小学奥数之几何五大定理(五六年级使用)

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（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。

小学奥数几何五大模型

（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。

把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。

这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。

根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。

因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。

例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。

蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。

设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。

那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。

这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。

我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。

下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。

例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。

如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。

又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。

因此，三角形ADC的面积也是24cm²。

例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。

如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。

又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。

因此，三角形ADC的面积是25cm²。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

小学奥数几何五大模型

（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。

把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。

这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。

因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。

小学奥数几何五大模型

小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图 1 所示， S △ABD : S △ACD = BD : CD ；3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比，如图 2 所示， S △ACD : S △BCD = AE : BF ；4、在一组平行线之间的等积变形，如图 3 所示， S △ACD = S △BCD ；反之，如果S △ACD = S △BCD ，则直线 AB ∥CD 。

图1图2图3例、如图， △ABC 的面积是 24， D 、E 、F 分别是 BC 、AC 、AD 的中点，求 △DEF 的面积。

解析：根据等积变换知， S = 1 S = 1 ⨯ 24 = 12 , S = 1S △ADC= 1 ⨯12 = 6 ， S 2 △ABC = 1 S 2= 1 ⨯ 6 = 3 。

△ADE2 △ADC2 △DEF2 △ADE 2（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。

如下图△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上或AB、AC 延长线上的点。

则有：S△ADES△ABC=AD ⨯AE。

AB ⨯AC我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！证明：如图，连接BE ，根据等积变换模型知，S△ADE: S△ABE=AD : AB 、S△ABE: S△CBE=AE : CE ，所以S△ABE:S△ABC=S△ABE:(S△ABE+S△CBE)=AE:AC。

因此S△ADE =S△ADE ⨯S△ABE =AD⨯AE=AD ⨯AE。

S△ABCS△ABES△ABCAB AC AB ⨯AC例、如图，在△ABC 中，点D 在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE : EC = 3: 2 ，△ADE 的面积为 12 平方厘米，求△ABC 的面积。

(完整版)小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．ba S 2S 1DC BAS 4S 3S 2S 1O DCB A A BCD O baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_HOFE DCBA【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBFS S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )_ A _ B_ G_ C _ E _ F _ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F _ D这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFDS S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．ABAB【解析】如图，连接OE ．根据蝴蝶定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=；1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABCABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF FS S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABCABES S =又∵5AB AD =∴515ADEABEABC SSS=÷=÷，∴1515ABC ADESS==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABDBDES S=又∵4BD DC ==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDFS =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．AB C DOH GA BC D O【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCECEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形．因为12AEDABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS=平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A BCDEF【解析】连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODS SSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【分析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OADS S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCDS ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S ∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．852O A B C D EF?852O A BCD EF【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOCS S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于．BEE【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【解析】设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【解析】设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． Q E GNMFPA D CB方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MPDC PC =，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．BCCB【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJ IHABCD E FG【解析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD E FNMGA BCD EF【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABCABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCB【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△ 设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GED CBA A BCDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGFS S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDC BAMH GFEDCBA【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=1177301451515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．。

五年级奥数几何专项六五大模型(二)

一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．DC BA知识框架五大模型(一) 五大模型（二）:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．(1)(2)(3)(4)S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCD O ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。

