八年级数学上 不等式及其基本性质
不等式及其基本性质说课稿
不等式及其基本性质说课稿尊敬的各位领导、各位老师：下午好！我今天说课的课题是《不等式及其基本性质》，它是浙教版八年级上册第五章的第二节第一课时。
今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法：本节内容不等式，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。
同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用。
根据《数学课程标准》的要求，教材的内容兼顾我校初一学生的特点，我制定了如下的教学目标：知识与技能：1.感受生活中存在的不等关系，了解不等式的意义。
2.掌握不等式的基本性质。
过程与方法：经历不等式的基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
情感态度与价值观：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步符号感与数学化的能力。
教学重难点：重点：不等式概念及其基本性质难点：不等式基本性质3（设计意图：不等式在生活中有着广泛的应用，是刻画现实世界中量与量之间关系的有效的数学模型，同时，它的基本性质是不等式变形及解不等式的重要的理论依据。
因此我把不等式的概念及其基本性质定为本节课的重点。
由于学生的认知结构是建立在等式的知识基础上对不等式进行学习。
所以，在学习的过程中要注意与等式的区别，避免惯性的思维定势。
那么，很自然的本节课的难点在于不等式基本性质3。
）教法与学法：1.教学理念：“人人学有用的数学”2.教学方法：观察法、引导发现法、讨论法．3.教学手段：多媒体应用教学4.学法指导：尝试，猜想，归纳，总结（设计意图：本着“人人学有用的数学”的教学理念，遵循学生思维发展的特点，结合初一学生活跃，好动的个性，我在本节课的课堂教学中将运用观察法、引导发现法、讨论法，让学生在观察中发现生活中的数学，在教学过程中体现教师的主导地位，学生的主体地位，引导学生勇敢的尝试，大胆的猜想，在讨论中归纳，总结出结果。
不等式和它的基本性质教学设计方案
不等式和它的基本性质教学设计方案不等式，作为数学中一个基础而重要的概念，它的理解与应用贯穿整个数学学习过程。
今天，就让我们一起探讨一下如何让学生更好地掌握不等式及其基本性质。
一、导入新课我会以一个简单的数学游戏来引入这个话题。
让学生在纸上写下几个不等式，比如2<3、5>2等，然后让他们用自己的方式解释这些不等式的含义。
通过这种方式，让学生初步感知不等式的存在，并引发他们对不等式的好奇心。
二、不等式的定义与性质1.定义我会用简单的语言解释不等式的定义：不等式就是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示不相等关系的式子。
接着，我会通过几个例子来让学生理解这个定义，如3<4、7≥6等。
2.性质（1）传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
我会用生活中的例子来解释这个性质，如“小明比小红高，小红比小刚高，所以小明比小刚高”。
（2）对称性：如果a<b，那么b>a。
这个性质很容易理解，我只需通过几个简单的例子让学生验证即可。
（3）可加性：如果a<b，那么a+c<b+c。
这个性质可以通过实际操作让学生感受，如在一个不等式的两边同时加上一个数，观察不等式的变化。
（4）可乘性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
这个性质稍微复杂一些，我会通过具体的例子来讲解，如2<3，那么2×2<3×2。
三、实例讲解与练习在讲解完不等式的定义和性质后，我会选取一些典型的实例进行分析。
这些实例包括：1.解不等式：2x5>3我会引导学生将不等式转化为等式进行求解，然后让学生自己尝试解释为什么解出来的数是大于号两边的数。
2.不等式的应用：比较两个数的大小我会让学生用不等式来比较两个数的大小，如比较3^2和4^2的大小，让学生在实际操作中感受不等式的应用。
3.练习题我会设计一些练习题，让学生在实际操作中巩固不等式的知识。
认识不等式及其性质
认识不等式及其性质不等式在数学中是一个重要的概念，它用于描述数值之间的大小关系。
通过学习不等式，我们可以更深入地理解数学的性质和规律。
本文将介绍不等式的基本概念、性质以及与之相关的重要定理和推论。
一、不等式的基本概念1. 定义不等式是用不等号连接的数学表达式，表示两个数值的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
2. 不等式的解集一个不等式可以有无穷多个值满足，这些满足不等式的值构成了不等式的解集。
解集可以用数轴上的线段表示，也可以用集合表示。
二、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果 a>b 且 b>c，则有 a>c。
这个性质在解不等式时非常有用。
2. 加法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a+c>b+c。
3. 减法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a-c>b-c。
4. 乘法性1）对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 ac>bc。
2）对于任意的实数 a、b 和负数 c，如果 a>b 且 c<0，则 ac<bc。
5. 除法性对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 a/c>b/c。
三、一元一次不等式一元一次不等式是一个最简单的不等式形式，形如 ax+b>0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。
1. 解一元一次不等式的基本步骤对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以按照以下步骤解决：1）如果 a>0，则不等式解集为 x>-b/a。
2）如果 a<0，则不等式解集为 x<-b/a。
2. 一元一次不等式的规范形式规范形式是指将不等式整理成 a>0 或 a<0 的形式。
通过规范形式，我们可以更方便地求解不等式。
八年级数学讲义不等式的基本性质及其解集
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．c a b a +⇒> c a b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ．二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体）3．不等式解集的表示方法. 1-≤x①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围.②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．（2007山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．（2）若b a ,满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．例5．已知由小到大的十个正整数109321,,,,,a a a a a 的和是2003，那么5a 的最大值是多少？当5a 取得最大值时，写出10a 最小的这十个数．思考：1.已知a c c b a c b a 求,,0>>=++的取值范围．2．设c b a ,,均为正数，若ac b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．