对数换底公式的应用练习题基础

合集下载

对数的概念-练习题【基础】

对数的概念及性质（一）一．选择题（共5小题）1．（2015•烟台二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的定义域，先求f（﹣1）的值，进而根据f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））．【解答】解：由分段函数知，f（﹣1）=，所以f（f（﹣1））=f（2）=3+log22=3+1=4．故选D．【点评】本题考查分段函数求值以及对数的基本运算．分段函数要注意各段函数定义域的不同．在代入求值过程中要注意取值范围．2．（2015•山东校级一模）f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的意义求出，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，∴==﹣2．∴f[f（）]=f（﹣2）==9．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的性质，属于基础题．3．（2015•吉林校级四模）已知函数f（x）=﹣x+log2+1，则f（）+f（﹣）的值为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2log2【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f（）+f（﹣）=（﹣++1）+（++1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x+log2+1，∴f（）+f（﹣）=（﹣++1）+（++1）=2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用．4．（2015•桐城市一模）已知f（x）=，则f（）的值是（）A．0 B．1 C．D．﹣【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由0＜＜1，利用分段函数的性质及对数运算法则能求出f（）=f（）==．【解答】解：∵f（x）=，0＜＜1，∴f（）=f（）==．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．5．（2015•沙坪坝区校级一模）若2a=3，则log318=（）A．3+B．3﹣C．2+D．2﹣【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数性质和换底公式求解．【解答】解：∵2a=3，∴a=log23，∴log318====2+．故选：C．【点评】本题考查对数的化简求值，是基础题，解题时要注意换底公式的合理运用．。

(完整版)对数的运算经典习题

（完整版）对数的运算经典习题1. 对数的定义根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。

其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。

2. 对数的运算规律对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：2.1 对数的乘法规律$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$2.2 对数的除法规律$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$2.3 对数的幂运算规律$\log_a b^c=c\times \log_a b$3. 经典题3.1 题一已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$3.2 题二设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。

3.3 题三求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$3.4 题四已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。

参考答案3.1 答案由对数的换底公式可知：$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$3.2 答案由对数的换底公式可知：$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$3.3 答案根据对数的定义可知：$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$3.4 答案由对数的性质可知：$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。

换底公式的推导及特殊换底公式及练习

对数换底公式的证明方法并不唯一前面对的求值过程实际上就是一种证明方法可类似证明对数换底公式现在请同学们写出证明过程并思考如何将以为底的对数转换为以为底的对数的比值
一、从对数的运算性质说起
如果a 0，a 1，M 0，N 0，则有：
(1) loga (M ) loga (N ) loga (MN ); （加法）
x lg15，即
lg 2
log2 15

lg15 lg 2

x

log2 15

lg15 lg 2
3.91.
由
log2
15

lg15 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
的对数转换公式：换底公式
logb
N

loga N loga b
(其中a，b

0，a，b
1，N

0)
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面
用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg和15 ；lg 2 2、利用计算器计算ln15和 ln 2.
结果：1、 lg15 1.7, 2、 ln15 2.7,
lg 2 0.3;
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
对log2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，
并思考如何将以 b为底 N 的对数转换为以 a为底的对
数的比值.
证明设 logb N x ，根据对数的定义，有
bx N
两边取以 a为底的对数，得
loga bx loga N.

