2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4夯基达标1.点P 的直角坐标为(-,)，那么它的极坐标可表示为(A.(2,)B.(2,)C.(2,)D.(2,)解析:因为点P (-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )A.(-ρ0,θ0)B.(ρ0,-θ0)C.(-ρ0,-θ0)D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2x 2-y 2=c 2答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:将方程a ρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,a ρ2cos 2θ+b ρcos θ-ρsin θ=0ax 2+bx -y =0y =ax 2+bx ,是抛物线 答案:D5.点P1(2,),P 2(-3,-),则|P 1P 2|的值为( A. B.5 C. D.解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2其中P 2(3,),代入可得答案:A6.已知点A(-2,-),B(2,),O (0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-)即为A ∴∠AOB =,且|OB |=2,|OA ∴△ABO为等腰直角三角形 答案:D7.直线l 过点A (3,)、B (3,),则直线l 与极轴夹角等于________.解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B的位置分析夹角的大小∵|AO |=|BO |=3,∠AOB=-∴∠OAB =26π-π∴∠ACO =π--答案：8.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan ,222x x y=y x ρθ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可因为ρ=可化为ρ=,即ρ去分母,得ρ=2+ρcos θ,将公式代入得x 2+y 2=(2+x )2,整理可得答案：y 2=4(x说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A (5,),B (2,0),C (6,-π),D(-4,),E(0,),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图利用公式即可求出它们的直角坐标为A (0,5),B (2,0),C (-33,-3),D (-23,-2),E (0,0). 10.在极轴上求与点A(4,)距离为5的点M 的坐标.解析:题目要求是点在极轴上,可设点M (r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来 解:设M∵A∴4πcos28)24(22r r -+=5, 即r 2-解得r =1或r∴M 点的坐标为(1,0)或在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是km/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标解:对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC于是P在BC的中垂线l上,易求得其方程为x-3y又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P应在双曲线=1的右支上直线l与双曲线的交点P(8,5)即为动物的位置,至此问题便可获解据已知两点的斜率公式,得直线P A的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10.所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin2=5表示的曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ=5,即4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10.∵ρ=∴16(x2+y2)=(4x+10)2.整理,得4y2-20x-25=0.∴为抛物线答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是(A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin2θ=3ρ2,即4y2=3(x2+y2),即y=±x∴所表示的曲线是两条相交直线答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是(A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=coscosθ+sinsinθ两边同乘以ρ,得ρ2=ρcosθ+ρsinθ即x2+y2=x+y即为x2+y2-x-y=0表示圆答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则极点到该直线的距离是________.解析:∵ρsin(θ+)=,∴ρsinθcos+ρcosθsin=,即x+y=1.∴原点到直线x+y=1的距离为d答案:5.在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则△OAB的面积是________.解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π--=.∴S △OAB=×4×5×sin=5. 答案:52019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介成长训练 新人教A 版选修4-4夯基达标1.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,分 π2式,5),则此长方体外接球的体积为________.解析:据顶点的柱坐标求出长方体的三度,其外接球的直径恰为长方体的对角线长由长方体的两个顶点坐标为A 1(4,0,5),C 1(6,π2,5), 可知OA =4,OC =6,OO1 则对角线长为那么球的体积为·π·()3答案:2.已知点M 的直角坐标为(1,-3,4),则它的柱坐标为_______.解析:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z),则⎪⎩⎪⎨⎧=z θ=ρ-θ=ρ4sin 3cos 1，，,解之,得ρ=2,θ=,z ∴点M 的柱坐标为答案:(2,,4)3.设点M 的柱坐标为(2,,7),则它的直角坐标为_______.解析:设点M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===7.z ,6πsin 2,6πcos 2y x ∴点M 的直角坐标为答案:(,1,7)4.已知点M 的球坐标为(2,,),则它的直角坐标为_______. 解析:设M 的直角坐标为(x ,y ,z ),则∴点M 的直角坐标为(-1,1,-答案:(-1,1,-)5.两平行面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A (25,ar ct a n,θa )、B (25,π-arc t a n,θB )，求出这两个截面间的距离.