四年级高思奥数之格点与割补含答案
高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
高斯小学奥数四年级下册含答案第12讲_直线形面积计算综合提高
第十二讲直线形面积计算综合提高我们已经学过了基本直线形面积计算公式及其反求、等积变形、格点图形面积、割补法巧算面积等几何知识，本讲就是在之前学习的基础上，加强对基本公式、一些常见模型的掌握以及对画辅助线解决几何问题的过程深刻理解，并在此基础上学习勾股定理．1. 面积计算公式2. 常见模型在计算一些不规则图形的面积时，往往需要利用一些技巧把不规则图形变成规则图形来求解．常用的技巧有割补和平移，在割补和平移的同时往往需要连辅助线，画辅助线巧妙的解决问题是几何学习中的重点、也是一大难点．我们在之前学过的“等积变形”一讲中已经学习过了这一模块中的基本知识点，如下图所示：上面两个图形中，阴影部分面积都是其所在平行四边形面积的一半．一些特殊的平行四边形（如长方形、正方形）中存在这样的基本模型．AD三角形面积=底×高÷2阴影部分面积是长方形面积的一半 阴影部分面积是长方形（平行四边形）面积的一半正方形面积=对角线的平方÷2阴影部分面积是大正方形面积的一半2S ah =÷三角形 2S a =22S b =÷ 正方形 a 等腰直角三角形22=÷S a24=÷S b例题1如图，正方形ABCD 面积为20，E 是BC 上任意一点，DF 与AE 垂直．已知AE 长5，求DF 长度．「分析」已知正方形面积，我们可以计算出哪一块图形的面积呢？练习1如图，长方形ABCD 的长BC 为15，AE =6，DF =10．那么AB 长多少？例题2如图，在长方形ABCD 中，三角形ADE 的面积为20平方厘米，三角形BEF 的面积为12平方厘米．求三角形CDF 的面积． 「分析」你能找出图中哪些图形面积是长方形的一半吗？哪些与题目所给的20、12以及△CDF 有关系呢？ 练习2如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 两条边上的点．已知△AFM 面积为12，△BNF 面积为8，△CEN 面积为11．那么△DEM 的面积是多少？128 11ABCDEF MN勾股定理如右图所示的直角三角形ABC 中，∠A =90°，直角边AC 与直角边AB长度的平方和等于斜边BC 长度的平方．即：反之，若三角形三边符合上述等式，则此三角形为直角三角形，BC 为斜边． 勾股图与弦图勾股图法：如上左图，小正方形内接于大正方形中，所截得的4个全等直角三角形的边长均已标出．大正方形的面积为()2a b +，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积．因此有：()22224222aba b a ab b ab c +-=++-=，所以222c a b =+． 弦图法：如上右图，将大正方形分成4个全等的直角三角形和1个小正方形，各边长均已在图中标出．小正方形的面积加上4个全等的直角三角形的面积就等于大正方形的面积．因此有：()22224222aba b a ab b ab c -+=-++=，所以222c a b =+．aabCB例题3（1）如右上图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知AB =5cm ，BC =12cm ，求AC 的长度．（2）如右下图所示，直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，已知BC =40cm ，AC =50cm ，求AB 的长度．「分析」直接应用勾股定理公式进行计算吧！注意：是2次方而不是乘2哦！练习3如图所示，其中AC 的长为12，BC 的长为16，BD 的长是15，那么AD 的长是多少？例题4如图，请根据所给出的条件，计算出大梯形的面积．（单位：厘米）「分析」要求梯形面积，就必须知道梯形的高，好好思考一下，能根据直角三角形的两条直角边计算出梯形的高吗？梯形的高与直角三角形有什么关系呢？ 练习4如图，请根据给出的数据，求出直角三角形的斜边上的高的长度．A B512D3 4接下来我们看两道比较复杂的题目，要解决它们，我们需要灵活应用前面所学的模型与方法，有时甚至需要我们自己画辅助线构造如上模型． 例题5如图，四边形ABCD 和AEFG 分别是长方形和正方形．已知正方形的边长是10，△DFG 的面积是18．求长方形ABCD 的面积．「分析」你能从这个复杂的图中找出基本的“一半”关系吗？ 例题6如图，四边形ABCD 各边的边长均已标在图中，其中∠A = 90°，求四边形ABCD 的面积．「分析」有90°直角，能否应用勾股定理呢？这个图中有直角三角形吗？ 课堂内外勾股定理勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五．既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五．两矩共长二十有五，是谓积矩．”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”．在公元前7至6世纪一中国学者陈子，24 C曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．”在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”．在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．作业1.如图，ABCD是长方形，EF与宽平行，GH与长平行，AB的长是8厘米，BC的长是6厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米．？2.如图，已知平行四边形面积为60平方厘米，那么长方形面积是多少平方厘米？3.已知甲、乙从同一位置出发，甲往西走了5米，乙往南走了12米，这时甲、乙相距多少米？4. 如下图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，BC =5，AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长多少？5. 如图，已知大梯形的下底为35，根据图中给出的条件，请求出大梯形的面积．CBNMA第十二讲 直线形面积计算综合提高1. 例题1答案：3.2详解：正方形边长为4，面积为16；三角形ADE 面积是正方形的一半，为8．三角形面积等于2AE DF ⨯÷，所以DF 长为825 3.2⨯÷=．2. 例题2答案：32平方厘米详解：ADE BEF DEF ++面积和是长方形的一半；CDF DEF +面积和是长方形的一半；比较可得，CDF 面积恰好等于ADE 与BEF 面积和，为201232+=平方厘米． 3. 例题3答案：13厘米；30厘米详解：（1）222512AC +=，AC =13；（2）2224050AB +=，AB =30． 4. 例题4答案：60平方厘米详解：画如图虚线，原图中的直角三角形直角边分别是6、8，所以斜边是10，即梯形上底为10；梯形的高即为直角三角形的高，如图虚线，高为6810 4.8⨯÷=厘米；梯形面积为()1015 4.8260+⨯÷=平方厘米．