换底公式练习

专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝【典例应用】【例1】计算：log1627log8132.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.2．(1)已知log142＝a，试用a表示log27.(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245..【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( )2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( )A.b a B ．ab C ．a b D ．b a 3．式子log 916·log 881的值为( )A ．18B ．118 C.83D ．384．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A ．a －bB ．ab C ．ab D ．a ＋b5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92 6．log 332·log 227＝________. 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519.专题10换底公式【知识回顾】换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝【典例应用】【例1】计算：log 1627log 8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．2．换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b .1．计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)． [解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2·3lg 22lg 3＝54.【例2】已知log 189＝a,18b ＝36[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b ＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a .法二：∵18b ＝5， ∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b2－a. 法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用.2．(1)已知log 142＝a ，试用a 表示log27.(2)若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245. [解] (1)法一：因为log 142＝a ，所以log 214＝1a . 所以1＋log 27＝1a . 所以log 27＝1a －1. 由对数换底公式，得log 27＝log27log 22＝log 272.所以log27＝2log 27＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＝2(1－a )a . 法二：由对数换底公式，得log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a .所以2＝a (log 27＋2)，即log27＝2(1－a )a .(2)因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b . 【等级过关练】 1．思考辨析(1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( ) (2)log 52＝log (－3)2log (－3)5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b a B ．ab C ．a b D ．b a B [log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .]3．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118 C.83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.]4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a b C ．abD ．a ＋bB [因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝ab .]5.log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32D ．92B [log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.]6．log 332·log 227＝________.15 [log 332·log 227＝lg 32lg 3·lg 27lg 2＝5lg 2lg 3·3lg 3lg 2＝15.] 7．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝________.1 [因为2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1.]8．若log 32＝a ，则log 123可以用a 表示为________． 12a ＋1 [log 123＝log 33log 312＝12log 32＋1＝12a ＋1] 9．已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________. 9 [因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9. 所以m ＝9.]10．求下列各式的值：(1)log 427·log 258·log 95； (2)log 225·log 3116·log 519. [解] (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9 ＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2 ＝2lg 5lg 2·(－4)lg 2lg 3·(－2)lg 3lg 5＝16.。

对数的运算及练习(带解析)

4.3.2 对数的运算1．对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 2．换底公式若a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1，则有log a b ＝log c blog c a．1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6D ．1D 解析：log 84＋log 82＝log 88＝1. 2．计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．2 C 解析：log 510－log 52＝log 55＝1. 3．计算2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 C 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 4．计算log 23·log 32＝________． 1 解析：log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1. 5．计算log 225·log 322·log 59＝________． 6 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.【例1】(1)若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 45lg 12＝( ) A.a ＋2b 2a ＋b B.1－a ＋2b 2a ＋bC.1－b ＋2a 2a ＋bD.1－a ＋2b a ＋2b(2)计算：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．(1)B (2)－1 解析：(1)lg 45lg 12＝lg 5＋lg 9lg 3＋lg 4＝1－lg 2＋2lg 3lg 3＋2lg 2＝1－a ＋2b2a ＋b .(2)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.【例2】计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；(3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(4)log 29·log 38.解：(1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213) ＝13log 22＝13. (3)原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg⎝⎛⎭⎫3×41032lg 1210＝32lg1210lg 1210＝32.(4)log 29·log 38＝log 232·log 323 ＝2log 23·3log 32＝6log 23·1log 23＝6.利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理；②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．提醒：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.解：(1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12（lg 2＋lg 9－lg 10）lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.【例3】已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645. 解：因为18b ＝5，所以log 185＝b . (方法一)log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.(方法二)因为lg 9lg 18＝log 189＝a ，所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．1．已知2x ＝3y ＝a ，且1x ＋1y ＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6D 解析：因为2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±6.又a ＞0，所以a ＝ 6. 2．求值：(1)log 23·log 35·log 516； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.探究题1 若log 23＝a ，log 25＝b ，则用a ，b 表示log 415＝________． a ＋b 2 解析：log 415＝log 215log 24＝log 23＋log 252＝a ＋b2.探究题2 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．解：∵3a ＝5b ＝c ， ∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5， ∴1a ＋1b ＝logc 3＋log c 5＝log c 15＝2. 得c 2＝15，即c ＝15.解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有： (1)将真数化为“底数”；(2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝12y.解析：设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y .对数的运算练习(30分钟60分)1.(5分)计算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1 D．2B解析：原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.2．(5分)设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．ab D．a＋bB解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a＋ba.3．(5分)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．logab•logcb＝logcaB．logab•logca＝logcbC．loga(bc)＝logab•logacD．loga(b＋c)＝logab＋logacB解析：由logab•logcb＝lg blg a•lg blg c≠logca，故A错；由logab•logca＝lg blg a•lg alg c ＝lg blg c＝logcb；loga(bc)＝logab＋logac，故C，D错．故选B.4．(5分)如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么()A．x＝ab3c5 B．x＝3ab5cC．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3A解析：lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgab3c5，由lg x＝lgab3c5，可得x＝ab3c5. 5．(5分)log2 4等于()A.12B.14C．2 D．4D解析：log2 4＝log2 (2)4＝4.6．(5分)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为()A．b－a＋1B．b(a－1)C．b－a－1D．b(1－a)A解析：lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg 102＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.7.(5分)方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________．2解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，∴x>0，x＋3>0，x2＋3x－10＝0，解得x＝2.8.(5分)若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝________．1解析：3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.9.(5分)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________(用a，b表示)．3＋ab1＋ab解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，则log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab. 10.(15分)计算．(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－23＝－32.。

