深入线性回归-精品
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
线性回归精确分析讲课文档
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
11
第十一页，共76页。
一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
18
第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
第二十三页，共76页。
23
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方 程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
6
第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大
深度学习入门（一）：线性回归模型
深度学习⼊门（⼀）：线性回归模型⽂章⽬录单层神经⽹络⼀因为⼯作需求需要接触到深度学习知识，导师推荐了⼀本书⽤来⼊门：《动⼿学深度学习（PyTorch版）》在此处记录⼀下学习内容以及学习总结，⽂章以原作者书籍为基础，插⼊⼀些⾃⼰的总结与⼼得做参考（⾼亮部分），喜欢阅读原⽂的可以访问原⽂链接：⼊门深度学习先认识⼀个单层神经⽹络-线性回归模型线性回归模型线性回归输出是⼀个连续值，因此适⽤于回归问题。
回归问题在实际中很常见，如预测房屋价格、⽓温、销售额等连续值的问题。
与回归问题不同，分类问题中模型的最终输出是⼀个离散值。
我们所说的图像分类、垃圾邮件识别、疾病检测等输出为离散值的问题都属于分类问题的范畴。
softmax回归则适⽤于分类问题。
由于线性回归和softmax回归都是单层神经⽹络，它们涉及的概念和技术同样适⽤于⼤多数的深度学习模型。
我们⾸先以线性回归为例，介绍⼤多数深度学习模型的基本要素和表⽰⽅法。
线性回归是经典的单层神经⽹络，以此为例⼦进⾏讲解1. 线性回归的基本要素我们以⼀个简单的房屋价格预测作为例⼦来解释线性回归的基本要素。
这个应⽤的⽬标是预测⼀栋房⼦的售出价格（元）。
我们知道这个价格取决于很多因素，如房屋状况、地段、市场⾏情等。
为了简单起见，这⾥我们假设价格只取决于房屋状况的两个因素，即⾯积（平⽅⽶）和房龄（年）。
接下来我们希望探索价格与这两个因素的具体关系。
1.1 模型定义设房屋的⾯积为 x 1 x_1 x1，房龄为 x 2 x_2 x2，售出价格为 y y y。
我们需要建⽴基于输⼊ x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2来计算输出 y y y 的表达式，也就是模型（model）。
顾名思义，线性回归假设输出与各个输⼊之间是线性关系：y ^ = x 1 w 1 + x 2 w 2 + b \hat{y} = x_1 w_1 + x_2 w_2 + b y^=x1w1+x2w2+b其中 w 1 w_1 w1和 w 2 w_2 w2是权重（weight）， b b b 是偏差（bias），且均为标量。
第9章多元线性回归-PPT精品文档
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
专题01 线性回归方程(解析版)
【解析】解： x 0 1 2 3 3 ， y m 3 5.5 7 m 15.5 ，
4
2
4
4
这组数据的样本中心点是 ( 3 , m 15.5) ， 24
关于 y 与 x 的线性回归方程 yˆ 2.1x 0.85 ，
m 15.5 2.1 3 0.85 ，解得 m 0.5 ，
x （次数 / 分
20
30
40
50
60
钟）
y( C)
25
27.5
29
32.5
36
A． 33 C
B． 34 C
C． 35 C
【解析】解：由题意，得 x 20 30 40 50 60 40 ， 5
y 25 27.5 29 32.5 36 30 ， 5
则 k y 0.25x 30 0.25 40 20 ；
故答案为：10．
例 7．已知一组数据点：
x
x1
x2
x8
y
y1
y2
y8
8
用最小二乘法得到其线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，若数据 x1 ， x2 ， ， x8 的平均数为 1，则 yi i 1
16 ．
3
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【解析】解：由题意， x 1 ，设样本点的中心为 (1, y) ， 又线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，则 y 2 1 4 2 ，
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 Y （单位：万元）的分布列为：
Y
30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
