微积分基本定理说课稿教案教学设计

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微积分基本定理说课稿

微积分基本定理说课稿一、教材分析1、教材的地位及作用《微积分基本定理》安排在普通高中人教A版选修2—2中的1.6节。

微积分基本定理给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

本节课是学生学习了导数和定积分的概念后的学习内容，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时为计算定积分提供了一种有效方法，为后面的学习特别是高等数学的学习奠定了基础。

因此它在学生学习中起到了承上启下的作用，在教材中处于极其重要的地位。

2、教学目标根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下：（1）知识与技能目标：1、了解微积分基本定理的含义；2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. （2）过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.（3）情感、态度与价值观目标：1、通过微积分基本定理的学习，学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力；2、了解微积分的科学价值、文化价值.3、教学重点、难点重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：了解微积分基本定理的含义.二、教法和学法在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，我的教学设计主要采用探究式教学方法。

即“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围要充分调动学生的积极性，为学生提供自主学习的时间和空间。

在教学过程中注重引导，充分发挥学生的主观能动性，着眼于学生创造性思维的培养和思维能力的提高。

教法：（1）启发式教学始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识。

（2）互动式教学体现在提问、例题教学、课堂练习、学生板演、练习讲评、小结等方面，引导学生积极参与。

最新人教版高中数学选修2-2第一章《微积分基本定理》教学设计

教学设计1．6微积分基本定理整体设计教材分析本节的主要内容是微积分基本定理的含义及运用微积分基本定理计算简单的定积分．教科书采用从局部到整体、从具体到一般的思想，从导数和定积分这两个微积分学中最基本和最重要的概念入手，以寻求二者之间的联系为突破口，先利用物理意义和导数的几何意义，并结合定积分的概念，通过对变速直线运动物体的位移问题进行详细探究，分别用物体的运动规律s＝s(t)和速度函数v＝v(t)表示出物体在时间段[a，b]上的位移s，进而推出一般形式的结论，得出微积分基本定理．微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法．通过本节的学习，使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义．通过计算简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的威力，从而引发学生进一步学习微积分知识的兴趣．课时分配《微积分基本定理》的教学分两个课时完成：第1课时内容为微积分基本定理；第2课时内容为定积分的几何意义．第1课时教学目标知识与技能目标通过实例了解导数和定积分的联系，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点，提高理性思维能力和逆向思维能力，激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力及思维能力．重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用微积分基本定理计算简单的定积分．难点：了解微积分基本定理的含义．教学方法问题驱动、启发式、自主探究式教学法，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备多媒体课件．教学过程引入新课提出问题1：前面我们讲过用定积分的定义计算定积分，请回顾用定义计算∫10x3dx的过程，并尝试仿照此过程利用定积分的定义计算∫101x dx.活动设计：学生先独立思考，尝试求解，然后相互交流．学情预测：学生几乎不可能直接用定义计算出∫101x dx的值．活动成果：从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但如果直接用定积分的定义计算∫10x3dx的值，其计算过程比较复杂，技巧性要求很高．而对于∫101x dx，几乎不可能直接用定义计算．那么，有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？我们必须寻求计算定积分新的、更简洁的方法，也是比较一般的方法．设计意图使学生体会用定义求定积分的缺点和局限性，激发学生的探求欲望，为微积分基本定理的引入作好铺垫．探究新知我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在联系呢？我们能否利用这种联系来求定积分呢？提出问题2：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是s＝s(t)，它在任意时刻t 的速度v(t)与位移s(t)有何关系？活动设计：学生思考，进行口答．学情预测：绝大多数学生能得出正确结论．活动结果：得出变速直线运动中速度v(t)与位移s(t)的关系：v(t)＝s′(t)．设计意图回顾导数的相关知识及物理背景，复习路程与速度之间的关系，为进一步探究v(t)和s 做好铺垫．提出问题3：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用s(t)，v(t)表示s吗？活动设计：学生独立思考，根据图象进行回答．学情预测：根据物理学的相关知识，结合图象，学生容易得出正确结论．活动结果：显然，物体位移s是函数s＝s(t)在t＝b处与t＝a处的函数值之差，从而得出变速直线运动中位移s与位移函数s(t)的关系：s＝s(b)－s(a)．①设计意图得出基本定理公式中右端的雏形——s(b)－s(a)，为进一步探究微积分基本定理做好铺垫．提出问题4：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用v(t)表示s吗？活动设计：学生先思考，允许分组讨论交流，必要时教师引导．学情预测：根据1.5.2节相关知识，不难得出结果．活动结果：师生共同梳理，得出变速直线运动中s与位移函数v(t)的关系：物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，求它在a≤t≤b内所做的位移s，步骤如下：(1)用分点a＝t0<t1<t2<…<t n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间：[t0，t1]，[t1，t2]，…，[t i－1，t i]，…，[t n－1，t n]，其中每个小区间的长度均为Δt＝t i－t i－1＝b－an.物体在此时间段内经过的路程为Δs i.(2)当Δt 很小时，在区间[t i －1，t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似地以速度v(t i －1)作匀速直线运动，物体所做的位移Δs i ≈h i ＝v(t i －1)Δt ＝s ′(t i －1)Δt ＝b －a ns ′(t i －1)．从几何意义上看(如图)，设曲线s ＝s(t)上与t i －1对应的点为P ，PD 是点P 处的切线，由导数的几何意义可知，切线PD 的斜率等于s ′(t i －1)，于是Δs i ≈h i ＝tan ∠DPC·Δt ＝s ′(t i －1)·Δt.(3)物体的总位移：s ＝1n i i S=∆∑≈∑i ＝1n h i ＝∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1n s ′(t i －1)Δt. 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的划分就越细，∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1n s ′(t i －1)Δt 与s的近似程度就越高．(4)由定积分的定义有s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n v(t i －1)＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(t i －1)＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt.② 设计意图得出基本定理中公式左端的雏形——∫b a v(t)dt ，使公式雏形基本形成．提出问题5：通过上面的探究，我们将物体在时间段[a ，b]上的位移s ，分别用s(t)和v(t)进行了表示，现在你能否将二者联系起来？活动设计：教师引导学生，观察①②两式，得出关系式．学情预测：学生容易得出二者的关系式．活动结果：物体在区间[a ，b]上的位移s 就是v(t)＝s ′(t)在区间上的定积分，等于函数s(t)在区间端点b ，a 处的函数值之差s(b)－s(a)，从而s ＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt ＝s(b)－s(a)．设计意图回到最初提出的问题，使学生潜移默化地形成目标意识，得出微积分定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础．提出问题6：对于一般的函数f(x)，设F′(x)＝f(x)，是否也有：∫b a f(x)dx＝∫b a F′(x)dx＝F(b)－F(a)?若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F′(x)＝f(x))的数值差F(b)－F(a)来计算f(x)在[a，b]上的定积分的方法．活动设计：由学生做出猜想，教师可视具体情况决定是否给出学生证明过程．学情预测：学生容易得出正确的猜想结论．活动结果：对于一般函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，设F′(x)＝f(x)，则有∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．证明如下：(此处并不要求学生掌握证明的过程)∵Φ(x)＝∫x a f(t)d与F(x)都是f(x)的原函数，故F(x)－Φ(x)＝c(a≤x≤b)，其中c为某一常数．令x＝a，得F(a)－Φ(a)＝c，又Φ(a)＝∫a a f(t)dt＝0，∴c＝F(a)，故F(x)＝Φ(x)＋F(a)．∴Φ(x)＝F(x)－F(a)＝∫x a f(t)dt.令x＝b，有∫b a f(x)dx＝F(b)－F(a)．为了方便起见，还常用F(x)|b a表示F(b)－F(a)，即∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．