数列常见题型总结经典(超级经典)
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题型一数列通项公式的求法
1.前n 项和法(知n S 求n a )⎩⎨⎧-=-1
1n n n S S S a )
2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T
若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。
若数列}{n a 的前n 项和32
3-=
n n a S ,求该数列的通项公式。
1、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式。
2.形如)(1n f a a n n =-+型(累加法)
(1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+.
(2)若f(n)为n 的函数时,用累加法.
例1.已知数列{a n }满足)2(3
,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2
13-=n n a
已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
已知数列}{n a 满足31=a ,)2()
1(11≥-+
=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式.
3.形如)(1n f a a n
n =+型(累乘法)
(1)当f(n)为常数,即:q a n
n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-⋅n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+=
=n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式。
在数列}{n a 中1111,1-+-=
=n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。
2、求数列)2(1
232,111≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。 4.形如s
ra pa a n n n +=
--11型(取倒数法) 例1.已知数列{}n a 中,21=a ,)2(1211≥+=--n a a a n n n ,求通项公式n a
练习:1、若数列}{n a 中,11=a ,1
31+=+n n n a a a ,求通项公式n a .
若数列}{n a 中,11=a ,112--=-n n n n a a a a ,求通项公式n a .
5.形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型(构造新的等比数列)
(1)若c=1时,数列{n a }为等差数列;(2)若d=0时,数列{n a }为等比数列;
(3)若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下:设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A
已知数列}{n a 中,,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a .
练习:1、若数列}{n a 中,21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。
若数列}{n a 中,11=a ,13
1+=
+n n a a ,求通项公式n a 。
6.形如)(1n f pa a n n +=+型(构造新的等比数列)
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数,且0≠k ),则后面待定系数法也用一次函数。
例题.在数列{}n a 中,2
31=a ,3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
练习:1、已知数列{}n a 中,31=a ,2431-+=+n a a n n ,求通项公式n a
(2)若n q n f =)((其中q 是常数,且n ≠0,1)
①若p=1时,即:n n n q a a +=+1,累加即可
②若1≠p 时,即:n n n q a p a +⋅=+1,后面的待定系数法也用指数形式。
两边同除以1+n q .即:q q
a q p q a n n n n 111+⋅=
++, 令n n n q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,
在数列{}n a 中,521-
=a ,且)(3211N n a a n n n ∈+-=--.求通项公式n a
已知数列{}n a 中,211=
a ,n n n a a )2
1(21+=-,求通项公式n a 。
已知数列{}n a 中,11=a ,n n n a a 2331⋅+=+,求通项公式n a 。
题型二根据数列的性质求解(整体思想)
已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;
设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,
327++=n n T S n n ,则=55b a . 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5
935,95S S a a 则() 5、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。 6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3.
在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为()
在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a a b +=,则99100a a +=.
题型三:证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=
21.求证:{n S 1}是等差数列;
B )证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;⑵求数列{}n a 的通项公式;
题型四:求数列的前n 项和
基本方法:A )公式法,
B )分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .