3.1-3.2.1-估计量的性质、最小方差无偏估计
数理统计8：点估计的有效性、一致最小方差无偏估计（UMVUE）、零无偏估计法
数理统计8：点估计的有效性、⼀致最⼩⽅差⽆偏估计（UMVUE）、零⽆偏估计法在之前的学习中，主要基于充分统计量给出点估计，并且注重于点估计的⽆偏性与相合性。
然⽽，仅有这两个性质是不⾜的，⽆偏性只能保证统计量的均值与待估参数⼀致，却⽆法控制统计量可能偏离待估参数的程度；相合性只能在⼤样本下保证统计量到均值的收敛性，但却对⼩样本情形束⼿⽆策。
今天我们将注重于统计量的有效性，即⽆偏统计量的抽样分布的⽅差。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：⼀致最⼩⽅差⽆偏估计⾸先考虑这样的问题：如何刻画⼀个统计量的有效程度？注意到，⼀个统计量的取值既可能⾼于待估参数，亦可能低于待估参数，要综合考虑统计量对待估参数误差，需要⽤平⽅均衡这种双向偏差，因此，提出均⽅误差的概念：若\hat g(\boldsymbol{X})是g(\theta)的估计量，则\hat g(\boldsymbol{X})的均⽅误差定义为\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))= \mathbb{E}[\hat g(\boldsymbol{X})-g(\theta)]^2.对于确定的统计量\hat g(\boldsymbol{X})⽽⾔，\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))是\theta的函数。
显然，⼀个统计量的均⽅误差越⼩，它就越在待估参数真值附近环绕，由此，⽤统计量的⼀次观测值作为待估参数的估计就有着越⼤的把握。
如果对于g(\theta)的两个估计量\hat g_1(\boldsymbol{X})和\hat g_2(\boldsymbol{X})，恒有\mathrm{MSE}(\hat g_1(\boldsymbol{X}))\le \mathrm{MSE}(\hatg_2(\boldsymbol{X}))，且严格不等号⾄少在某个\theta处成⽴，就称\hat g_1(\boldsymbol{X})在均⽅误差准则下优于\hat g_2(\boldsymbol{X})。
Chap03简单随机抽样
N i j
(Yi
Y
)(Yj
Y
)
1 nN
1
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
2 )
1 n
N N
n
1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 f S2
n
证明Ⅱ：仍引进随机变量 ai ：
N 1 n 1
N n
n N
ˆ
f
E(ai )
n N
f
(3.5)
借助 ai ，样本均值 y 可以表示成:
y
1 n
N i 1
aiYi
(3.6)
E( y) 1
n
N
E(ai )Yi
i 1
1 n
n N
N
Yi
i 1
Y
推论： Y 的简单估计量Yˆ Ny 也是无偏的，即: E(Ny ) Y
所有可能的样本求平均: E( y)
N 1 y n
N n
个样本中，包含特定单元
Yi
的样
本数为
N 1 n 1
，也有同样多样
本含有任何其他单元，因此
y 1
n
( y1
y2
yn )
1 n
N 1 n 1
数，则编号为这些随机数的 n 个单元组成一个简单随机样本。
随机数的产生可使用随机数骰子或随机数表。
图 3.1 随机数骰子 随机数骰子：标上 0～9 数字的正 20 面体（每个数字出现在两面）
《信号检测与估计》复习纲要与复习题参考答案
解： 令 S [s[0], s[1],..., s[ N 1]]T ， A ，那么信号模型可以写成如下
1 N 1 x ( n) N n 0 ˆ2 A/ 2 N 1 N 1 1 1 x ( n ) x ( n ) N n 0 N n0
2
8.对于信号模型
A 0 n M 1 s[n] A M n N 1
S T C 1 X 1 S T C 1S N
BLUE 为
x[n]
n 0
N 1
在拉普拉斯分布时，BLUE 并不是最小方差估计量。 ｂ）从题目可以知道， x ~ N ( ,1) 。那么该高斯分布的方差为 var( x ) 1。因此
S I,C I
S T C 1 X 1 BLUE 为 T 1 S C S N
p( x[n] | ) 1 exp 2 ( x[n] ) 2 2 2 1
2
2 在 给定的条件下， x[n] 是相互独立的。均值 具有先验 PDF N ( 0 , 0 )， 2 2 求 的 MMSE 和 MAP 估计量。另外，当 0 0 和 0 时将发生什么情况。