设计意图教师引导学生由特殊到一般做出猜想，得出牛顿—莱布尼兹公式，体现定积分的基本思想，突出导数的几何意义，体现了数形结合这一数学中的基本思想方法．这里不要求学生掌握公式的证明过程，重在让学生体会推理的思想．回到最初提出的问题，使学生潜移默化地在学习及解决问题的过程中形成目标意识．归纳总结定理一般地，如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁．公式不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础．因此，牛顿—莱布尼兹公式处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，而且它给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要、最辉煌的成果．理解新知提出问题7：计算定积分∫b a f(x)dx的关键是什么？如何求F(x)?活动设计：组织学生交流、讨论回答．活动结果：由微积分基本定理知，计算定积分∫b a f(x)dx 关键是找出满足F ′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．通常，我们可以运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．设计意图明确运用微积分基本定理的关键，进一步加深对定理的理解和记忆．运用新知例1计算∫10x 3dx.活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．解：因为(14x 4)′＝x 3，所以∫10x 3dx ＝14x 4|10＝14. 设计意图初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性，规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．例2计算(1)∫10x 2dx ；(2)∫211xdx. 解：(1)因为(13x 3)′＝x 2，所以∫10x 2dx ＝13x 3|10＝13. (2)因为(lnx)′＝1x ，所以∫211xdx ＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2. 点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．巩固练习计算：1.∫211x 2dx ；2.∫31(2x －1x 2)dx. 解：1.∫211x 2dx ＝(－x －1)|21＝－12＋1＝12. 2．因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以∫31(2x －1x 2)dx ＝∫312xdx －∫311x 2dx ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. 变练演编1．已知∫t 0(2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.2．已知∫21f(x)dx ＝(lnx 2)|21，则f(x)＝__________.3．请你仿照第3题，自己编一个类似的题目，并与你的同学交换，试求其结果．答案：1.5 2.2x3.答案略．点评：1.训练逆向思维，进一步熟悉公式；2．进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；3．进一步体会导数与定积分的关系，强化本节的基本思想，同时训练复合函数的求导问题；4．训练学生仿例编题，增加问题的多样性、趣味性、探索性和挑战性，使学生潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．∫1－1xdx 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．22．y ＝∫10(3x 2－x ＋1)dx ，则y ′等于( )A ．0B ．1C ．3D ．63．∫21(x －1x)dx ＝__________. 4．∫21(x 2－2x －3x)dx ＝__________. 答案：1.C 2.A 3.32－ln2 4.－12－3ln2 课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课借助于变速直线运动物体的速度与路程的关系以及图形，得出了特殊情况下的牛顿—莱布尼兹公式，进而推广到一般的函数，得出了微积分基本定理，找到了一种求定积分的简便方法．2．方法收获：运用微积分基本定理的关键是找到被积函数的原函数，在探求定理的过程中，充分体会了“由特殊到一般”的研究问题的方法．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般推理的思想．布置作业习题1.6 A 组1.(1)(3)．补充练习基础练习1．∫π0sinxdx 等于( )A ．0B ．2C ．πD ．2π2．若∫a 1(2x ＋1x)dx ＝3＋ln2，且a>1，则a 的值为( ) A ．6 B ．4C ．3D ．23．∫10e x dx 等于( )A ．e －1 B ．1 C ．e D ．e －14．∫0－1(x －e x )dx 等于( )A ．－1－1eB ．－1C ．－32＋1eD ．－32答案：1.B 2.D 3.D 4.C拓展练习5．设函数y ＝∫x 0(t －1)dt(x>0)，则y 有( )A ．极小值12B ．极小值－12C ．极大值12D ．极大值－126．已知∫5t (2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.答案：5.B 6.0或4点评：第6题是变练演编第1题的变式与提升，第6题重在使学生认识不同的积分区间可能得到相同的积分值，提升对微积分基本定理的认识，为几何意义的引出做好铺垫．第5题是与导数知识相结合求极值的问题，意在提高学生的综合解题能力．设计说明本节从变速直线运动这一实际问题出发，让学生观察探究、合作交流讨论．通过数形结合，使学生经历从特殊到一般的推理过程研究．通过探究变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系，寻求导数和积分的内在联系，得到微积分基本定理．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．在教材处理上，大胆创新，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导，突出微积分基本定理的探究过程，整个过程以学生探究为主，使其体会探索的乐趣和微积分基本定理的威力．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点、多角度、多层次地加深对微积分基本定理的认识，强化运用定理解题的步骤和格式，使学生在运用中体会微积分基本定理的具体用法以及运用定理的关键．备课资料备选例题例1函数y＝∫x－x(t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．以上都不正确思路分析：本题容易得出y＝23x3＋4x，但应注意x>0，故答案应选C，而非A.答案：C例2设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2∫10f(t)dt，求f(x)．解：由题意，可知f(x)＝x＋c(c是一个常数)．所以f(x)＝x＋2∫10f(t)dt＝x＋2∫10(t＋c)dt＝x＋1＋2c，即x＋c＝x＋1＋2c，从而c＝－1.所以f(x)＝x－1.(设计者：韩辉杰)第2课时教学目标知识与技能目标通过实例进一步熟练微积分基本定理解题的步骤格式，了解其几何意义，掌握定积分的性质．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的数形结合等思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的简单应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力，提高分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣．重点难点重点：运用微积分基本定理解决简单的数学及实际问题，了解其几何意义．难点：微积分基本定理的含义，定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，定积分的性质．教学方法问题探究式教学法，使学生在解决问题中练习知识、掌握知识；同时，能够掌握方法、提升能力．教学过程复习回顾1．微积分基本定理的内容是什么？如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．2．计算定积分的关键是什么？计算定积分∫b a f(x)dx关键是找出满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．3．一般如何得出F(x)?通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆向求出F(x)．4．计算下列定积分：∫3－1(4x－x2)dx.答案：20 3.引入新课提出问题1：计算下列定积分：∫π0sinxdx，∫2ππsinxdx，∫2π0sinxdx.活动设计：可由多名学生同时到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分比较简洁、有效，结果如下：解：因为(－cosx)′＝sinx，所以∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；∫2π0πsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；∫2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.设计意图体会求导数对求定积分的重要意义，同时熟练运用公式．探究新知提出问题2：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，并对成果进行展示．学情预测：学生的说法可能有多种，经过讨论、细化、规范说法，但可能仍有重复或疏漏．活动结果：教师引导学生进行分析比较，可以发现：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图2(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0(图3)，且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积．图3设计意图着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系．提出问题3：你能否给出一般的定积分∫b a f(x)dx 的几何意义？活动设计：学生类比问题2进行思考，然后口答．学情预测：学生一般能得出正确结论，但叙述上可能不太严谨．活动结果：如图，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是：界于x 轴、曲线y ＝f(x)及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分曲边梯形面积的“代数和”——在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．