山东省郯城第三中学高一数学《正切函数的性质与图像》学案
正切函数的图像与性质学习的教案导学案.doc
正切函数的图像与性质一、教学目标：，π内的性质 (重点 )．1. 推导并理解正切函数在区间－π2 22.能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用 (重点 )．3.会用正切函数的性质解决有关问题二、教学重点1、推导并理解正切函数在区间π π内的性质－2，22、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题三、教学难点1、推导并理解正切函数在区间π π－ 2 ， 2内的性质2、能画出 y＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用，会用正切函数的性质解决有关问题四、教学过程解析式y＝tan x图象定义域_________________________ 值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示函数 y＝ tan x 的对称中心的坐标是kπ，0 ， (k∈Z) ，不是 (kπ，0)(k∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)正切函数在整个定义域内是增函数． ( )(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．π C. 2 D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ x ≤π且x ≠0 的值域是 ____________ y 4 45．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新 “ 元” 的范围．变式训练、(1)函数 y ＝ 1 的定义域为 ()tan xA ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}C. x x ≠ π＋ π，k ∈ZD. x x ≠k π， k ∈ Z k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、(1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan 2π10π 7 ________tan7 .② tan 6π________tan 13π.5 － 51π(2)求函数 y＝tan 2x＋4的单调增区间．1π迁移探究、(变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y＝tan －2x＋4的单调减区间．归纳升华1．求函数 y＝ Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若ω>0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 kπ －πω ＋φπ＋π∈Z)，解得x的范围．2 <x <k 2 (k(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y＝Atan[－ (－ωx－φ)] ＝－ Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、(1)函数 y＝4tan 3x＋6的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：①y＝ tan2x－ tan x；1－ tan x②y＝ xtan 2x＋ x4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结： 1． 正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．k π①对称性：正切函数图象的对称中心是2 ，0 (k ∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 k π－ 2 ，k π＋ 2 (k ∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法 ”作正切曲线的简图(1) “三点”分别为 π， ， π ＋π， 1 ， π －π，－ 1 ，其中 k ∈ Z ；(k0) k 4 k 4ππ两线为直线 x ＝ k π ＋ 2 和直线 x ＝ k π－2 ，其中 k ∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思正切函数的图像与性质一、学习目标：1.推导并理解正切函数在区间 － π π内的性质．2 ， 2 2.能画出 y ＝tan x 的图象通过正切函数的图象的作图过程，进一步体会函数线的作用．3.会用正切函数的性质解决有关问题 二、学习过程解析式 y ＝ tan x图象定义域_________________________值域R周期π奇偶性奇单调性上都是增函数提示 函数 y ＝ tan x 的对称中心的坐标是 k π，0 ， (k ∈Z) ，不是 (k π ，0)(k ∈Z) 2思考尝试1．思考判断 (正确的打“√”，错误的打“×” )(1)正切函数在整个定义域内是增函数． ()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．() (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π .()(4)函数 y ＝tan x 为奇函数，故对任意 x ∈ R 都有 tan(－x)＝－ tan x. () 2．函数 y ＝tan 2x 的最小正周期是 ()ππ A ． 2π B ．πC. 2D. 4．函数 ＝ tan x －π的定义域是 ( )3 y 4ππA. x x ≠ 4B. x x ≠－ 4C x x≠ π＋ π，k ∈ ZD. ≠ π＋3π，k ∈Zk4x x k 44. 函数 ＝ tan x － π≤ ≤π且 ≠ 的值域是 ____________ y 4 x 4 x 05．函数 y ＝－ tan x 的单调递减区间是 __________ 正切函数的定义域、值域问题例 1、 (1)函数 y ＝lg( 3－tan x)的定义域为 ____．π π(2)函数 y ＝sin x ＋tan x ， x ∈ － 4 ， 3 的值域为 ___．1．求与正切函数有关的函数的定义域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要π 保证正切函数 y ＝ tan x 有意义即 x ≠ 2 ＋ k π，k ∈Z2．求解与正切函数有关的函数的值域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“ 元” 的范围．变式训练、(1)函数1y ＝tan x 的定义域为()A ． {x|x ≠0}B ．