(建议下载)高中数学函数最值问题的常见求解方法

解析：由于本题中 a 、 b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
以令 a 1 t ， b 1 t ，( t R )，则
2
2
a 4 b4 (a 2 b2 )2 2a 2b2 [(1 t)2 ( 1 t)2 ]2 2( 1 t)2 ( 1 t)2
3
4
当 m [0 ，1] 时， ymax 3 4m ， ymin 1 2m2 ．
在群众中挑拨离间,拨弄是非,真是卑鄙无耻。 勿忘国耻，珍爱和平。作为年轻一代，我们并不应该只有仇恨，而是应该在各个方面提高我们自
当 m [1 ， ) 时， ymax 3 4m ， ymin 3 4m ．本课件可以编辑修改.
值．
例 2.若 x 、 y R 且满足： x 2 y 2 2xy x y 0 ，则 xmax =
， ymin =
.
解析：由已知，变形得： y 2 (2x 1) y (x 2 x) 0 ， y R ，则 0 ，即有
解析：设 t 1 2x ( t 0 )，则由原式得 y 1 (t 1)2 1 1 当且仅当 t 1 即 x 0 时取 2
值．
解析：因 a 、 b 是不相等的正数， cos x 与 sin x 不能同时为０，故 y 0 ．
y 2 a b 2 (a b)2 sin 2 2x ab 4
当 sin 2
2x
1时，
y2 max
2(a b) ， ymax
2(a b)
例 9：已知 sin 2 sin 2 sin 2 1( 、 、 均为锐角)，那么 cos cos cos 的最大
三、换元法
(一)局部换元法
x y 1 cos 6 sin 1 10 sin( ) ，
2
2
故 (x y)max 1
10 2
，(x
y) min
1省得(三麻)均烦值换迫元法切为泡温泉，六十多麻烦了看到什么奶粉去外婆而我
1
2
例 7.已知 a b 1 ，求证： a 4 b4 的最小值为 1 ． 8
2
的最大值为
6
．
3
9
七、利用二次函数的性质
例 10.求函数 y a b 的最小值( a 、 b R )． sin 2 x cos2 x
解析： y a b a a cot 2 x b b tan 2 x a b 2 ab tan 2 x cot 2 x sin 2 x sin 2 x
y
1 8
．即 ymin
1． 8
当t
2 时， ymax a 2
2a
1 2
；当 t
a
时，
y min
1 (a2 2
1) ．
注意：若函数含有 sin x cos x 和 sin x cos x ，可考虑用换元法解．
(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例 6.已知 x 、 y R ，1 x 2 y 2 4 ．求 u x 2 xy y 2 的最值．
a b 2 ab 当且仅当 actg 2 x btg 2 x 即 tg 2 x a 时，函数 y 取得最小值 a b 2 ab b
当 m [1 ， 0] 时， ymax 3 4省得麻烦迫切为泡温泉，六十多麻烦了看到什么奶粉去外婆而我
例 8.求函数 y sin 2x 2 cos2 x 的最值．
解析： y sin 2x 2 cos2 x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1 ,因为 4
| sin(2x ) | 1，故当 sin(2x )
4
4
1时，
y max
2 1 ；当 sin(2x ) 1时， 4
己，素质礼仪，修养，能力等。 勿忘国耻，珍爱和平。作为年轻一代，我们并不应该只有仇恨，而是应该在各个方面提高我们自
学而不厌
己，素质礼仪，修养，能力等。
默而识之 学而不厌的厌什么意思
不耻下问的前一句是什么？
“厌”意思：不喜欢；憎恶
敏而好学。
默而识之是一个成语，读音为 mò ér zhì zhī，意思是默默地记住所学的知识。
不也愉快吗？别人不了解我，我却不生气（恼怒），不也是一个道德上有修养的人吗？”
本），到西汉时期仅有口头传授及从孔子住宅夹壁中所得的本子，
2、子曰：“巧言令色，鲜矣仁。”
计有：鲁人口头传授的《鲁论语》20 篇，齐人口头传授的《齐论语》22 篇，从孔子住宅夹壁中
译文：孔子说：“花言巧语、满脸堆笑的，这种人是很少有仁德的。”
2
2
2
2
1 (
2t 2 )2
1 2(
t2)2
1 (
2t 2
4t 4 )
1 (
t2
2t 4 )
1 3t 2 2t 4 1
2
4
4
8
8
8
∴ a 4 b4 的最小值为 1 ．在 t 0 即 a b 1 时取等号.
