离散数学课件第二章(第3讲)
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离散数学 第3讲 同余关系和商代数
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
离散数学--关系的合成 ppt课件
则 RºS= {<1,5>, <3,2>, <2,5>}
SºR= {<4,2>, <3,2>, <1,4>} 合成关系的交换率？
(RºS)ºR= {<3,2>} Rº(SºR)= {<3,2>}
结合率?
RºR={<1,2>,<2,2>}
SºS={<4,5>,<3,3>P,P<T课1件 ,1>}
13
合成关系
于是，可把从 X 到 Z 的关系 RºS 定义成: RºS={<x,z>|(xX)Λ(zZ)Λ(y)((yY)
Λ(<x,y>R)Λ(<y,z>S))} 通常称 RºS 是关系 R 和 S 的合成关系。 从 R 和 S 求得 RºS 的运算，称为关系的合成。
PPT课件
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合成关系
关系的合成
例1: I是整数集合，R,S是I上的关系 R={<x,3x>|x,yI} S={<x,5x>|x,yI}
(1)RºS= {<x,15x>|xI} (2)SºR= {<x,15x>|xI} (3)RºR= {<x,9x>|xI} (4)SºS= {<x,25x>|xI}
PPT课件
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合成关系
关系的合成
例2: P是所有人的集合，R和S是P上的关系 R={<x,y>|x,yPx是y的父亲} S={<x,y>|x,yPx是y的母亲}
(1)RºR表示的关系是: xRºRy表示x是y的祖父 (2)RºS表示的关系是: xRºSy表示x是y的外祖父
离散数学课件第2章
4
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
16
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
17
§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
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元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
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§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
离散数学第二章课件
2013/9/12
离散数学
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关系图举例
• 例：设A={1,2,3,4,5} , R={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<1,4>,<5,4>,<5,1>}, 则，R的关系图GR如下：
1
5 4
2013/9/12
2 3
离散数学 16
下面关系图有什么性质
a b c a b d c b a c
(a)
2013/9/12
离散数学
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二元关系的性质的举例1
• 数值之间的相等关系“=” 对任意的x,y,z∈R(实数集),由“=”的性 质得: 对每一个x∈R ，x=x，∴ “=”是 自反的；若x=y,必有y=x,因此“=”是对 称的； 若x=y,y=x,必有x=y,因此“=”是 反对称的； 若x=y,y=z,必有x=z,因此“=” 是传递的；
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• 定理2.2.1: 设R是A到B的关系,S是B到C的关系,T是C到D的关 系,则 ( R S ) T R (S T )
证明： 同理可证 R (S T ) ( R S ) T
于是有：( R S ) T R (S T )
2013/9/12
2013/9/12
离散数学
2
关系及其表示
特别地： (1)若R= A×B,称R为全关系。 (2)若A=B,则称R为集合A上的二元关系。 设:|A|=n,则|A×A|=n2,于是,A上所有不同的二 n2 n2 元关系共有2 。（|(A×A)|= 2 ） 其中大多数关系没什么意义，我们关心的是 具有一定性质的关系。
7
反对称性的讨论：
在反对称性定义中，对任意x,y ∈A， 若xRy 且yRx ,则x=y， 就称R是反对称的。 xRy 且yRx是条件； x=y是结论，在这里， 只要条件不成立，关系R就是反对称的。 当条件成立时，R是否是反对称的，要视 结论的真假而定。[例如]
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
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置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学 第二章一阶逻辑PPT课件
注: 个体变项取值范围:个体域(论域) 有限的事物
无特殊说明
无限的事物
（宇宙间的一切事物称为全总个体域）
谓词常项:具体性质或关系的谓词
谓词 谓词变项:抽象或泛指的谓词
F,G,H,…
个体变项x具有性质F,记作F(x) 谓词符号化
个体变项x,y具有性质F,记作F(x,y)
注:下文中称这种个体变项和谓词的联合体F(x),F(x,y)为谓词.
谓词 用来刻画个体词的性质或个体词之间关系
的词。
例如: ① 2 是无理数.
②王宏是程序员.
③小李比小赵高2厘米.
个体词: 2 , 王宏,小李,小赵
谓词: …是无理数,
个体词性质
…是程序员, …比…高2厘米.
个体词之间关系
4
个体常项:具体和特定的个体词 a,b,c,… 个体词
个体变项:抽象或泛指的个体词 x,y,z,…
要求: 1)个体域为有理数集合. 2)个体域为实数集合. 3)个体域为全总个体域.
6
谓词中的其它概念:
1).元数:谓词中所包含的个体词数. 一元谓词:个体词性质的.
2).n元谓词 n元谓词:个体词之间关系的.
表示方法定义域:个体词变项的个体域.