【经典练习】y k 2x1．如果关于x 的不等式b x a <-)1(的解集是1->a b x ，则有（ ） A 、1>a B 、1<a C 、1≠a D 、a 为一切实数2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集；（3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．满足不等式135->-x 的正整数值是方程[]a x x x =-----)15(4)21(5)2(4的解，则a 的值是（ ）A 、0B 、1C 、17D 、-175．不等式)52(4)83(714-<+-x x x 的负整数解是（ ）A 、-3，-2，-1，0B 、-4，-3，-2，-1C 、-2，-1D 、以上答案都不对6．已知032)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是（ ）A 、2<nB 、3<nC 、4<nD 、5<n 7.如果b ax >，02<ac ，则xa b 8．（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．9.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .10．当a = 时，不等式x x 532≥-与x ax ≤+2同解．11．化简：若41<<x ，则化简22)1(4(-+-x ）x 的结果是 ． 12．当a 为何值时，方程)(23a x a x +-=+的解大于方程2)12(3)13(+=-x a x a 的解13．已知7321,,,a a a a 是彼此不相等的正整数，它们的和为159，求其中最小数a 的最大值．作业1．如果关于x 的方程7332+=-+x m x 的解为不大于2的非负数，那么（ ）（第8题图）A 、6=mB 、7,6,5=mC 、无解D 、75≤≤m2．如果关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（ ） A 、2>a B 、2<a C 、187<a D 、187>a 3．如果22,7235>+->-c a a ，那么（ ） A 、c a c a +<- B 、a c a c +<- C 、ac ac -> D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的大小顺序是（ ）A 、b a a b >->>-B 、b a b a ->->>C 、a b a b ->->>D 、a b b a ->>->5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是非负数？6.（1）关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.(2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.思考：已知三个非负数z y x ,,满足132,523=-+=++z y x z y x ，若z y x m 73-+=，求m 的最大值及最小值。
八年级数学上册《不等式的基本性质》优秀教学案例
4.多元化的教学评价，关注学生全面发展
本案例采用了多元化的教学评价方式，既注重学生的知识与技能掌握程度，也关注学生在学习过程中的表现。这种评价方式有助于全面了解学生的学业状况，发现学生的潜能和特长，进而激发学生的学习兴趣，促进学生的全面发展。
2.问题驱动的探究式学习
本案例以问题为导向，引导学生通过问题解决的过程来探究不等式的基本性质。这种探究式学习方式充分调动了学生的主观能动性，让学生在解决问题的过程中学会思考、分析、总结，培养了学生的逻辑思维和推理能力。同时，问题设计由浅入深，有助于学生逐步掌握不等式的性质，形成系统的知识结构。
3.小组合作学习，促进交流共享
（二）问题导向
本案例以问题导向为核心，引导学生通过问题解决的过程来探究不等式的基本性质。教学中，设计具有启发性和思考性的问题，让学生在解决问题中发现问题、分析问题、解决问题。问题设计应遵循由浅入深、循序渐进的原则，引导学生逐步掌握不等式的性质。此外，注重引导学生提出自己的疑问，培养学生的批判性思维和问题意识。
（三）小组合作
小组合作学习是本案例的重要教学策略。将学生分成若干小组，每组学生共同探讨问题、分享思路、交流心得。通过小组合作，促进学生之间的互动与交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。在小组合作过程中，教师要注意观察各小组的学习状态，及时给予指导和帮助，确保每个学生都能积极参与，真正实现共同进步。
本章节内容主要包括不等式的定义、不等式的性质、不等式的证明与变形等。通过本案例的教学，学生能够熟练运用不等式的基本性质，如同加同减、同乘同除等，解决实际数学问题，并为后续学习一元一次不等式、不等式组等更复杂的数学知识打下坚实基础。
初中数学学案全集之不等式及其基本性质学案
7.1 不等式及其基本性质-学案池州市第十六中学汪重班级姓名【学习目标】1.了解不等式的概念，探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别。
3.感受生活中的不等关系，理解生活中有一些描述不等关系的词语，例如：最大（小），最高（低），超过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于…会由题意列出最简单的不等式。
【学习重点】不等式的概念及其基本性质【学习难点】不等式的基本性质的掌握和应用，特别是不等式基本性质3的理解与应用。
【学习方法指导】1.类推探究法。
即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质。
2.采用的是“启发、引导、合作探究”的教学方法。
根据学生的认知规律，创设符合学生实际的情境，引导学生自主探索，积极参与课堂活动，培养学生的探究能力。
【学习过程】一、课前导学在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中。
从今天起，你们将学习一类新的数学知识：不等式。
用适当的式子表示下列关系（1）2x与3的和不大于-6；（2）x的5倍与1的差不小于x的3倍；（3）a与b的差是负数；（4）x的2倍与y的值不相等。
二、探究新知(一)不等式概念的探究1.情境创设雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。
设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？2．概括总结．像2x+3≤-6，5x-1≥3x，a-b＜0，2x≠y，4.5t＜28000等，用表示不等关系的式子叫不等式。
常用的不等号有：。
3.跟踪练习：1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？(1)3＞2 (2)a2+1＞0 (3)3x2+2x(4)x＜2x+1 (5)x=2x-5 (6)x2+4x＜3x+1(7)a+b≠c2.甲市某天的最低气温是-1℃，最高气温是5℃，设这天气温为t℃，则t 满足的条件是。
3.某段长为30km的公路AB，对行驶汽车限速为（不超过）60km/h，一辆汽车从A到B的行驶时间为t小时，求t满足的数量关系。
人教版八年级数学上不等式的基本性质
初中数学试卷不等式的基本性质知识导引不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点：1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。
“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法．典例精析例1：下列四个命题中，正确的有（ ）①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ）A 、ab ＞bcB 、a ＋b ＞b ＋cC 、a －b ＞b －cD 、c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，312+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N例3：解不等式5456110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．例3—1：请你写出一个满足不等式2x－1＜6的正整数x的值：．例3—2：若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为．例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？探究活动例：三边均不相等的△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．学力训练A组务实基础1、若a＞b，c为有理数，则下列各式一定成立的是（）A 、ac ＞bcB 、ac ＜bcC 、22bc ac >D 、22bc ac ≥2、不等式121>-x 的解集是（ ） A 、21->x B 、2->x C 、2-<x D 、21-<x 3、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们体重的大小关系是（ ）A 、P ＞R ＞S ＞QB 、Q ＞S ＞P ＞RC 、S ＞P ＞Q ＞RD 、S ＞P ＞R ＞Q4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（ ）A 、a ＜1B 、a ＞1C 、a ＞0D 、a ＜05、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是 ．6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是 ．7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝ ．8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）．9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围．10、关于x 的不等式64141a x x ->-+的解都是不等式2214x x -<-的解，求a 的取值范围．B 组 瞄准中考1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ）A 、x ≤1B 、x ≥1C 、x ＜1D 、x ＞12、（烟台中考）不等式4－3x≥2x －6的非负整数解有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（ ）A 、a ＋c ＞b ＋cB 、c －a ＜c －bC 、22cb c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得ac ＞bcB 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得－a ＞－bD 、由a ＞b ，得a －2＜b －25、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得b a >D 、由a ＞b ，得22b a > 6、解不等式x x 329721-≤-，得其解的范围为（ ） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（ ）A 、0.6元B 、0.7元C 、0.8元D 、0.9元8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．9、（重庆中考）解不等式3132+<-x x ，并把解集在数轴上表示出来．10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ．11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？C 组 冲击金牌1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（ ）A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5xB 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5xC 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5xD 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x2、不等式100<+y x 有 组整数解．3、已知121219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是 ． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2xy 按从小到大的顺序排列．5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号．6、解不等式：1325<+--x x ．7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设12112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间．8、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加．选手中，A ，B 两校共16名，B ，C 脸两校共20名，C ，D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．不等式的基本性质参考答案典例精析1、C 1—1、B2、D3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或33—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装．探究活动解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5．学力训练A 组1、D2、C3、D4、A5、146、a ≤－27、08、＝9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5B 组1、D2、C3、D4、B5、B6、A7、B8、429、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．C 组1、C2、197023、m ＞n4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x （1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ．5、a 为负，b 为正6、x ＜－7或31>x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人．。
不等式的基本性质和证明的基本方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
不等式及其基本性质(1)
思考:不等式具有对称性和传递性吗?