先验已知 P(Hi)，i=0,1,„,M-1 是 代价已知 Cij 是 Cij＝dij 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是 尝试广义 ML准则（15） 否 否 否 否
是
贝叶斯风险 （5） 否 数据PDF已知 是 否 指定先验PDF 是
小方差无偏估计UMVUE
UMvue方法在某些特定情况下可能无法提供准确的方差估计。例如，当数据存在异常值或离群点时，该方法的 效果可能会受到影响。此外，对于一些复杂的数据结构和模型，UMvue方法的适用性和性能可能需要进行进一 步的研究和验证。
04
小方差无偏估计
定义与性质
定义
小方差无偏估计（UMvue）是指估计量不仅无偏，而且具有较小的方差。
重要性及应用领域
重要性
umvue方法在统计学中具有重要地位，因为它能够提供更精 确的参数估计，尤其是在样本量较小的情况下。通过最小化 方差，umvue方法有助于提高估计的准确性和可靠性。
应用领域
umvue方法广泛应用于各种统计领域，如回归分析、线性模 型、方差分析等。它对于处理小样本数据、非线性和非正态 分布的情况特别有用，能够提供更稳健和可靠的估计结果。
实例三：复杂统计模型的小方差无偏估计
复杂统计模型
实例分析
复杂统计模型是指包含多个变量和复 杂关系的统计模型，例如时间序列分 析、多元回归分析等。
我们可以使用实际数据或模拟数据来 估计复杂统计模型的参数，并评估小 方差无偏估计的准确性和效率。
小方差无偏估计
在复杂统计模型中，小方差无偏估计 需要使用更高级的算法和技术来实现， 例如贝叶斯推断、马尔科夫链蒙特卡 罗等方法。
02
无偏估计
定义与性质
定义
无偏估计是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。
性质
无偏估计具有一致性、无偏性和有效性的性质，即随着样本量的增加，无偏估 计量逐渐趋近于真实值，且其方差最小。
无偏估计的优缺点
优点
无偏估计能够提供被估计参数的较准 确的估计，特别是在样本量较大时， 其估计精度较高。
第2.3节 最小方差无偏估计和有效估计
例1(p54例2.20) 设X ( X1 , X 2 ,
, X n )T 是来自总
*2 体( , 2 )的一个样本，已知X 和Sn 是 和 2 的无偏 *2 估计，证明X 和Sn 分别是 和 2 的MVUE .
证 设L( X )满足EL( X ) 0, 则
因而
L exp{
Βιβλιοθήκη T ( x1 , x2 ,
, xn ) L( x , )dx1dx2 , xn ) L( x , )dx1dx2
dxn dxn
T ( x1 , x2 ,
n
其中L( x , ) f ( xi ; );
i 1
ln f ( X ; ) 2 (3) I ( ) E ( ) 0 ( g( ))2 则对一切 ，有 D(T ( X )) ,其中 nI ( ) ( g( ))2 为罗－克拉美下界，I ( )称为Fisher 信息量。 nI ( ) 1 特别是当g( ) 时，有 D(T ( X )) . nI ( )
定理2.9 设总体X的分布函数为F ( x , ), 是
未知参数，X ( X1 , X 2 ,
, X n )T 是来自总体X的一 , X n )是的充分完备
*
个样本，如果T T ( X1 , X 2 ,
ˆ是的任一无偏估计，记 ˆ E ( ˆ |T) 统计量，
ˆ *是的唯一的MVUE . 则
1
ˆ( X )] 2 E{[ L( X ) EL( X )][( ˆ( X ) E ˆ( X )]} D[ L( X )] D[ ˆ( X )] D[ ˆ( X )] D[ L( X )] D[
参数估计量的评价标准
参数估计量的评价标准参数估计是统计分析中的一个重要部分，它用于估计总体参数并对其进行推断。
在实际应用中，评价参数估计量的好坏对于研究和应用都具有重要意义。
为此，我们需要建立一套合理的评价标准。
一、偏差性评价1.1 无偏性：参数估计量的期望值应当等于真实总体参数值。
评价标准可采用期望偏差进行度量。
1.2 一致性：当样本容量趋于无穷时，参数估计量应当收敛于总体参数。
拟采用渐进性质进行评价。
1.3 偏差估计：对于系数的偏差，可以采用均方误差进行评价；对于偏见，可以采用自助法进行辨认。
1.4 偏差方差均衡：参数估计量应当在偏差和方差之间取得平衡，以实现对总体参数的有效估计。
二、效率性评价2.1 方差：参数估计量的方差应当尽可能小，以提高其精确性。
采用方差和标准差进行评价。
2.2 最小方差无偏估计：寻找最小方差无偏估计可作为评价标准，以使得估计的方差最小。
2.3 Cramer-Rao下界：在一定条件下，Cramer-Rao下界可作为评价参数估计量效率的标准。
2.4 均方误差：参数估计量的均方误差应尽可能小，以确保估计量的稳定性。