因此，定积分的值也可以分成几部分来求，然后把各部分的值加起来，就是所求定积分的值．(定积分的性质)通过探究思考，使学生掌握定积分的几何意义，进一步加深对定积分的认识．设计意图 ⎠⎜⎛0π2 提出问题4：不计算定积分的值，试比较⎠⎜⎛0π2 cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的大小关系．活动设计：学生先思考，然后分组讨论交流，教师引导．学情预测：有了上面的讨论和分析，学生不难得出结果．活动结果：师生共同梳理，根据余弦函数的对称性，从图象上容易看出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好是⎠⎜⎛0π2cosxdx 所对应的曲边梯形的面积的2倍．设计意图体会定积分几何意义的重要性．提出问题5：计算定积分⎠⎜⎛0π2cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的值，并与0sin xdx π⎰进行比较，试从几何意义上给出解释．活动设计：可由学生到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：解：因为(sinx)′＝cosx ，所以⎠⎜⎛0π2cosxdx ＝sinx|π20＝sin π2－sin0＝1， 22cos xdx ππ-⎰＝sinx|π2－π2＝sin π2－sin(－π2)＝2.根据正弦函数与余弦函数图象的关系，容易得出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好等于∫π0sinxdx 所对应的曲边梯形的面积．设计意图通过计算及比较，进一步熟悉公式、加深对几何意义的理解，同时强化数形结合的思想方法．设计意图运用新知例1由抛物线y 2＝x 和直线x ＝1所围成的图形的面积等于( )A ．1 B.43 C.23 D.13活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：根据几何意义，所求面积也就是定积分∫10xdx 的2倍(如图阴影部分所示)．因为(23x 32)′＝x ，所以∫10xdx ＝(23x 32)|10＝23. 所求面积为2×23＝43，故选答案B. 设计意图进一步体会几何意义的重要性，同时渗透数形结合的思想．例2汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车作匀减速刹车，加速度大小a ＝1.8米/秒2，问从开始刹车到停车，汽车行驶了多少米？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.88米/秒，刹车后汽车匀减速行驶，其速度为v(t)＝v 0－at ＝8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)＝0，故由v(t)＝8.88－1.8t ＝0，解得t ＝8.881.8≈4.93(秒)．于是在这段时间内，汽车所驶的距离是s ＝∫4.930v(t)dt ＝∫4.930(8.88－1.8t)dt ＝ (8.88t －1.8×12t 2)|4.930≈21.90(米)．即在刹车后，汽车需驶过21.90米才能停住．点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分问题，并体会定积分在解决实际问题中的价值．巩固练习计算下列定积分：(1) ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sinx)dx ；(2) 412cos 2xdx ππ⎰；(3)∫21(x －1)dx. 答案：(1)3π28＋1；(2)14；(3)423－53. 变练演编1．∫20(2x －4)(x 2－4)dx ＝__________. 2．∫32(x ＋1x)2dx ＝__________. 3．∫41x(1－x)dx ＝__________.答案：1.403 2.92＋ln3－ln2 3.－176点评：进一步熟练运用公式；进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；体会导数与定积分的关系；体会利用定积分的性质计算定积分．达标检测1．∫21(e x －2x)dx ＝__________. 答案：e 2－e －2ln22．计算定积分∫3π0sinxdx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解：∫3π0sinxdx ＝(－cosx)|3π0＝2.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与位于x 轴下方的曲边梯形的面积之差．或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与位于x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和．课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课通过探究正弦函数在某个区间上的定积分，结合图象，得出了定积分的几何意义，同时学习了定积分的性质．2．方法收获：运用微积分基本定理及其几何意义、定积分的性质可以方便地解决定积分问题．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般的思想．布置作业习题1.6B 组1.(1)(2)(3)．补充练习基础练习1．∫10(e x ＋e －x )dx 等于( ) A ．e ＋1eB ．2e C.2e D ．e －1e2．曲线y ＝cosx ，x ∈[0，3π2]与坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．4 B ．3C.52D ．2 3．若∫a 0(3x 2＋4x －5)dx ＝a 3－2(a>1)，则a ＝__________.答案：1.D 2.B 3.2拓展练习4．22cos 2x dx ππ⎰＝__________. 答案：π4－125．如图，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C(1，－1)，同理得D(2，－1)． ∴所求图形的面积 S ＝2{∫10[－x 24－(－x 2)]dx ＋∫21[－x 24－(－1)]dx} ＝2(∫103x 24dx －∫21x 24dx ＋∫21dx)＝2(x 34|10－x 312|21＋x|21)＝43. 设计说明本节从探究正弦函数在某个区间上的定积分与对应曲边梯形面积的关系入手，让学生观察探究、合作交流讨论，使学生经历从特殊到一般的探究过程．通过数形结合，寻求定积分和曲边梯形面积的内在联系，得到定积分的几何意义．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了知识发现的过程，又直观了解了定积分的性质．本节教材课本内容相对较少，但其地位却非常重要，因此，本设计增加了相应的探究内容和例题及练习．在充分探究的基础上，强化针对性练习，使学生能较好地理解定积分的几何意义，并掌握其性质．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，与前一节的题目相辅相成，并且相对于前一节题目的难度有所提升，以便于学生更好地掌握公式、熟悉性质．备课资料牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析牛顿，1642年生于英格兰，1661年，入英国剑桥大学，1665年，牛顿回到乡间，终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析．牛顿生活的时代正是英国发生变革的时代，当时英国发生了国内战争，资产阶级和贵族的阶级妥协，使英国资产阶级革命明显地带上了不彻底性．牛顿在30岁以前发现了微积分，并建立了经典力学体系，而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成．这是由于在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经向宗教神学发起冲击，帮助科学从神学中解放出来．但是当资产阶级的地位巩固以后，阶级斗争逐渐激化之时，资产阶级逐渐衰退，他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器．牛顿受其影响很大，其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向，使他获得了巨大的成就，而后半生则完全沉迷于神学的研究．牛顿继承了培根的经验主义传统，特别重视实验和归纳推理的作用，他曾断言，自然科学只能从经验事实出发解释世界．这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的．莱布尼兹生于德国，1672年赴巴黎，在那里接触到惠更斯等一些数学名流，引导其进入了数学领域，开始微积分的创造性工作．牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑，所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，并有效地促进了微积分学的发展．牛顿发现微积分(1665～1666年)比莱布尼兹至少早了9年，然而莱布尼兹公开发表它的微积分文章比牛顿早3年．如果说，牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切的关系，莱布尼兹称它为“特征三角形”．巴罗的“微分三角形”对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到求切线和求积分问题是一对互逆的问题．莱布尼兹第一个发表出微分和积分之间的互逆关系.1675～1676年间，他从求曲边梯形面积出发得到积分的概念，给出微积分基本定理.1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，1693年，他给出了上述定理的一个证明，以上这些都发表在《教师学报》上．将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志．牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同．牛顿坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理．他在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法．莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和．莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的．莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的．莱布尼兹在微积分的研究过程中，连续性原则成为其工作的基石，而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想．。