5. 例题5答案：64详解：如图，连接DE ．首先，三角形ADE 与DFG 的面积和为正方形AEFG 的一半，等于50；其中DFG 面积为18，所以ADE 面积为32；而三角形ADE 面积为长方形ABCD 的一半，所以长方形面积为64．E6. 例题6答案：96详解：如图，连接BD ．ABD 中，BD 为10．BCD 中，三边分别为10、24、26，有222102426+=，所以BCD 为直角三角形．三角形BCD 面积为10242120⨯÷=，三角形ABD 面积为68224⨯÷=，所以ABCD 面积为1202496-=． 7. 练习1答案：4详解：三角形AED 面积为610230⨯÷=，则长方形面积为60，长为15，所以宽AB 为60154÷=.8. 练习2答案：9详解：AMF BNF MENF ++面积和是长方形的一半；DME CNE MENF ++面积和是长方形的一半；比较可得，AMF BNF +面积恰好等于DME CNE +，所以DME 面积为128119+-=平方厘米．9. 练习3答案：25 简答：2221216AB +=，AB =20；2222015AD +=，AD =25．10. 练习4答案：2.4简答：直角三角形直角边分别是3、4，所以斜边是5，高为345 2.4⨯÷=厘米．11. 作业1答案：24 简答：四个阴影三角形面积分别等于各自所在的长方形面积的一半，所以阴影部分总面积即为大长方形ABCD 的一半，为68224⨯÷=平方厘米．12. 作业2答案：60简答：长方形和平行四边形面积都等于直角三角形的两倍，所以他们面积相等．24 C13.作业3答案：13简答：甲往西走了5米，乙往南走了12米，两个人的方向垂直，所以此时两人的距离即为两条直角边长分别为5和12的直角三角形的斜边长度，等于13．14.作业4答案：4简答：AC=12，BC=5，所以斜边AB=13；AM=AC=12，所以BM=1；而BN=BC=5，所以514=-=-=．MN BN BM15.作业5答案：360简答：直角三角形两条直角边分别是15、20，根据勾股定理可得斜边（即梯形上底）为25，因此斜边上的高（即梯形的高）为20152512⨯÷=．而梯形面积为()+⨯÷=．2535122360。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
高斯小学奥数四年级下册含答案第04讲_格点图形面积计算
第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。
四年级高思奥数之格点与割补含答案
第 19 讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 .典型问题兴趣篇4．图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ?6．图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．1．图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米 2．图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米3．图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米． 阴影多边形的面积是多少平方厘米5．如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ?1 平方厘米．四边形 ABCD（单位：厘米 ）l 平方厘和三7．如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形．是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米．求长方形EFGH ．已知正方形 ABCD 的边长EFGH 的面积．8．如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边形 CDEF 是平行四边形．如果9．如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ? 图中10．在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是2 厘米，求三角形拓展篇1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为的面积分别是多少平方厘米2. (1)图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米4．如图 19-15 和图 19-16 ，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分， 并连接这些分点．已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米．请问：图 19-16 中的阴影部分的面 积是多少平方分米 ?5．如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?6．如图 19-18 所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米， M 是 AB 中点， 点， P 是EF 中点．请问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米 ?(2)图 19-13 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米 3．图 19-14 中每个小正方形的边长为 1 厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米 N 是 CD7．图 19-19 中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米 ?8．图 19-20 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF长 3厘米，求阴影部分的面积．9．图 19-21 是一个边长为 l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” ．梯形的米， A 为上底的中点， B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为10．在图 19-22 中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米 ?96 平方厘米，求阴影图形的面积．11．如图 19-23 ，正方形网格的总面积等于12．如图 19-24，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘 米?超越篇1．图 19-25 中每个小正方形的边长为 1 厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米 ?2．