采用均方误差进行评价。
三、鲁棒性评价3.1 鲁棒性：对于异常值或离群值应有一定的容忍度，避免该值对估计结果的影响过大。
3.2 高效性：对于不同总体分布和样本容量，估计量应有一定的适用性，以保证其高效性。
3.3 高效抗干扰性：对于干扰值的处理应当尽可能减小估计结果的波动，以保证估计量的可靠性。
3.4 稳定性评价：在不同条件下，参数估计量是否具有稳定性是对其鲁棒性的重要评价标准。
四、信息熵评价4.1 信息量的相关性：估计参数量应具有较高的信息量，能够较好地反映总体参数的特征。
4.2 信息增益：参数估计量对于信息的增益应大于或等于0，以确保其估计结果有意义。
4.3 信息熵与估计效果的关系：信息熵的大小与估计结果的准确度应呈正相关的关系。
4.4 信息效用评价：对于样本容量的不同和信息量的不同，参数估计量应有一定的信息效用。
抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第3章-分层随机抽样
L
定理 3.3：对于分层随机抽样， 的估 Y 计量 yst 具有如下性质：
E yst Y
ˆ W 2 1 fh S 2 V yst W V Yh h n h h 1 h 1 h
L L 2 h 2 2 L Wh2 S h Wh2 S h nh Nh h 1 h 1 L
2013-8-10
18
3.3 比率估计量及其性质
两种途径：
分别比估计：对每层样本分别考虑比估计量，然 后对各层的比估计量进行加权平均，即先“比” 后“加权”； 联合比估计：对比率的分子和分母分别加权计算 出总体均值或总体总量的分层估计量，然后用对 应的分层估计量来构造比估计，即先“加权”后 “比”。
2013-8-10
5
符号说明 (关于第h层的记号 )
层号
h 1,2, , L
单元总数
Nh
nh y hi
Wh
样本单元数
第 i 个单元的值
层权
抽样比
1 Yh Nh
Nh 2 h
y
i 1
Nh
hi
总体均值
样本均值
nh fh Nh
Nh N
2 1 S y hi Yh N h 1 i 1
1 yh nh
y
i 1
nh
hi
总体方差
样本方差
2013-8-10
1 nh 2 sh y hi y h 2 nh 1 i1
6
3.2 简单估计量及其性质
3.2.1 总体均值的简单估计及其性质
分层样本，总体均值 Y 的估计
WY 1 Yst h h N h 1
最小方差无偏估计
最小方差无偏估计⏹最小方差无偏估计的定义⏹RBLS定理⏹计算实例1. 最小方差无偏估计的定义对于未知常数的估计不宜采用最小均方估计,但可以约束偏差项为零的条件下,使方差最小。
定义：最小方差无偏估计定义为约束估计是无偏的条件下，使方差{}{}22ˆˆˆˆ()[()]()minVar E E E θ=θ-θ=θ-θ→估计的均方误差为22ˆˆˆˆ(){[]}()[()]Mse E Var E θ=θ-θ=θ+θ-θ偏差项估计方差在前面讨论的有效估计量是无偏的，且方差达到CRLB，所以有效估计量是最小方差无偏估计。
如果有效估计量不存在，如何求最小方差无偏估计呢？这时可利用RBLS定理求解。
2. RBLS(Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe)定理如果是一个无偏估计、是一个充分统计量，那么是：(1) θ的一个可用的估计(a valid estimator)；(2) 无偏；(3) 对所有的θ，方差小于等于的方差。
θ()T z ˆ(|())E T θ=θz θ如果充分统计量是完备的，则是最小方差无偏估计。
()T z ˆ(|())E T θ=θz 完备: 只存在唯一的T (z)的函数,使其无偏。
例1：高斯白噪声中未知常数的估计0,1,...,1i iz A w i N =+=-iw 其中是均值为零、方差为σ2高斯白噪声序列。
求最小方差无偏估计。
解：首先找一个无偏估计，很显然是无偏。
1A z =其次，求A 的充分统计量，由前面的例题可知，是A 的充分统计量。
1()N i i T z -==∑z 3. 计算举例接着求条件数学期望()ˆ|()AE A T =z 由高斯随机变量理论：1(|)()(,)(())(())E x y E x Cov x y Var y y E y -=+-2()~(,)T N NA N σz 而1121100(,())()N N i i i i Cov A T E z A z NA E w w --==⎧⎫⎧⎫⎛⎫=--==σ⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭∑∑z ()11221001ˆ|()()N N i i i i A E A T A N z NA z N ---==⎛⎫==+σσ-= ⎪⎝⎭∑∑z由于完备的充分统计量只存在一个唯一的函数使其无偏，所以最小方差无偏估计量也可以通过下面的方法求解：假定T(z)是完备的充分统计量，那么ˆ(())g T θ=z 在刚才的例题中，10()N ii T z -==∑z 2.1.3 计算举例例2: 假定观测为其中为独立同分布噪声，且,求均值θ=β/2的最小方差无偏估计。