P(x1,x2,…xn) 值域:{0,1}
注: n元谓词不是命题,真值无法确定.要使之成为命题,必须:
指定某一谓词常项代替P
用n个个体常项代替n个体变项
注: (1)0元谓词也不是命题.要使之成为命题,必须:指定某一
谓词常项代替L.
(2)命题逻辑中的简单命题,也可以用0元谓词表示.因而 命题可看成是谓词的特殊情况.
例1: 将下列命题用0元谓词符号化.
(1)2是素数且是偶数.
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学第二章课件
2013-7-27 213页-第19
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
2013-7-27 213页-第20
河南工业大学离散数学课程组
2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
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结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
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2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
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P
(6) Q(c)
T (5) I
(7) Q(c) S(c)
T (4) E
(8) S(c)
T (6)(7) I
(9) P(c)S(c)
CP
（3）反证法
例 证明： ¬x(P(x)Q(x)), xP(x) ¬ xQ(x)
(1) ¬¬ xQ(x)
附加前提
(2) xQ(x)
T(1) E
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（5）推导中连续使用ES规则时，使用一次更改一个变元。 xP(x) P(c) xQ(x) Q(d)
例 指出下列推导中的错误，并加以改正。
(1) xP(x)
P
(2) P(c)
ES(1)
(3) xQ(x)
P
(4) Q(c)
ES(2)
解： 第二次使用存在量词消去规则时，所指定的 特定个体应该是证明序列以前公式中没有出现过的， 正确的推理是：
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
(9) P(a) Q(a)
T(8) E
(10) Q(a)
T (4)(9) I
4、 推理证明实例 （1）直接证法 例 证明苏格拉底三段论：“人都是要死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
解：设M(x)：x是人； （特性谓词） D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
则翻译为： x(M(x) D(x))，M(s) D(s)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
P
(3)P(c) Q(c)
ES (2)
(4) P(c)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
US (1)
(5) Q(c)
T(3)(4) I
(6) xQ(x)
EG (5)
(7) x P(x)xQ(x)
CP
例 将下列推理符号化并给出形式证明: 每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生
（3）存在指定规则（ES规则）
如果对于个体域中某些客体A(x)成立，则必有 某个特定的客体c，使A(c)成立。 该规则表示成：
xA(x) A(c)
（4）存在推广规则（EG规则） 如果对个体域中某个特定客体c，有A(c) 成立， 则在个体域中，必存在x，使A(x)成立。 该规则表示成： A(c) xA(x)
(1) xP(x)
P
(2) P(c)
ES(1)
(3) xQ(x)
P
(4) Q(d)
ES(2)
3、 推理证明 (1)命题逻辑中的P规则,T规则都可以引用到谓词逻 辑的推理中。 (2)使用量词的四个推理规则对量词进行适当处理。 (3)推理过程中使用谓词逻辑的等价公式和永真蕴含 公式。 (4)推理证明方法包括直接证法和间接证法，其证明 思想与命题逻辑中的类似。间接证法包括CP规则 证明和反证法证明。
(3) Q(c)
US (2)
(4) xP(x)
P
(5) P(c)
US (4)
(6) P(c)Q(c)
T(3)(5) I
(7) x(P(x)Q(x))
UG (6)
(8) ¬x(P(x)Q(x))
P
(9) x(P(x)Q(x)) ¬x(P(x)Q(x)) T(7)(8) I
例 将下列推理符号化并给出形式证明: 晚会上所有人都唱歌或跳舞了，因此或者所有人都唱歌 了，或者有些人跳舞了。（个体域为参加晚会的人）
是优等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果 小张是大学生，他就是理科生。 解： 个体域取全总个体域，设P(x)：x是大学生， Q(x)：x是文科生，S(x)：x是理科生，T(x)：x是优等生， c：小张 前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))，x(P(x)T(x))，Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)
例:证明苏格拉底论证
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
(11) Q(a) Q(a ) 矛盾
T (6)(10) I
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
§6 谓词逻辑的推理理论
1、关于量词的四个推理规则 （1）全称指定规则（US规则）
如果对个体域中所有客体x, A(x)成立，则对个 体域中某个任意客体c， A(c) 成立。 该规则表示成：
xA(x) A(c) (x,c个体域)
（2）全称推广规则（UG规则） 如果能够证明对个体域中每一个客体c，命题A(c) 都成立，则可得到结论xA(x) 成立。 该规则表示成： A(c) xA(x)
解： 设P(x)：x唱歌了，Q(x)：x跳舞了。 则： 前提：x(P(x)Q(x))
结论：xP(x)xQ(x)
x( P(x) Q(x) ) xP(x) xQ(x)
推理形式如下：
(1) ( xP(x) xQ(x) )
附加前提
(2) xP(x) xQ(x)