{x|x ≠k π， k ∈ Z}≠ π＋ π，k ∈Z D. x x ≠k π， k ∈ Z C. x x k 22(2)函数 tan(sin x)的值域为 ________________．正切函数的单调性及其应用 (互动探究 )例 2、 (1)比较下列两个数的大小 (用“>”或 “<”填空 )：① tan2π10π 7 ________tan7.6ππ② tan135 ________tan － 5.(2)求函数 y ＝tan 1π的单调增区间．2x ＋4迁移探究、 (变换条件、改变问法 )把本例 (2)中改为：求函数 y ＝tan －1＋ π 的2x4单调减区间．归纳升华1． 求函数 y ＝ Atan(ωx＋ φ)(A ， ω，φ都是常数 )的单调区间的方法：(1)若 ω>0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换 ”的思想，令 k π －πω ＋φ π＋ π ∈ Z) ，解得 x 的范围．2 <x <k 2 (k(2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y ＝Atan(ωx＋φ)转化为 y ＝Atan[－ (－ωx－φ)]＝－ Atan(－ ωx－ φ)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换 ”的思想．2．运用正切函数单调性比较大小的方法：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小的关系．正切函数的奇偶性与周期性π例 3、 (1)函数 y ＝4tan 3x ＋ 6 的周期为 _______．(2)判断下列函数的奇偶性：① y ＝tan 2x － tan x ；1－ tan x② y ＝ xtan 2x ＋ x 4.归纳π1．一般地，函数 y＝ Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．2．判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与 f(x)的关系．变式训练、直线 y＝3 与函数 y＝ tan ωx(ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是 ()A．π2πB. ωπC.2ωπD.ω五、课堂练习：见变式训练六、教学小结：1．正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质．kπ①对称性：正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z) ，不存在对称轴．ππ②单调性：正切函数在每个区间 kπ－2 ，kπ＋2 (k∈Z) 内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．2．“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为 (kπ， 0)，π， 1 ，π，其中 k∈ Z；π ＋π －，－ 1k4 k 4ππ两线为直线 x＝ kπ＋2和直线 x＝ kπ－2，其中 k∈Z( 两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交 )．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内．七、教学反思。
《正切函数的图像与性质》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.3正切函数的图像与性质》教案【教材分析】本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.数学学科素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【教学重难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本209-212页，思考并完成以下问题1.正切函数图像是怎样的？2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域：值域：R （-∞，+∞）最值：无最值渐近线：x =π2+k π(k ∈Z)周期性：最小正周期是奇偶性:奇函数单调性：增区间图像特征：无对称轴，对称中心：(k π2,0)k ∈Z四、典例分析、举一反三 题型一正切函数的性质例1求函数f (x )＝tan 的定义域、周期和单调递增区间．【答案】定义域：{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；最小正周期为2；R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2()z k k x ∈+≠2πππ,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭23x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .【解析】由π2x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠2k ＋13(k ∈Z )． 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；由于ππ2＝2，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . 解题技巧：（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：第一步：写出基本函数y ＝tan x 的相应单调区间、定义域及对称中心； 第二步：将“ωx ＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x ”；第三步：解关于x 的不等式． 跟踪训练一 1．下列命题中：①函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y ＝tan(x ＋φ)的最小正周期为π；③函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；④函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】D ．【解析】 ：①正确，函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π4，0(k ∈Z )．④函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.题型二比较大小 例2与 【答案】. 【解析】 又在上是增函数解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．跟踪训练二1．