最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版）

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）

求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这

种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为

12

2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与

MQ

的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【解析】设MN 切圆C 于N ，则

2

22ON

MO MN -=。),(y x M ,则

2

222)2(1y x y x +-=-+λ化简得

0)41(4))(1(2

2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。

当1≠λ时，方程化为2

2

22

222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，

（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.

【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，

，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以

22

1212(1)PO PO -=-.

设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)

y x

Q

M

N

O

证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、已知动圆过定点,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，且与直线2p x =-相切，其中0p >.

求动圆圆心C 的轨迹的方程；

解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，

由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2

p

x =-

的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

为焦点，2p x =-为准线，轨迹方程为22(0)y px P =>；

【练习】 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM

的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），

故P 点的方程为

12516

25)3(2

2=++y x ◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′

切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知， 点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，

以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，

可求得动点P 的轨迹方程为：22

18172

x y +

= 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

2

p x =-l

O '

P E D

C B

A

例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

【解析】设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2①

又PQ 垂直于直线x+y=2，故11

1

=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0② 由①②解方程组得12

3

21,1212311-+=-+=

y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0

【练习】已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），

Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT

求点T 的轨迹C 的方程；

【解析】解法一：（相关点法）

设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧'=+'=.2

,2y y c

x x 因此⎩⎨

⎧='-='.

2,

2y y c x x ① 由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②

将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：（几何法）设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+