小升初奥数几何五大模型知识点汇总

小升初奥数几何五大模型知识点汇总学习奥数有利于我们数学思维的提升，以下是店铺搜索整理的关于奥数几何五大模型知识点汇总，供参考复习，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们应届毕业生网!一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如下图：③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图;反之，如果，则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律四、相似模型（一）金字塔模型教学目标:1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S XACD S XBCD；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB, AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上,E在AC上),(AB AC)：(AD AE)则SA ABC: SA ADE图⑵图⑴三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系① S ： S2 S4 : S3 或者S i“蝴蝶定理”）：S3 S2 S4② AO : OC S S2 : S4 S3 通过构造方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.模型，另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（① S1 :S3 a2:b2② S i : S3: S2 : S4③S的对应份数为“梯形蝴蝶定理”）::b :ab:ab ；2a b）沙漏模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点0 ,那么S ABO: S ACO BD : DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理. 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的面积为.【解析】连接DE , DF ,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍. 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S A DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5,所以长方形EFGH 面积为33.【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过△ ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.1•••在正方形ABCD中，S A ABG AB AB边上的高，2① AD AE DE ABAC BC② S AADE：S A ABCAFAG ；AF2：AG2.【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?1二S A ABG- S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）21冋理， S A ABGSEFGB -2•••正方形 ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ,如下图:所以阴影部分的面积是： s 阴影18 S EBF 18 4.5 13.5那么图形就可变成右图:【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.【例2】长方形ABCD 的面积为36cm 2 , E 、F 、是多少？ G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积可得：S EHB 1 2S AHB 、S FHB1sCHB 、2S DHG1s DHC ,2而S ABCD即 S EHBS B HF S DHG1(S AHBS CHBS CHD) -3618 ；22CHB S CHD36而 SEHB SBHF SDHGS 阴影 SEBF ， SEBF 1-BE BF 21 (2 AB) 1 (2BC )1-36 4.5 .8解法二：特殊点法.找 H 的特殊点，把H 点与D 点重合，s s s s s 1 11 1 11 1S 阴影SABCD S AEDS BEFS CFD36 —-36-362 22 2 22 236 13.5.SAHB 这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形 AOE和DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积.1由于长方形 ABCD 的面积为15 8 120，所以三角形 BOC 的面积为120 - 30，所以三角形 AOE 和43DOG 的面积之和为120 70 20 ;41 1又三角形 AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120 - - 30，所以四边形 EFGO 的面积为2 430 20 10.另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积三角形AFC 面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC 面积三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为 60 50 10 .【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是36, E 是AD 的三等分点， AE 2ED ，则阴影部分的面积为 ________________ .【解析】如图，连接OE.【解析】（法1 ）特殊点法•由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的积为62 （丄-）15平方厘米.4 6（法2）连接PA 、PC •由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、P 点与A 点重合，则阴影部-和-，所以阴影部分的面 4 6F 两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的-,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的-,4 6所以阴影部分的面积为 62 （--） 15平方厘米. 4 6【例3】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为为70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO 的面积根据蝴蝶定理, ON : NDS COE ：S CDE 1 2SCAE： SCDE 1:1，所以 S OEN 2SOED1因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以 DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有 S ABC S W S ABN S AMCS AMHN,即 400S丙200 200SAMHN，所以 S WS AMHN.如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15, FG 6，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG 的面积是 ____________ .【例4】 OM : MABOE： SBAE1S ：S2 SBDE : SBAE11： 4，所以 SOEM SOEA .5又 S OED[s 矩形ABCD 43， S OEA2S OED 6，所以阴影部分面积为:已知ABC 为等边三角形, 求阴影五边形的面积. 面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、（丙是三角形HBC ）乙、丙面积和为143,【解析】又S 阴影S ADFSAMHN , 所以色影S 甲S 乙S 丙 S ADF1 143400 434'【例5】【解析】根据题意可知,CF 155 715 27; DG 12 7 15 6 28;21所以， S BEFSCBF ,S BECS CBF , S AEGS A DG , SAED2727282115712于是： S ADG S CBF 65 ； SADGSCBF38 ；2827282/可得S ADG 40 . 故三角形 ADG 的面积是 40Z S 28ADG ,GG连接AF , BD .