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则( )A ．f (0)＞f (－1)＞f (1)B ．f (0)＞f (1)＞f (－1)C ．f (1)＞f (0)＞f (－1)D ．f (－1)＞f (0)＞f (1)【答案】A【解析】 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4内是增函数． 又0，－1∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，0＞－1，∴f (0)＞f (－1)． 又f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上也是增函数，f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4－1＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－1. ∵5π4－1,1∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4，且5π4－1＞1，∴f (－1)＞f (1)． 从而有f (0)＞f (－1)＞f (1)． 五、课堂小结0tan1670tan17300tan167tan173<000090167173180<<<tan ,y x =00(90,270)00tan167tan173∴<让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本213页习题5.4.【教学反思】正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.《5.4.3 正切函数的图像与性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.核心素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【重点与难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本209-212页，填写。
正切函数的性质与图象教案
第4课时正切函数的性质与图象【教学目标】1．知识目标（1）理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质。
（2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
2．能力目标培养学生作图能力，运用函数图象分析、探究问题的能力。
3．情感目标经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用。
【重点难点】重点正切函数的性质与图象。
难点利用正切线研究正切函数的单调性及值域。
案例（一）教学过程板书设计案例（二） 教学过程1． 正切函数的性质探讨。
教师――前面对正弦函数、余弦函数性质进行研究时，同时运用了函数的图象和诱导公式，也就是采用的数行结合方法。
对正切函数性质的研究咱们换一新视角来研究，不先研究图象，而先研究性质，根据性质再做图象。
下面请你借助研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，根据诱导公式、正切线依次对正切函数的周期性、奇偶性、单调性、最值做出研究。
学生――探究正切函数的周期性，根据诱导公式x x tan )tan(=+π来研究。
师生――教师重点解析，指出正切函数的周期是，不予证明，后面结合图象会看到。
进一步指明，正切函数的基本周期区间常取为（－)2,2ππ学生――自主探究正切函数的奇偶性，教师引导学生注意正切函数的定义域。
师生――共同说明正切函数的奇偶性。
学生――自主探究正切函数的单调性，遇到障碍。
教师――单调性无法根据诱导公式来说明，引导学生利用正切线，数行结合探究正切函数在一个基本区间（－)2,2ππ内的单调性，再根据其周期性研究正切函数的所有单调区间。
学生――画出正切线，观察思考正切线在基本区间内的变化规律，说明正切函数的单调性。
师生――教师结合图１.４－８进一步解释正切函数的单调性，规范给出正切函数的单调区间。
学生――结合图１.４－８中的正切线，利用极限思想求正切函数在一个周期的区间（－)2,2ππ上y 的取值范围，即得正切函数的值域。
师生――共同归纳正切函数的值域是实数集R ２．正切函数的图象教师――正切函数的性质通过诱导公式和正切线进行了研究，下面转向函数图象研究。
正切函数的性质与图像教案
正切函数的性质与图像教案第一篇：正切函数的性质与图像教案1．4．3 正切函数的性质和图像一、教学目标1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；二、课时 1课时三、教学重点正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠π+kπ,k∈Z 2可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(kπ,0)k∈Z.2(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(-ππ22,)内是增函数,π2+kπ,π+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+π,k∈Z,所以正切函2ππ,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于-切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(-π2且无限接近-π2时,正ππ且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22ππ22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1 问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-ππ,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22ππ,)的图象为好.22π+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-ππ22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-π4,-1),(0,0),（π,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-x=-π4,-1),(0,0),（π,1),再画两条平行线4π2,x=π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=π+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性π+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称22kπ的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(-+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例略课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.第二篇：正切函数的图像与性质教案高中数学正切函数的图像与性质昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案试讲科目：高中数学学校：云南师范大学姓名：何会芳2013年5月3日制高中数学正切函数的图像与性质一.教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。
