离散数学课件第二章(第3讲)

2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
(11) Q(a) Q(a ) 矛盾
T (6)(10) I
例:证明苏格拉底论证
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
是优等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果 小张是大学生，他就是理科生。 解： 个体域取全总个体域，设P(x)：x是大学生， Q(x)：x是文科生，S(x)：x是理科生，T(x)：x是优等生， c：小张 前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))，x(P(x)T(x))，Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)
4、 推理证明实例 （1）直接证法 例 证明苏格拉底三段论：“人都是要死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
解：设M(x)：x是人； （特性谓词） D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
则翻译为： x(M(x) D(x))，M(s) D(s)
（5）推导中连续使用ES规则时，使用一次更改一个变元。 xP(x) P(c) xQ(x) Q(d)
例 指出下列推导中的错误，并加以改正。
(1) xP(x)
P
(2) P(c)
ES(1)
(3) xQ(x)
P
(4) Q(c)
ES(2)
解： 第二次使用存在量词消去规则时，所指定的 特定个体应该是证明序列以前公式中没有出现过的， 正确的推理是：
§6 谓词逻辑的推理理论
1、关于量词的四个推理规则 （1）全称指定规则（US规则）
如果对个体域中所有客体x, A(x)成立，则对个 体域中某个任意客体c， A(c) 成立。 该规则表示成：
xA(x) A(c) (x,c个体域)
（2）全称推广规则（UG规则） 如果能够证明对个体域中每一个客体c，命题A(c) 都成立，则可得到结论xA(x) 成立。 该规则表示成： A(c) xA(x)
解： 设P(x)：x唱歌了，Q(x)：x跳舞了。 则： 前提：x(P(x)Q(x))
结论：xP(x)xQ(x)
x( P(x) Q(x) ) xP(x) xQ(x)
推理形式如下：
(1) ( xP(x) xQ(x) )
附加前提
(2) xP(x) xQ(x)
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
(9) P(a) Q(a)
T(8) E
(10) Q(a)
T (4)(9) I
(3) Q(c)
US (2)
(4) xP(x)
P
(5) P(c)
US (4)
(6) P(c)Q(c)
T(3)(5) I
(7) x(P(x)Q(x))
UG (6)
(8) ¬x(P(x)Q(x))
P
(9) x(P(x)Q(x)) ¬x(P(x)Q(x)) T(7)(8) I
例 将下列推理符号化并给出形式证明: 晚会上所有人都唱歌或跳舞了，因此或者所有人都唱歌 了，或者有些人跳舞了。（个体域为参加晚会的人）
(1) xP(x)
P
(2) P(c)
ES(1)
(3) xQ(x)
P
(4) Q(d)
ES(2)
3、 推理证明 (1)命题逻辑中的P规则,T规则都可以引用到谓词逻 辑的推理中。 (2)使用量词的四个推理规则对量词进行适当处理。 (3)推理过程中使用谓词逻辑的等价公式和永真蕴含 公式。 (4)推理证明方法包括直接证法和间接证法，其证明 思想与命题逻辑中的类似。间接证法包括CP规则 证明和反证法证明。
（3）存在指定规则（ES规则）
如果对于个体域中某些客体A(x)成立，则必有 某个特定的客体c，使A(c)成立。 该规则表示成：
xA(x) A(c)
（4）存在推广规则（EG规则） 如果对个体域中某个特定客体c，有A(c) 成立， 则在个体域中，必存在x，使A(x)成立。 该规则表示成： A(c) xA(x)
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
P
(3)P(c) Q(c)
ES (2)
(4) P(c)
US (1)
(5) Q(c)
Baidu Nhomakorabea
T(3)(4) I
(6) xQ(x)
EG (5)
(7) x P(x)xQ(x)
CP
例 将下列推理符号化并给出形式证明: 每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生
P
(6) Q(c)
T (5) I
(7) Q(c) S(c)
T (4) E
(8) S(c)
T (6)(7) I
(9) P(c)S(c)
CP
（3）反证法
例 证明： ¬x(P(x)Q(x)), xP(x) ¬ xQ(x)
(1) ¬¬ xQ(x)
附加前提
(2) xQ(x)
T(1) E