微积分基本定理》说课

用中的重大意义．
３ .情感、态度与价值观目标
二．教学目标
1 .知识与技能目标２.过程与方法目标３ .情感、态度与价值观目标
（１）在对实际问题的解决过程中培养学生的探求知识的
能力．（２）通过牛顿、莱布尼兹对微积分基本定理的创立的时代背景的介绍，让学生体会微积分的定理在人类文化发展中的意义和贡献，丰富学生的数学历史知
识，激发学生学习兴趣，培养学生的探索精神．
三．教学重点、难点
微积分基本定理及应用；
微积分基本定理的推导。
四．教学准备
提前一天让学生预习本节课，查
阅有关微积分基本定理的有关资料，
了解牛顿和莱布尼兹对微积分基本定
理的贡献；教师制作本节课的多媒体课件。
五．教学过程
（一）复习引入
五．教学过程
３ .情感、态度与价值观目标
二．教学目标
1 .知识与技能目标
了解微积分基本定理的推导，掌握微积分
基本定理，会用定理解决简单的问题。
２.过程与方法目标３ .情感、态度与价值观目标
二．教学目标
1 .知识与技能目标
２.过程与方法目标
（１）利用学生已掌握的定积分的概念，通过对实际问题的解决，引导学生了解微积分基本定理的由来，体会求积分和求导数之间的关系．（２）通过微积分基本定理的应用，体会定理在实际应
五．教学过程
五．教学过程
(七) 归纳总结
1．微积分基本定理及应用。
２．求积分与求导数是互为逆运算。意图：培养学生总结的好习惯，有利于知识的系统。（八）课后作业意图：教学反馈与评价，学生内化所学知识。
六．反思
微积分基本定理的推导是本节课的难点，我没有按照教材上爬山问题分析，因为感觉那样学生理解起来会很困难，而是采用了创设情景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识的的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且降低了教材的难度，便于学生的理解掌握．在教学过程中介绍有关牛顿和莱布尼兹既丰富学生的数学历史知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定理的理解更立体．例题和练习的安排，没有人为的增加难度，有利于本节课重点地落实。

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。

设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达，即 s=s （b ）－s （a ）。

另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。

所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ，将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]，每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。

当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。

② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

微积分基本定理说课稿教案教学设计

微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )例1 计算下列定积分： (1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x ＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2. 反思与感悟求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．。

《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞+=、标准型1 lim1xxex→∞+=以及推广型()()1lim1()xxex→∞+=的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。

2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。

通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。

学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。

3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。

2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。

2)重要极限公式初始型和标准型的证明。

3)未定式1∞型的极限问题的解法。

4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。

3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。

处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。

2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。

处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。

4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。

2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。

5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

其主要内容是微分学和积分学。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理教学设计专题

微积分基本定理教学设计专题第一篇：微积分基本定理教学设计专题《微积分基本定理》教学设计一、教材分析本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位。

它曾被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。

二、教学目标分析(1)知识与技能：了解微积分基本定理的含义，并会利用定理计算简单的定积分。

(2)过程与方法：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的形成过程。

(3)情感、态度和价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲；逐步渗透“以直代曲”、“无限逼近”的数学思想。

三、教学重点、难点分析重点：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点：微积分基本定理的形成过程四、学情分析首先本节课的授课班级是理科的普通班，大部分学生学习基础薄弱，学习能力还有待提高。

其次本节课是高等数学的内容，理论性较强，抽象不易理解。

针对以上情况，本节课在整体设计紧扣课标要求，充分做到“了解和简单应用”。

五、教法、学法分析(1)教法：通过导学案设置的问题和课堂上讨论、展示、点评、质疑等环节以及多媒体课件动画演示启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。

(2)学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。

学生在教师设置的环节的引导下，通过观察、讨论、交流、合作学习等活动来对知识、方法和规律进行总结。

六、教学过程环节一：自主课学生通过完成导学案的形式进行自主学习，教师课下批阅导学案，找到自主课上学生没有学懂的共性问题，准备在展示课上解决。

环节二：展示课通过恩格斯对微积分的高度评价“人类精神的卓越胜利”引入课题，突出学习本节课的重要性。

(完整版)高中数学：1.6-微积分基本定理(教案)