高中数学《正切函数的性质与图象》教案
高中数学《正切函数的性质与图象》教案【教学目标】1. 理解正切函数的定义和定义域；2. 掌握正切函数的性质及其图象的基本形态；3. 能够应用正切函数解决实际问题。
【教学重点】正切函数的性质及其图象的基本形态。
【教学难点】正切函数图象的基本形态。
【教学方法】讲解、演示、练习。
【教学过程】一、引入新知识1. 复习：请同学回忆弧度制和角度制的换算公式。
2. 导入：请同学观察下图，思考两个角度相等的三角函数值之间有什么关系。
（图片）通过观察可以发现，当角度相同时，正切函数值相等。
3. 引入正切函数：引导同学利用上一步得出的规律，介绍正切函数的定义和定义域。
二、正切函数的性质及其图象的基本形态1. 正切函数的奇偶性引导同学利用正切函数的定义推导出其奇偶性。
正切函数为奇函数。
（公式）2. 正切函数的周期性引导同学利用正切函数的定义推导出其周期性。
正切函数的周期为π。
3. 正切函数的单调性（图片）通过上面的图象可以发现，正切函数在定义域内是上升函数或下降函数，其增减性取决于所处的区间。
可以利用正切函数的定义证明。
（公式）4. 正切函数的最值在π/2 + kπ (k ∈ Z) 处取得最大值为正无穷，-π/2 + kπ (k ∈ Z) 处取得最小值为负无穷。
5. 正切函数图象的基本形态介绍正切函数的图象并指导同学进行观察、总结和解析。
（图片）三、练习1. 请根据正切函数的定义确定下列函数的定义域。
（公式）2. 请根据正切函数的定义证明其为奇函数。
3. 请绘制 y = tan x 在一个周期内的图象，并指出其增减性、最值和周期。
【课堂总结】1. 完成课堂小结，回顾本节内容。
2. 布置作业：完成课后习题。
高一数学《正切函数的图象和性质(一)》教案
正切函数的图象和性质（一）教学目标（一） 知识与技能目标（1）了解正切函数的图像特征；（2）初步了解正切函数的性质．（二） 过程与能力目标了解利用正切和画出正切函数图像的方法．（三） 情感与态度目标渗透数形结合思想，提高学生的数学修养．教学重点正切函数图像的画法．教学难点2π±=y 是)2,2(,tan ππ-∈=x x y 的图像的两条渐近线的理解． 教学过程复习1. 正切函数的定义？定义域？定义域： 2. 正切函数是否是一个周期函数？若是，最小正周期是多少？周 期 ：正切函数的图象：由于正切函数是周期函数，且它的最小正周期为π，因此可以考虑先在一个 周期内作出正切函数的图象 。
正切函数周期的确定：)Z ( 2∈+≠k k x ππ)( T Z),2R,( tan Z),2R,( tan cos sin )cos()sin()tan(最小正周期的周期为且且ππππππππ=∈+≠∈=∴∈+≠∈=--=++=+k k x x x y k k x x x x x x x x . )2,2( )},Z ( ,2|{ tan ππππ-∈+≠=为所以可以确定一个周期的定义域为：因为k k x x x y 上的图象：在区间作出)2,2(tan ππ-=x y正切曲线的性质：应用：x y 2π2π-o6π4π6π-4π-. ,))Z (2R,( tan 称“正切曲线”的图象且得到正切函数右扩展，把上述图象向左、，根据正切函数的周期性∈+≠∈=k k x x x y ππy o x 2ππ23π2π-23π-π-. )Z (2成所隔开的无穷支曲线组直线正切曲线是被一组平行∈+=k k x ππ定义域}Z ,2|{∈+≠k k x x ππ值域R 周期π=T 奇偶性奇函数x x tan )tan(-=-单调性内，函数单调递增在开区间Z )2,2(∈++-k k k ππππ.)4tan(.1的定义域求函数例π+=x y解：令4π+=x z ，那么函数z y tan =的定义域是 }.,2|{Z k k z z ∈+≠ππ由,24πππk z x +==+可得 ,442πππππk k x +=-+= 所以函数)4tan(π+=x y 的定义域是}.,4|{Z k k x x ∈+≠ππ解：,27013813590︒<︒<︒<︒ 且）上为增函数，，在（232tan ππx y = .138tan 135tan ︒<︒∴解：（1）当)(2622Z k k x k ∈+<-<-πππππ 即)(342322Z k k x k ∈+<<-ππππ时， )62tan(π-=x y 单调递增， ∴所求单调区间是))(342,322(Z k k k ∈+-ππππ （2）⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-∈+∈==))(,2(,tan ))(2,(,tan |tan |Z k k k x x Z k k k x x x y ππππππ 可知函数|tan |x y =的单调递减区间为))(,2(Z k k k ∈-πππ，单调递增区间为 ))(2,(Z k k k ∈+πππ 课堂小结：1. 正切函数的图像.2. 正切函数的特征与性质.作业：1．阅读教材第76～79页； 2．教材第80页习题4.10第1、2、4、5题． . 138tan 135tan .2的大小与不通过求值，比较例︒︒.|tan |2 );62tan(1.3x y x y =-=）（）（间：写出下列函数的单调区例π。
《正切函数的图像与性质》教学设计
§1.4.3 《正切函数的图像与性质》教学设计一、教材分析《正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修二中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材的安排是先研究正切函数的性质，再根据性质来画出图像。
但是我对这节课进行了调整，先由正切线和正切函数部分性质来画出图像，再更加直观的研究正切函数的其他性质。
正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把问题留给学生思考，采用让学生自己选择周期，并比较得出最优区间，激发学生的思考能力。
二、教学目标 1．知识与技能体会类比方法在画正切函数图像发挥的作用，会画正切函数的草图。