已知x>5,那么5<x吗?
X>5 5<X
由8<x,x<y,可以得到8<y吗?
如：8<10，10<15 ，8 < 15.
不等式的对称性:
如果a>b,那么b<a
不等式的同向传递性:
如果a>b,b>c,那么a>c
今天学的是不等式的五个基本性质：
不等式的基本性质1：
——————————————————————————————————
-1×(- 4)____3 ＞ ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 ＞ ÷ ( - 4)
--------------------------
你能再总结一下规律吗？
不等式基本性质2：不等式的两边都 正数，不等号 乘以（或除以）同一个____ 的方向不变 ____。
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或同一整式),不等号方向不 变。
不等式基本性质2：
a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 c c ) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性： 如果a>b，那么b<a 不等式传递性： 如果a>b，b>c,那么a>c
7÷5 ____ ＞ 3÷ 5 ,
7 ×(-5)____3 < ×(-5),
已知-1< 3, 那么-1×2____3 < ×2,
不等式的基本性质及其证明
性质 7 如果 a > b > 0，那么 a n > b n （n ∈ N * ） 性质 8 如果 a > b > 0，那么 n a > n b （n ∈ N * ，n > 1） 。
习题： 1、若 a>1,b>1,则 1+ab 与 a+b 的大小关系是 2、若 x>1.则 x + 1 −
辅导讲义
讲义编号
学员姓名： 学员姓名：刘晨阳 课 题
7
辅导科目： 辅导科目：数学
不等式的基本性质及其证明
理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的 基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单 的不等式。渗透分类讨论的数学思想
9、设 f ( x ) = 1 + x 2 ，比较 f ( x1 ) − f ( x 2 ) 与 x1 − x 2 的大小。
10、是否存在常数 c，使得不等式 论。
x y x y + ≤c≤ + 对任意正实数 x,y 恒成立？证明你的结 2x + y x + 2 y x + 2 y 2x + y
。
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x − x − 1 （填“>”或“<” ）
。 。 。
3、若 0<a,b<1 且 a ≠ b ，则 a + b, a 2 + b 2 ,2ab， ab 中最大的一个是 2 4、甲离学校 10 公里，乙离学校 a 公里，其中乙离甲 3 公里，则 a 的取值范围是 5、若角 α， β 满足 −
π
2.2不等式的基本性质(教案)
-举例：若a>b且c<0，则ac<bc。需要通过具体的例子和练习，让学生掌握负数在乘法性质中的影响。
-难点3：将不等式性质应用于实际问题。学生需要能够从实际问题中抽象出不等关系，并正确应用基本性质。
-举例：在解决实际问题时，如购物预算问题，学生需要将预算限制转化为不等式，并利用性质进行求解。
2.2不等式的基本性质（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第二章“不等式与不等式组”中的2.2节“不等式的基本性质”。教学内容主要包括以下几点：
1.不等式的定义及其表示方法；
2.不等式的基本性质：
（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c；
（2）对称性：如果a>b，那么b<a；
（3）加法性质：如果a>b，那么a+c>b+c（c为任意实数）；
实践活动环节，分组讨论和实验操作进行得相当顺利。学生们能够将不等式的基本性质应用到解决实际问题中，这让我很欣慰。但在小组讨论中，我也注意到有的学生在表达自己的观点时不够自信，这可能是因为他们对知识点的掌握还不够熟练。我会在以后的课堂中多给予这些学生鼓励和支持。
学生小组讨论的环节让我看到了学生们的思维火花。他们在讨论不等式在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点和问题。但在引导讨论的过程中，我发现自己对一些开放性问题的设计还不够精准，有时会导讨论更加高效。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示不等式的基本性质。
《不等式及其基本性质》教案
《不等式及其基本性质》教案一、教学目标：（1）知识与技能：学生能够理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质，能够运用不等式解决实际问题。
（2）过程与方法：通过观察、分析、归纳不等式的基本性质，培养学生逻辑思维能力和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性。
二、教学重点与难点：重点：不等式的概念，不等式的基本性质。
难点：不等式性质的证明和运用。
三、教学方法与手段：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，结合多媒体课件、板书等教学手段，引导学生主动探究、积极参与。
四、教学过程：（1）导入新课：通过生活实例引入不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）新课讲解：讲解不等式的概念，引导学生理解不等式的含义。
举例说明不等式的基本性质，引导学生通过观察、分析、归纳不等式的性质。
（3）案例分析：分析实际问题，运用不等式解决问题，巩固所学知识。
（4）小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享不等式应用实例，互相学习、交流。
（5）课堂小结：总结不等式的概念和基本性质，强调重点知识。