微积分基本定理一、教课目的知识与技术目标：经过实例，直观认识微积分基本定理的含义，会用牛顿 - 莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：经过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法感情态度与价值观：经过微积分基本定理的学习，领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提升理性思想能力。

二、教课重难点要点经过研究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观认识微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点认识微积分基本定理的含义三、教课过程1、复习：定积分的看法及用定义计算2、引入新课：我们讲过用定积分定义计算定积分 , 但其计算过程比较复杂，因此不是求定积分的一般方法。

我们一定追求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中地点函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时辰 t 时物体所在地点为S(t), 速度为 v(t) （v(t) o），则物体在时间间隔 [T1, T2 ] 内经过的行程可用速度函数表示为T2v(t) dt 。

T1另一方面，这段行程还能够经过地点函数S（ t ）在[T1,T2]上的增量S(T1) S(T2 ) 来表达，即T2v(t) dt =S(T1)S(T2 )T1而 S (t) v(t ) 。

关于一般函数 f ( x) ，设 F (x) f (x) ，能否也有bF (a)f (x)dx F (b)a若上式成立，我们就找到了用 f ( x) 的原函数（即满足 F ( x) f (x) ）的数值差F (b) F (a) 来计算 f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分的方法。

注： 1：定理假如函数 F ( x) 是 [ a, b] 上的连续函数 f ( x) 的随意一个原函数，则bF (b) F (a)f (x) dxa(x) = x证明：因为 f (t)dt 与F ( x)都是 f (x)的原函数，故aF ( x) - (x) =C（a x b ）此中 C为某一常数。

《微积分基本定理》微课教学设计

《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭、标准型1 lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭以及推广型()()1lim1()xxexϕϕϕ→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。

2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。

通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。

学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。

2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。

2)重要极限公式初始型和标准型的证明。

3)未定式1∞型的极限问题的解法。

4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。

3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。

处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。

2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。

处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。

4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。

2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。

5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

其主要内容是微分学和积分学。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理(说课课件)

教学活动
教学意图
启发学生观察思考，激起学生求知欲
4、归纳总结，提高认识：微积分基本定理揭示了定积分和不归纳总结，提高认识：定积分之间的内在联系，把“ 定积分之间的内在联系，把“新问题——定积分计算”转化为通过 ——定积分计算” “已经熟悉的不定积分计算” 经熟悉的不定积分计算”来实现，而且形式特别简洁明快，充分展示了数学之美!向学生推荐文章《了数学之美!向学生推荐文章《飞 5、布置作业檐走壁之电影实现——微积分基本檐走壁之电影实现——微积分基本任务驱动定理》定理》分为必做题和选做题
五、教法和学法
本次课教学采用多媒体教学和传统教学交叉进行的模式，遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展” 遵循“从学生实际出发，一切为了学生的发展”的教学原则，教学方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 方法和手段力求体现“教、学、做”合一的教学理念，力求“ 教有设计、学有方法、做有目标” 设计、学有方法、做有目标”。
四、教学设想
教学程序
一、复习提问：复习提问： 1、定积分的定义
教学活动
教学意图
启发学生观察思考，激起学生求知欲
学生回答问题，引导学生观察，利用定积分的定义，计算积分值是很困难的，必须寻 n b ∫a f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi 求计算定积分的简便而有效的 λ→0 i=1 方法，为引入新课做准备。为学习积分上限函数埋下伏笔
学法：学法：
(1)观察分析： (1)观察分析：通过引导学生观察思考，化旧知为新知。如引观察分析入新课、积分上限函数定义的引入等。 (2)联想转化： (2)联想转化：学生通过类比、联想转化，体会知识间的联系联想转化。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。。如牛顿——莱布尼兹公式的引入。 (3)练习巩固： (3)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应练习巩固用情况，找出未掌握的内容及其差距。