通过图像观察性质，培养观察分析、归纳总结的能力。
在对性质进行归纳总结后，还要能对性质进行简单的应用。
2. 过程与方法 引导学生分析正切函数的周期性和在（2,2ππ-）的奇偶性，简化用正切线画正切函数图像的方法，让学生学会思考从本身函数性质入手简化问题，再反过来由图像归纳其性质的研究方法。
3. 情感态度与价值观在画图像过程中，感受其对称美。
三、教学重点与难点 1. 教学重点画正切函数的图像，归纳其性质，会简单应用性质。
2. 教学难点分析并用正切线画出正切函数的图像。
四、教学流程设计 （一）复习引入如何用正弦线作正弦函数图像的呢？引导学生用同样的方法作正切函数图像。
（二）探究用正切线作正切函数图像 师生活动：回顾：正切线的作法师生活动：分析：正切函数x y tan =是否为周期函数？（教师作适当引导，得出正切函数的最小正周期为π，大部分学生会认为是π2）学生活动：思考问题：先作正切函数哪个区间上的图像呢？（可以是()π,0吗？（图像会间断）引发学生思考）[设计意图] 引导学生用类比的思维方法得到先画出正切函数一个周期内的图像，并放手让学生自己去选择区间，从而自然地解释选择的最优区间为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。
山东省郯城第三中学高一数学《正弦、余弦函数的性质(二)》学案
【学习目标】知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性； 能力目标：握正、余弦函数掌的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神【重点、难点】教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用自主学习案【知识梳理】１．奇偶性（１）回顾偶函数的定义、奇函数，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？ 。
（２）观察函数y=sinx 的图象，当自变量取ｘ和－ｘ时，它们对应的函数值在图象上，y=sinx 函数的图象有关于 对称性。
所以函数y=sinx 是 函数。
（３）观察函数y=cosx 的图象，当自变量取ｘ和－ｘ时，它们对应的函数值在图象上，y=cosx 函数的图象有关于 对称性。
所以函数y=cosx 是 函数。
正弦函数的图像关于 对称 ，2.单调性（１）y ＝sinx 的单调增区间是 ，单调减区间是 （２）y=cosx 的单调增区间是 ，单调减区间是 ３．对称轴、对称中心(1) y ＝sinx 取最大值时ｘ取值构成的集合是 ，取最小值时ｘ取值构成的集合是 .(2)y ＝sinx 取最大值时ｘ取值构成的集合是 ，取最小值时ｘ取值构成的集合是 .（3）y=sinx 的对称轴是_______________， y=cosx 的对称轴是 。
（4）y=sinx 的对称中心是_____________，y=cosx 的对称中心是____________。
【预习自测】1.函数sin cos y x x =的奇偶性为 （ ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数 2． 有下列命题：①sin y x =的递增区间是[2,2]();2k k k πππ+∈Z ②sin y x =在第一象限是增函数；③sin yx =在[,]22ππ-上是增函数.其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 03.函数2sin y x =-的最大值为____，取得最大值时x 值的集合为______.【我的疑问】 合作探究案 【例题探究】 例1．.根据正余弦函数的图像，写出使下列不等式成立的x 的取值集合(1)sinx ≥32 (2)2+2cosx ≥0例2．求下列函数的最大值，最小值，并指出当x 取什么值时函数取得最值。
正切函数的图象与性质 学案 导学案 课件
正切函数的性质与图像 课型：新课学习目标：1.掌握正切函数的性质和图像特征.2.注意数形结合思想的运用.重点：正切函数的性质与图像及其应用.难点：将单位圆中的正切线通过平移转化为正切函数图像上的点及正切函数的性质与图像的应用.预习案学习过程：（一）复习回顾正、余弦函数的哪些性质？正弦曲线是如何作出的？（二）新课预习问题1：正切函数x y tan =的定义域 =+)tan(πx1、周期性：正切函数是周期函数，周期是π.问题2：=）（x -tan ，Z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ2、奇偶性：正切函数是 .问题3：作出区间），（2,2-ππ内的正切线，通过其规律能得出正切函数的哪些性质？你能说“正切函数在整个定义域内是增函数”吗？为什么？3、单调性：正切函数在区间 内都是增函数.值域：正切函数的值域是 .问题4：如何类比正弦曲线的画法，作出正切函数图象？4、图象：正切函数的对称中心是 . 思考：正切曲线是否成轴对称？作草图时，可抓住哪些关键点或直线？与直线Z k k x ∈+=,2ππ存在怎样的关系？预习自测：1. 观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的范围：（1) 0tan >x (2) 0tan =x(3) 0tan <x2. 函数)32tan(π+=x y 的定义域是__________________， y=tan(π4－x)的定义域为__________ . 3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小(1)tan138°____tan143° (2)tan(-13π4)____tan(-17π5) 4. 求下列函数的周期(1)y=tan2x ,x≠π4+kπ2(k ∈Z) T=______________(2) y=5tan x 2,x≠(2k+1)π (k ∈Z) T=______________ 课中案例1. 求函数y=tan(π2x + π3)的定义域、周期和单调区间。
正切函数的图象与性质 学案 导学案 课件
正切函数的性质与图象 课时：第1课时【学习目标】1.掌握正切函数的图象和性质。
2.能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题。
第一环节：导入学习（激情导入）（约3分钟）通过复习正弦函数、余弦函数的图像和性质引导学生探究正切函数的图像与性质第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1.正切函数tan y x =的最小正周期为π；tan()y x ωϕ=+的最小正周期为πω。
2.正切函数tan yx =的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ；值域为(－∞，＋∞)。
3.正切函数tan y x =在每一个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数。
4.正切函数tan y x =为奇函数。