根据蝴蝶定理, ON : ND S COE ：S CDE 1 2S CAE ： S CDE 1:1，所以S OEN 2S OED1【例6】如图在△ ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB 2:5 , AE : AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米，求△ABC的面积.【解析】【例7】连接AD .••• BE 3, AE 6…AB 3BE，SVABD3SV BDE又 T BD DC 4,…S VA BC2S V ABD ，… S V ABC6S V BDE ，曳5SP -如图在 AE:EC △ ABC 中，D 在BA 的延长线上,3： 2， S A ADE 求E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.AB: AD 5:2 ,如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少？连接BE .••• EC 3AE…S VA BC 3SVA BE又••• AB 5AD…S vADES vABE 5 S vABC 15，…S VA BC 15S VA DE15•如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4， BE 3，AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接 BE , S A ADE : S A ABE AD : AB 2:5 2 ABE :SA ABC AE : AC 4 :7(45) :(7S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以 70平方厘米•由此我们得到一个重要的定理, 补角)两夹边的乘积之比.(2 4):(5 4),5)，所以 S A ADE : S A ABC (2 4):(7 5)，设 1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角S A ADE 8 份，则△ ABC 的面积是【巩固】【解析】【巩固】 ACC【解析】连接 BE , S A ADE : S A ABE AD ： AB 2:5 (2 3):(5 3)S A ABE : S A ABC AE ： AC 3： (3 2) (3 5)： (3 2) 5 ,所以 S A ADE : S A ABC (3 2)： 5 (3 2) 6:25，设 S A ADE 6 份，则 S A ABC 25 份，S A ADE 12 平方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米•由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形 ABCD ，BE AB ，CF 2CB ，GD 3DC ，HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点0逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD的位置•这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积•因此，原来四边形的面积为 12 12 144.(也可以用勾股定理)【例10】如图所示， ABC 中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形 ACDE ,中心为O ，求 OBC 的面积.T 在△ABC 和△ BFEABC 与 FBE 互补，1 .S A ABCAB BC 1 1 SA FBEBE BF 1 33 •又 S A ABC 1，所以 S A FBE 3 .同理可得 S A GCF 8， S A DHG 15， S A AEH 8• 所以S EFGH S A AEH S A CFG S A DHGBEFS ABCD所以 S ABCD2 1【解析】连接AC 、BD •根据共角定理S EFGH 36 188 8 15+3+2 36.EH如图，连接DE ，以A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转90至U ABF 的位置.那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边形AFBE 是直角梯形, 且 AF AE 3 , 所以梯形AFBE 的面积为：又因为 ABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB 22 2AE BE32 52 34，所以S 1ABD2 AB 2 17( cm 2).那么S BDE SABDSABESADESABDSAFBE17 125 (cm2),所以S OBE1S 2BDE2.5( cm ).如下图，六边形 ABCDEF 中，AB ED , AF CD ,BC EF ,且有AB 平行于ED , AF 平行于CD , BC 平行于 EF , 对角线FD 垂直于 BD , 已知FD 24厘米， BD 18厘米，请问六边形 ABCDEF 的【例12】1 23 5 32 12(cm ). 面积是多少平方厘米?【解析】【例11】如图，将 OAB 沿着0点顺时针旋转90，至U 达由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCF 的位置.OCB 180 .而 OCF OAB ,所以 OCF OCB 180，那么 B 、C 、F 三点在一条直线上. 由于 OB OF , BOF AOC 90，所以 BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为5 3 8，所以它的面积为82116 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 5 10 .8如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE , AEB 90 , AC 、BD 交于O •已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形 OBE 的面积.【解析】 EB 5 CEB G B【解析】如图，我们将 BCD 平移使得CD 与AF 重合，将 DEF 平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了 •这样就组成了一个长方形 BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形 BGFD 的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为432平方厘米. 【例13】如图，三角形 ABC 的面积是1 , E 是AC 的中点，点 D 在BC 上，且BD: DC 1:2 , AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于--S A ABC - •所以则四边形DFEC 的面积等于—.3 2312厘米？【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的丄，且A0 2 , D0 3，那么CO 的长度是DO 的长度的 __________________ 倍. 3【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理，AEEC1,设SA BDF所以S DCEF1 份，则 S A DCF55Q S A ABC社2份，S A ABF3 份，S A AEFSA EFC3份，如图所标方法二: 连接DE ,SA ADE1S2 D A ADC 1 由题目条件可得到 S A32 1 BFS A ABC ，所以— 3 ABC 3 FE S A ABDSA ADE1 3，1 11 1 1 1 1 11 S A DEF— S A DEB—S A BEC—S A ABC22 32 3 212【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米, EC 2DE , F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方【解析】设S A DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S 阴影討BCD12石平方厘米CDABFBD1S A ABF S A ACFDC2S A CBF C而 S A33 1F“ 1 y【解析】在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形•看到题目中给出条件S vABD ：S vBCD 1： 3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法•又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形”，于是可以作 AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果•请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.