解析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在R t △AOO 1和R t △BOO 1中求出OO 1及OO 2的长度来,可得两个截面间的距离为O 1O2解:由已知,OA =OB =5,∠AOO 1=arctan,∠BOO 1=π-arctan,在△AOO 1中,tan∠AOO 1== ∵OA =25,∴OO1在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan,tan∠B OO 2 ∵OB =25,∴OO2 则O 1O 2=OO 1+OO2 ∴两个截面间的距离O 1O 2为27.6.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A (R ,,)、B (R ,,)，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？ 解析:我们根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走AB 两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是要求我们求出过A 、B 两地的球面距离解:如图所示,因为A(R,,),B(R可知∠O1AO=∠O1BO=,∴∠AO1O=∠BO1O又∠EOC=,∠EOD=,∴∠C OD=-∴∠COD=∠AO1B在R t△OO1B中,∠O1BO=,OB=R∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.则经过A、B两地的球面距离为R走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.7.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标解析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(ρ,θ,z)；在球坐标系中,需要找到(r,φ,θ解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,,0),(,,),(1,,),(,,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(1,,0),(,,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,,0),(,arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,,)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,,0),(,arctan,),(，，),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,,1),(1,,1),(,,1).8.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离试用两点的坐标表示这两点间的距离. 解:(1)在平面直角坐标系中,已知P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P2 (2)在空间直角坐标系中如图,设P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,且点P 1(x 1,y 1,z 1)、P 2(x 2,y 2,z 2)在xOy 平面上的射影分别为M 、N ,那么M 、N 的坐标为M (x 1,y 1,0)、N (x 2,y 2,0),在xOy 平面上,|MN 过点P 1作P 2N 的垂线,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|H P 2|=|z 2-z 1 在Rt △P 1H P 2中,|P 1H|=|MN |=,根据勾股定理,得 |P 1P 2|==221221221)(+)(+)(-z z -y y -xx因此,空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离 |P 1P 2|=221221221)(+)(+)(-z z -y y -xx(3)我们来确定P 1、P 2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式：⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 11111111=z z ,θ=ρy ,θ=ρx ⎪⎩⎪⎨⎧,sin cos 22222222=z z ,θ=ρy ,θ=ρx 可得|P 1P 2|=2212221122211)(+)sin sin (+)cos cos (-z z θ-ρθρθ-ρθρ (4)我们来确定P 1、P 2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧.cos ,sin sin ,cos sin φz=r θφy=r θφx=rP 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),有⎪⎩⎪⎨⎧11111111111cos sin sin cos sin φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x 及⎪⎩⎪⎨⎧,cos sin sin cos sin 22222222222φ=r z ,θφ=r y ,θφ=r x可得|P 1P 2|=2221122221112222111)cos cos (+)sin sin sin sin (+)cos sin cos sin (φ-r φr θφ-r θφr θφ-r θφr走近高考1.已知点P 的柱坐标为(2,,5)，点B 的球坐标为(6,,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（） A.P 点(5,1,1)，B 点 B.P 点(1,1,5)，B 点 C.P 点，B 点 D.P 点(1,1,5)，B 点解析:此题考查空间直角坐标系与空间极坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧;cos sin,sin cos,sin φz=r φy=r φx=r柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧.,sin ,cos z=z θy=ρθx=ρ解:设P 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x =·cos=·=1,y =·sin=1,z设B 点的直角坐标为(x ,y ,z ),x y =·sin·sin=··=,z =·cos=·=所以,点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为().选 答案:B2.设点M 的直角坐标为(1,1,1),求它的柱坐标. 解:设M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧,z=θ=ρθ=ρ1,sin 1,cos 1解之,得ρ=,θ=,z∴点M 的柱坐标为(2,,1).3.设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解:设M 的球坐标为(r ,φ,θ),则r =2222)2(11++=+z +yx由r cos φ=z ,得2cosφ ∴φ=.又tan θ==1,∴θ ∴点M 的球坐标为(2,,).。