（填：奇或偶） 5.利用正切线来画出tan ((,))22y x x ππ=∈-的图像.正切函数的图像特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. （二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）1.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围①tan 0x >,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦②tan 3x >,()32k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2.求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .解析：(1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图像可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．3.(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 第三环节：互助学习（约7分钟）1.求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z2．求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 解：y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π得，－π8＋k 2π<x <3π8＋k2π(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π(k ∈Z )．第四环节：展示学习（约7分钟） 1.判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）熟悉正切函数的图像和性质，会运用图像和性质做题。
山东省郯城第三中学高一数学《正弦、余弦函数的图像》学案
【学习目标】能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 【重点、难点】教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。
自主学习案【知识梳理】一、复习引入：知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则：r= =αsin =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．4．用五点法作正弦函数和余弦函数在x ∈[0，2π]的简图（描点法）： x 0 2ππ 23π 2π, y=sinx正弦函数图像： 余弦函数图像：小结：1、正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 、 、 、 、 。
2、余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是x 0 2π π 23π 2π, y=cosxry)(x,αP、 、 、 、 。
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 【预习自测】1.下列函数图象相同的是 （ ） A.sin sin()y x y x π==+与 B.sin(2sin y x y x π=+=)与C.sin sin()yx y x ==-与 D.sin sin()y x y x π==+与2.要得到()sin f x x =的图象，可以将()cos g x x =的图象（ ）A.向左平移π个单位 B.向右平移π个单位B.C.向左平移2π个单位 D.向右平移2π个单位3.函数]2,0[,cos π∈=x x y 则y 的取值范围是___________________. 【我的疑问】合作探究案例题探究例1 作下列函数的简图(1)y=-1+sinx ，x ∈[0，2π] （2）y=-cosx探究1． 如何利用y=sinx ，x ∈[0，２π]的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝-1＋sinx ,x ∈[0，２π〕的图象； （2）y=sin(x-π/3)，x ∈[0，２π]的图象；小结：函数值加减，图像 移动；自变量加减，图像 移动。
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质；（2）学会运用正切函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正切函数的图像，探索正切函数的性质；（2）利用数形结合思想，研究正切函数的单调性、周期性等性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学审美观，感受数学的对称美；（2）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正切函数的定义；（2）正切函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）正切函数的单调性；（2）正切函数的周期性。
三、教学准备1. 教师准备：（1）正切函数的图像与性质的相关知识；（2）教学课件或黑板。
2. 学生准备：（1）掌握锐角三角函数的基本概念；（2）了解正切函数的定义。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习锐角三角函数的基本概念，引导学生回顾正切函数的定义；（2）提问：你们认为正切函数的图像会是什么样的呢？2. 探究正切函数的图像与性质（1）教师展示正切函数的图像，引导学生观察并描述正切函数的图像特点；（2）学生分组讨论，探索正切函数的单调性和周期性；3. 应用拓展（1）教师提出实际问题，引导学生运用正切函数解决问题；（2）学生独立解答，分享解题思路和方法。
五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质，通过观察图像、探索性质，我们了解了正切函数的特点。
我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。
希望同学们在课后继续深入学习和思考，掌握更多的数学知识。
六、教学反馈与评价1. 课堂提问：在教学过程中，教师应根据学生的回答情况，及时给予评价和反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2. 课后作业：布置有关正切函数图像与性质的练习题，要求学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学习评价：通过课堂表现、课后作业和小组讨论，评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。