如图 19-26，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米．在每个点都钉上钉子，形成 4 行 4 列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形 ?（面积相 同但形状不同的三角形算一种 ）3．已知大的正六边形面积是 72 平方厘米， 按图 19-27 中不同方式切割 （ 切割点均为等分点 ），5．如图 19-29 所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积 是多少平方厘米 ?（单位：厘米 ）4. 图 19-28 为一个边长为 的面积为多少平方厘米 ?2 厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分6. 如图 19-30 所示，这个多边形六条边的长度分别是 1、2、3、 4、5、7．问：这个图形的7．如图 19-31，有一个 80×100 的长方形网格，它的四个顶点分别为 A、 B、C、D．已知图中每一个小方格的面积都是 l，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小（不能等于 0），那么这个最小的面积是多少8．正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形空白部分面积等于多少平方厘米第19 讲格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 .典型问题兴趣篇1．图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米答案： 4 平方厘米 2 平方厘米 8 平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L - 1）×单位正方形 2 面积，其中N为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+10÷2-1）×1=4（平方厘米）有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+4÷ 2-1 ）×1=2（平方厘米）有 N=5，L=8 ，则用粗线围成图形的面积为：（5+8÷2-1）×1=8（平方厘米）2．图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米答案： 5 平方厘米 5 平方厘米 0.5 平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L - 1）×单位正方形 2 面积，其中N为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1 ）×1=5（平方厘米）有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1 ）×1=5（平方厘米）有 N=0，L=3 ，则用粗线围成图形的面积为：（0+3÷2-1）×1=0.5（平方厘米）2 平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米3．图 19-3 中每个小正方形的面积均为答案： 19 平方厘米【分析】 方法 ：交点组成了正方形格点， 正方形格点阵中多边形面积公式： N+L- 1） ×单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数． 2有N=7，L=17 ，则用粗线围成图形的面积为： （ 7+7÷2-1） ×2=19（平方厘米 ）4．图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ?答案： 6 平方厘米 6 平方厘米 14 平方厘米【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．有 N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为： （0 ×2+8- 2） ×1=6（平方厘米 ）． 有 N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （2 ×2+4- 2） ×1=6（平方厘米 ）． 有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+7-2） ×1=14（平方厘米 ）．答案： 20平方厘米 10 平方厘米【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （9 ×2+4- 2） ×1=20（平方厘 米）．有 N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+4- 2）5．如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ?l 平方厘1 平方厘米．四边形 ABCD 和三×1=10（平方厘米）．6．图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形（单位：厘米）的面积．答案： 16 平方厘米8．如图 19-8 所示，四边形 答案： 25 平方厘米分析】 S 平行四边形 CDEF =DC ×BC=5×7=35， HC=BC-BH=7-3=，4 所以S CDH =1 × CD ×HC=1×5×4=10． CDH2 2S 阴影 = S 平行四边形 CDEF - SCDH =35-10=25（ 平方厘米 ）.9．如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方 形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问： 图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ?答案： 50 平方厘米答案： 32 平方厘米【分析】 3×2+2×4+（ 5-2）×7．如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形． 是 6 厘米，图中线段 AE 、AH 都等于 2 厘米．求长方形EFGH ．已知正方形 ABCD 的边长 分析】 先算正方形面积 6× 6=36 再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2× 2=4 后算 左下角和右上角三角形面积 4×4÷2× 2=16 36-4-16=16ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘形 CDEF 是平行四边【分析】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B 两种三角形．