E(Y ) 30 0.3 20 0.4 70 0.2 120 0.1 25 （万元）
线性回归方法
线性回归方法线性回归是一种用于建模和分析两个或多个变量之间关系的统计技术。
它可以用来预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。
线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过拟合一条直线或者多维空间中的一个超平面来进行预测和建模。
在实际应用中，线性回归方法被广泛应用于经济学、金融学、生物学、工程学等领域。
线性回归模型可以用数学公式表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
其中，Y代表因变量，X1, X2, ..., Xn代表自变量，β0, β1, β2, ..., βn代表模型参数，ε代表误差项。
线性回归的目标是通过最小化误差项来找到最佳的模型参数，从而使得模型能够最好地拟合观测数据。
线性回归方法的核心是最小二乘法，它通过最小化观测数据和模型预测值之间的残差平方和来估计模型参数。
最小二乘法可以保证得到的模型是最优的线性无偏估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用来估计线性回归模型的参数，比如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法在实际应用中可以根据数据规模、计算资源等因素进行选择。
在应用线性回归方法时，需要注意一些问题。
首先，要对数据进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理、变量变换等。
其次，要对模型进行诊断，包括检验模型的拟合优度、残差的正态性、变量之间的多重共线性等。
最后，要对模型进行解释和预测，包括解释模型参数的意义、预测因变量的置信区间等。
总之，线性回归方法是一种简单而强大的统计技术，可以用来建立和分析变量之间的关系。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点来选择合适的线性回归模型，并进行参数估计、模型诊断和预测分析。
通过深入理解和灵活运用线性回归方法，我们可以更好地理解数据和问题，做出准确的预测和决策。
高考数学理一轮复习 X1-4正态分布、线性回归精品课件
备选例题1 设随机变量ξ服从正态分布：ξ～ N(1,4)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)； (2)求常数C，使P(ξ≤C)＝32·P(ξ＞C)．
参考数据：Φ(0)＝0.5，Φ(1)＝0.8413，Φ(2) ＝0.9772，Φ(0.5)＝0.6915，Φ(1.88)＝ 0.9697，Φ(3)＝0.9987.
2．小概率事件是指事件发生的概率很小的事， 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可 能发生的．
3．统计中假设检验的基本思想：根据小概率 事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和 从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的 统计假设作出判断，是拒绝假设，还是接受 假设．
4．利用线性回归方程，可由一个变量的值预 测或控制另一个变量的值．借助计算器，特 别是含统计的计算器，能简化手工的计算， 迅速得出正确结果．
(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分
布函数)，即Φ(x0)＝
．
(5)两个重要公式：ⅰ.Φ(－x)＝1Φ(x)
－
；
Φ(a)
ⅱ.P(a＜ξ＜b)＝Φ(b)－
． 小于
(6)对于任一正态分布总体N(μ，σ2)来说，取
值 x的概率为F(x)＝Φ(
)．
(7)假设检验的基本思想
ⅰ.提出统计假设，如假设随机变量服从正态 分布等；
5．“回归”和“相关”含义是不同的：如果 两个变量中的一个变量是人为可以控制、非 随机的，另一变量的变化是随机的且随着控 制变量的变化而变化，则这两变量间的关系 就称为回归关系；若两个变量都是随机的， 则称它们之间的关系为相关关系，在本教材 中，两者不加区别．
方法规律·归纳
题型 一
正态分布的基本运算
思维 提示
①P(x＜x0)＝Φ(x0)； ②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；
线性回归计算方法及公式
线性回归计算方法及公式线性回归是一种用于建立连续变量之间关系的统计模型。
它假设变量之间存在线性关系，并且通过最小化预测值和实际观测值之间的差异来确定最佳拟合线。
在本篇文章中，我们将讨论线性回归的计算方法和公式。