《微积分基本定理》教学设计

1.6微积分基本定理 (名师：朱俊)一、教学目标 1．核心素养通过微积分基本定理的学习，提高推理论证、抽象概括能力，体会由局部到整体、具体到一般的数学思想. 2．学习目标通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义，体会由局部到整体、具体到一般的思想. 3．学习重点通过探究变速直线运动的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义，并能正确应用基本定理计算简单的定积分. 4．学习难点了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务阅读课本1.6节，思考：（1）什么是微积分基本定理？（2）怎样利用微积分基本定理求定积分的值？（3）当曲边梯形的位置位于x 轴下方时，怎样求定积分的值？ 2．预习自测1．043x dx -+⎰的值为( )A ．－2B ．0C ．5D .12 答案：C ．2．121dx x⎰等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 答案：D ．3．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( ) A ．1 B .12 C .13 D .14 答案：D ．（二）课堂设计 1．知识回顾1）定积分的几何意义：如果在区间[,]a b 上()f x 连续且恒有()0f x ≥，则定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由,,0x a x b y ===与()y f x =所围成的曲边梯形的面积.2）定积分的性质：（1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 为常数)（2）1212[()()]()()bbba a af x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰；（3）()()()bcba a c f x dx f x dx f x dx =±⎰⎰⎰（其中a cb <<）. 2．问题探究活动一：探讨导数与积分的关系我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法.有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S (t ),速度为v (t )（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰.另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=.活动二：证明微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法.设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y =()()F b F a -将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[xi -1,xi ]上，记⊿yi =F (x i )-F (xi -1),则 ⊿y =∑⊿yi 如下图，因为⊿hi =f (xi -1) ⊿x 而⊿yi ≈⊿hi 所以 ⊿y ≈∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x 故⊿y =lim ∑⊿hi =∑f (xi -1) ⊿x =⎰badx x f )(即⎰ba dx x f )(=()()Fb F a -所以有微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰⎰badx x f )(为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁.它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果.例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x-⎰.解：（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰.（2））因为2''211()2,()x x x x==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. 点拨：准确求出被积函数的原函数是求解本题的关键例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， 2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6一3(2）（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6一4），定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．点拨：利用定积分的几何意义是解决本题的关键.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t=4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.93 4.93(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.点拨：可以看出，求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的过程就是求解定积分的过程，所以以后遇到类似的题就可以直接使用定积分来做. 3．课堂总结【知识梳理】1.微积分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()()b ba af x dx F x F b F a ==-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.我们常常把定理中的()F x 称为()f x 的原函数. 2．定积分的取值定积分的值可能取正值也可能为负值，还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.【重难点突破】（1）微积分基本定理①该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与导数互为逆运算. ②微积分基本定理提供了一种有效的求定积分的方法，且这种方法往往比利用定积分的定义求定积分简单.利用微积分基本定理求定积分()baf x dx ⎰的关键是找到()()F x f x '=的函数()F x ，即找到()f x 的原函数.通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .③被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个原函数，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的原函数．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替微积分基本定理中的F (x )有⎠⎛a b f (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（2）利用微积分基本定理计算定积分时： ①常常先对被积函数化简，再求定积分；②当被积函数为分段函数时，常常分成几段积分的和的形式求解； ③当被积函数含有绝对值符号时，常常先去掉绝对值符号再求定积分.（3）求定积分的主要方法有：①利用定积分的定义；②利用定积分的几何意义；③利用微积分基本定理. 4．随堂检测1.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛01(e x＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋1)－e 0＝e . 2．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 2＜S 3＜S 1 D ．S 3＜S 2＜S 1 答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】S 1＝⎠⎛12x 2dx ＝13x 3＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121x dx ＝ln x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x dx ＝e x ＝e 2－e ＝e (e －1)．ln 2＜ln e ＝1，且73＜2.5＜e (e －1)，所以ln 2＜73＜e (e －1)，即S 2＜S 1＜S 3. 3．若⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛0k(2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3) ＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1.4．⎠⎛02|1－x |dx ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2 答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】 ⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx ＝(x －12x 2)10|＋(12x 2－x )21| ＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1)＝1. 5．⎠⎛-11(x 2＋sin x )dx ＝________. 答案：23解析：【知识点：微积分基本定理】∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ，∴⎠⎛-11 (x 2＋sin x )dx ＝(13x 3－cos x )11|-＝23.（三）课后作业基础型自主突破1．4232(30)d x x x +-=⎰（）A ．56B ．28 C.563 D ．14 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】4423342211(30)d (30)34x x x x x x +-=+-⎰＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563. 2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是（） A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3 C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】 3．若2111d 2b x x =⎰，则b =（） A ．32 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B解析：【知识点：微积分基本定理】2111111d (1)2bbx x x b =-=--=⎰，解得2b = 4．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（） A ．43B ．2C ．83 D．答案：C解析：【知识点：定积分求面积】l 与C 围成的图形的面积为诶2232228(1)d ()4123x x x x ---=-=⎰5．计算定积分20cos(2)3x dx ππ+=⎰___________.答案：解析：【知识点：微积分基本定理】22001cos(2)sin(2)323x dx x ππππ+=+=⎰6．计算下列定积分：（1）220(42)(4)d x x x --⎰（2）22123d x x x x+-⎰（3）220(sin cos )d 2x x x π+⎰ 答案：见解析解析：【知识点：定积分的简单应用】（1）222230(42)(4)d (16842)d x x x x x x x --=--+=⎰⎰22340413240(164)321683233x x x x --+=--+=（2）2222211123317d (2)d (23ln )3ln 222x x x x x x x x x x +-=+-=+-=-⎰⎰（3）222200cos 1sin 3(sin cos )d (sin )d cos 222224x x x x x x x x x ππππ+⎛⎫+=+=-++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰能力型师生共研7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为（）A.1B.2C.－1D.－2 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】f (1)＝lg1＝0，23300(0)3d aaf t t t a ===⎰，由f (f (1))＝1，得a 3＝1，a ＝1.8．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛－a a (x 3＋sin x －5)dx的值为（） A ．6＋2sin2 B ．－6－2cos2 C ．20 D ．－20 答案：D解析：【知识点：微积分基本定理，两直线垂直】由l 1⊥l 2，可得a ＝2，∴原式＝22233222(sin 5)d (sin )d (5)d 02020x x x x x x x ---+-=++-=-=-⎰⎰⎰9．已知f (x )是一次函数且10()d 5f x x =⎰，1017()d 6xf x x =⎰，则f (x )的解析式为（） A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋3 D ．－3x ＋4答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，1120()d ()522a af x x x bx b =+=+=⎰①1132017()d ()32326a b a b xf x x x x =+=+=⎰②，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎨⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋310.若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号). 答案：①③解析：【知识点：微积分基本定理】①中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x dx ＝⎠⎛－11⎝⎛⎭⎪⎫12sin x dx ＝0；②中⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛－11(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x ⎪⎪⎪1－1＝－43≠0；③中f (x )·g (x )＝x 3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件. 探究型多维突破11．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2,2]上“平均值点”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】由已知得：f (x 0)＝242232213(3)42044x x x x dx --⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⎰，即x 30－3x 0＝0，解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个.12．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___________.答案：45解析：【知识点：定积分求面积】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=；当121≤<x 时，线段BC 方程为1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为1122210210(1010)x dx x x dx +-+⎰⎰1123321021010(5)33x x x =+-+45=.自助餐1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】2．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2 0≤x <1，2－x 1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )dx 等于( )A ．34 B ．45 C ．56 D ．不存在答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx 3．若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2且a >1，则实数a 的值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 4．函数F (x )＝⎠⎛0x cos tdt 的导数是( )A ．()cos F x x '=B ．()sin F x x '=C ．()cos F x x '=-D ．()sin F x x '=- 答案：A解析：【知识点：微积分基本定理】 5．(3)d ba f x x '=⎰（） A ．()()fb f a -B ．(3)(3)f b f a -C ．1[(3)(3)]3f b f a - D ．3[(3)(3)]f b f a - 答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】因为′=f ′(3x )，所以取F (x )=f (3x )，则f ′(3x )dx =F (b )-F (a )[=[f (3b )-f (3a )].6．已知分段函数f (x )=则f (x -2)dx 等于( )A ．13e+ B ．2e -C ．713e -D ．12e-答案：C解析：【知识点：微积分基本定理】当12x <≤时，120x -<-≤；当23x <<时，021x <-<；于是f (x -2)dx =f (x -2)dx +f (x -2)dx =[1+(x -2)2]dx +e 2-x dx =(x 2-4x +5)dx +e 2-xdx 2332221171(25)()33x x x x e e -=-++-=-7．221412()d x e x x -+=⎰____________________. 答案：37111222e e +- 解析：【知识点：微积分基本定理】222222121321344111112221711()d d e d 321222x x x e x x x x e e e x x ----+=+=-+=+-⎰⎰⎰8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )dx ＝2f (a )成立，则a ＝_________.答案：－1或13解析：【知识点：微积分基本定理】113211()d ()4f x x x x x --=++=⎰，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.9．⎠⎛02|x 2－1|dx ＝_________. 答案：2解析：【知识点：微积分基本定理】21222211d (1)d (1)d x x x x x x -=-+-=⎰⎰⎰12330111()()233x x x x -+-=10．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，则k 的值为______．答案：341 解析：【知识点：定积分求面积】抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标10x =，21x =，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积12312001()d ()236x x S x x x =-=-=⎰，抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标10x '=，21x k '=- 于是1312230011()d (1)2236kk S k x x x kx x x k --⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭⎰，所以311(1)612k -=，解得：341k =-11．（1）已知函数f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)dt 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．（2）求f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)dx 的最小值答案：见解析解析：【知识点：微积分基本定理】（1）f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)dt ＝32320()3232xa b a b t t t x x x ++=++∵f (x )为奇函数，∴b 2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13，∴a ＝－52.综上：a ＝－52，b ＝0.（2）f (a )＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)dx ＝⎠⎛016x 2dx ＋⎠⎛014axdx ＋⎠⎛01a 2dx 11132200022x ax a x =++＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1. ∴当a ＝－1时，f (a )的最小值为1. 12．设20()(28)d xF x t t t =+-⎰. （1）求F (x )的单调区间；（2）求F (x )在[1,3]上的最值．答案：见解析解析：【知识点：微积分基本定理】232320011()(28)d (8)833xxF x t t t t t t x x x =+-=+-=+-⎰，定义域是(0，＋∞)．（1）()F x '＝x 2＋2x －8＝(x ＋4)(x －2)，∵当x <－4或x >2时，F ′(x )>0；当－4<x <2时，F ′(x )<0. 又∵x >0，∴函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0,2)．（2）由（1）知：()F x 在[1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又F (1)＝－203，F (2)＝－283，F (3)＝－6，∴F (x )在[1,3]上的最大值为－6，最小值是－283.数学视野定积分起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题.定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽.比如阿基米德（Archimedes ，前287—前212）远在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积.定积分的概念，在很早以前就已经在许多人的工作中逐渐形成.但是，直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论始终未能形成.定积分的形成与发展为什么经过这样漫长的岁月呢？这与定积分的一般计算方法的解决有很大关系.在牛顿、莱布尼茨之前，计算定积分一直没有一般可行的方法.当时所用的方法各色各样，有的用几何的方法，有的用代数的方法，其共同的特点是躲避不了繁难且技巧性很高的计算.比如计算教科书第39页的曲边梯形面积，就必须算出222(1)(21)12(1)6n n n n --+++-=，这在那时是相当困难的.对于更复杂的问题，那就更不好计算了.这就使得定积分不能广泛地应用到实际，因而限制了它的发展.牛顿—莱布尼茨公式的建立，揭示了定积分与导数之间的内在联系，给出了计算定积分的一般的简便而适用的方法，使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展.因此，可以说牛顿—莱布尼茨公式的出现是积分学建立和发展的转折点，是积分学有如此广泛应用的关键.正是由于这个公式本身的特点和在历史上的作用，所以又称它为微积分基本定理（或微积分基本公式）.然而，微积分基本定理不是万能的.大家知道，应用这个公式求定积分，需要首先求出被积函数的原函数，但是求原函数并不都是容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数来表达；况且从工程技术与科学实验提出的大量的被积函数，常常是用曲线和表格给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子表示出它的原函数.这时计算定积分常用的方法就是近似计算法，在计算机广泛应用的今天，这种方法显得更加可行与重要.关于这方面的知识，《计算方法》课程中有专门的讨论.。