其中含有A形三角形8 个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形 4 个， B 形三角形 8 个． 所以，阴影部分面积恰好为大正11×10×10=50（平方厘米 ）． 210．在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是答案： 14 平方厘米【分析】 方法 ：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L- 1） ×单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．2有 N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为： （ 3+3÷2-1 ） × 4=14（平方厘米 ）拓展篇答案： 7.5平方厘米 6.5 平方厘米 9平方厘米分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L- 1）×单位正方形 2面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．方 形面 积 的 1， 即为1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 的面积分别是多少平方厘米l 平方厘米． 这三个多边形有N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（4+9÷2-1 ）×1=7.5（平方厘米）有N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（3+9÷2-1 ）×1=6.5（平方厘米）有N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（4+12÷2-1）×1=9（平方厘米）2. （1）图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米（2）图 19-13 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米答案： 200 平方分米【分析】 在图 19-15 中，原正三角形被分成 25 个小正三角形，而阴影部 分含有 12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为 294÷12=24.5 ，所以原 正三角形的面积为 24. 5×25=612.5（ 平方分米 ）．而在图 19-16 中，原正三角形被分成 49 块，而阴影部分含有 16块，所以阴 影部分的面积为 612.5÷49×16=200（平方分米 ） ．答案： 17平方厘米 56 平方厘米分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+ - 1） ×单位正方形 面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数． 有 N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+13÷2-1）×2=17（平方厘米 ） 【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+8-2） ×4=56（平方厘米 ）．3．图 答案： 面积14 平方厘米分析】 方法 ：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的 正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L- 1） ×单位正方形面积，其中 N 2为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．有 N=21，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（21+8÷2-1）×1=24（平方厘米 ） 有 N=5，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（5+12÷2-1）×1=10（平方厘米 ） 24-10=14 平方厘米4．如图 19-15 和图 19-16 ，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分， 并连接这些 分点．已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米．请问：图 19-16 中的阴5．如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个A 的面积正方形，如果正方形36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?答案： 32 平方厘米【分析】在 A 中做一条对角线，三角形会被平分为 4 部分，整个三角形面积为72，在 B 中连接两条对角线，整个图形被分为 9 部分， B 占四部分。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版-最新教育文档
7．分别计算图中两个格点多边形的面积．
8．我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
9．右图是一个 面积单位的图形．求矩形内的箭形 的面积．
10．右图中每个小正格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（ ）平方厘米．
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。3．判断下列图形哪些是格点多边形？
2017年小学奥数几何专题——格点与割补
2017年小学奥数几何专题——格点与割补注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（题型注释）1、如图，的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有( ) 个．2、的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（ ）平方厘米．3、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．4、如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．二、判断题（题型注释）5、判断下列图形哪些是格点多边形？三、解答题（题型注释）6、用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？7、如图，计算各个格点多边形的面积．8、如图(a)，计算这个格点多边形的面积．9、右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．