五、课后作业：布置适量课后作业，巩固所学知识，提高学生运用不等式解决实际问题的能力。
教案设计参考结束，可根据实际教学情况进行调整和优化。
六、教学评估：通过课堂提问、作业批改、小组讨论等方式，了解学生对不等式及其基本性质的理解程度，针对学生的掌握情况，及时调整教学方法和策略。
七、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，思考如何更好地引导学生理解不等式的概念和基本性质，以及如何在教学中激发学生的学习兴趣和主动性。
八、拓展与延伸：介绍不等式在实际生活中的应用，如优化问题、经济领域等，激发学生学习不等式的兴趣，培养学生的应用意识。
九、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示不等式的概念、性质及应用实例。
2. 板书：用于黑板上展示关键知识点和推导过程。
3. 教学案例：用于分析实际问题，引导学生运用不等式解决实际问题。
不等式及其基本性质
7.1不等式及其基本性质教学目标1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯．教学重点难点重点：寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型；难点：弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号解一元一次不等式．教学过程我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子，请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6,a+2 ≥0; 3≠4第一组都是等式，第二组都是不等式。
问：什么叫做等式？什么叫做不等式？答：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等关系的式子叫做不等式。
在数学中，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等号“＞”、“＜”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。
表示大小关系的不等式是我们本章所要研究的。
前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的结果仍是等式。
如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。
练习1： (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。
（1）7 ___ 4; （2）- 2____6;（3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6练习2（口答）对练习1中四个不等式，进行下面的运算。
（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？大家再思考一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。
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一. 教学内容：1. 不等式及其基本性质．2. 一元一次不等式（组）的解法．3. 一元一次不等式（组）的应用．二. 知识要点：1. 不等式的基本性质与等式的基本性质类似，但特别应注意不等式的基本性质3；在不等式两边都乘以（或除以）同一个__________时，不等号要__________．2. 一元一次方程的标准形式为ax ＋b ＝0（a ≠0），类似地，一元一次不等式的标准形式为ax ＋b __________0或ax ＋b __________0（a ≠0）．3. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程的过程类似，所不同的是：在“去分母”或“系数化为1”时，如果乘数或除数是负数，要__________．4. 将一元一次不等式的解集在__________上表示出来，可以加深对一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集．5. 一元一次方程的解只有唯一一个，在数轴上用一个点表示；而一元一次不等式的解集中含有__________个数，在数轴上用__________点的集合表示．6. 解一元一次不等式组分两个步骤：（1）________________________________________； （2）________________________________________．7. 不等式的知识来源于生活，而我们又运用它来解决实际生活中的问题，因此我们要学会分析现实世界中量与量之间的不等关系，并抽象出__________，当求出不等式或不等式组的解集以后，还要认真检验其中哪些解__________，从而合理解释实际问题．三. 重点难点：重点是不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解法，难点是一元一次不等式（组）的实际应用问题．四. 考点分析：不等式的问题在中考当中是必考内容，一般是以填空题和选择题的形式出现，主要的考查有两点：一是不等式和不等式组的解法以及如何把不等式（组）的解集在数轴上表示出来，二是不等式（组）的应用问题．所占分值不高，大约6分．【典型例题】例1. （1）用不等式表示“x 的绝对值的相反数不是正数”是__________． （2）如果a ＜b ，那么－12a __________－12b （填“>”或“<”）．分析：（1）x 的绝对值的相反数表示为－︱x ︱，不是正数则为0或负数，即小于或等于0．（2）经观察发现不等式的两边都乘以了－12．因为－12＜0，所以不等号的方向改变．解：（1）－︱x ︱≤0（2）＞ 评析：（1）先用代数式表示，再根据题意写出不等式．（2）解答此题要先观察不等式的两边较原来发生了什么变化，再想应根据性质几，是变号还是不变号．例2. 解不等式10－3（x ＋6）≤4，并把解集在数轴上表示出来． 