(建议下载)高中数学函数最值问题的常见求解方法

令 sin x 1 t ，则 0 t 2 ，函数 y t 2 在 (0 ， ) 内递增．所以在 (0 ， 2] 内也是递 t
增的．当 t 2 ，即 sin x 1时， ymax 1．
五、平方开方法
例 12.若 a 、 b 是不相等的正数，求函数 y a cos2 x b sin 2 x a sin 2 x b cos2 x 的最
发现的《古论语》21 篇。西汉末年，帝师张禹精治《论语》，并根据《鲁论语》，参照《齐论
3、曾子曰：“吾日三省吾身：为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？”
语》，另成一论，称为《张侯论》。
译文：曾子说：“我每天都要多次反省自己：为别人出主意做事，是否忠实？交友是否守信？老
此本成为当时的权威读本，据《汉书·张禹传》记载：“诸儒为之语曰：‘欲为《论》，念张文。
例 14.求函数 y 2 4m sin x cos 2x 的最值． 解析： y 2 4m sin x (1 2sin 2 x) 2(sin x m)2 1 2m2 ，因为| sin x | 1 ， 当 m ( ， 1] 时， ymax 3 4m ， ymin 3 4m ．
解析：由于本题中 a 、 b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
以令 a 1 t ， b 1 t ，( t R )，则
2
2
a 4 b4 (a 2 b2 )2 2a 2b2 [(1 t)2 ( 1 t)2 ]2 2( 1 t)2 ( 1 t)2
a b 2 ab 当且仅当 actg 2 x btg 2 x 即 tg 2 x a 时，函数 y 取得最小值 a b 2 ab b
当 m [1 ， 0] 时， ymax 3 4m ， ymin 1 2m2 ．
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫切为泡温泉，六十多麻烦了看到什么奶粉去外婆而我
2
2
2
2
1 (
2t 2 )2
1 2(
t2)2
1 (
2t 2
4t 4 )
1 (
t2
2t 4 )
1 3t 2 2t 4 1
2
4
4
8
8
8
∴ a 4 b4 的最小值为 1 ．在 t 0 即 a b 1 时取等号.
8
2
四、三角函数有界法：对于 x R ，总有| sin x | 1 ，| cos x | 1
将 y 1 代入方程得 8
t
1 3
[0
，1] ，所以
y max
1. 8
注意：因 0 仅为方程 (1 y)t 2 (2 y 1)t y 0 有实根 t [0 ，1] 的必要条件，因此，必
练习 1：实数 x 、 y 适合： 4x 2 5xy 4 y 2 5 ，设 S x 2 y 2 ，则 1 + 1 =____。 S max S min
2
的最大值为
6
．
3
9
七、利用二次函数的性质
例 10.求函数 y a b 的最小值( a 、 b R )． sin 2 x cos2 x
解析： y a b a a cot 2 x b b tan 2 x a b 2 ab tan 2 x cot 2 x sin 2 x sin 2 x
原文：“默而识之，学而不厌，诲人不倦，何有于我哉！”
自己的侄女嫁给了他。
翻译：默默地记住所学的知识，学习没有满足的时候，教导别人不知道困倦。
2， 子谓子贱，君子哉若人，鲁无君子者，斯焉取斯。
《论语·述而》出自《论语》，共包括 38 章，也是学者们在研究孔子和儒家思想时引述较多的
译文：孔子评论子贱说：“这个人真是个君子呀。如果鲁国没有君子的话，他是从哪里学到这种
等号．故 ymax 1，无最小值．
例 5.已知 0 a 2 ,求函数 y (sin x a)(cos x a) 的最值．
解析： y sin x cos x a(sin x cos x) a 2 令 sin x cos x t
则
2 t
2
且 sin
x cos
x
t2
1
，于是
y
1 [(t
己，素质礼仪，修养，能力等。 勿忘国耻，珍爱和平。作为年轻一代，我们并不应该只有仇恨，而是应该在各个方面提高我们自
学而不厌
己，素质礼仪，修养，能力等。
默而识之 学而不厌的厌什么意思
不耻下问的前一句是什么？
“厌”意思：不喜欢；憎恶
敏而好学。
默而识之是一个成语，读音为 mò ér zhì zhī，意思是默默地记住所学的知识。
ymin 2 1 ．
五、均值不等式法
四、单调性法
例 11.求函数 y 2 sin x cos2 x 的最大值． 1 sin x
解析： y sin 2 x 2sin x 1 (sin x 1)2 2 (sin x 1) ( 2 )
sin x 1
sin x 1
sin x 1
值．
例 2.若 x 、 y R 且满足： x 2 y 2 2xy x y 0 ，则 xmax =
， ymin =
.