参数估计理论与应用(第三章 )
那么它仍然有可能是一个好的估计。
考虑实随机过程{xk}的相关函数的两种估计量：
Rˆ1( )
1
N
N
xk xk ,
k 1
Rˆ2 ( )
1 N
N k 1
xk
xk
假定数据{xk}是独立观测的，容易验证
E[
Rˆ1
(
)]
E[
N
1
N
xk xk ]
k 1
1
N
N
E[ xk xk ]
k 1
Fisher 信息 Fisher 信息用J（θ）表示，定义为
J ( )
E{[
ln
p(x
| ]2}
E[
2
2
ln
p(x
| )]
（3.1.1）
2020/4/9
第三章 参数估计理论与应用
当考虑 N 个观测样本 X={ x1,…,xN }, 此时，联合条件分 布密度函数可表示为
p(x | ) p(x1, , xN | )
0
lim P{|
N
1 N
N
xi2 x 2 (E[ x2 ] E2[x]) | }
i 1
lim
N
P{|
ˆ
2 N
2
|
}
0,
0
2020/4/9
第三章 参数估计理论与应用
于是
lim
N
P{ | ˆ1
1
|
}
3
lim
N
P{|ˆ N
|
}
0
lim
N
P{ | ˆ2
2
|
}
2
3
UMVUE判定
定理4已知分布族 ，设 是它的一个充分完备统计量， 为可估参数，那么 的UMVUE存在，它是 的函数并且在几乎处处意义下是唯一的。
UMVUE的判定方法一（充分完备统计量法）：由于降低无偏估计的方差是充分统计量的一个非常重要的作用，因此，通过上述讨论我们可以知道，只要充分完备统计量存在，那么可估参数UMVUE一定存在。所以，UMVUE的判定方法一即为充分完备统计量法。定理3,4分别为我们提供了充分完备统计量法中的两种判定UMVUE的方法：
这个定理给了我们一个寻找较优良估计的方法，如果已知一个未知参数 ，它有一个充分统计量 ，且 是未知参数 的一个无偏估计，我们可以先从 出发，此时需要注意这个 不单单是 的函数，接着我们求出 ，此时若以 作为估计量必定会比原来的 有更小的方差；此外我们也可以限制在充分统计量 的函数中去寻找，先在充分统计量 的函数中找出 的一个无偏估计，然后比较它的方差。
1
1.1
定理1（Rao-Blackwell定理）设 与 是两个随机变量，且 ， ，设 条件下 的条件期望 ，则
.
拉奥-勃拉克维尔定理对于我们寻找未知参数的较优良的估计有很大的帮助，且它可以引出下面这个定理。
定理 2设 是取自一个母体 的子样， 有概率函数 ， ， 是 的一个充分统计量， 不仅是 的函数，且 ，则 是 的充分统计量的函数，其均值 ，方差 。
证明：令
，
；
设 是 的UMVUE，任取 及 ，则 ，且有
，
取 ，由 的任意性知： ， ；反之，设 都有 ， 。要证 是 的UMVUE，若 ，则有 ，由假设条件得：
,
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
由施瓦茨不等式得：
,
从而 ,又因为 ,所以 ，由 之任意性可知， 是 的UMVUE。
最小方差无偏估计量
最小方差无偏估计量
最小方差无偏估计量是一种最有效的估计量，它能够有效地减少变量的变异性和误差，并提供较低的偏差。
它在统计学，机器学习和其他数据分析领域都具有重要意义。
MVUE诞生于20世纪70年代，由MarkLee发明，据说它是由卡斯梅尔比例采样而获得的，因此也被称为“卡斯梅尔估计”。
它的目的是确定一个量值，使得估计量在平均意义上偏离最小。
MVUE的定义可以理解为：“均方根偏差（RMSE）最小的评估量，它所产生的偏差无偏”。
它是一个非常强大的估计量，它能够有效地减少数据的变异性和误差，找到最能够描述样本的量值。
MVUE有许多优点：例如，它不受数据的偏性影响；它有极大的信度及准确度；它能够有效地降低RMSE，并提供最低的偏差；另外它还消除了可能存在的任何不一致性。
MVUE被广泛应用于许多领域，例如它可以用于估计总体的均值和方差，也可以用于估计函数的极值，如此等等。
它被广泛用于机器学习中的参数估计和特征选择，也被用于估计统计量，如相关系数和卡方检验，等等。
总之，最小方差无偏估计量是一种强大且有效的估计量，可以有效地减少数据的变异性和误差，并提供较低的偏差，它在统计学，机器学习和其他数据分析领域都具有重要意义。
数理统计：最小方差无偏估计
2
Eˆ
2
2E
ˆ
Eˆ
Eˆ
=E
ˆ Eˆ
2
Eˆ
2
注意： 和Eˆ都是定值.