七、教学改进1. 针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度，以便更好地满足学生的学习需求；2. 在教学中，注重引导学生运用数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 加强与学生的互动，鼓励学生提问、发表见解，提高课堂氛围。
正切函数的性质与图象教案
一、教学目标：1. 让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质和图象。
2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
二、教学内容：1. 正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，用符号tan 表示。
2. 正切函数的性质：（1）正切函数是周期函数，周期为π。
（2）正切函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
（3）正切函数在区间(-π/2, π/2)上单调递增。
（4）正切函数的图象是一条连续的曲线。
3. 正切函数的图象：正切函数的图象是一条从第二象限到第四象限的曲线，经过点(π/4, 1)和(-π/4, -1)。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正切函数的定义、性质和图象。
2. 教学难点：正切函数的性质和图象的深入理解与应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索正切函数的性质和图象。
2. 利用多媒体课件，展示正切函数的图象，帮助学生直观地理解正切函数的性质。
3. 结合具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
五、教学步骤：1. 引入：通过讲解正切函数的定义，引导学生理解正切函数的概念。
2. 探索正切函数的性质：让学生观察正切函数的图象，引导学生发现正切函数的周期性、奇偶性和单调性。
4. 应用正切函数解决实际问题：给出具体的例子，引导学生运用正切函数解决实际问题。
六、教学评估：1. 课堂练习：设计一些有关正切函数性质和图象的练习题，让学生在课堂上完成，以检验他们对知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置一些有关正切函数的应用题，让学生课后思考和解答，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让他们分享自己在学习正切函数性质和图象过程中的心得体会，以培养他们的合作能力和交流能力。
七、教学反思：在课后，对本次教学进行反思，分析学生在学习正切函数性质和图象过程中遇到的问题，以及自己的教学方法和策略是否得当。
高一数学《正切函数的性质与图像》教案
§1.4.3 正切函数的性质与图象教学目标：1，能够根据研究正弦函数、余弦函数的性质与图象的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象．2，能够借助图象理解正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、奇偶性、图象与x 轴的交点等），了解正切函数的周期性．3，会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．教学重点：正切函数的性质．教学难点：正切函数的性质的应用．教学过程：一、复习引入：1、复习正弦函数、余弦函数性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值2、回忆正弦曲线的作图过程，思考正切函数的图像如何做出？二、讲授新课：1，正切函数x y tan =的图象。
① 首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ② 为了研究方便，再考虑一下它的周期：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x xx x x ,2,t a n c o s s i n c o s s i n t a n πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,t a n ππ且的周期为π=T （最小正周期）③ 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”2，正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：① 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， ② 值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
③ 周期性：π=T④奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
⑤单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
山东省郯城第三中学高一数学《三角函数的图像与性质习题课》学案
山东省郯城第三中学高一数学《三角函数的图像与性质习题课》学案【学习目标】1. 掌握三角函数的图像，能熟练地画出简单的函数图像。
2. 结合图像，掌握三角函数的性质，并能熟练地运用。
【重点、难点】1. 重点：深入研究函数性质的思想和方法。
2. 难点：函数性质的应用。
自主学习案【问题导学】 利用正弦线作图（描点法）-> 正弦、余弦、正切函数的图像 –> 函数性质函数定义域 图像 值域 单调区间 对称中心 对称轴 y=sinx y=cosx y=tanx【预习自测】1. 函数y=4sin(x+π)的最小正周期是（ ）A. π2B. πC. 2πD. 4π 2. 已知函数f(x)=sin(x －π2) (x∈R),下面结论错误的是( ) A.f(x)的最小正周期是2π B.f(x)在区间[0,π2]上是增函数 C.f(x)的图像关于直线x=0对称 D.f(x)是奇函数3. tan1 ,tan2,tan3从小到大排序是________<_______<_______4. 设a<0，求函数y=acosx+b 的最大值与最小值，并说出取得最值时的x 值。
【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 求下列函数的最值(1)y=12cos π3x (2)y=12sin(12x+π3) (3)y=sin(2x+π6),x∈[0,π2] (4)y=cos 2x －4cosx+5例2 已知a>0，函数f(x)=－2a sinx +2a+b ，当x∈[0,π2]时，f(x)的值域为[0,2] (1)求常数a,b 的值。