对数换底公式例题

对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。

它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。

在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。

例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。

解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。

换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。

根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。

通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。

例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。

解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。

换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。

通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。

换底公式练习题

换底公式练习题一、选择题1. 已知$ \log_{2}8 = 3 $，求$ \log_{4}8 $的值。

A. 1.5B. 2C. 3D. 42. 如果$ \log_{10}100 = 2 $，那么$ \log_{100}1000 $的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 103. 根据换底公式，$ \log_{a}b $可以转换为：A. $ \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} $B. $ \frac{\log_{b}a}{\log_{a}b} $C. $ \frac{\log_{b}c}{\log_{a}c} $D. $ \frac{\log_{a}b}{\log_{b}a} $二、填空题1. 将$ \log_{3}9 $转换为以10为底的对数，应使用换底公式，结果为______。

2. 已知$ \log_{5}25 = 2 $，求$ \log_{25}125 $的值，使用换底公式后，结果为______。

3. 如果$ \log_{2}32 $等于5，那么$ \log_{32}2 $的值是______。

三、计算题1. 计算$ \log_{8}32 $的值。

2. 已知$ \log_{3}27 = 3 $，求$ \log_{9}81 $的值。

3. 利用换底公式，将$ \log_{7}49 $转换为以2为底的对数。

四、解答题1. 证明换底公式：$ \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a} $。

2. 已知$ \log_{2}16 = 4 $，求$ \log_{16}2 $的值，并解释其结果的含义。

3. 讨论在对数运算中，当底数a小于1时，换底公式是否仍然适用，并给出证明或反例。

五、应用题1. 某公司在进行市场分析时发现，销售额与广告投入的对数成正比。

如果$ \log_{10}销售额 = 2 $，广告投入为10000元，求$ \log_{10}广告投入 $的值。

033对数的换底公式(17)

高一数学序号033 高一年级 17 班教师方雄飞学生课题 2.2.1对数的换底公式学习目标：进一步熟悉对数的运算性质、掌握对数的换底公式学习重点：对数的运算性质学习难点：对数运算性质的熟练应用复习引入：计算下列各式（1）3log 6log 22-= （2）2lg 5lg + =（3）31log 3log 55+= （3）3ln e =导入新课探究1：观察b a log 与abc c log log （1,0,,0,≠>>c a c a b 且）的特点，猜想并判断它们的关系？探究2：计算b a a log =？结论：（对数的换底公式）扩展结论：（1）a b b a log log ⋅= （2）na b m log = （3）na ab b n log log =例1、利用对数的换底公式计算下列各式（1）a c c a log log ∙ （2）9log 6log 63∙（3）9log 3log 39+ (4)7log 44练习1：计算下列各式（1）2log 5log 4log 3log 5432∙∙∙ （2）27log 93（3）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++ （4）32log 9log 278∙（5）4log 1log 101022log 53log 10++⋅-ππ（6）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++ （7）[18log 2log )3log 1(6626⋅+-]6log 4⋅归纳小结（1）学习归纳本节（2）你认为学习对数换底有什么意义？课后作业1、下列等式成立的是（）A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=- 2、若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）. A ．y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．4y x =3、25()a -（a ≠0）化简得结果是（）. A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a4、若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（）. A. 3B.C.D. 5、设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.6、已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、lg12、.7、计算：（1）27log 3log 99+ （2）2log 21log 212+（3）35lg 2153lg + （4）2lg 2lg2lg5lg5+⋅+（4）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5 （5）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；8、若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求xy的值．9、若14log 3=x ，求x x -+44的值。

