浙江大学大物甲电磁学

q UP ' 4 0l 4 0 (l r ) q
q UP' 4 0l 4 0 (l r )
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【例题二】极板间距为d的平板电容器，在充电后，再插入如 图所示电介质（r），求如图所示A,B两处的场强之比。
解：
d d E Ad EB EC 2 2
D ds DB S DC S 0
3
5.计算有导体存在时,静电场分布的基本依据 (1) 导体静电平衡时的基本性质.
(2) 电荷守恒
(3) 高斯定理 6.电容 电容器 孤立导体的电容： 计算电容的基本步骤： 1.先假设两极板分别带电+q、-q； 2.求两极板间电场强度的分布； 3.求两极板间的电势差； 4.
q C U
q C U A U B
？
+Q
–Q
解(2)：
Q2 f 0S
？
Q2 f 2 0 S
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【例题一】半径为R的中性金属球壳离地很远，在与球心O相 距为 l 的A点放一带电量为q的点电荷。求：（1）金属壳内与O 相距为r的P电势；（2）感应电荷在P点产生的电势。
解：
（1）
（2）
U P U0 q
q 4 0l
Up
dq
4 0 r
1
③.典型电荷分布的电势迭加
2.电势差
U a Ub
b
a
E dl
3.电场力的功
Aab q0
b
a
E dl q0 (U a U b )
4.E和U的微分关系
E gradU
U ˆ U ˆ U ˆ { i j k) x y z
2 E A EB EC
DB DC
DB 0 EB
2 E A EB
DC 0 r EC
EB
EB r EC
r
EA r 1 EB 2 r
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【例题三】如图所示，一无限大接地导体板的右侧有一无限长 均匀带电直导线垂直与导体板放置，导线的一端距板距离为d, 已知导线上线电荷密度为。求O点处的感应电荷面密度。
电容器的电容：
q C U A U B
4
三、静电场中的介质
1.介质极化的微观机理
P 0 eE



2.P和 '的关系
3.电位移
4. P、D、E 之间的关系
5.高斯定理
D 0E P

' Pn

D r 0 E E
r (1 e )

S
D dS q0
r 0
D P ' Pn E e 0 E 高斯定理 D E P '
5
四、静电场的能量
1.电容器储能公式
1Q 1 1 2 W QU CU 2 C 2 2
2.求带电体系静电能的三种方法
R2
R1
R2 dr R2 * * E dl R1 E R1 E ln R1 r R1
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作业 10-5 10-9 10-20 10-29
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Ex 2 4 0 x 2 0
q
零点
UP

P
E dl
a/2
E dx
x
a
a Up 4 0 a 4 0
q
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【讨论题六】如图:真空中有两个相对的平行板,相距为d,板面积 为s,分别带等量异号的电荷,求两板间的作用力。
解(1)：
Q2 f 4 0 d 2
2
U El l
二、静电场中的导体
1.导体的静电平衡特点
(1).
E内 0
(2).
E表 表面
(3).导体是等势体，表面是等势面 2.导体静电平衡的性质
(1).
q
内
0
(2).
E 0
(3).孤立导体电荷分布与表面曲率有关-----尖端放电现象 3.空腔导体静电平衡的性质 4.静电屏蔽 接地的空腔导体是一个很好的静电屏蔽装置。
R E dl
r
q 4 0 r
2
dr
R
E dl

解三：
q 4 0 r
R

q 4 0 R
Ua
U P Ua
q 4 0 r
2
r
dr
q 4 0 r

q 4 0 R
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【讨论题四】半径为R的导 体球A含有两个空腔，在腔 中心分别有qb、qc ，导体球 本身不带电。在距 A中心 r 远处有另一电荷qd,。问qb、 qc、 qd各受多大力？
解： 在O点附近取一小面元 S 考虑导体内接近△S的P点 EP 0 EPn 0
P