Var ˆ [Bias(ˆ)]2
定义：Bias(ˆ)=E(ˆ)
方差
随机误差 （有效性）
偏倚平方 系统误差 （无偏性）
7
为了说明UMVUE的计算方法，需要用到条件期望， 回顾如下。
1. 条件期望定义
若随机变量Y 在 X x 条件下的分布为 f ( y | x) ，且
则称
y f (y | x) , 或者 y f ( y | x)dy - y
E Y | X x y f ( y | x) (离散型)
ci为任意常数,i 0,1, , n
E
c0
n
ci
Xi
|
T
c0
n
ciE Xi | T
i1
i1
（2） E E X T EX . (重期望公式)
内层：给定T时，关于X求条件期望.
外层：是T的函数，关于T求期望。
11
(3) E[g(T)X|T]=g(T) E[X|T], 其中g(t)是任何实值函数；
E(X |Y y)
E(X |Y )
Y取确定值y的条件下
Y取值随机的条件下
若记 g( y) E( X |Y y), 则 g(Y ) E( X |Y ) 作为随机变量Y
的函数, 我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望, 它是随机变量.
伽马分布的最小方差无偏估计量-概述说明以及解释
伽马分布的最小方差无偏估计量-概述说明以及解释1.引言1.1 概述伽马分布是一种重要的概率分布，广泛应用于统计学和概率论中。
它具有许多特点和应用场景，因此对其进行研究和参数估计是非常有意义的。
伽马分布在统计学中应用较为广泛，特别适用于描述一些不连续的正数型随机变量，例如等待时间、寿命或到达时间等。
伽马分布的概率密度函数具有两个参数，分别为形状参数和尺度参数，这使得它非常灵活，能够适应各种类型的数据。
对于伽马分布的参数估计，一般有多种方法可供选择，例如矩估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。
其中，最小方差无偏估计量是一种常用的参数估计方法，它能够使估计量的方差最小化，并且在样本充分大时具有无偏性。
本文主要研究伽马分布的最小方差无偏估计量。
首先，将介绍伽马分布的定义和基本特点，包括概率密度函数的形式和参数的含义。
其次，将探讨伽马分布的参数估计方法，包括矩估计、最大似然估计和贝叶斯估计等。
最后，重点研究伽马分布的最小方差无偏估计量的推导和应用，通过数学推导和实例分析展示其优越性和实用性。
通过详细介绍伽马分布的特点、参数估计方法和最小方差无偏估计量的推导，本文旨在提供对这一概率分布的深入理解和研究。
理论推导和实际应用的结合将对统计学和概率论领域的研究和应用产生积极的影响。
同时，本文也将探讨研究的局限性和未来展望，为后续相关研究提供参考和启示。
2. 正文2.1 伽马分布的定义和特点2.2 伽马分布的参数估计方法2.3 伽马分布的最小方差无偏估计量3. 结论3.1 总结3.2 结论3.3 研究的局限性和未来展望1.2 文章结构本文将从三个方面对伽马分布的最小方差无偏估计量进行论述。
首先，我们将介绍伽马分布的定义和特点，包括其概率密度函数和分布函数的形式、参数的意义和范围，以及伽马分布的一些常见应用领域。
然后，我们将探讨伽马分布的参数估计方法，包括最大似然估计法、矩估计法和贝叶斯估计法，并比较它们的优缺点。
最后，我们将介绍伽马分布的最小方差无偏估计量，包括其定义、推导过程和数学性质，以及如何使用这个估计量进行参数估计。
补充：最小方差无偏估计和有效估计
1
ˆ ˆ ˆ D( L( X ) D ( X ) 2E( L( X ) EL( X ))( ( X ) E ( X )) ˆ ˆ D( L( X ) D ( X ) D ( X )
ˆ 因而， ( X )是的MVUE .
注
1 此定理是最小方差无偏估计的判别法，但无 法寻求最小方差无偏估计的存在性.
二、优效估计
• 统计量的方差不可以无限的小，存在下界。当其 方差达到下界，它一定是MVUE. 但最小方差无偏估 计不一定达到下界.
ˆ 如果 是的有效估计，则它也是最小方差无 偏估计。但反之却不成立。
定义2.8
ˆ 设 (或T ( X ))是 (或g( ))的一个无偏估计，若 1 [ g ' ( )]2 ˆ D( ) （或D(T ( X )) ） ) nI ( ) nI ( )
ˆ (或T ( X ))是 (或g( ))的有效估计
定义2.9
ˆ是的任一无偏估计，称e( ) (1 nI ( )) ˆ 设 ˆ D( ) ˆ ˆ 为估计量 的效率。显然0 e( ) 1.
ˆ ˆ 如果的无偏估计量 的效率满足 lim e ( ) 1
n
定义2.10
ˆ 则 ( X )是的MVUE, 其中X ( X1 , X 2 ,, Xn )T .