10、分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵11、我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？12、右图是一个面积单位的图形．求矩形内的箭形的面积．13、右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？14、第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？15、两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为，右下角的阴影部分(线状)面积为，求大正方形的面积．16、图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF ，CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．17、如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．18、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．19、把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．20、如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？21、如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？22、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？23、如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．24、求下列各个格点多边形的面积．25、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？参考答案1、202、23.53、2004、665、（1）6、87、16,15,10,15,12,188、109、410、9,1011、1812、4613、62.514、2715、1916、3117、1018、19，19,18,2119、5220、2021、4822、2.2523、1124、15,20,14,1725、6.5【解析】1、根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如下图)．的正方形：9个；的正方形：4个；的正方形：1个；以正方形对角线为边长的正方形：4个；以长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成(个)正方形．2、为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为(平方厘米)．3、图1中阴影部分占整个三角形面积的，图2中阴影部分占整个三角形面积的，故图2中阴影部分的面积为294÷=200(平方分米)．4、5、根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．6、面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．7、本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．8、方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是；直角三角形Ⅰ的面积是：；直角三角形Ⅱ的面积是：；直角三角形Ⅲ面积是；所求三角形的面积是(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：(面积单位)．9、扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为，，．所以，图中阴影部分的面积为：()．10、利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．11、图形内部格点数；图形边界上的格点数；根据毕克定理，则(单位面积)．12、箭形的面积(面积单位)．13、图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：(面积单位)．14、要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：；2所占的面积为：；1所占的面积为：．所以，这三个数字所占的面积之和为：．15、块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是大正方形的面积为．16、如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，面积，面积，四边形ABQP面积．上述三块面积之和为．因此，阴影四边形CEPQ面积为．17、方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到，，，所以(面积单位)．方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即．平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：．所以(面积单位)．18、⑴∵；，∴(面积单位)；⑵∵；，∴(面积单位)；⑶∵；，∴(面积单位)；⑷∵；，∴(面积单位)．19、图中有(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：(面积单位)，进而得图形的面积为：．20、法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．21、如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．22、将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积(平方厘米)．23、因为；：所以(面积单位)．24、⑴∵；，∴(面积单位)；⑵∵；，∴(面积单位)；⑶∵；，∴(面积单位)；⑷∵；，∴(面积单位)．25、方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+-1)×1=6．5(平方厘米)方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．。
小学四年级培优数学第三章第五课：几何问题之格点与割补
培优数学 第三部分
几何问题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第5讲
格点与割补
明确格点多边形的概念，学会通过 分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规则图形的 面积； 掌握格点多边形的面积计算公式.