对数函数·换底公式·例题

指数函数和对数函数·换底公式·例题例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ]解 B 由已知有A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

基本初等函数之对数与对数函数,附练习题

对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<；x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3<B ．0.20.3log 0.4log 0.4<C ．67log 7log 6>D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。

换底公式解方程练习题

换底公式解方程练习题在学习代数方程解法时，我们经常会遇到涉及对数函数的方程。

对数函数的换底公式是解决这类方程的重要工具之一。

本文将通过一些列练习题来帮助读者掌握换底公式在解方程中的应用。

练习题1:解方程log2x + log2(x-1) = 2的解。

解答：根据换底公式，我们可以将对数函数转换为以任意底为底的对数。

公式如下：logab = logcb / logca将方程log2x + log2(x-1) = 2转换为：log2x + log2(x-1) = log22利用对数的性质，我们可以将加法转换为乘法：log2(x(x-1)) = log22化简得：x(x-1) = 2展开方程，得到二次方程：x^2 - x - 2 = 0将方程进行因式分解，得到：(x-2)(x+1) = 0解得x的两个解为x = 2和x = -1。

但要注意，对数函数的定义域要求x > 0，所以舍去x = -1。

因此，方程log2x + log2(x-1) = 2的解为x = 2。

练习题2:解方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。

解答：同样地，根据换底公式和对数性质，我们可以将方程转换为以相同底的对数方程。

公式如下：logab - logac = loga(b/c)将方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1转换为：ln(x+2) - ln2(x-1) = ln(e)利用对数性质，我们可以将减法转换为除法：ln((x+2)/(2(x-1))) = ln(e)因为ln(e) = 1，所以简化为：(x+2)/(2(x-1)) = e分子分母同时乘以2(x-1)，得到：x+2 = 2e(x-1)展开方程，得到：x + 2 = 2ex - 2e移项，整理得到：2 - 2e = (2e - 1)x将方程进行化简，得到：x = (2 - 2e) / (2e - 1)这样，我们得到了方程ln(x+2) - ln2(x-1) = 1的解。