线性回归模型的数学表示如下：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε在上述公式中，Y表示我们要预测的因变量，X1到Xn表示自变量，β0到βn表示线性回归模型的回归系数，ε表示误差项。
线性回归的目标是找到最佳拟合线，使预测值和实际值之间的平方差最小化。
最常用的方法是普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
它通过最小化残差平方和来确定回归系数的最佳值。
残差（Residual）指的是观测值与预测值之间的差异。
残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）表示所有残差平方的总和。
OLS的目标是通过最小化RSS来找到最佳的回归系数。
要计算OLS，我们需要以下步骤：1.准备数据：收集自变量和因变量的数据。
2.设定模型：确定线性回归模型的形式。
3.拟合模型：使用OLS估计回归系数。
4.评估模型：根据一些指标评估模型的表现。
下面我们将详细描述上述步骤。
1.准备数据：收集自变量和因变量的数据。
确保数据集包含足够的样本数量和各种数值。
常见的方法是通过观察和实验来收集数据。
2.设定模型：确定线性回归模型的形式。
根据问题的背景和数据的特点，选择适当的自变量和因变量。
确保自变量之间没有高度相关性（多重共线性）。
3.拟合模型：使用OLS估计回归系数。
OLS的公式为：β=(X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β是回归系数矩阵，X是自变量矩阵，Y是因变量矩阵，并且^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆。
4. 评估模型：根据一些指标评估模型的表现。
常见的评估指标包括均方误差（Mean Squared Error, MSE）、判定系数（Coefficient of Determination, R^2）、残差分析等。
线性回归方法
线性回归方法
一个“点”是一条线，一条曲线是另外一条线。
一些图形可以构成多条直线，这样就产生了一种用于描述多维空间分布的数学工具——线性回归方法（ linear regression）。
简而言之：它将连续型变
量转换为离散型变量并且运用最小二乘法拟合模型中各个自变量与
所有因变量之间的相关系数。
这种拟合能力保证当未知量取值越来越趋近于零时，回归平方和仍旧显示出明确的趋势。
从定义上看，线性回归可以解决两类问题：其一是多元回归问题；其二是自变量在某区域内呈现规律式或周期波动等非参数特征的情
况下需要进行的统计推断，如利率预测等经济管理领域。
通常地说到用到线性回归时，我们都会想起多项线性函数来表达变化较大的不同指标对应关系及回归意思[2];但此处提供给读者的不仅限于函数的
单纯展开作业！我认识更高层次理论原则只停留几何物体本身尺寸公差研究….等客观实际概念-=更深入去探讨下吧:不错!在西文中称做
μ范数(function of<ε>),以上均属数学名词定位准。
但不好查找！无奈只得使用下线性的线字改头衔目前才获悉(^_^)嘻嘻
1、什么是线性回归方法？线性代数里面关键技术，属于多项数
据综合评估回归计算精密仪器分析软件包。
最早发源于欧洲大陆国家、荷兰。
2、这款软件由来？说真话老人讲：东南亚马来半岛那块古巴
比伦曾被叫希腊土著占过大片领域故事很遥远，仿佛昨天还是刚把记忆存放回档点电脑报纸杂志书籍资料库开始逐渐建立于百度大概搜
索引擎里创造软件历史最久也颇受争议。
线性回归的概念原理
线性回归的概念原理线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测分析方法。
它的基本概念是通过找到一条最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的线性关系。
这条直线可以用来预测未知的因变量值，使得预测误差最小化。
线性回归模型的数学表示可以写成：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的回归系数，ε表示误差项。
线性回归的原理可以通过以下步骤来描述：1. 数据集准备：首先收集相关的数据集，其中包括自变量（X1、X2、...、Xn）和因变量（Y）的观测值。
数据集应该足够大，以确保回归分析的准确性。
2. 拟合直线：线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
这条直线可以通过最小化观测值与拟合值之间的误差来确定。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化误差的平方和，来找到最佳的回归系数。
3. 评估模型：一旦拟合直线被确定，就可以通过评估模型的性能来判断其是否适合预测。
常用的评估指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R-squared）等。
MSE表示观测值与拟合值之间的平均差异，R-squared表示模型可以解释的总变异量。