典型问题
1、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
①
③
②
典型问题
2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
①
②
③
典型问题
3、图中的每个小正方形的面积均为2平 方厘米，阴影多边形的面积是多少平方 厘米？
典型问题 4、图中是一个三角形点阵，其中能连出 的最小的等边三角形的面积为1平方厘米， 三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
① ③
②
典型问题
5、图中的数字代表对应线段的长度， 试求这个多边形的面积.(单位：厘米)
2
3
4
2
5
1
四年级下 奥数思想 第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG练习2如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2.3. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？4.5. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？6.7. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？8. 9. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？10.D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加．32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2. 例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积是72平方厘米．那么第二个图中每个小三角形面积是8平方厘米，正方形B 的面积是32平方厘米．1 2 2 3 4 5 1 2 23 45答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米 详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：150简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．3 24 3 4124 9答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积．13.作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6．14.作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15.作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
2011年学而思春季第三讲(格点与割补)
第三讲 格点与割补一、格点多边形满足两个条件1、顶点都在格点上2、图形的边是直线段二、格点多边形面积计算方法1：数格子方法2：分割法——把图形分割成若干个可直接计算面积的规则图形方法3：扩展法——把图形先扩展成易算面积的规则图形，再减去扩展的部分方法4：毕克公式若N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数，S表示面积正方形格点 S = N + L÷2 -1三角形格点 S = （N + L÷2 -1）×2注意：公式所得结果为面积单位，即有多少个格子。
例1 略例2 计算格点多边形的面积解析：这是一个规则的三角形，可以直接用面积公式吗？好像不行，因为我们现在的知识还算不出相应边的长度，无法用面积公式。
如果分割成知道一条边长度的三角形不就可以了吗？ 分割法：如左图，连结辅助线，将原图分割成两个三角形，这 两个三角形都知道一天边，且高也很容易观察出。
上面的三角形：5×2÷2=5下面的三角形：5×2÷2=5共计：5+5=10（面积单位）如左图，将原图扩展为一个规则的长方形，再用长方形面积减去三个三角形A,B,C的面积即可。
长方形：6×4=24A：6×2÷2=6 B：4×2÷2=4 C：2×4÷2=4结果为：24‐6‐4‐4=10（面积单位）毕克公式法：8+6÷2‐1=10例3 已知相邻两个格点距离是1，求图形面积。
解析：本题需要注意的是，这是三个独立的图形组合而成的图形，所以最好是分开算，特别是想用毕克公式的同学，一定要分成三个图形用，不能看成一个图形用公式。
同学们自己练习一下吧，不管你用什么方法，看看结果对不对。
A=5 B=4 C=12 合计：5+4+12=21（尖子）学案2 图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。
解析：第一个图可以分割为4个一样的三角形和中间的一个田字格。
小学数学奥数测试题格点与割补人教版
小学数学奥数测试题格点与割补_人教版2019年小学奥数几何专题——格点与割补1．用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？2．如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有( ) 个．3．判断下列图形哪些是格点多边形？4．如图，计算各个格点多边形的面积．5．如图(a)，计算这个格点多边形的面积．6．右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．7．分别计算图中两个格点多边形的面积．8．我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？9．右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．10．右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？11．55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是（）平方厘米．12．第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？13．两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为27.4cm，5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为2求大正方形的面积．14．图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．15．如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．16．求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．17．把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．18．如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？19．把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．20．如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？21．正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？22．如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．23．如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．24．求下列各个格点多边形的面积．25．如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？参考答案1．8【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．2．20【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如下图)．⨯的正方形：9个；22⨯的正方形：4个；33⨯的正11方形：1个；以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．3．（1）【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．4．16,15,10,15,12,18【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是⨯=(面积单位)；4416图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是⨯÷=(面积单位)；54210图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212（）(面积单位)；+⨯÷=图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218（）(面积单位)．+⨯÷=如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．5．10【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯÷=；⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是（）(面积单位)．2464410-++=方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．6．4【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm．所以，图中阴影部分的1.5cm，22cm，2面积为：33 1.5224（）(2cm)．⨯-⨯+=7．9,10【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．8．18【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182L S N =+-=(单位面积)．9．46【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．10．【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)． 11．【解析】为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．12．27【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．13．19【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（） 大正方形的面积为219cm ． 14．31【解析】如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．15．10【解析】方法一：如图(b)所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC 可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACD S =， 3AEB S =，4FBC S =，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEB S =，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACD S =．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBC S =．所以123410S =+++=(面积单位)．16．19，19,18,21【解析】⑴ ∵7L =；7N =，∴22277219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑵ ∵5L =；8N =，∴22285219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑶∵6N=，∴22276218L=；7=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N L⑷∵7N=，∴22287221L=；8=⨯+-=⨯+-=(面积单位)．S N L17．52【解析】图中有1357911131564+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642÷=，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252⨯=．18．20【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．19．200【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的12，25，故图2图2中阴影部分占整个三角形面积的1649中阴影部分的面积为294÷1216⨯=200(平方分2549米)．20．48【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．21．【解析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积=⨯=(平方厘米)．0.259 2.2522．66【解析】 ABC ABD BCD ACD SS S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米23．11【解析】因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．24．15,20,14,17【解析】⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)． 25．【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L 2-1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米) 方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．。
(完整版)格点与割补讲义及作业
1. 如图，计算各个规则的格点多边形的面积．························································································································································【练习与提高】例1. 用两种方法计算这个格点三角形的面积．III(b)(a)例2. 分别计算图中两个格点多边形的面积．例3. 下列多边形的面积是________(面积单位).例4. 美丽的“乡村小屋”的面积是多少？例5. 刚刚飞上太空的火箭面积是多少。
四年级奥数点拨(第3讲)格点与割补
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
1.