微积分基本定理说课稿教案教学设计

章节
课时
备课人
二次备课人
课题名称
微积分基本定理（一）
三维目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
学做思二：活学活用
计算下列定积分（1）（2）
解答：（1）因为
所以
（2）因为
所以
学做思三：师生互动（分组讨论）
例题示范：例1计算下列定积分
（1）（2）（3）
例2（1）（2）（3）
解答：略。
重点目标
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分
难点目标
了解微积分基本定理的含义导示标1、复习：定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
教材第51页到52页之间，详细清楚的说明了定积分求法的详细过程：
一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且那么
这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼兹公式。为了方便，我们常常把记成
微积分基本定理表明，计算基本定积分的关键是找到满足的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算发则从反方向求出F(x).
目标三导
学做思一：公式（归纳总结）
牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

微积分基本定理教案

微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。

2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。

三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。

四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。

2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。

五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。

六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

微积分基本定理教学设计

微积分基本定理教学设计教学目标：1.理解微积分基本定理的概念和意义；2.掌握微积分基本定理的基本公式和推导方法；3.能够应用微积分基本定理求解相关问题。

教学内容：1.微积分基本定理的概念和意义-解释微积分基本定理的两个部分：第一部分是对函数的原函数求导，第二部分是对函数的不定积分；-引导学生思考为什么微积分基本定理成立。

2.微积分基本定理的基本公式和推导方法- 给出微积分基本定理的基本公式：若函数F(x)是区间[a, b]上的连续函数，且f(x)是F(x)的导数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)；-通过几个简单函数的实例，对基本公式进行演示和讲解；-推导微积分基本定理的基本公式：从定义出发，通过逐步推导，让学生了解为什么基本公式成立。

3.应用微积分基本定理求解相关问题-通过实例引导学生应用微积分基本定理求解相关问题：如计算定积分，求解函数定积分的上限和下限变化等；-引导学生将实际问题转化为数学问题，使用微积分基本定理进行求解；-提供一些实际问题的习题，让学生进行练习和巩固。

教学方法与活动安排：1.讲授与讨论-通过讲解和讨论，向学生介绍微积分基本定理的概念、意义和基本公式；-引导学生思考微积分基本定理的背后原理和推导方法。

2.练习与演示-给学生一些简单的函数，让他们尝试求导和积分，从而巩固基本定理的概念和用法；-进行一些演示，详细讲解和证明微积分基本定理的基本公式。

3.课堂互动-设计一些小组或个人活动，让学生在小组内讨论、解决问题，加强合作与交流；-鼓励学生提问和回答问题，促进课堂互动。

评价与反馈：1.小测验-每个课堂结束前，进行一个小测验，检测学生对微积分基本定理的理解和应用；-将小测验的结果作为学生学习情况的参考。

2.课后作业-布置一些练习题和思考题，让学生进行课后巩固和深化；-对学生的作业进行评改和评价。

3.学生反馈-向学生征求对本节课的反馈和建议，了解学生对教学设计的理解和认可程度，从而对今后的教学进行改进。

微积分基本定理时教案

微积分基本定理时教案学习目标：1.了解微积分基本定理的概念和含义。

2.掌握计算不定积分的方法和技巧。

3.理解积分和导数之间的关系。

教学重难点：1.理解微积分基本定理的思想和原理。

2.掌握使用微积分基本定理计算不定积分的方法。

3.理解积分和导数之间的关系。

教学准备：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、教学课件。

2.学生准备：课本、笔记本。

教学过程：Step 1：导入新知教师用简单的例子引入微积分基本定理的概念和背后的思想，例如：求其中一点速度为v(t)的运动物体在其中一时间段内的位移。

Step 2：引入微积分基本定理教师介绍微积分基本定理的两个部分：第一部分是在一定条件下，求定积分可以通过求原函数来实现；第二部分是定积分可以看作是函数在区间上面积的累加。