4. 预测值计算：一旦模型被评估为合适，就可以使用该模型来进行预测。
通过将自变量的值带入回归方程中，可以计算出对应的因变量的预测值。
线性回归的原理基于一些假设，包括：1. 线性关系假设：线性回归假设自变量和因变量之间存在着线性关系。
如果关系是非线性的，线性回归可能不适用。
2. 独立性假设：线性回归假设不同自变量之间是独立的。
如果存在多重共线性（即自变量之间存在高度相关性），线性回归的结果可能不可靠。
3. 正态性假设：线性回归假设误差项服从正态分布。
如果误差不符合正态分布，可能需要对数据进行转换或使用其他方法。
线性回归的优缺点如下：优点：1. 简单易懂：线性回归是一种简单明了的分析方法，容易理解和解释。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
SPSS如何进行线性回归分析操作 精品
SPSS如何进行线性回归分析操作本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。
包括只有一个自变量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。
为了确保所建立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因变量与自变量进行线性检验。
也就是类似于相关分析一章中讲过的借助于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。
另外，通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异值需要认真检查这一数据的合理性。
一、一元线性回归分析用SPSS进行回归分析，实例操作如下：1.单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图7-9所示。
从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。
在方法即Method一项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。
所以该方法可命名为强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。
具体如下图所示：2.请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。
如RegressionCoefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显著性水平等。
Model fit 项可输出相关系数R，测定系数R2，调整系数、估计标准误及方差分析表。
上述两项为默认选项，请注意保持选中。
设置如图7-10所示。
设置完成后点击Continue返回主对话框。
回归方程建立后，除了需要对方程的显著性进行检验外，还需要检验所建立的方程是否违反回归分析的假定，为此需进行多项残差分析。
由于此部分内容较复杂而且理论性较强，所以不在此详细介绍，读者如有兴趣，可参阅有关资料。
3.用户在进行回归分析时，还可以选择是否输出方程常数。
线性回归算法的原理及其应用
线性回归算法的原理及其应用随着数据科学和人工智能的发展，线性回归算法越来越被广泛应用在各个领域。
那么到底什么是线性回归算法呢？本文将会从原理和应用两个角度来介绍线性回归。
一、线性回归算法的原理线性回归是一种统计方法，用来分析两个变量之间的关系。
其中，一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
线性回归假设两个变量之间具有线性关系，也就是说，当自变量发生变化时，因变量也会发生相应的变化。
通过收集自变量和因变量之间的数据，我们可以利用回归算法来预测因变量的值。
线性回归的基本形式是一条直线方程：y = ax + b ，其中 x 为自变量，y 为因变量，a 和 b 是回归系数。
在该方程中，a 代表着自变量对因变量的影响程度，b 则是截距，表示当自变量为 0 时，因变量应该是多少。
为了找到最好的直线，我们需要使用最小二乘法。
即，我们需要找到一条直线，使得每个数据点到直线的距离的平方和最小。
这条直线在二维平面上可以表示为一条斜率为 a，截距为 b 的直线。
我们可以通过下面的公式来计算最小二乘法的回归系数 a 和 b：a = (nΣ(xy) - ΣxΣy) / (nΣ(x^2) - (Σx)^2)b = (Σy - aΣx) / n其中，n 是样本的个数，Σ 表示求和，x 和 y 分别是自变量和因变量，xy 表示两个变量的乘积，x^2 表示 x 的平方。
二、线性回归算法的应用现实生活中，线性回归算法广泛应用于金融、自然科学、社会科学、工程等领域。
下面介绍一些具体的应用。
1、金融领域线性回归算法被广泛用于股市预测，即通过过去股票价格的数据来预测未来的价格。
此外，线性回归还可以用于信用评估，即通过个人的收入、年龄、性别等信息来预测其未来的信用状况。