ˆ ˆ ˆ 设1( X )是的一个无偏估计，令L( X ) 1( X ) ( X ) ˆ ˆ 显然EL( X ) E(1( X ) ( X )) 0,同时 ˆ ˆ D ( X ) D( L( X ) ( X ))
设总体X的分布函数为F ( x , ), 是
未知参数，X ( X1 , X 2 , , X n )T 是来自总体X的一 个样本，如果T T ( X 1 , X 2 , , X n )是的充分完备 ˆ ˆ ˆ 统计量， 是的任一无偏估计，记 * E ( | T 此种估计，将变得非常有意 义.
小方差无偏估计和有效估计
04
比较与讨论
小方差无偏估计与有效估计的异同
定义
小方差无偏估计是指估计量不仅 无偏，而且具有最小方差的估计； 有效估计则是指具有最小均方误 差的估计。
性质
小方差无偏估计强调的是无偏性 和方差最小，而有效估计则关注 均方误差的最小化。
条件
小方差无偏估计要求估计量必须 是无偏的，而有效估计则要求在 所有无偏估计中具有最小均方误 差。
研究背景与意义
研究背景
在实际应用中，我们常常需要估计未知参数，而估计的准确性对于后续分析和决策至关重要。因此，寻找更优的 估计方法一直是统计学研究的重点。小方差无偏估计和有效估计作为两种重要的估计方法，在理论研究和实际应 用中都具有重要的地位。
研究意义
通过对小方差无偏估计和有效估计的研究，我们可以深入理解参数估计的本质，探索更优的估计方法，提高估计 的准确性和可靠性。这不仅有助于推动统计学理论的发展，还能为实际问题的解决提供更有效的工具。
小方差无偏估计和有效估 计
• 引言 • 小方差无偏估计 • 有效估计 • 比较与讨论
01
引言
定义与概念
小方差无偏估计
指估计量在所有无偏估计量中方差最 小，即除了要估计的参数真值外，其 它所有无偏估计量与该估计量的方差 之差达到最小。
有效估计
指在所有无偏估计量中，该估计量的 方差小于或等于其他任何无偏估计量 的方差，且与真实值之差的平方的期 望值最小。
未来研究方向与展望
研究方向
展望
未来研究可以进一步探讨小方差无偏估计和 有效估计的理论基础、性质和应用，以及如 何在实际问题中应用和改进这两种估计方法。
随着统计学和数据分析的不断发展，小方差 无偏估计和有效估计的应用范围将更加广泛， 理论体系将更加完善，为解决实际问题提供 更加有效的工具。
第三章-工具变量估计
的有限
假定 3-1 和假定 3-2 保留了经典线性回归下的假定形式，由于此时解释变量 X 不一定满 足外生性，这两个假定改用工具变量 Z 作为条件。同样的，由于 IV 关注的是估计量大样本 性质，此时经典线性回归中的正态假定不再需要。
3.2.2 MM 估计的思路
由假定 3-1 可有如下样本矩条件：
展开可得
根据识别检验的结果，如果检验被拒绝，则逐步删除较差的工具变量（以删除不同的工
具变量 后第一步估计得到的 R2 作为比较的依据），再进行识别检验，直至
或检
验接受。
3.4 弱工具变量
在 IV 估计中，通常假定选取的工具变量是好工具变量，即它与回归方程的误差无关且 与解释变量强相关。但是，实际应用中有时候找到的工具变量可能并没有这么良好的性质， 它可能与解释变量只有弱相关，即相关系数随着样本长度 n 的增大而趋于 0，我们把这类工 具变量称为弱工具变量。
其中， 为有限对称幂等矩阵，且
。
所以有，
。
证明完毕。
式（3-22）定义的
可作为工具变量 Z 的识别检验（Sargen 识别检验），
即判断 Z 是否为好的工具变量。更明确的说，这里的识别检验同时检验了两方面的内容：(1)
除了参数可识别所必需的 K 个工具变量外，我们是否有必要再使用其它的
个工具
变量；(2) 工具变量 Z 是否满足外生性。
3.2 估计与性质
3.2.1 基本假定
线性模型设定如下：
其中， 为被解释变量， 为 K 维的解释变量。
定义 L 维的工具变量 ，其中
，
。
工具变量估计的基本假定有如下 3 点：
假定 3-1（外生假定）：
。
假定 3-2（球形假定）：
正态分布无偏估计方差下界
正态分布无偏估计方差下界1.引言1.1 概述正态分布是一种经常出现在统计学中的重要概率分布。
它具有许多有用的性质，使其在统计建模和推断中得到广泛应用。
在正态分布中，数据点在均值附近集中，并且向两侧逐渐减少。
这种分布形态可以用曲线图表示，被称为正态曲线或钟形曲线。
无偏估计是指在进行参数估计时，所得的估计值与真实参数值之间无系统性偏差的性质。
在统计学中，我们常常需要对未知的参数进行估计，以便进行推断和决策。
无偏估计的特点是在抽样过程中，估计值的期望值等于真实参数值。
方差是一个衡量数据离散程度的统计指标，它可以用来度量数据集中的分散情况。
在估计参数的过程中，我们也对参数的方差进行估计。
然而，在实践中，我们可能会遭遇到一些限制条件，使得我们无法直接获得无偏的方差估计。
因此，本文将探讨正态分布的无偏估计方差下界的问题。
我们将介绍正态分布的基本概念和性质，然后着重讨论无偏估计的概念和正态分布的方差下界。
