭32101132x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭32411132x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1293=．50．已知22x xy y z e +-=，求全微分dz ．【答案】[]22(2)(2)xxy y e x y dx x y dy +-++-【解析】22(2)x xy y z x y e x+-∂=+∂，22(2)x xy y zx y e y +-∂=-∂，则[]22(2)(2)x xy y dz e x y dx x y dy +-=++-．51．求 (2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由y x =，2y x =，2y =围成．【答案】103【解析】由题意可知，积分区域D 为02y ≤≤，2yx y ≤≤，222002510(2)(2)43yy Dx y dxdy dy x y dx y dy +=+==⎰⎰⎰⎰⎰．52．求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．【答案】2214x x y e Ce -=-+【解析】方程为一阶非齐次线性微分方程，其中()2P x x =-，2()x Q x xe -=，则方程的通解为222()()(2)(2)21()4P x dx P x dx x dx x dx x x x y e Q x e dx C e xe e dx C e e C ------⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰ 2214x x e Ce -=-+．53．求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑端点）．【答案】(【解析】令2t x =，则级数为12nn n n t ∞=∑，因为11121limlim 22n n n n n na n a n ++→∞→∞+=⋅=，所以12n n n n t ∞=∑的收敛半径为2，则212n n n nx ∞=∑，又当x =1n n ∞=∑发散，故所求幂级数的收敛域为(．四、应用题（每小题7 分，共 14 分）54．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小．【答案】三面墙的长度分别为，和【解析】设与已知墙面平行的墙的长度为x m ，则另两面墙的长为64xm ，故三面墙的总长为128(0)l x x x=+>．令212810l x '=-=，解得唯一驻点x =又32560l x''=>，故当x =m 时，l 取值最小，此时，三面墙的长度分别为，和．55．设D 是由曲线()y f x =与直线0y =，3y =围成的区域，其中2,2()6,2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】1172π 【解析】由题意得3322332300011117(6)(6)322y V y dy dy y y πππππ=--=---=⎰⎰．五、证明题（6 分） 56．设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >．证明在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．【解析】因为()F x 在[],a b 上连续，()0f x >，且1()0()a bF a dt f t =<⎰，()()0b a F b f t dt =>⎰，所以方程()0F x =在(,)a b 内有根，又因为1()()0()F x f x f x '=+>，所以()F x 在(,)a b 内单调，故至多有一个实根．综上，在开区间(,)a b 内，方程满()0F x =有唯一的实根．。

2009年成考专升本高数真题及答案

一、填空题（6'530⨯=分）1．已知(1,1,2)A -和(2,2,1)B ，则向量AB 的模=_____________112．过点(1,2,3)且与平面240x y z -+-=垂直的直线方程为______ 123121x y z ---==- 3．由抛物线2y x =与直线230x y --=所围的图形面积为_______ 3234．设222(,,)23f x y z x y z =++，则(1,1,1)gradf =_______________ {}2,4,65．(,)(1,2)lim 2x y y x y →=-______________ 23- 6．级数()11n n x n ∞=-∑的收敛区间为________________ [)0,2二、计算题（8'324⨯=分）1．2D xy dxdy ⎰⎰，其中(){},01,2D x y x x y x =≤≤<≤．解：2D xy dxdy ⎰⎰=5121220073x x dx xy dy x dx =⎰⎰⎰ 23=2222.()L x y ds +⎰,其中L 为圆周()cos ,sin 0x a t y a t t π==≤≤．解：()22242220()cos sin L x y ds a a t t dt π+=+⎰⎰ 5a π=3.()()L x y dx x y dy ++-⎰，其中L 是抛物线y x =上从点()1,1到()4,2的一段弧．解：()12y x x''==，()411()()2L x y dx x y dy x x x x dx x ⎡⎤++-=++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ =32241122x x x +- =13 三、判别级数134n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的收敛性．（8分）解：()133lim 1/44n nn n n +→∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133lim 144n n n →∞+==< 所以原级数收敛。