解法一：••• AO :OC S ABD ■ 'SBDC1:3, • OC 2 3 6, • •• OC:OD 6:3 2:解法二：作AH BD 于 H , CG BD 于 G •T S ABD 」SBCD ，二AH ^CGS 1SDOC ,333二 AO 〔CO , ••• OC 2 3 6 , ••• OC:OD 6:32:1 •3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：⑴三角形 BGC 的面积；（2） AG:GC ?【例15】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 0点，A CEF 、△OEF 、△ ODF 、△ BOE 的面积依次是2、4、4和6 •求：⑴求 A OCF 的面积；⑵求 A GCE 的面积.【解析】⑴根据蝴蝶定理,⑵根据蝴蝶定理,S vBGC 1 2 3，那么 S VBGC6；AG :GC 12:361:3 •A Dc 1 c 1 2 那么S GCES CEF — 2 — 1 2 3 3【解析】⑴根据题意可知， A BCD 的面积为2 4 4 6△OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于△ BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,根据蝴蝶定理， EG : FG S COE : S COF 2:416 ,那么△ BCO 和 CDO 的面积都是16 2 8 ,所以所以A OCE 的面积为8 62 ,1: 2，所以 S GCE : S GCF EG : FG 1: 2 ,【例16】如图，长方形 ABCD 中，BE: EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【解析】连接DE ,根据题意可知BE:AD 1:2 ,根据蝴蝶定理得S 弟形（1 2）2 9（平方厘米），S A ECD 3 （平方厘米），那么S W ABCD 12（平方厘米）.【解析】【例17】【解析】连接AE , FE •因为 BE: EC 2:3 , DF : FC1因为S /S * *长方形ABCD ，S /AFD12平方厘米.因为1:2，所以 1AG:GF -2S vDEF(11 12）%方形ABCD 亦s 长方形ABCD •所以S VAGD5S/GDF10平方厘米，所以所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.因为M 是AD 边上的中点，所以 AM SAAMG: SA ABG: SA MCG: SA BCG1 :" 份，所以正方形的面积为 12 2 4:BC 2):(11:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道2）:22 1:2:2:4，设 S A AGM 1 份，则 S A MCD 1 2 33 12 份， S 阴影 2 2 4份，所以 S 阴影 :S E 方形1: 3，所以求图中阴影部分的面积.如图，正方形 S VAFDS 长方形 ABCD,【例18】已知ABCD 是平行四边形，BC:CE 3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.【巩固】右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 ________ 平方厘米.【分析】连接AE •由于AD 与BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S OCD S OAE .2根据蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36 , 所以S OCD 6（平方厘米）.【巩固】右图中 ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示的面积是 ____________ 平方厘米.【解析】连接AE •由于AD 与BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么S O CDS OAE.根据蝴蝶定理，S OCDS OAES OCE S OAD2 816,故 S OCDS OCD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形 ABED 中， 11S— S— 168 12^ （平方厘米），2 2 所以 S AOE S ADE S AOD 128 4 （平方厘米），根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.16，所以【解析】连接AC .由于 ABCD 是平行四边形， BC:CE 3: 2，所以根据梯形蝴蝶定理， S VCO E : S VA OC : S VD OE : S vAOD 方厘米），S VAOD 9 （平方厘米），又S VABC6 15 21（平方厘米）.CE: AD 2:3 ,22 : 2 3 : 2 3 : 32 4 : 6 : 6 : 9，所以 S/AOC 6（平S VACD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为（单位：平方厘米），阴影部分左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积. 如下图所示，在左图中连接 EG .设AG 与DE 的交点为M •左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的-，所以三角形 AMD 的面积为4【例19】【解析】【例20】【解析】如图，长方形 ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别为 2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ____________________ 平方厘米.连接DE 、CF •四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S VFOC ,又根据蝴蝶定理，S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD SFOCSEOF S COD 1 2 8 16，所以 S EOD 4 （平方厘米），S ECD 4 8 12 （平方厘米）•那么长方形ABCD 的面积为12 2 24平方厘米，四边形 OFBC 的面积为24 5 2 8 9（平方厘米）•如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点.已知正方形DEFG 的面积48, AK: KB 1:3，贝U BKD 的面积是多少？由于DEFG 是正方形，所以 DA 与BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形.在梯形 ADBC 中， BDK 和1 1ACK 的面积是相等的.而AK: KB 1:3，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的——-，那么 BDK 的1 3 4面积也是 ABC 面积的1 •4由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48.那么BDK 的面积为48 1 12 .4下图中，四边形 ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m，那么，（m n ）的值等 n于_______ .【解析】如上图所示，在右图中连接AC、EF •设AF、EC的交点为N • 可知EF // AC且AC 2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形ABC面积的-，所以三角形BEF的面4积为12 1 - 1,梯形AEFC的面积为113.2 4 8 2 8 8在梯形AEFC中，由于EF : AC 1:2 ,根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：2 23 1 11 :1 2:1 2:2 1:2: 2: 4，所以三角形EFN的面积为- - 一，那么四边形BENF的面积8 1 2 2 4 24111 1 1为-一 -.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 - 4 -.8 24 6 6 3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:1 3: 2，即m -,2 3 n 2那么m n 3 2 5.【例22】如图，△ ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD DF FB,贝V ADE :S四边形DEGF :S四边形FGCB _______________ •【解析】设ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以S^ ADE : S A AFG AD2 :2AF 1: 4 , S A ADE : S A ABC 2 2AD : AB1:9 ,因此S A AFG 4份，S A ABC9份，进而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB 5份，所以S A ADE:S^边形DEGF:S四边形FGCB 1:3:5【巩固】如图，DE平行BC，且AD 2 , AB 5 , AE 4，求AC的长.