2025版新教材高中数学同步练习33对数换底公式新人教A版必修第一册

同步练习33 对数换底公式必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．[2024·江苏南通高一期中]lg 2·log 810＝( ) A ．3 B ．log 310 C ．13D ．lg 3 2．[2024·安徽怀宁新安中学高一期中]设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 1210＝( )A ．12a ＋bB ．1a ＋2bC ．2a ＋bD ．2b ＋a3．[2024·山东聊城高一期末]若x log 32＝1，则4x＝( ) A ．9 B ．3C ．2log 32D ．2log 234．设log 23log 36log 6m ＝log 416，则m ＝( ) A ．2 B ．4C ．8D ．－2或45．[2024·河南信阳高一期末]若4m＝3，则log 312＝( ) A ．m ＋1mB ．2m ＋1mC ．m ＋2mD ．2m ＋12m6．[2024·浙江温州高一期末]已知a log 34＝1，2b＝6，则( ) A ．a ＝1＋b B ．b ＝1＋a C ．a ＝1＋2b D ．b ＝1＋2a7．已知2a ＝3b＝m (m >0)，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A ． 6B ．8C ．6D ．138．(多选)已知a ，b 均为不等于1的正数，则下列选项中与log a b 相等的有( )A ．1log b aB ．lg a lg bC ．aD ．b n 9．(多选)实数a ，b 满意2a ＝5b＝10，则下列关系式不正确的有( ) A ．1a ＋1b ＝1 B ．2a ＋1b＝2C ．1a ＋2b ＝2D ．1a ＋2b ＝12二、填空题(每小题5分，共15分) 10．log 23×log 34×log 48＝________．11．[2024·安徽师范高校附中高一期末]已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 1815＝____________．12．[2024·河南南阳高一期中]若5a＝2，25b＝8，则a b＝________．三、解答题(共20分)13．(10分)计算下列各式的值 (1)log 29×log 34＋2ln e ＋log 24；(2)(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92).14．(10分)若3x ＝4y ＝6z≠1，求证：1x ＋12y ＝1z.关键实力提升练15．(5分)[2024·山东临沂高一期末]某科研小组研发一种抗旱小麦品种，已知第1代有40粒种子，若之后各代每粒种子可收获下一代15粒种子，则所得种子重量首次超过1吨(约2 400万粒)的是(lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)( )A ．第6代种子B ．第7代种子C ．第8代种子D ．第9代种子23n ＋1在区间(1，50)内全部“贺数”的和是________．17．(10分)已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，求lg (ab )·(log a b ＋log b a )的值．同步练习33 对数换底公式必备学问基础练1．答案：C解析：lg2·log 810＝lg2×lg10lg8＝lg2×1lg23＝lg2×13lg2＝13.故选C. 2．答案：A解析：log 1210＝1lg12＝1lg3＋2lg2＝12a ＋b .故选A.3．答案：A解析：因为x log 32＝1，则x ＝1log 32＝log 23，所以4x＝＝()2＝32＝9.故选A.4．答案：B解析：由log 23log 36log 6m ＝log 416，可得ln3ln2·ln6ln3·ln mln6＝2，即ln m ＝2ln2，∴m ＝4.故选B. 5．答案：A解析：由4m＝3得m ＝log 43，则log 312＝1＋log 34＝1＋1log 43＝1＋1m ＝m ＋1m .故选A.6．答案：D解析：由a log 34＝1可得，a ＝1log 34＝log 43＝12log 23，即2a ＝log 23，由2b＝6得，b ＝log 26，依据对数运算法则可知b ＝log 26＝log 2(2×3)＝log 22＋log 23＝1＋2a ，即b ＝1＋2a .故选D.7．答案：A解析：由2a ＝3b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 3m ，1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6＝2，m 2＝6，m＝6(负值舍去).故选A.8．答案：AD 解析：1log b a ＝log a b ，lg alg b＝log b a ，log ba ＝logb a ，log an b n ＝log a b .故选AD.9．答案：BCD解析：实数a ，b 满意2a ＝5b＝10，则a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg2，1b＝lg5.对于A 选项，1a ＋1b ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，A 选项正确；对于B 选项，2a ＋1b ＝2lg2＋lg5＝lg (4×5)＝lg20≠2，B 选项错误；对于C 选项，1a ＋2b＝lg2＋2lg5＝lg (2×25)＝lg50≠2，C 选项错误；对于D 选项，1a ＋2b ＝lg2＋2lg5＝lg (2×25)＝lg50≠12，D 选项错误．故选BCD.10．答案：3解析：原式＝log 23×log 24log 23×log 28log 24＝log 223＝3.11．答案：b －a ＋12b ＋a解析：log 1815＝lg15lg18＝lg3＋lg5lg2＋2lg3＝lg3＋1－lg2lg2＋2lg3＝b －a ＋12b ＋a .12．答案：23解析：由5a ＝2可得a ＝log 52，由25b＝8可得b ＝log 258＝3log 52log 525＝32log 52，故a b ＝23.13．解析：(1)log 29×log 34＋2lne ＋log 24 ＝2log 23×2log 32＋2＋2 ＝4(log 23×log 32)＋4 ＝4＋4＝8.(2)(2log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝(log 4123＋3)(log 32＋2)＝(log 23＋13log 23)(log 32＋12log 32)＝43log 23×32log 32＝2. 14．证明：设3x＝4y＝6z＝m ，则m ≠1且x ＝log 3m ，y ＝log 4m ，z ＝log 6m ， ∴1x ＝log m 3，1y ＝log m 4，1z＝log m 6，∴1x ＋12y ＝log m 3＋log m 2＝log m 6， ∴1x ＋12y ＝1z.关键实力提升练15．答案：A解析：设第x 代种子的数量为40×15x －1，由题意得40×15x －1≥2.4×107，得x ≥log 15(6×105)＋1.因为log 15(6×105)＋1＝lg 6＋lg 105lg 15＋1＝lg 6＋5lg 3＋lg 5＋1＝lg 2＋lg 3＋5lg 3＋1－lg 2＋1≈5.9，故种子数量首次超过1吨的是第6代种子．故选A. 16．答案：52解析：因为log 23×log 34×…×log n ＋1(n ＋2)＝lg3lg2×lg4lg3×…×lg （n ＋2）lg （n ＋1）＝lg （n ＋2）lg2＝log 2(n ＋2)，又log 24＝2，log 28＝3，log 216＝4，log 232＝5，log 264＝6，…，所以当n ＋2＝4，8，16，32，即n ＝2，6，14，30时，log 2(n ＋2)为整数，所以在区间(1，50)内全部“贺数”的和是2＋6＋14＋30＝52. 17．解析：由题设，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg (ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )·（lg a ）2＋（lg b ）2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg a ＋lg b ）2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12.。