分析：有括号的一定要先去括号． 解：去括号得10－3x －18≤4， 移项得－3x ≤4－10＋18， 合并同类项得－3x ≤12， 系数化为1得x ≥－4． 在数轴上表示如图所示：评析：（1）系数化为1时要注意是否应变号；（2）在数轴上表示解集应关注不等式中是否包含“＝”，包含则用实心圆点，不包含则用空心圆圈．例3. 解不等式组并写出非负整数解．⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4 ①1＋2x 3＞x －1 ②解：解不等式①得x ≤1，解不等式②得x ＜4．在数轴上表示不等式①、②的解集，如图所示：这两个不等式解集的公共部分是x ≤1．所以不等式组的解集是x ≤1，非负整数解有0、1． 评析：“≤”在这里说明包含1．例 4. （1）已知不等式：①x ＞1，②x ＞4，③x ＜2，④2－x ＞－1；从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ）A ．①与②B ．②与③C ．③与④D ．①与④（2）若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋2；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 分析：（1）从①~④中取两个组成不等式组其正整数解是2，只要分别解这四个不等式，并把其解集在数轴上表示出来，选择公共部分的正整数只包含2的那两个．（2）可以借助数轴和有理数运算中一些符号性质来解决这个问题．解：（1）D（2）C例5.（1）小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买（）支笔．A．1 B．2 C．3 D．4（2）小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈同坐在跷跷板的一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．小宝体重可能是（）A．23.3千克B．23千克C．21.1千克 D．19.9千克分析：（1）设她最多还可以买x支笔，则3x＋2×4≤21，解得x≤4.3．由于x只能取正整数，所以x＝4．（2）设小宝的体重是x千克，由于小宝的体重是妈妈的一半，所以妈妈的体重是2x．小宝不加哑铃的时候，爸爸一端着地，爸爸的体重为69千克．所以有3x＜69．小宝加上哑铃后爸爸被跷起，有3x＋6＞69．解这两个不等式组成的不等式组得21＜x＜23．在这个范围内只有选项C正确．解：（1）D（2）C评析：用不等式（组）解应用题的时候注意一些术语，“大于、超过、还多、不小于、至少、…”．例6.（1）若购买树苗资金不超过44000元，则最多可购买乙树苗多少棵？（2）若希望这批树苗成活率不低于90%，并使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？购买树苗的最低费用为多少？分析：（1）如果设购买了乙种树苗x棵，其费用为80x元；那么购买甲种树苗就是（600－x）棵，其费用是60（600－x）元．二者相加小于等于44000．即60（600－x）＋80x≤44000，解得x≤400．（2）一共购买600棵，成活率不低于90%，即成活的棵数要求大于等于540棵．甲的成活率是88%，乙的成活率是96%，甲、乙两种树苗共600棵，成活棵数是（600－x）×88%＋x×96%．即（600－x）×88%＋x×96%≥540．解得x≥150，在这个范围内成活率不会低于90%，由于乙种树苗的单价是80元，甲种树苗的单价是60元，所以x的值越大，总费用越大．显然当x取最小值的时候，费用最低．将x＝150代入50（600－x）＋80x所得就是最低费用．解：（1）设最多可购买乙树苗x 棵，则购买甲树苗（600－x ）棵， 60（600－x ）＋80x ≤44000， 解得x ≤400．答：最多可购买乙树苗400棵．（2）设购买树苗的费用为W ，则W ＝60（600－x ）＋80x ， 即W ＝20x ＋36000， 根据题意，（600－x ）×88%＋x ×96%≥540．解得x ≥150． 当x ＝150时，W 取最小值．W 最小＝20×150＋36000＝39000．答：当购买乙树苗150棵时费用最低，最低费用为39000元．评析：这是一道设计方案型的题目，解决这类问题要注意最优方案应满足的条件．【方法总结】1. 解不等式的基本思路是把未知数移到不等号的一边，已知数移到不等号的另一边，注意系数化为1时不等号的方向是否需要改变；解不等式组时先解每一个不等式，再找它们解集的公共部分，可借助数轴，既直观，又准确．2. 在一些实际问题中，不等关系有时隐含在具体的情境中，如一件商品的售价（在不赔本的前提下）不低于进价、弹簧秤所能称的物体的重量不超过它的量程等等．对于这类情况，要结合具体情况认真分析．【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题1. 不等式4x －6≥7x －15的正整数解有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个2. 使代数式4x －32的值不大于3x ＋5的x 的最大整数值是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．不存在 3. 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥010－m ＞7 的整数m 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 已知a 、b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集是x ＜13，则bx －a ＜0的解集是（ ）A ．x ＞－3B ．x ＜－3C ．x ＞3D ．x ＜35. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜3x ≥－1 的解集是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥－1C ．－1≤x ＜2D ．无解6. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ＞－1 的解集是（ ）A ．x ＞－1B ．x ≤1C ．x ＜－1D ．－1＜x ≤17. 若不等式(m －2)x ＞m －2的解集是x ＜1，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－2 B ．m ＞－2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 *8. ︱6x －5︱＝5－6x ，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞56B ．x ＜56C ．x ≤56D ．x ≥56*9. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤m x ＞3 无解，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ＞3C ．m ≤3D ．m ≥3*10. 老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7∶30离家步行去上班，在8∶10（含8∶10）到8∶20（含8∶20）之间到达单位．如果设老王步行的速度为x 米/分，则老王步行的速度范围是（ ）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.5二. 填空题1. 写出下列不等式（组）的解集：－12x ＞6 __________；5x ＞3x －12 __________；⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－34x ＜2__________． 2. 代数式－23x ＋5的值，在x __________时，是正数；在x __________时，是负数．3. 满足不等式x3＋8＞3－x 的负整数x ＝__________．4. 在不等式组（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ＜0 ，（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞22x ＋3＞4 ，（3）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52＞1x 4x －3＜－1 ，（4）⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞02－1－3x 2＜0 ，中（用序号表示）__________是一元一次不等式组．*5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋3m x ＋3y ＝1－m 的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是__________．6. 一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52＞14－x ≥1 的非负整数解是__________． *7. 如果(3k ＋1)x ＝－3是关于x 的一元一次方程，不等式k －12≥4k ＋13－1的解集是_________．*8. 某学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按60%、40%的比例计入学期总成绩．小明实践能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则纸笔测试的成绩至少是__________分．三. 解答题1. 解不等式：5x －3＜1－3x ．2. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤04－3x ＜14－x，并将其解集在数轴上表示出来．43210-2-156-3-4-5-6**3. 某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案． **4. 下图是B 、C 两市到A 市的公路示意图，小明和小王提供如下信息： 小明：普通公路EA 与高速公路DA 的路程相等；小王：A 、B 两市的路程（B —D —A ）为240千米，A 、C 两市的路程（C —E —A ）为290千米；小明：汽车在普通公路BD 上行驶的平均速度是30千米/时，在高速公路DA 上行驶的平均速度是90千米/时；小王：汽车在高速公路CE 上行驶的平均速度是100千米/时，在普通公路EA 上行驶的平均速度是40千米/时；小明：汽车从B 市到A 市不超过5时； 小王：汽车从C 市到A 市也不超过5时． 若设高速公路AD 的路程为x 千米．BDAEC（1（2）试确定高速公路AD的路程范围．试题答案一. 选择题1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.C8.C9.C 10.A二. 填空题1. x ＜－12，x ＞－6，－34＜x ＜22. x ＜152，x ＞1523. －1，－2，－34. （1）（4）5. m ＞－1（把方程组中的两个方程相加，化简得x ＋y ＝12＋12m ，即12＋12m ＞0）6. 3，2，1，07. k ＜－13或－13＜k ≤15（k ≤15且k ≠－13） 8. 96三. 解答题1. x ＜122. －5＜x ≤2 略3. （1）有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件；购甲种商品9件，乙种商品11件；购甲种商品10件，乙种商品10件．（2）购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元（3）购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润．4. （1）高速公路AD ：x ，90，x90；普通公路BD ：240－x ，30，240－x 30；普通公路AE ：x ，40，x40；高速公路CE ：290－x ，100，290－x 100（2）135≤x ≤140。