2、自然科学在自然科学领域，线性回归算法可以用于天气预测、长期气候变化预测等。
此外，线性回归还可以用于精细化农业，通过预测土壤酸度、湿度等指标，来实现作物的精准种植和管护。
3、社会科学在社会科学领域，线性回归算法可以用于预测经济增长、失业率等经济指标。
线性回归法实验报告
线性回归法实验报告线性回归是一种基本的统计学方法，用来建立一个自变量和一个或多个因变量之间的线性关系模型。
其基本原理是寻找最佳的直线来拟合数据，以预测或解释因变量的数值。
本篇实验报告将介绍线性回归的基本原理和实验过程，并通过一个具体的案例进行分析和实现。
二、实验目的1. 理解线性回归的基本原理和模型；2. 掌握如何使用Python进行线性回归分析；3. 使用线性回归模型分析实际数据，并对结果进行解释和评估。
三、实验步骤1. 数据准备：选择一个合适的数据集，包括自变量和因变量。
2. 数据预处理：对数据进行清洗和归一化处理，使其符合线性回归的要求。
3. 数据分割：将数据集分为训练集和测试集，用于训练和评估模型。
4. 模型训练：使用训练集数据拟合线性回归模型。
5. 模型评估：使用测试集数据对模型进行评估，包括计算预测误差和确定模型的可靠性。
6. 结果解释和可视化：根据模型结果和评估指标，对结果进行解释和可视化展示。
四、实验案例本次实验选择一个汽车销售数据集进行分析，其中自变量为汽车的年龄和公里数，因变量为汽车的价格。
我们的目标是建立一个线性模型，以预测汽车的价格。
1. 数据准备首先，我们需要收集关于汽车价格、年龄和公里数的数据。
可以通过互联网查找相关的数据集，或者自己收集数据。
收集到数据后，可以将其保存为CSV或Excel 文件。
2. 数据预处理在进行线性回归分析之前，我们需要对数据进行预处理。
首先，对数据进行清洗，处理缺失值和异常值。
然后，对数据进行归一化处理，使其在相同的量级上。
3. 数据分割将数据集分为训练集和测试集的过程称为数据分割。
一般情况下，我们将70%的数据用于训练模型，将30%的数据用于测试模型。
4. 模型训练使用训练集数据来训练线性回归模型。
可以使用Python中的机器学习库，如scikit-learn来实现线性回归模型的训练。
5. 模型评估使用测试集数据对训练好的模型进行评估。
可以计算预测误差，如均方根误差(RMSE)和平均绝对误差(MAE)，来评估模型的预测能力。
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线性回归
有监督的机器学习
data中包含(X,Y)
有些Y标记是连续的，回归
有些Y标记是离散的，分类
理解回归
回归这个词追根溯源来源于高尔顿，达尔文是高尔顿的表哥
父亲是比较高的，儿子也是比较高的
父亲是比较矮的，儿子也是比较矮的
父亲是2.26，儿子可能很高但是不会达到2.26
父亲是1.65，儿子可能不高，但是比1.65高
大自然让我们回归到一定的区间之内
最大似然估计
最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。
这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德?费雪 sher爵士在1912年至1922年间开始使用的。
“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。
故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
在英语语境里，likelihood 和probability 的日常使用是可以互换的，都表示对机会(chance) 的同义替代
线性回归
线性：两个变量之间存在一次方函数关系,就称它们之间存在线性关系
线性：线性linear,指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表规则和光滑的运动
高斯分布
逻辑回归
分类问题的首选，属于广义线性回归，卡巴斯基和司机没关系 二分类的，做多分类可以转多个二分类，或者Soft-max回归
多元线性回归
y=a*x+b
y = w0 + w1*x1 + w2*x2
向量转置相乘x0=1
不止两个特征
截距，什么都不做，本身就存在在那里！ 物体本身就漂亮，不加修饰也漂亮
中心极限定理
中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量累积分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
中心极限定理
中心极限定理
方差我们先不管，均值我们总有办法让它去等于零0的，因为我们这里是有W0截距的，所有误差 我们就可以认为是独立分布的，1<=i<=m，服从均值为0，方差为某定值什么的平方的高斯分布
误差是什么
第i个样本实际的值等于预测的值加误差
假定所有的样本都是独立的，有上下的震荡，震荡认为是随机变量，足够多的随机变量叠加之后形成的分布，根据中心极限定理，它服从的就是正态分布，因为它是正常状态下的分布，
也就是高斯分布！均值是某一个值，方差是某一个值