对数换底公式的应用-练习题【基础】

换底公式的应用（一）1．（2014秋•雅安校级期末）已知2a=5b=M，且+=2，则M的值是（）A．20 B．2C．±2D．400【考点】换底公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2a=5b=M＞0，∴a=log2M=，．∵+=2，∴=，∴M2=20．∴=2．故选：B．【点评】本题考查了把指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．2．（2014秋•瑞安市校级期中）已知lg3=a，lg7=b，则lg的值为（）A．a﹣b2B．a﹣2b C．D．【考点】换底公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用对数的运算性质得答案．【解答】解：∵lg3=a，lg7=b，∴lg=lg3﹣lg49=lg3﹣2lg7=2﹣2b．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础的会考题型．3．（2012秋•香坊区校级期中）下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．【考点】换底公式的应用．【专题】证明题．【分析】利用对数和指数幂的运算性质即可判断出答案．【解答】解：A．取x=2，y=1，则左边==，右边==+1，∴左边≠右边，故不成立；B．log89×log2732===．故正确；C．∵有意义，∴﹣a≥0，∴a≤0．∴====≠（a≠0），故C不正确；D.=log a|x|≠log a x．（x≠1）【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．4．已知lg2=m，lg3=n，则log83用m，n来表示的式子是（）A．B．C．D．【考点】换底公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用换底公式化简求解即可．【解答】解：lg2=m，lg3=n，则log83==．故选：B．【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查．5．（2014•苏州校级学业考试）化简可得（）A．log34 B．C．3 D．4【考点】换底公式的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用换底公式化简求解即可．【解答】解：=log28=log223=3．故选：C．【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查．6．（2012秋•浏阳市校级期中）若lg5=a，lg7=b，则log57=（）A．a+b B．b﹣a C．D．【考点】换底公式的应用．【分析】利用对数的换底公式即可求得答案．【解答】解：∵lg5=a，lg7=b，∴log57==．故选D．【点评】本题考查对数的换底公式，属于基础题．。

