2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4

2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A

版选修4-4

夯基达标

1.点P 的直角坐标为(-,)，那么它的极坐标可表示为(

A.(2,)

B.(2,)

C.(2,)

D.(2,)

解析:因为点P (-,)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B

2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )

A.(-ρ0,θ0)

B.(ρ0,-θ0)

C.(-ρ0,-θ0)

D.(-ρ0,θ0+π)

解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A

3.方程ρ2cos2θ=c 2

(c>0)的曲线是( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

解析:方程ρ2cos2θ=c 2ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2x 2-y 2=c 2

答案:C

4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2

θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是(

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

解析:将方程a ρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以

ρ,a ρ2cos 2θ+b ρcos θ-ρsin θ=0ax 2+bx -y =0y =ax 2

+bx ,是抛物线 答案:D

5.点P

1(2,),P 2(-3,-),则|P 1P 2|的值为( A. B.5 C. D.

解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=

)-θ(θρρ-+ρρ12212

221cos 2(ρ1、ρ

2

其中P 2(3,),代入可得

答案:A

6.已知点A(-2,-),B(2,),O (0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-)即为A ∴∠AOB =,且|OB |=2,|

OA ∴△ABO

为等腰直角三角形 答案:D

7.直线l 过点A (3,)、B (3,),则直线l 与极轴夹角等于________.

解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B

的位置分析夹角的大小

∵|AO |=|BO |=3,∠AOB

=-

∴∠OAB =

2

6

π-

π

∴∠ACO =π--

答案：

8.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为________.

解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,,⎪⎩

⎪

⎨⎧≠+=,

0,tan ,222x x y

=y x ρθ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可

因为ρ=可化为ρ=,即

ρ

去分母,得ρ=2+ρcos θ,将公式代入得x 2+y 2=(2+x )2

,整理可得

答案：y 2

=4(

x

说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.

9.已知下列各点的极坐标为A (5,),B (2,0),C (6,-π),D(-4,),E(0,),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图

利用公式即可求出它们的直角坐标为A (0,5),B (2,0),C (-33,-3),D (-23,-2),E (0,0). 10.在极轴上求与点A(4,)距离为5的点M 的坐标.

解析:题目要求是点在极轴上,可设点M (r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来 解:设M

∵A

∴4

π

cos

28)24(2

2r r -+=5, 即r 2

-

解得r =1或r

∴M 点的坐标为(1,0)或

在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=

)-θ(θρρ-+ρρ21212

221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.

11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是km/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.

解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标

解:对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-

由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC

于是P在BC的中垂线l上,易求得其方程为x-3y

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4,于是知P应在双曲线=1的右支上

直线l与双曲线的交点P(8,5)即为动物的位置,至此问题便可获解

据已知两点的斜率公式,得直线P A的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10.

所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,).

走近高考

1.(经典回放)极坐标方程4ρsin2=5表示的曲线是(

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

解析:利用半角公式把原方程化为4ρ=5,即4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10.∵ρ=∴16(x2+y2)=(4x+10)2.整理,得4y2-20x-25=0.∴为抛物线

答案:D

2.(经典回放)极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是(

A.两条射线

B.两条相交直线

C.圆

D.抛物线

解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin2θ=3ρ2,即4y2=3(x2+y2),即y=±x

∴所表示的曲线是两条相交直线

答案:B

3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是(

A.双曲线

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=coscosθ+sinsinθ

两边同乘以ρ,得ρ2=ρcosθ+ρsinθ

即x2+y2=x+y

即为x2+y2-x-y=0表示圆

答案:D

4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则极点到该直线的距离是________.

解析:∵ρsin(θ+)=,∴ρsinθcos+ρcosθsin=,即x+y=1.∴原点到直线x+y=1的距离为d

答案:

5.在极坐标系中,O是极点,设点A(4,),B(5,-),则△OAB的面积是________.