《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲

高斯 同一时刻不相关
独立
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06-9-27 7
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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8
5.3.2
■ 对于严格限频信号，当f fc时有
11
假设：窄带正态过程均值为零，功率谱密度关于中心频率对称分布
5.4.1 窄带正态随机过程包络和相位的分布
■ c t 和s t 的联合概率密度
假定 t 为高斯分布，则在同一时刻
f
c ,s
f
c
f
s
1
2
2
exp
2 c
2
2 s
2
a t
2 c
t
2 s
t
,
t
arctg
s c
t t
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
Cov(c1, c2 ) Cov(s1, c2 ) Cov(c2 , c2 ) Cov(s2 , c2 )
Cov(c1, s2 )
Cov(
s1
,
s
2
)
Cov(c Cov(s
2 2
, ,
s s
2 2
) )
2
K
0 Rc ()
0
0 2 0 Rs ()
Rc () 0 2 0
0 2
Rs
()
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct L (t ) c (t ) js (t )
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
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a=0，f (At) ~ 瑞利分布 a>> ，f (At) ~ 近似高斯分
布
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1 x z2
( x)
2
exp
2
dz
5.4.2 正弦波加窄带高斯过程-相位的概率密度
f (t | ) 0 f A ( At ,t | )dAt
概率积分函数
1 exp( 1 2 ){1
等效低通表示式，功率谱密度 同相分量、正交分量性质，幅值、包络性质
正弦波加窄带高斯过程：幅值为莱斯分布
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正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
a2
2aA(t) cos( 2 2
))
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22
5.4.2 正弦波加窄带高斯过程-包络的概率密度
f A ( At
|)
At
2
exp(
At 2 a
2 2
2
)
I
0
(
aAt
2
)
（At
0）
广义瑞利分
布(莱斯分布)
I0 (x)
1
2
2 expx cos d
0
零阶修正贝塞尔 函数（Bessel）
t
arctg
As Ac
t t
Ac As
t t
A(t ) cos A(t ) sin
f A(t )
( A(t), )
1
2
2
exp
A(t)cos
a cos
2
2 2
A(t ) sin
a sin
2
J
其中, J A(t)
f A(t )
( A(t),)
A(t)
2 2
exp(
A(t ) 2
(3) D Ac t D As t D n t 2
f
Ac ,
As
1
2
2
exp
Ac
a cos
2
2 2
As
a sin
2
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5.4.2 正弦波加窄带高斯过程-表示方法2
■ 表示方法2 r t A t cos ct t ,
其中
A
t
Ac2 t As2 t
f
a
f
a ,
d
a 2
exp
a2 2 2
,
a 0
瑞利分布
f
f
a ,
1
da 2 ,
0 2
均匀分布
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结论2
结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程， 其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维 分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和 相位是统计独立的。
f a , f c (a , ),s (a , ) J
1 2
2
exp
a2 2 2
J
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5.4.1
J 为Jocabian行列式。
c a cos , s a sin
c
J
a c
s
a s
cos a sin
sin a cos
a
f
a ,
a 2
2
exp
a2 2 2
当 P ( f )对称于fc时，有 R ( ) Rc ( ) cos 2fc Rs ( ) cos 2fc
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
c t cos 2 fct s t sin 2 fct
同向分量
正交分量
c (t) a (t) cos (t)
s (t) a (t) sin (t)
a (t) c2 (t) s2 (t)
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
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2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
c21
2 s1
c22
2 s2
2a()
c1c2 s1s2
2D 2
D K 4 a2 ()2 a() Ra ()
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fa (a1, a2 , 1, 2 ) fcs (c1, s1, c2 , s2 ) | J |
a1a2 42 D
1 2
exp
1
1
2D2
■ 表示方法1
r t a cos nc t cos 2 fct a sin ns t sin 2 fct
Ac t
As t
对于给定 (1) Ac t , As t ~高斯分布，同一时刻相互独立
(2) E Ac t a cos , E As t a sin
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
窄带正态噪声加正弦信号的包络和相位的分布
表示形式 包络的概率密度 相位的概率密度
窄带正态过程包络平方的分布
窄带噪声包络平方的分布 正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
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二维分布
a (t) 2c t 2s t 1 2
a
(t
)
c2
(t
)
2s
(t
)
1
2
(t) arctan s (t) c (t) (t ) arctan s (t ) c (t )
fa (a1, a2 , 1, 2 ) fcs (c1, s1, c2 , s2 ) | J |
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
2
2
2
cos(
t
)
[
cos(
t
)] exp( 1 2
2)
cos2
(
t
)}
a/
=0，均匀分布 （窄带正态噪声）
1
f (t | )
2
cos(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
)
exp[
1 2
2
sin
2
(
t )]
大信噪比情况下，信号加噪声的相 位主要集中在信号相位附近
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5.4.3. 窄带随机过程包络平方的分布
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
过程(互相关函数仅与时间间隔有关).
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
fcs
(c1,s1,c2 ,s2 )
1
(2 )4/ 2 |
K
|1/ 2
exp(
1 2
xT K 1x)
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15
Cov(c1, c1)
K
Cov(
s1
,
c1
)
CCoovv((cs
2 2
, ,
c1 c1
) )
Cov(c1, s1) Cov(s1, s1) Cov(c2 , s1) Cov(s2 , s1)
窄带噪声包络平方的分布
f
A
At
At
2
exp
At2
2 2
At 0
包络平方 U (t) A2 (t)
At u
fU (ut ) fA ( At ) | J |
dAt 1 窄带正态噪声
du 2 u 的包络平方服
fU
u
|
J
| At
2
exp
At2
2 2
|
At
u
从指数分布
1u
u
1
u
fU (u) 2 u 2 exp( 2 2 ) 2 2 exp( 2 2 ) u 0
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2
■ （2） c t 和s t 的统计特性
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6
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
奇函数
Rˆ 0 0
■ Rc 0 Rs 0 R 0 E t 0
2.
■ Rcs 0 Rsc 0 0.
5.3 窄带随机过程的统计特性
窄带随机过程的准正弦表示 窄带随机过程的低通表示 窄带随机过程的统计特性
解析信号的相关函数和功率谱密度 复包络的相关函数和功率谱密度 同向分量和正交分量的统计特性
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1
窄带随机过程的准正弦表示
(t) a (t)cos 2 fct (t)
Pc
f
Ps
f
P
0,
f fc
其它
P
f
fc ,
fc f fc
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
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f 0
0
fc
2 fc
Pc ( f ) Ps ( f ) A
f 0 f
f
9
f
5.3.2
0
2
0
Ra
()
0
0 2 0 Ra ()
Ra () 0 2 0
0
Ra
()
0
2
Ra
(
)
1
0 GY ( 0 ) cos d
Ra ( ) Rc ( ) Rs ( )
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对称功率谱 16
1
fcs (c1, s1, c2 , s2 )
1
42 D 2
exp
1 1 2
表明： 同一个时刻，随机变量A和是相互独立的； 但是，A(t)与(t)不是相互独立的随机过程。
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20
5.4.2 正弦波加窄带高斯过程-表示方法1
■ 考察混合信号 r t a cos 2 fct nt
~ 0, 2 均匀分布 n t nc t cos 2 fct ns t sin 2 fct ~ 窄带平稳高斯噪声，均值为零