对数及对数运算基础训练题(有详解)

对数及对数运算基础训练题（有详解) 一、单选题 1．设()()ln 21x g x +＝，则(4)(3)(3)(4)g g g g -+---= A ．-1 B ．1 C ．l n2 D ．-ln2 2．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1- B ．12- C ．12 D 3．已知，则的值是（） A ．1B ．3C ．D ． 4．设227a =，则3log 2等于( ) A ．3a B ．3a C ．13a D ．3a 5．若()[)[]3,1,01,0,13x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()3log 2f 的值为 ( ) A ．2 B ．12 C D ．3 6．61log 12log 2-( ) A ．B ．C ．12 D ．3 7．若77log 2,log 3,a b == 则 7log 12= ( ) A ．2+a b B ．2ab C ．2a b D ．+2a b8．下列等式一定正确的是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题 9．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，6()log f x x =，则(4)(9)f f -+=__________．10．求值：7log 23log lg25lg473+++=_________________． 11．已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2=ff __________． 12．21444log 3[(5)]-⋅--=______． 13．()21log 5223(lg5)lg2lg5lg20log 3log 82++⋅+-⋅+=______．14．______．15．21326684log 12log 2⨯+-=__________． 16．已知3log 2m =，则32log 18=____________（用m 表示）17．12100=______．18．若3log 21x =，则42x x --=___．19．计算2ln33(0.125)e -++的结果为______.20．lg4+2lg5=______；若log a 2=m ，log a 3=n ，则1m n 2a +=______．21．_________.三、解答题22．计算下列各式的值：（1）13(0.027)--（-13）-2+65；（2）l og 43×log 92+2log 32-log ．23．求值：(1)()122230133220083482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)()2lg5lg 2lg50+⨯.24．计算：(1)102239(22(54-++(2)1lg100lg 4lg 25lg 10+++ 25．解答题求下列各式的值: （1）5lg12.5lg lg 0.58-+ ；（2）lg20+log 10025. 26．计算下列各式：（1）112032170.027()(2)1)79---+-；（2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 27．计算（1）（2）（3） 28．求值：（1）； (2) . 29．计算下列各式的值：；． 30．计算：（1）（2）参考答案1．C【解析】【分析】先把(4)(3)(3)(4)g g g g -+---化为[][](4)(4)(3)(3)g g g g --+--，再根据公式log log log a a aM M N N-=和log +log log ()a a a M N MN =求解. 【详解】 (4)(3)(3)(4)g g g g -+---[][](4)(4)(3)(3)g g g g =--+--4433ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)--⎡⎤⎡⎤=+-+++-+⎣⎦⎣⎦43432121ln ln 2121--++=+++ 43ln 2ln 2-=+()43ln 22ln 2-=⋅=故选C.【点睛】本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.2．C【解析】【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案。

对数换底公式经典例题

高中数学数学练习题对数换底公式推导是高中数学必修一的知识点对数换底公式是一些填空题和解Байду номын сангаас题常常考到的
对数换底公式经典例题
2013-07-29 18:52来源：巨人高考网整理
[
标签：
高中数学
数学练习题
]
对数换底公式推导是高中数学必修一的知识点，对数换底公式是一些填空题和解答题常常考到的。今天巨人高考网就对数换底公式这个数学知识点进行讲解，让众多考生不再为这个数学问题而烦恼。下面是一道对数换底公式经典例题，供考生参考。