A:10
B:20
C:30
D:40
2.
A:15
B:16
C:17
D:18
3.
A:30
B:35
C:36
D:40
4.
A:20
B:24
C:25
D:30
5.
A:1.25
B:1.75
C:2.25
D:2.75
6.
A:30
B:31
C:32
D:33
7.
A:16
B:18
C:25
D:27
---------------------赠予---------------------
(完整版)第25讲不规则图形的面积四年级奥数格点和面积补充
格点和面积这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
合起来有6个面积单位。
所以它的面积为6个面积单位。
（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。
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第19讲格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米?4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米?5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．拓展篇1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2. (1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?4．如图19-15和图19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?5．如图19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?6．如图19-18所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?8．图19-20中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．9．图19-21是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?10．在图19-22中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?11．如图19-23，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．12．如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?超越篇1．图19-25中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?2．如图19-26，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米．在每个点都钉上钉子，形成4行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?(面积相同但形状不同的三角形算一种)3．已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图19-27中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?4. 图19-28为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?5．如图19-29所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?(单位：厘米)6. 如图19-30所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7．问：这个图形的面积最大可能是多少?7．如图19-31，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A、B、C、D．已知图中每一个小方格的面积都是l，请选出一个合适的格点P，使得三角形PAC的面积尽可能小(不能等于0)，那么这个最小的面积是多少?8．正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形(边长也为l厘米)，如图19-32．那么空白部分面积等于多少平方厘米?第19讲格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米2平方厘米8平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+10÷2-1)×1=4(平方厘米) 有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+4÷2-1)×1=2(平方厘米) 有N=5，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（5+8÷2-1)×1=8(平方厘米)2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.5平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+4÷2-1)×1=5(平方厘米) 有N=0，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（0+3÷2-1)×1=0.5(平方厘米)3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 答案：19平方厘米【分析】方法：交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=7，L=17，则用粗线围成图形的面积为：（7+7÷2-1)×2=19(平方厘米)4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案：6平方厘米6平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(0×2+8-2)×1=6(平方厘米)．有N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1=6(平方厘米)．有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+7-2)×1=14(平方厘米)．5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．有N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+4-2)×1=10(平方厘米)．6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×2+2×4+（5-2）×（3+1+2）=327．如图19-7所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形．EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积6×6=36 再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2×2=4 后算左下角和右上角三角形面积4×4÷2×2=16 36-4-16=168．如图19-8所示，四边形ABCD 是长方形，长AD 等于7厘米，宽AB 等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?答案：25平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35，HC=BC-BH=7-3=4，所以CDH S =12×CD×HC=12×5×4=10． S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS =35-10=25(平方厘米).9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B形三角形8个．方形面积的12，即为所以，阴影部分面积恰好为大正12×10×10=50(平方厘米)．10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．答案：14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-1)×4=14(平方厘米)拓展篇1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7.5平方厘米 6.5平方厘米9平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（4+9÷2-1)×1=7.5(平方厘米) 有N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（3+9÷2-1)×1=6.5(平方厘米) 有N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（4+12÷2-1)×1=9(平方厘米)2. (1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?答案：17平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+13÷2-1)×2=17(平方厘米) 【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(4×2+8-2)×4=56(平方厘米)．3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：14平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的面积。