最后，我们将讨论正态分布无偏估计方差下界的意义，并探讨其在实际应用中的应用价值。
通过阅读本文，读者将能够了解正态分布、无偏估计和方差下界的基本概念，并能够理解正态分布无偏估计方差下界的重要性和应用价值。
本文将为读者提供一种新的思考角度，帮助他们在实际问题中进行更准确和合理的参数估计，从而提高统计推断的精确性和可靠性。
文章结构是指整篇文章的框架和组织方式，它有助于读者理解文章的逻辑结构和内容安排。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本文的主题——正态分布无偏估计方差下界。
首先，我们将解释正态分布的概念，明确正态分布在统计学中的重要性和应用范围。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织方式。
我们将详细描述各个章节的内容，让读者能够清晰地了解每个部分的目的和意义。
通过文章结构的介绍，读者可以更好地理解文章的脉络，提前了解文章的主体内容。
1.3 目的在引言的最后，我们将明确本文的目的。
我们将阐述为什么要研究正态分布无偏估计方差下界，以及研究该问题的意义和价值。
co估计法和pw估计法_理论说明
co估计法和pw估计法理论说明1. 引言1.1 概述：本文将重点介绍co估计法和pw估计法的理论说明。
这两种估计方法是统计学中常用的参数估计方法，用于从样本数据中推断总体参数的值。
co估计法（也称为条件期望最大化算法）和pw估计法（也称为逆概率权重算法）在数据分析、科学研究和实践应用中都具有重要的地位。
1.2 文章结构：本文共分为五个部分进行讨论。
首先在引言部分，我们将对co估计法和pw估计法进行概述，并介绍文章的结构框架。
接下来，在第二部分我们将详细阐述co估计法的基本原理、实施步骤以及应用范围与限制。
然后，在第三部分我们将介绍pw估计法的概述与定义、算法流程以及主要优缺点。
在第四部分，我们将对比co估计法和pw估计法之间的共同点和不同点，并比较它们在不同场景中的适用性。
最后，在结论和展望部分，我们将对整篇文章进行总结，并展望这两种估计方法未来可能存在的改进方向。
1.3 目的：本文的目的是通过对co估计法和pw估计法的理论说明，帮助读者深入了解这两种估计方法的原理和应用。
同时，通过对它们之间的比较分析，读者可以更好地理解它们在实际问题中的差异和适用性。
本文旨在为统计学研究人员、数据分析师以及相关领域的从业者提供有益参考，以便他们能够选择合适的参数估计方法来推断总体参数，并进行相应的数据分析和决策。
2. co估计法的理论说明:2.1 基本原理:co估计法是一种统计学中常用的参数估计方法，通过根据样本数据来估计总体参数。
它基于以下两个基本原理：- 无偏性：co估计法追求使得估计量的期望值尽可能接近真实的总体参数，即期望值为总体参数。
- 最小方差性：在满足无偏性的前提下，co估计法追求使得估计量的方差尽可能小，以减小参数估计结果与真实值之间的误差。
2.2 实施步骤:co估计法具体的实施步骤包括以下几个关键步骤：1. 收集样本数据: 首先需要获得一定数量的样本数据，这些数据应该能够代表整个总体。
2. 确定合适的统计模型: 根据问题的具体情况和需求，选择适当的统计模型进行分析和推断。
3.1-3.2.1-估计量的性质、最小方差无偏估计
第三章估计理论什么是“估计”？通俗解释：对事物做大致的判断专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信息进行加工、处理获得结果的过程。
3.1引言3.1 引言根据研究对象的不同估计分为二种参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论与信号参量估计相关的理论最佳估计一定准则下的“最好”估计应用领域通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制3.1.2 估计量的性质质假设得到N 个观测样本数据为：为待估计参量，[][]0,1,,1x n w n n N θ=+=−…式中，是观测噪声。
θ[]w n 估计的任务就是利用观测样本数据构造估计量,获得估计量后，通常需要对的质量进行评价,这就需要研[]x n θθθ究估计量的主要性质。
估计量也是一个随机变量，具有均值和方差等统计特征，可以利用其统计特征对估计量的性质进行评价。
评价 θ指标包括：无偏性、一致性、充分性和有效性。
1、无偏性非随机参量随机参量ˆˆθθ无偏估计渐进无偏估计()E θθ=()()E E θ=ˆlim ()N E θθ→∞=ˆlim ()()N E E θθ→∞=如果上式不满足，则是一个有偏估计 θ定义为估计量的偏估计量的无偏性保证估计量分布在参量真值附近，是衡量()()b E θθθ=−估计量性能优劣的重要指标。
然而，一个估计量是无偏的不能确保就是好的估计量，它仅能保证估值的均值近似真值。