8
2
四、三角函数有界法：对于 x R ，总有| sin x | 1 ，| cos x | 1
1、子曰：“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？
什么器具呢？”孔子说：“是瑚琏。”
”
《论语》是名列世界十大历史名人之首的中国古代思想家孔子的门人记录孔子言行的一部集子，
译文 ：孔子说：“在学习时时常的复习学过的知识，不也愉快吗?有志同道合的人从远方而来，
成书于战国初期。因秦始皇-焚书坑儒（虽说是焚书坑儒，但是活埋的其实是一些方士及一些书
当 sin 22x0 ຫໍສະໝຸດ ，y2 minab
2
ab ， ymin
a
b
值等于__________.
解析：因 、 、 均为锐角，所以 cos cos cos cos2 cos2 cos2
六、数形结合法：借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．
例 13.求函数 y 4 sin x 1 的最值． 3cos x 6
高中数学函数最值问题的常见求解方法
例 4.求函数 y x 1 2x 的最值．
一、配方法
例１.当 1 x 0 时，求函数 y 2 x2 3 4 x 的最大值和最小值．
解析：
y
3(2 x
2)2 3
4 3
，当 1
x
0 时，
1 2
2x
1 ．可得
y min
1，
y max
4 3
．
二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最
师传授的知识，是否复习了呢？”
’由是学者多从张氏，馀家寝微。”《齐论语》《古论语》不久亡佚。现存《论语》20 篇，492
u t 2 (cos2 cos sin sin 2 ) t 2 (1 1 sin 2 ) 2
，即
故当 t 2
4 且 sin 2
1 时， umax
6 ；当 t 2
1且 sin 2
1 时， umax
1 2
．
(1 y)t 2 (2 y 1)t y 0
因为 0 t 1，故 y 1 0 ，于是 (2 y 1)2 4 y( y 1) 0 即 y 1 。 8
等号．故 ymax 1，无最小值．
例 5.已知 0 a 2 ,求函数 y (sin x a)(cos x a) 的最值．
解析： y sin x cos x a(sin x cos x) a 2 令 sin x cos x t
则
2 t
2
且 sin
x cos
x
t2
1
，于是
y
1 [(t
例 3.在 0 x 条件下，求 y sin x(1 sin x) 的最大值．
2
(1 sin x)2
解：设 t sin x ，因 x (0 ， ) ，故 2
0
t
1 ，则
y
t(1 t) (1 t)2
解析：设 x t cos ， y t sin ，( t 为参数),因 1 x 2 y 2 4 ，故 1 t 2 4
出自孔子所著《论语·公冶长》。1，子谓南容，“邦有道，不废；邦无道，免于刑戮。”以其
学而不厌是一个汉语词汇，拼音是 xué ér bú yàn。意思是学习没有满足的时候，比喻非常好学。
兄之子妻之。
出自：孔子·《论语·述而》
译文：孔子评论南容说：“国家有道时，他有官做；国家无道时，他也可以免去刑戮。”于是把
ymin 2 1 ．
五、均值不等式法
四、单调性法
例 11.求函数 y 2 sin x cos2 x 的最大值． 1 sin x
解析： y sin 2 x 2sin x 1 (sin x 1)2 2 (sin x 1) ( 2 )
sin x 1
sin x 1
sin x 1
篇章之一。提出了孔子的教育思想和学习态度，孔子对仁德等重要道德范畴的进一步阐释，以及
品德的呢？”
孔子的其他思想主张。
3， 子贡问曰：“赐也何如？”子曰：“女，器也。”曰：“何器也？”曰：“瑚琏也。”
《论语·述而》中的其他名句及释义：
译文：子贡问孔子：“我这个人怎么样？”孔子说：“你呀，好比一个器具。”子贡又问：“是
例 14.求函数 y 2 4m sin x cos 2x 的最值． 解析： y 2 4m sin x (1 2sin 2 x) 2(sin x m)2 1 2m2 ，因为| sin x | 1 ， 当 m ( ， 1] 时， ymax 3 4m ， ymin 3 4m ．
a)2
a2
1]
2
2
(2x 1)2 4(x 2 x) 0 ，于是 8x 1 0 ，即
x
1 8
．即 xmax