解析：由已知，变形得： y 2 (2x 1) y (x 2 x) 0 ， y R ，则 0 ，即有
解析：设 t 1 2x ( t 0 )，则由原式得 y 1 (t 1)2 1 1 当且仅当 t 1 即 x 0 时取 2
y
1 8
．即 ymin
1． 8
当t
2 时， ymax a 2
2a
1 2
；当 t
a
时，
y min
1 (a2 2
1) ．
注意：若函数含有 sin x cos x 和 sin x cos x ，可考虑用换元法解．
(二)三角代换法(有时也称参数方程法)
例 6.已知 x 、 y R ，1 x 2 y 2 4 ．求 u x 2 xy y 2 的最值．
cos2 (
cos2
cos2
)3
1 sin 2 (
1 sin 2
1 sin 2
)3
2
6
3
3
9
解析：将函数式变形为
y
4(sin
x
1) 4
，看成两点
A(2 ，
1 )
，
B(cos
x
， sin
x)
连线的斜率，
3(cos x 2)
4
当且仅当 sin 2
sin 2
sin 2
1
时取等号，故 cos cos cos
师传授的知识，是否复习了呢？”
’由是学者多从张氏，馀家寝微。”《齐论语》《古论语》不久亡佚。现存《论语》20 篇，492
3
4
当 m [0 ，1] 时， ymax 3 4m ， ymin 1 2m2 ．
在群众中挑拨离间,拨弄是非,真是卑鄙无耻。 勿忘国耻，珍爱和平。作为年轻一代，我们并不应该只有仇恨，而是应该在各个方面提高我们自
当 m [1 ， ) 时， ymax 3 4m ， ymin 3 4m ．本课件可以编辑修改.
高中数学函数最值问题的常见求解方法
例 4.求函数 y x 1 2x 的最值．
一、配方法
例１.当 1 x 0 时，求函数 y 2 x2 3 4 x 的最大值和最小值．
解析：
y
3(2 x
2)2 3
பைடு நூலகம்
4 3
，当 1
x
0 时，
1 2
2x
1 ．可得
y min
1，
y max
4 3
．
二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最
当 sin 2
2x
0 时，
y2 min
ab
2
ab ， ymin
a
b
值等于__________.