(2)设g(x)=f(x+π2)，求g(x)的单调区间例3 若f(x)=sin(x+π6),x∈[0,2π],并且关于x 的方程f(x)=m 有两个不等的实根x 1,x 2，求m 的取值范围，并求此时x 1+x 2的值。
【当堂检测】1. 函数f(x)=sin(2x+5π2)的奇偶性为___________ 2. 下列函数在[π2,π]上是增函数的是( ) A. y=sinx B. y=cosx C. y=sin2x D. y=cos2x3. 函数f(x)=tan(x+π4)的单调增区间为( )A. (kπ－π2,kπ+π2) k∈ZB.(kπ,kπ+π) (k∈Z)C. (kπ－3π4,kπ+π4) k∈Z D.(kπ－π4,kπ+3π4) (k∈Z) 4. 函数y=sinx 与y=12x 的图像在(－π2,π2)上的交点有_______个。
山东省郯城第三中学高一数学《正切函数的性质与图像》学案
山东省郯城第三中学高一数学《正切函数的性质与图像》学案【学习目标】1. 掌握正切函数的性质和图像特征。
2. 注意数性结合思想的运用。
【重点、难点】1. 正切函数的性质与图像及其应用。
2. 难点：将单位圆中的正切线通过平移转化为正切函数图像上的点以及正切函数的性质与图像和应用。
自主学习案【问题导学】1. 了解单位圆中的正切线。
2. 正切函数的性质，y=tanx(1) 周期性：________________________(2) 奇偶性：________________________(3) 单调性：________________________(4) 定义域：_________________________ 值域___________________3．画出正切函数y=tanx 的图像【预习自测】1. 观察正切曲线图像，写出满足下列条件的x 的范围（用弧度制、集合） (1) tan x>0 ___________________ (2) tanx=0 ______________________ (3) tan x<0 ___________________2. 函数y=tan3x 的定义域是_________________________ (用弧度制、集合)3. 求下列函数的周期(1)y=tan2x ,x≠π4+k π2 (k∈Z) T=______________(2) y=5tan x 2 ,x≠(2k+1)π (k∈Z) T=______________4.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小(1)tan138°____tan143° (2)tan(-13π4)____tan(-17π5)【我的疑问】合作探究案【课内探究】1. 根据课本P44页图1.4-9，你能说明如何用正切线画函数y=tanx,x∈(－π2,π2)的图像吗？2. 你能说“正切函数在整个定义域内是增函数”吗？为什么？3. 观察正切曲线，你能发现y=tanx 的图像是否成中心对称？若是，那么它的对称中心是什么？又问y=tanx 的图像是否轴对称？例1. 求函数y=tan(π2x-π3)的定义域、周期和单调区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【学习目标】
1. 掌握正切函数的性质和图像特征。
2. 注意数性结合思想的运用。
【重点、难点】
1. 正切函数的性质与图像及其应用。
2. 难点：将单位圆中的正切线通过平移转化为正切函数图像上的点以及正切函数的性质与图
像和应用。
自主学习案
【问题导学】
1. 了解单位圆中的正切线。
2. 正切函数的性质，y=tanx
(1) 周期性：________________________
(2) 奇偶性：________________________
(3) 单调性：________________________
(4) 定义域：_________________________ 值域___________________
3．画出正切函数y=tanx 的图像
【预习自测】
1. 观察正切曲线图像，写出满足下列条件的x 的范围（用弧度制、集合） (1) tan x>0 ___________________ (2) tanx=0 ______________________ (3) tan x<0 ___________________
2. 函数y=tan3x 的定义域是_________________________ (用弧度制、集合)
3. 求下列函数的周期
(1)y=tan2x ,x≠π4+k π2
(k∈Z) T=______________ (2) y=5tan x 2
,x≠(2k+1)π (k∈Z) T=______________ 4.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小
(1)tan138°____tan143° (2)tan(-13π4)____tan(-17π5
) 【我的疑问】
合作探究案
【课内探究】
1. 根据课本P44页图1.4-9，你能说明如何用正切线画函数y=tanx,x∈(－π2,π2
)的图像吗？
2. 你能说“正切函数在整个定义域内是增函数”吗？为什么？
3. 观察正切曲线，你能发现y=tanx 的图像是否成中心对称？若是，那么它的对称中心是什
么？又问y=tanx 的图像是否轴对称？
例1. 求函数y=tan(π2x-π3)的定义域、周期和单调区间。
变式：求函数)432x (tan y π
--=的定义域、周期和单调区间。
例2．(1) 判断函数y=sinx －tanx
cosx 的奇偶性
（2）求解不等式tanx －3≥0
【当堂检测】
1. y=tan(3x+1)的最小正周期是________
2. 若tanx=－33且x∈(－π
2,π
2)，则x=________
3. 判断奇偶性：y=tanx +1
tanx 是______函数
4. 判断大小：tan(－π5)______tan(－3π7)，tan 7π8______tan π
6
5. 下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0,π
2)上的增函数的是
A ． y=tanx B. y=tan ωx (ω>0且ω≠1) C. y=tan x
2 D. y=|sinx|
课后练习案
1. 直线y=a (a 为常数)与正切曲线y=tan x 相交的相邻两点间的距离是_____________。
2. y=tan(π
4－x)的定义域为__________
3. y=3tan(x 2+π
3)的一个对称中心是( )
A. (π6,0)
B. (2π3,－33)
C. (－2π
3,0) D. (0,0)
4. y=tan(2x+φ)图像过点(π
12,0)则φ可以是( )
A. －π
6 B. π
6 C. －π
12 D. π
12
5. 根据正切函数的图像，求使下列不等式成立的x 的集合。
(1) 1+tanx≥0 (2)tanx－3
3≤0
6.求y=tan(2x －3π
4)的定义域、周期和单调区间。