2、一致性可以通过增加观测样本数据来减少估计量的估计误差，具有这种性质的估计称为一致估计。
简单一致性：ˆlim (||)1N P θθδ→∞−<=均方一致性：2ˆlim [()]0N E θθ→∞−= •定义估计误差，对无偏估计，误差的方差为222−εθθ=−在同时满足无偏性、均方一致性的条件下，随着观测样本()()()()Var E b E εεθε==数的增加，估计误差的方差将减小并趋于零。
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第三章估计理论
什么是“估计”？
通俗解释：对事物做大致的判断
专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信
息进行加工、处理获得结果的过程。
3.1引言
3.1 引言
根据研究对象的不同估计分为二种
参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量
波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论
与信号参量估计相关的理论
最佳估计
一定准则下的“最好”估计
应用领域
通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制
3.1.2 估计量的性质质
假设得到N 个观测样本数据为：
为待估计参量，[][]0,1,,1
x n w n n N θ=+=−…式中，是观测噪声。
θ[]w n 估计的任务就是利用观测样本数据构造估计量,获得估计量后，通常需要对的质量进行评价,这就需要研[]x n θ
θ
θ究估计量的主要性质。
估计量也是一个随机变量，具有均值和方差等统计特征，可以利用其统计特征对估计量的性质进行评价。
评价 θ
指标包括：无偏性、一致性、充分性和有效性。
1、无偏性
非随机参量随机参量ˆˆθθ
无偏估计
渐进无偏估计()E θθ=()()E E θ=ˆlim ()N E θθ→∞=ˆlim ()()N E E θ
θ→∞=如果上式不满足，则是一个有偏估计 θ
定义
为估计量的偏估计量的无偏性保证估计量分布在参量真值附近，是衡量()()b E θθθ=−估计量性能优劣的重要指标。
然而，一个估计量是无偏的不能确保就是好的估计量，它仅能保证估值的均值近似真值。
2、一致性
可以通过增加观测样本数据来减少估计量的估计误差，具有这种性质的估计称为一致估计。
简单一致性：
ˆlim (||)1N P θθδ→∞−<=均方一致性：2ˆlim [()]0N E θ
θ→∞
−= •定义估计误差，对无偏估计，误差的方差为
222−εθθ=−在同时满足无偏性、均方一致性的条件下，随着观测样本()()()()
Var E b E εεθε==数的增加，估计误差的方差将减小并趋于零。
3、充分性
设待估计参量的估计量为，为N ˆ()θx [][0][1]...[1]T x x x N =−x 维观测矢量。
如果概率密度函数可以分解成如下形式
ˆ(|)(()|)()p p h θθ
θ=x x x (|)p θx 式中，且与无关。
则称是一个充分统计量。
()0h ≥x θˆ()θx x 充分统计量的意义在于：它体现了包含在观测样本数据中有关参量的全部有用信息，再没有其他估计量能够提供中有关θ更多关于观测样本数据的有用信息了。
θx
4、有效性
对于无偏估计量，如果估计量的方差越小，则它偏离待估计参量就越小，即它取其均值附近数值的概率就越大，该估计量就越好。
因此，希望估计量的方差尽可能地小。
克拉美罗下限为估计误差的方差确定了一个下限，不可能获得比它还小的方差。
对于方差达到克拉美罗下界的无偏估计，称为有效估计。
因此，具有无偏性且方差达到克拉美‐罗下限的估计量是有效估计量。
3.2 最小方差无偏估计
在寻求最优估计量中，首先需要确定的是最优准则。
一个3.2.1 均方误差最小准则和最小方差无偏准则
很自然的准则就是均方误差（mean square error, MSE ），它的定义为
遗憾的是采用该准则将产生一个不可实现的估计量。
因 2ˆ()[()]
mse E θθθ=−为这个估计量不能单独表示为样本数据的函数。
为说明这个问题，均方误差MSE重新写为
{} 22() (())(())mse E E E θθθθθ⎡⎤=−+−⎣⎦
2var()()2[()][()]var()()E E E E b θθθθθθθθ
θ⎡⎤=+−+−−⎣⎦
=+上式看出MSE是由方差和偏差构成。
321
3.2.1 均方误差最小准则和最小方差无偏准则 最小方差无偏估计量的存在性
θ
现在我们自然提出这样一个问题：对于所有是否存
在最小方差无偏估计。
即使最小方差无偏估计（MVU）存在，我们也有可能找不到它。
在后面的几章里，我们将讨论几种可能的方法，它们是：
1、确定Cramer-Rao下限(CRLB），检验估计量是否满足它。
2、基于充分统计量的MVU 。
3、限制估计量不仅是无偏的而且是线性的，找出MVU。