【解析】由金字塔模型得AD: AB AE: AC DE : BC 2:5，所以AC 4 2 5 10 【巩固】如图，△ ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行,AD DF FM MP PB ，则【解析】设S A ADE1份，S AADE: S A AFG AD 2 : AF 2 1: 4 ,因此S A AFG4份，进而有S 四边形DEGF3份，冋理有S 四边形FGNM 5份，S 四边形MNQP 7份，S 四边形PQCB9份・所以有S A ADE :&边形DEGF :&边形FGNM: S四边形 MNQP : S 四边形PQCB【例23】如图，已知正方形 ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE :EC 1:3 , AF 与BE 相父于点G ，求S A ABG解法一：由题意可得, E、F是AB 、AD 的中点，得 EF//BD ，而FD : BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH :CF GH : EF 2:3 , 并得G 、H 是BD 的三等分点，所以 BG GH ，所以解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图,S ASS:S 四边形MNQP :S 四边形PQCB1: 3: 5:7: 9【解析】方法一：连接AE ,延长AF , DC 两条线交于点 M ,构造出两个沙漏，因此CM 4 ,根据题意有CE 3 ,再根据另一个沙漏有所以有AB:CMGB:GEAB:EM BF: FC 4:7 , 1:1 ,所以S A ABG4432 S A ABE(44 2)4 71111方法二:连接AE,EF ，分别求SA ABF4 2 24，SA AEF4 4 4 12 3 22 4 7，根4432 S A ABG S A ABE-(4 4 2)4 71111【例24】如图所示, 的面积.已知平行四边形 ABCD 的面积是1, E 、F 是AB 、AD 的中点,BF 交EC 于M ,求BMG【解析】 BM2BF , SBFD1S ABD521 2 s1 2 11— S BFD — — ——3 5 3 5 430ABCD可得，AI : BC AE:EB 1:1，从而可以确定M 的点的位置,BM : MF BC: I F 2:3 , BM2 1 s2 1 可得S BMG匚 sBDF5 35 32 1-BF , BG -BD(鸟头定理)，53 —S YABCD丄4 30据蝴蝶定理S A ABF :足AEF BG:GE 4: 7 ,所以BG:EF BM : MF 2:3，所以又因为BG 〔BD ，所以S BMG 3【例25】如图，ABCD 为正方形，AM NB DE FC 1cm 且MN 2 cm ，请问四边形 PQRS 的面积为多少?（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 5^ AOC : S ^ BOC 27:16 AF ： FB本题关键是把 △ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3:4 , AE:CE 5:6，求 AF : FB .5^ AOB: S ^ BOC AE : CE（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）【解析】【例26】【解析】 (法 1)由 AB / /CD ，有 MNMQ QC 所以S SPQR1MC 21 -16 ，所以PQ(1 1 2) DC所以PC 1 MC 2 2 / 2、 3-MC32PM ，-MC , 6（法2）如图，连结而 RB ERAB 而 S MBQ 所以MPAE ，则 S ABE / 2、8( cm ),EF ，所以 SANS1MCSABR S ANS S如右图，三角形根据燕尾定理得RB AB EF EF 1 22 , S ABR/ 2、 3( cm ), ，则S MNPMBQSMNPABC 中, BD: DC 2S ABE 3因为 MNDC 34 又MQ QC 1所以 S SPQR 占 S AM CF 的一，2 c 16, 2、8 ( cm ). 3 3MPPC ，4 2-(cm )32 2(cm ).3阴影部分面积等于 CE: EA 4:3，求 AF : FB .S^AOB: S ^ AOC BD : CDS ^ AOB : S ^ BOC AE : CE3: 4 12:16【点评】【巩固】【解析】根据燕尾定理得 S ^AOB : S ^ AOC BD : CDPC些，所以EC 4:9 4:9 12: 273: 4 15: 205: 6 15:18所以 S A AOC ：S A BOC 20:1810:9 AF : FB根据燕尾定理得 S A AOB : S A AOC BD : CD 2:3 10:15（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S A AOC : S A BOC 15:8 AF : FB本题关键是把 △ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC 中，AF :FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形ABC 的面积是1，则三角形的面积为 ______________ ，三角形 AGE 的面积为 __________ ，三角形GHI 的面积为 _______ •【分析】连接AH 、BI 、CG •由于 CE:AE 3: 2，所以、AE :2 AC ,故s5根据燕尾定理，S ACG : S ABG CD :BD 2:3S ACG : S ABG : S BCG 4 : 6：9 ,则s ACG419那么 S AGE — S AGC —48 ；5 5 19 95同样分析可得S ACH9 则 EG: EH19EG:GH : HB 4:5:10 ,同样分析可得 AG:所以 s BIE — S BAE —2 1s GHI_510 10 5 519【巩固】如右图，三角形ABC 中，AF: FB BD: DC 的面积.【巩固】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 2:3 , EA: CE 5: 4，求 AF : FB .【解析】 SA AOB : SA BOCAE ：CE 5： 4 10:8【点评】 ABE所以S A AOC：S A BOC 20:18 10:9 AF : FBAA EFG Ar IHB.D C22ABE -S ABC55, S BCG : S ABG CE:EA3:2 , 所以9S BCG19S ACG :S ACH4: 9 , EG:EB S ACG : S ACB 4:19 ,GI : ID10:5:4 ,5 11s BIE19 519CE:A E 3:2,且三角形GHI的面积是1，求三角形所以ABC6份【解析】连接BG , S A AGC【巩固】【分析】【巩固】【解析】【点评】根据燕尾疋理，S A AGC : S A BGC AF : FB 3： 2 6:4 , S A ABG: S A AGC19（份），因此S AAGC SA ABC19 6 6得S A BGC 4 （份）,S A ABG 9 （份），则S AABC同理连接AI、CH得S A ABH-, -,所以S A ABC 19 S A ABC 19 S A ABC三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19如图，ABC中如图，连接AI根据燕尾定理，19BD : DC 3:2 9:619BD 2DA, CE 2EB , AF 2FC ,那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍.CF : AF 1:2 ,―S ABC — S1 2 4 7ABH的面积也都等于ABC面积的-，所以阴影三角形的面积等于7S BCI : S ACI BD : AD 2:1, S BCI : S ABI2所以，S ACI : S BCI : S ABI 1:2:4，那么，S BCI同理可知ACG和ABC -ABC面积的如图在1丄，所以7△ABC中,ABC的面积是阴影三角形面积的7倍.DC EA FB 1 十△ GHI的面积的值FA 2,求△ ABC的面积ECDB连接BG,设S A BGC 1份，根据燕尾定理S A AGCSA AGC2（份）,S A ABG 4（份）,则S A ABC:S A BGC AF : FBS A AGCSA ABC7（份），因此2 S ABIC2所以S A GH I7 2 2 27 SA ABC 7 S A ABC 72 :1 , S A ABG : S A AGC BD : DC 2 :1，得2-,同理连接AI、CH得7SA ABHSA ABC如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线•【例28】如图，三角形ABC的面积是1，BD DE EC，CF FG GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】【巩固】【解析】ABG与AE交于点Q,设BG与AD交于点P,CM , CN. 