Step 3：推导微积分基本定理教师通过具体的例子和图示，让学生感受到定积分和原函数之间的关系。

然后推导出微积分基本定理的两个部分，并用数学符号进行表达。

Step 4：示例演练教师给出一些简单的函数，引导学生根据微积分基本定理计算它们的不定积分。

同时，教师强调几个常用的积分公式和技巧，如换元法、分部积分等。

Step 5：拓展应用教师给出一些与实际问题相关的函数表达式，并引导学生根据微积分基本定理计算相关的不定积分，用数学语言解释问题的本质。

Step 6：总结归纳教师总结微积分基本定理的概念、原理和计算方法，并强调积分和导数的互为逆运算的重要性。

Step 7：练习巩固教师布置一些练习题，让学生独立完成并批改。

同时，教师监督并答疑。

Step 8：课堂小结教师对本节课所学内容进行总结，并与学生一起回顾重点、难点。

Step 9：课后拓展教师布置一些拓展作业，让学生自行查找相关资料，进一步了解微积分基本定理的应用和推广。

Step 10：课堂检测教师布置一些题目，让学生在课后进行自主学习和思考，以检验对微积分基本定理的理解和掌握程度。

教学反思：本节课通过引入实际问题和具体的例子，让学生从直观的角度理解微积分基本定理的概念和原理。

微积分基本公式说课稿

微积分基本定理说课稿一、教材分析1、地位与作用“微积分基本定理”是高中人教版选修2-2 第一章第6 的内容。

这节课的主要内容是：微积分基本定理的形成，以及用它求定积分。

在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。

该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。

2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；（2）通过对本课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力。

过程与方法：（1）通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究，巩固数形结合的方法，；（2）通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零，以直代曲的思想。

情感态度与价值观：（1）感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；（3）帮助建立微观与宏观的联系桥梁。

3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用。

二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在高二时学习该定理，因此学生具备了以下知识和能力储备（1）学生在学习本节内容之前，变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉；（2）已经熟练掌握高中导数的知识，并能应用这些知识解决问题；（3）理解了定积分的定义及其几何意义，并能按定积分的定义求解定积分；（4）相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。

2、学生可能遇到的困难（1）学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想，所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的，因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理；（2）在用微积分基本定理计算定积分时，部分学生对该定理的条件的理解和找满足F x f x 的F x 还是存在困难，但在高中对此要求不高，故提醒学生不必深究。

教学设计7：1.6 微积分基本定理

1.6 微积分基本定理教学目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．教学知识梳理知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )；②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a c d x ＝cx |b a (c 为常数)．②ʃb a x n d x ＝⎪⎪1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a .④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a . ⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a .⑦ʃb a a x d x ＝ ⎪⎪a x ln a b a (a >0且a ≠1)．⑧ʃb a x d x ＝⎪⎪⎪2332x b a (b >a >0)．知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．梳理设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃb a f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下．特别地，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.教学案例类型一求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x )d x ；(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ； (3)π220(sin cos )d ;22x x x -⎰ (4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )|21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(3)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22 ＝1－2sin x 2cos x 2＝1－sin x ， ∴ππ22200(sin cos )d (1-sin )d 22x x x x x -=⎰⎰ π20(cos )|x x =＋＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12，∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x 30＝⎝⎛⎭⎫13×33－72×32＋12×3－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)π2220(cos sin )d 22x x x -⎰； (3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3＋ln x 21＝⎝⎛⎭⎫12×22－13×23＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12－13＋ln 1 ＝ln 2－56. (2)π2220(cos sin )d 22x x x -⎰ π20cos d x x =⎰ ＝sin x π20|＝1.(3)ʃ94x (1＋x )d x＝ʃ94(x ＋x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋12x 294 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×329＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×324＋12×42＝2716.命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求π21()d ;f x x -⎰(2)计算定积分ʃ21|3－2x |d x .解 (1)π21()d f x x -⎰＝ʃ0－1x 2d x ＋π2(cos 1)d ,x x -⎰ 又因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1，所以原式＝ ⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )π20|＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2. (2)ʃ21|3－2x |d x 322312(32)d (23)d x x x x =-+-⎰⎰ ＝(3x －x 2)321|＋(x 2－3x )232|＝12.反思与感悟分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)ʃ1－1e |x |d x ＝________.【答案】 2e －2【解析】 ʃ1－1e |x |d x＝ʃ0－1e－x d x ＋ʃ10e x d x ＝－e －x |0－1＋e x |10 ＝－e 0＋e 1＋e 1－e 0＝2e －2.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋e x ，0≤x ≤1，x －1x ，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x . 解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(2x ＋e x )d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝(x 2＋e x )|10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x 21＝(1＋e)－(0＋e 0)＋⎝⎛⎭⎫12×22－ln 2－⎝⎛⎭⎫12×1－ln 1 ＝e ＋32－ln 2. 类型二利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)⎣⎡⎦⎤23，2解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3.(2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2. 反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[0,2) (2)33 解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])．∴f (x )的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33. ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 当堂检测1．若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】 D【解析】 ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.2．π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 【答案】 D 【解析】π230(12sin )d 2θθ-⎰ π30=cos d θθ⎰＝sin θπ30|＝32. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在【答案】 C 【解析】 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝56. 4．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则ʃ31f (－x )d x ＝________.【答案】 23【解析】 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2，解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (－x )＝x 2－2x ，∴ʃ31f (－x )d x ＝ʃ31(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 231＝9－9－13＋1＝23. 5．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：ʃπ0f (x )d x . 解 ʃπ0f (x )d x ππ2π02()d ()d f x x f x x =+⎰⎰ππ2π02=(4-2π)d cos d ,x x x x +⎰⎰ 取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(4-2π)d cos d x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )π20|＋sin x ππ2|＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1.。

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