解析：因 、 、 均为锐角，所以 cos cos cos cos2 cos2 cos2
六、数形结合法：借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．
例 13.求函数 y 4 sin x 1 的最值． 3cos x 6
u t 2 (cos2 cos sin sin 2 ) t 2 (1 1 sin 2 ) 2
，即
故当 t 2
4 且 sin 2
1 时， umax
6 ；当 t 2
1且 sin 2
1 时， umax
1 2
．
(1 y)t 2 (2 y 1)t y 0
因为 0 t 1，故 y 1 0 ，于是 (2 y 1)2 4 y( y 1) 0 即 y 1 。 8
1、子曰：“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？
什么器具呢？”孔子说：“是瑚琏。”
”
《论语》是名列世界十大历史名人之首的中国古代思想家孔子的门人记录孔子言行的一部集子，
译文 ：孔子说：“在学习时时常的复习学过的知识，不也愉快吗?有志同道合的人从远方而来，
成书于战国初期。因秦始皇-焚书坑儒（虽说是焚书坑儒，但是活埋的其实是一些方士及一些书
例 3.在 0 x 条件下，求 y sin x(1 sin x) 的最大值．
2
(1 sin x)2
解：设 t sin x ，因 x (0 ， ) ，故 2
0
t
1 ，则
y
t(1 t) (1 t)2
解析：设 x t cos ， y t sin ，( t 为参数),因 1 x 2 y 2 4 ，故 1 t 2 4
不也愉快吗？别人不了解我，我却不生气（恼怒），不也是一个道德上有修养的人吗？”
本），到西汉时期仅有口头传授及从孔子住宅夹壁中所得的本子，
2、子曰：“巧言令色，鲜矣仁。”
计有：鲁人口头传授的《鲁论语》20 篇，齐人口头传授的《齐论语》22 篇，从孔子住宅夹壁中
译文：孔子说：“花言巧语、满脸堆笑的，这种人是很少有仁德的。”
a)2
a2
1]
2
2
(2x 1)2 4(x 2 x) 0 ，于是 8x 1 0 ，即
x
1 8
．即 xmax
1 8
．
同理， x 2 (2 y 1)x ( y 2 y) 0 ， x R ，则 0 ，即有
(2 y 1)2 4( y 2 y) 0 ，于是 8y 1 0 ，即
篇章之一。提出了孔子的教育思想和学习态度，孔子对仁德等重要道德范畴的进一步阐释，以及
品德的呢？”
孔子的其他思想主张。
3， 子贡问曰：“赐也何如？”子曰：“女，器也。”曰：“何器也？”曰：“瑚琏也。”
《论语·述而》中的其他名句及释义：
译文：子贡问孔子：“我这个人怎么样？”孔子说：“你呀，好比一个器具。”子贡又问：“是
出自孔子所著《论语·公冶长》。1，子谓南容，“邦有道，不废；邦无道，免于刑戮。”以其
学而不厌是一个汉语词汇，拼音是 xué ér bú yàn。意思是学习没有满足的时候，比喻非常好学。
兄之子妻之。
出自：孔子·《论语·述而》
译文：孔子评论南容说：“国家有道时，他有官做；国家无道时，他也可以免去刑戮。”于是把
练习 2：已知 x 、 y R 且 3x 2 2 y 2 6x ，求 x y 的最值．
解析：化 3x 2
2y2
6x 为 (x 1)2
y2 32
1
，得参数方程为
x y
1 cos 6 sin
2
须将 y 1 代入方程中检验，看等号是否可取． 8
练习：已知函数 y ax b (x R) 的值域为[1,4] ，求常数 a,b .（答案： b 3 ， a 4 ） x2 1
三、换元法
(一)局部换元法
x y 1 cos 6 sin 1 10 sin( ) ，
2
2
故 (x y)max 1
10 2
，(x
y) min
1
10
．
2
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得(三麻)均烦值换迫元法切为泡温泉，六十多麻烦了看到什么奶粉去外婆而我
1
2
例 7.已知 a b 1 ，求证： a 4 b4 的最小值为 1 ． 8
值．
解析：因 a 、 b 是不相等的正数， cos x 与 sin x 不能同时为０，故 y 0 ．
y 2 a b 2 (a b)2 sin 2 2x ab 4
当 sin 2
2x
1时，
y2 max
2(a b) ， ymax
2(a b)
例 9：已知 sin 2 sin 2 sin 2 1( 、 、 均为锐角)，那么 cos cos cos 的最大
例 8.求函数 y sin 2x 2 cos2 x 的最值．
解析： y sin 2x 2 cos2 x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1 ,因为 4
| sin(2x ) | 1，故当 sin(2x )
4
4
1时，
y max
2 1 ；当 sin(2x ) 1时， 4