根据燕尾定理,AGQPFM NB D E CBF与AD交于点M , BF与AE交于点N.连接CP, CQ,BD ：CD 1:2，设S A ABP 1（份），则SA ABC 1 2 25（份），所以S1SA ABP5同理可得，S A ABQ2—5S A ABN而S A ABG1—所以S A APQ2 13，SA AQG17237 5353同理，S A BPM3S A BDM—,所以S四边形PQMN 1 239----- ?3521 2 735701395115 1 「1 1 15四边形MNED—52边形NFCE——,S边形GFNQ— --- —3357042321426321 642S ABP : S^CBP AG : GC 1:2, ABP : ACP27D、E是BC边的三等分点，点1,点如图，JKIHABC的面积为的面积是多少？连接CK、CI、CJ .根据燕尾定理，S ACK : S A B K CD : BD 1:2F、G是AC边的三等分点,所以S ACK : S ABK : S CBK1:2:4，那么S ACKSABK : S11 2 4CBK7AG : CG 1: 2 ,1 1S AGK — S ACK3 21类似分析可得S AGI -15又S ABJ : S CBJ AF : CF 2:1, S ABJ : S ACJ BD : CD 2:1 ,可得S ACJ那么，S CGKJ丄丄174 21 84根据对称性, 可知四边形CEHJ 的面积也为17,84那么四边形JKIHS CGKJ 2 S AGI S17ABE8422 —1561所以四边形JKIH的面积为170121那么四边形周围的图形的面积之和为61 _970 70【例29】右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M , AF与BG交于N，已知△ ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ ABC的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM 、CN •三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI 与CD 的交点为 M , AF 与CD 的交点为 N , BI 与AF 的交点为BN 、CP⑴求 s 四边形 ADMI :在△ ABC 中，根据燕尾疋理，S A ABM : S A CBM Al ： Cl 1:2 S A ACM : S A CBM设S A ABM1 （份），则 S A CBM2（份）,SA ACM1（份）,S A ABC 4（份）,所以 S A ABM S A ACM 1s—s A ABC，4所以S A ADM 1 1— S A ABM S A ABC , SA AIM 3 12—S A ABC12所以S 四边形ADMI（丄12 —）S AABC121s—S A ABC ‘ 6同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 △ ABC 面积的16 ⑵求S 五边形DNPQE :在△ ABC 中，根据燕尾定理SA ABN : SA ACNBF : CF1: 2 sACN :SA BCNAD:BD 1: 2,所以S A ADN1s S A ABN 1 1s S A ABC —S A ABC ,同理 S A BEQ丄 S AABC3 3 7 2121在A ABC 中，根据燕尾定理 S A ABP : S A ACP BF :CF 1:2,S A ABP : S A CBPAl : Cl 1:2所以S A ABP：S A ABC ，所以 S五边形 DNPQESA ABPSA ADNSA BEP1丄丄S A ABC11SA ABC55 21 21 105 同理另外两个五边形面积是A ABC 面积的 11，所以S 阴影11 -3 11 13 31056105 70【例31】如图，面积为1的三角形ABC 中，D E F 、 G H l 分别是 AB BG CA 的三等分点，求中心六边形面积.根据燕尾定理，再根据燕尾定理,S A ABM : S A CBM AG ：GC 1:11:1 S\ ABM S ACMBD ：CD 1:3，所以S A ABM〕S AABC ； 5 AN :NF4:3 , 那么 S A ANG 1 4 2 —,S A AFC 24 3 7 根据题意，有1 S A ABC5SS A ABC 7.2 , 可得528所以S FCGN 1 2 s △ AFC 5 1s △ AB C 5s △ AB7 7 4 28【例30】如图，面积为积•E 、F 、GHI 分别是AB BC CA 的三等分点求阴影部分面【解析】 P, BI 与CE 的交点为 Q,连接AM 、AD : BD 1:2AG ：GC SA ABN :CBNI 的三角形ABC 中，D4:3，所以 :S A FBN S A CBN ，所以 S A ABN : S A FBN S A ABC 336 （平方厘米）2BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】ABAD EHPSR I FG设深黑色六个三角形的顶点分别为 N 、R 、在△ ABC 中根据燕尾定理 , S A ABR : S A ACRP 、S 、M 、Q ,连接 CRBG ：CG. 2:1 ,所以S A ABR - 7S A ABC , 同理S A ACS 1S A ABC , S A CQB-S A ABC7所以S A RQS 12 22 -，同理 S A MNP 17 7 7 77根据容斥原理，和上题结果 S 六边形 1 1 13 17 7 70 10SA ABR : SA CBRAI : CI 1：2课后练习:练习2. 【解析】 S A BDE :S A ABC (BD BE): (BA BC) (1 1):(2 3) 1:6 ,S A CEF :S A ABC(CE CF): (CB CA) (1 3):(2 4) 3:8SA ADF:S A ABC (AD AF) :(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6设S A ABC 24份，则 S A BDE 4 份，S A ADF 4份，S A CEF【解析】方厘米，所以 24平方厘米S A ABC 9份，S A DEF 24 4 4 9 7份，恰好是7平如图，四边形的面积.EFGH 的面积是66平方米, ,即 S A AHE2S A ABDSA BCD : SA CGF(CD 连接BD •由共角定理得冋理S A ABD :S A AHE 1: 2所以S A AHE连接AC , S四边形EFGHEA AB , CB BF ,DC CG , HD DA ，求四边形 ABCD2SA CDBS A CGF 2(S A CBD S A ADB )2S四边形 ABCD冋理可以得到S A DHGSA BEF2S四边形ABCDS A AHE S A CG F S A HDG S A BEF S 四边形ABCD 5S 四边形ABCD所以S 四边形ABCD 665 13.2平方米练习1.已知△ DEF 的面积为7平方厘米,正方形ABCD 的面积是120平方厘米， E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是平方厘米.由题意可得到： EG:GC EB:CD 1:2，所以可得：S EBG -S BCE3将AB 、DF 延长交于M 点，可得：BM : DC MF : FD BF : FC 1:1，-2 而 EH : HC EM : CD (—AB AB) :CD 3:2，得 CH -CE ，25而CF 1 BC ，所以S CHF 1 2S1SBCES BCE2 1— AB BC 2 55S BCE1 1 120 302 24&边形BGHFS EBCS EBC 1S EBC7S S EBC—30 143 515 15本题也可以用蝴蝶定理来做，连接 EF ，确定H 的位置（也就是FH : HD ），同样也能解出.将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转显然 AC AC' , AC A'C , AC A'C AC', 关于正方形的中心 O 中心对称，在中心对称图形 S AEC S A'DC' ； S AEC' S A'DC ； S CED S C'DE •如图，正方形 ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是平方厘米.练习3.【解析】练习4.如图，已知AB AE 4cm , 2cm .BC DC , BAE BCD 90 , AC 10cm ，贝U S ABC S ACE S CDE【解析】 90°，构成三角形 AEC'和A'DC ，再连接 A'C', 所以ACA'C'是正方形.三角形 AEC'和三角形A'DC ACA'C '中有如下等量关系：所以 S ABC S ACE S CDE S AEC' S ACE S CDE—S WA CA'C '21 2 10 10 50cm .练习5.欲求四边形 DC的面积. A'C'。