既然是误差符合均值为0，方差为平方的正态分布，那我们就把它的概率密度函数写出来
概率密度函数
在数学中，连续型随机变量的概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。
而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分
概率密度函数
最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。
最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。
也就是说，当x不在区间[a,b]上的时候，函数值等于0；而在区间[a,b]上的时候，函数值等于这个函
数。
这个函数并不是完全的连续函数，但是是可积函数。
随着参数μ和σ变化，概率分布也产生变化
把公式中的误差带入概率密度函数
似然函数与概率密度函数
L(θ|x)=f(x|θ)
这个等式表示的是对于事件发生的两种角度的看法。
其实等式两边都是表示的这个事件发生的概率或者说可能性。
再给定一个样本x后，我们去想这个样本出现的可能性到底是多大。
统计学的观点始终是认为样本的出现是基于一个分布的。
那么我们去假设这个分布为f，里面有参数theta。
对于不同的theta，样本的分布不一样。
f(x|θ)表示的就是在给定参数theta的情况下，x出现的可能性多大。
L(θ|x)表示的是在给定样本x的时候，哪个参数theta使得x出现的可能性多大。
所以其实这个等式要表示的核心意思都是在给一个theta和一个样本x的时候，整个事件发生的可能性多大。
对数似然函数
形式化就是：在一定条件下，最大化对数似然目标函数等价于最大化P(θ|X)，而P(θ|X) 就是我们的学习目标：给定训练数据X 的条件下，找到最可能出现的参数θ
大致推理过程如下：argmax_θP(θ|X) = argmax_θP(X|θ)P(θ)/P(X), 对于每个θ，P(X) 都相等，且我们假设P(θ) 服从均匀分布，因此有argmax_θP(θ|X) = argmax_θP(X|θ)。
加上对数只是为了求解方便（将乘积转换为求和，去掉exp项等），但是并不改变最终结果。
ln 即自然对数ln a=log
e a
为什么是最小二乘法
我们要的是对数似然函数取最大，所以是max(logL(W))
目标函数
带有假设
这种最小二乘估计，其实我们就可以认为，假定了误差服从正太分布，认为样本是独立的，使用最大似然估计，就能得出结论！
ML学习特点，不强调模型100%正确，是有价值的，堪用的！
误差函数的另一种表达
判定为凸函数
凸函数有许多判定方法，比如：定义，一阶条件，二阶条件等等。
你这里说利用正定性判定，应该是指使用二阶条件判定。
半正定一定是凸函数，开口朝上的，半正定一定有极小值
在用二阶条件进行判定时，需要得到Hessian矩阵，然后根据Hessian的正定性判定函数的凹凸性，比如Hessian矩阵半正定，函数为凸函数；Hessian矩阵正定，严格凸函数
Hessian矩阵：
黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。
黑塞矩阵
黑塞矩阵是由目标函数在点X处的二阶偏导数组成的对称矩阵
正定：
对A的特征值全为正数，那么是正定的。
不正定，那么就非正定或半正定。
若A的特征值大于等于，则半正定。
否则非正定。
对J损失函数求二阶导，之后得到的一定是半正定的，自己和自己做点乘嘛！
解析解
数值解是在一定条件下通过某种近似计算得出来的一个数值，能在给定的精度条件下满足方程解析解为方程的解析式（比如求根公式之类的），是方程的精确解，能在任意精度下满足方程
梯度下降法
上面利用公式求解里面对称阵是N维乘以N维的，复杂度是是O N的三次方，换句话说，就是如果你的特征数量翻倍，你的计算时间大致上要2的三次方，8倍的慢
梯度下降法
求导
批量梯度下降
初始化W，随机w，给初值
沿着负梯度方向迭代，更新后的w使得J(w)更小
如果w维度是几百维度，直接算SVD是可以的，几百维度以上一般是梯度下降算法，这个更像是机器学习，学习嘛，埃尔法是学习率、步长
上面这个公式其实是把所有样本梯度加起来的结果，因为有个加和符合从1到m，然后更新每个w的 卷积神经网络，最常见的算法我们就是用梯度下降
当Step小的时候
当Step大的时候
全局最优解
全局最优解
其实很多时候大家最后人工智能做多了，就发现很多时候不要去纠结全局最优，就像找终身伴侣怎么找的？你并不是在全球30亿女性中找一个最好的，你一般是在你朋友圈里面找一个，一个模型是堪用的，work的
我们只不过在线性回归模型中，目标函数求二阶导，是半正定的，是凸函数的
批量梯度下降是稳健的，贪心算法，不一定找到最优，但是一定可以找到更好的
归一化和没有归一化的特征
随机梯度下降
优先选择随机梯度下降
有些时候随机梯度下降可以跳出局部最小值
随机梯度下降
多项式回归
龙格现象
任何东西都是有噪声的，就像学习，
有人不是不学，是没学到点儿上！
逻辑回归
Soft-max。