EPn ES El
0 ES 2 0
El

d
0 0 2 0 4 d
dx 2 4 0 x 4 d
0 2 d
Up
q 4 0 r
Ua
这种做法对不对？为什么？ 解1：设球壳带电量Q
Up
q 4 0 r

Q 4 0 R
Ua
q 4 0 R

Q 4 0 R
8
Q 4 0 R
解二：
Ua
q 4 o R
P
Up
q 4 0 r
Ua

q 4 0 R
UP
电势、静电场中的导体和介质习题课
一、电势 静电场是保守力场
E dl 0
Up
零点 p
E dl
1.求电势的三种方法： ①.对于电荷分布高度对称的带电体（电场强度易知），用 电势的定义式计算 零点 U p E dl
p
②.对于电荷分布部分对称或一般的带电体（电场强度不易 知），用电势的叠加式计算
（1）定义
2
We A Udq
1 n W qiU i 2 i 1
（2）点电荷系的静电能 （3）电场的能量
1 We Udq 2
we
0 r E
2
2
We we dV
0 r E 2
2
dV
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【讨论题一】有一半径为R，电荷线密度为的均匀带电半圆环， 有一同学先求圆心处的电场强度 E ，再用 0 2 0 R R R U 0 E dl dl R 0 2 R 2 0 R 2 0 0 O 这种做法对不对？为什么？ 【解答】上述做法有两个错误，一是用圆心的电场强度代 替了整个电场分布，二是积分路径应是圆心到无限远处， 正确的应用叠加的方法
U0 4 0 R 4 0
q
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【讨论题二】Q、R相同的均匀带电球面和非均匀带电球面， 二者球内外的电场强度和电势分布是否相同？球心处的电势是 否相同？（设无限远处的电势为零） 【提示】二者球内外的电场强度和电势分布均不相同,球心处 的电势相同. 【讨论题三】有一半径为R的带电导体薄球壳，壳中心有点电荷q， 已知球壳电势Ua,有人求出壳内任一点P的电势为：
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【讨论题五】有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在 它的附近有点电荷q，如图所示。有人求出P的电势为
a q a Up 2 2 0 2 0 a 4 0 4 0 a 2
q
这种做法对不对？为什么？
q
0
p
a

a 2
x
取x a处为U a 0
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【例题四】看书P9210.27题
解： 电容器的极板距离拉大一倍
C
0S
C 2d 2
（1） Q保持不变
Q CU 0
Q2 Q2 1 2 A W CU 0 2C 2C 2 1 1 1 2 2 2 A W C U CU CU （2） U0保持不变 0 0 0 2 2 4
E 2 0 r r
E1 2 0 r R1
E2 2 0 r R2
E1 2.5E2
R2 2.5R1
E1最大，U上升时，E1处将先被击穿
2 0 r R1E *
电缆能承受 的最大电压
E1 E 2 0 r R1
*
U1 U 2
?
1 1 1 2 2 2 A A电 W CU 0 CU0 CU0 2 2 4 1 2 A电 U 0 Q U 0 (Q Q) U 0 (CU 0 CU0 ) CU0 2 1 A CU 02 4
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【例题五】一种同轴电缆的中心为一半径R1的金属导线，它外 围包一层r的固体介质，最外面是金属圆柱面。当在此电缆上 加上一电压后，介质内紧靠其内表面处的场强E1为紧靠外表面 处的场强E2的2.5倍。若介质的击穿场强E*，求此电缆能承受的 最大电压。 解：设加上电压后，内外导线单位长度所带电量为±
qb
A
qc
qd
r
r R
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两空腔内的电场都不受外界影响；内表面感应电荷 均匀分布，因此，qb、qc 受力为零。
根据电荷守恒，导体外表面感应电量 qb qc 且电荷均匀分布，因此，导体外场强分布类似 于点电荷的场 ，电荷qd, 受力为 (qb qc )qd 2 这个答案是近似的。
4 0 r