优秀资料（2021-2022年收藏）小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型baS 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA ABCD ObaS 3S 2S 1S 4GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， _H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F _ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F _ D O F ED C BA∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFDS S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．ABAB【解析】如图，连接OE ．根据蝴蝶定理，1:::1:12COE CDE CAE CDEON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEMOEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABCABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF FS S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABES S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA AB CDE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDFS =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDCB A【解析】设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCECEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形．因为12AED ABCD SS =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS=平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A BCDEF【解析】连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABCACDS S==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【分析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OADS S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCDS ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S ∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B C D EF?852O A BCD EF【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOCS S∆=，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于．BEE【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【解析】设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CBAD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【解析】设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝴蝶定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=；又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFDS S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】如图，ABCD为正方形，1cmAM NB DE FC====且2cmMN=，请问四边形PQRS的面积为多少？CACA【解析】(法1)由//AB CD，有MP PCMN DC=，所以2PC PM=，又MQ MBQC EC=，所以12MQ QC MC==，所以111236PQ MC MC MC=-=，所以SPQRS占AMCFS的16，所以121(112)63SPQRS=⨯⨯++=2(cm)．(法2)如图，连结AE，则14482ABES∆=⨯⨯=(2cm)，而RB ERAB EF=，所以2RB ABEF EF==，22168333ABR ABES S∆∆==⨯=(2cm)．而1134322MBQ ANSS S∆∆==⨯⨯⨯=(2cm)，因为MN MPDC PC=，所以13MP MC=，则11424233MNPS∆=⨯⨯⨯=(2cm)，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNPS S S S∆∆∆∆--+=--+=(2cm)．【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．OFED CBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOCS S BD CD===△△::3:412:16AOB BOCS S AE CE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOCS S AF FB==△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BD DC=，:5:6AE CE=，求:AF FB.OFED CBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOCS S BD CD===△△::5:615:18AOB BOCS S AE CE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．BCCB【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD E FNMGA BCD EF【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABCABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GED CBA A BCDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGFS S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDC BAMH GFEDCBA【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=1177301451515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．。

小学奥数平面几何五大定律

小学奥数平面几何五大定律小学奥数平面几何五大定律教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形四、相似模型(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型AEAF DD BF GE CB G C_G_C G _C _【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) ．∵在正方形ABCD 中，S △AB G =1⨯AB ⨯AB 边上的高， 21S =S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) ∴△ABG2同理，S △ABG =1S EFGB ． 2∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等．长方形的宽=8⨯8÷10=6.4(厘米) ．【例 2】长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AB【解析】如图，连接OE ．B11S =S ∆OED ； ON :ND =S :S =S :S =1:1根据蝴蝶定理，，所以∆OEN ∆COE ∆CDE ∆CAE ∆CDE2211S =S ∆OEA ． OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以∆OEM5211S =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：3⨯1+6⨯1=2.7．又∆OED3425【例 6】如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点，且AD :AB =2:5，AE :AC =4:7，S △ADE =16平方厘米，求△ABC 的面积．AADEDEBCBCDAAEBCEB C【解析】连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，所以S △ADE :S △ABC =(3⨯2) :[5⨯(3+2) ]=6:25，设S △ADE =6份，则S△ABC =25份，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC 的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD =24厘米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？BACGABCFEDFED【解析】设S △DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=55S △BCD =平方厘米. 1212【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示) ．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面1积的，且AO =2，DO =3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．3BDA CBDABCD 【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件C⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为8-6=2，根据蝴蝶定理，EG :FG =S ∆COE :S ∆COF =2:4=1:2，所以S ∆GCE :S ∆GCF =EG :FG =1:2，那么S ∆GCE=112S ∆CEF =⨯2=． 1+233【例 16】如图，长方形ABCD 中，BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．AD F CAD F CBEE2S 梯形=（1+2）=9(平方厘米) ，【解析】连接DE ，根据题意可知BE :AD =1:2，根据蝴蝶定理得S △ECD =3(平方厘米) ，那么S ABCD =12(平方厘米) ．【例 18】已知ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．∆OCD 另解：在平行四边形ABED 中，S ∆ADE =11S ABED =⨯(16+8)=12(平方厘米) ， 22所以S ∆AOE =S ∆ADE -S ∆AOD =12-8=4(平方厘米) ，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯2÷4=4(平方厘米) ．【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．A E258F?BA E25FB【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．1左图中AEGD 为长方形，可知∆AM D 的面积为长方形AEGD 面积的，所以三角形AMD 的面积为41111112⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-⨯4=．24882AD =D F =FM =M P =PB ，则S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB = ．【解析】设S △ADE=1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，=5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份．同理有S 四边形FGNM 所以有S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB=1:3:5:7:9可得，AI :BC =AE :EB =1:1，从而可以确定M 的点的位置，21BM :MF =BC :IF =2:3，BM =BF ，BG =BD (鸟头定理) ，可得S ∆BMG =212111⨯S ∆BDF =⨯⨯S ABCD = 5353430【例 25】如图，ABCD 为正方形，AM =NB =DE =FC =1cm 且MN =2cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？D【解析】根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20 S △AOB :S△BOC =AE :CE =5:6=15:18（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =2:3，EA :CE =5:4，求AF :FB .AF O EDCDC【解析】连接BG ，S △AGC =6份根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4，S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6S 6得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此△AGC =,S △ABC 19同理连接AI 、CH 得S △ABH S 6S 619-6-6-61=, △BIC =, 所以△GHI == S △ABC 19S △ABC 19S △ABC 1919三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?AAGPQBBN D，所以四边形JKIH 的面积为1-S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE =⨯2++==．[1**********]【例 29】右图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？A GFCBD EA GB【解析】连接CM 、CN ．D E F C1⎫111⎫11S △ABC 所以S △ABP =S △ABC ，所以S 五边形DNPQE =S △ABP -S △ADN -S△BEP = --⎫S △ABC =1055⎫52121⎫1111113同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的，所以S 阴影=1-⨯3- ⨯3=105610570【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求中心六边形面积.AACBGBGC△BCD △CGF△CGF △CDB 同理S △ABD :S △AHE =1:2，即S △AHE =2S △ABD 所以S △AHE +S △CGF =2(S △CBD +S △ADB ) =2S 四边形ABCD 连接AC ，同理可以得到S △DHG +S△BEF =2S 四边形ABCDS 四边形EFGH =S △AHE +S △CGF +S △HDG +S △BEF +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD 所以S 四边形ABCD =66÷5=13.2平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．11所以S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =S ∆AEC ' +S ∆ACE +S ∆CDE =S ACA ' C '=⨯10⨯10=50cm 2．22练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【解析】连接BG ，S △AGC =12份根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9，S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12S 12得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此△AGC =,S △ABC 37同理连接AI 、CH 得S △ABH 12S △BIC 12S 37-12-12-121===, , 所以△GHI = S △ABC 37S △ABC 37S △ABC 3737三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯1=2 37月测备选【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角D 1D3【解析】连接CO , 设S △AEO =1份，则其他部分的面积如图所示，所以S △ABC 12+4.5139313.59按从小到大各占△ABC 面积的, =, =, =[1**********]020=1+2+9+18=30份，所以四部分【备选4】如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE = 1BC ，F 是AC 的中点，2若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？A FBDCE△ABC。

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