高考数学基础知识专题提升训练50---换底公式

高考数学基础知识专题提升训练换底公式1.下列等式错误的是() A.log a b ·log b a=1B.log c d=1log dcC.log c d ·log d f=log c fD.log a b=log b clog ac2.设log 34·log 48·log 8m=log 416,则m 的值为() A.12B.9C.18D.2734·log 48·log 8m=lg4lg3·lg8lg4·lgm lg8=lgm lg3=log 3m.又log 416=2,所以log 3m=2,所以m=32=9.3.1log 1419+1log 1513等于()A.lg 3B.-lg 3C.1lg3 D.-1lg3=lo g 1914+lo g 1315=log 94+log 35=log 32+log 35=log 310=1lg3.4.已知方程x 2+x log 26+log 23=0的两根分别为α,β,则(14)α·(14)β=()A.136B.36C.-6D.6,知α+β=-log 26,(14)α·(14)β=(14)α+β=(14)-log 26=4log 26=22log 26=36.5.已知log 83=p ,log 35=q ,则lg 2=() A.p 2+q 2 B.15(3p+2q ) C.13pq+1D.pqp=log 83=lg3lg8,q=log 35=lg5lg3,所以pq=lg3lg8·lg5lg3=lg5lg23=1-lg23lg2,则lg2=13pq+1.6.已知log 62=p ,log 65=q ,则lg 5=.(用p ,q 表示)=log 65log 610=qlog62+log 65=qp+q .7.若log 23·log 36m ·log 96=12,则实数m 的值为.log 23·log 36m ·log 96=lg3lg2·lgmlg36·lg6lg9=lgm4lg2=14log 2m=12,∴log 2m=2,∴m=4.8.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ=μ0e -λt ,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为.(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)0.90μ0=μ0(e -λ)2,得e -λ=√0.90. 又0.50μ0=μ0(e -λ)t ,即12=(√0.90)t ,两边取常用对数,得lg 12=t2lg0.90,故t=2lg21-2lg3=2×0.30101-2×0.4771≈13.9.已知2x=3y=6z≠1,求证:1x +1y=1z.2x=3y=6z=k(k>0),∴x=log2k,y=log3k,z=log6k,又由题知,k≠1,∴1x =logk2,1y=logk3,1z=logk6=log k2+log k3,∴1z =1x+1y.10.已知a>0,x>0,y>0,且a≠1,x≠1,log a x+3log x a-log x y=3(a>1).(1)若设x=a t,试用a,t表示y;(2)若当0<t≤2时,y有最小值8,求a和x的值.由换底公式,得log a x+3log a x −log a ylog a x=3(a>1),所以log a y=(log a x)2-3log a x+3.当x=a t时,log a x=log a a t=t,所以log a y=t2-3t+3.所以y=a t2-3t+3(t≠0).(2)y=a(t-32)2+34,因为0<t≤2,a>1,所以当t=32时,y min=a34=8.所以a=16,此时x=a 32=1632=64.。

高中数学同步练习换底公式

第三章 3.4.2A 级基础巩固1．log 52·log 425等于( C ) A ．－1 B ．12 C ．1D ．2[解析] log 52·log 425＝lg2lg5·lg52lg22＝lg2lg5·2lg52lg2＝1.2．化简log 1a b －log a 1b 的值为( A )A ．0B ．1C ．2log a bD ．－2log a b[解析] log 1a b －log a 1b ＝lgb lg 1a －lg 1b lga ＝－lgb lga ＋lgblga＝0.3．若xlog 34＝1,则4x＋4－x的值为( B ) A ．83 B ．103C ．2D ．1[解析] ∵xlog 34＝1,∴x ＝1log 34＝log 43, ∴4x＝4log43＝3,4－x＝14x ＝13,∴4x ＋4－x＝3＋13＝103.4．在 (a,b 均为不等于1的正数,且ab≠1)其中与log a b 相等的有( C )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[解析]5．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 312＝( A ) A ．2a ＋b bB ．2a ＋b aC ．a 2a ＋bD ．b 2a ＋b[解析] log 312＝lg12lg3＝2lg2＋lg3lg3＝2a ＋bb .6．若log 513·log 36·log 6x ＝2,则x 等于( D )A ．9B ．19C ．25D ．125[解析] 由换底公式,得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2,lgx ＝－2lg5,x ＝5－2＝125.7．设2a ＝5b＝m,且1a ＋1b ＝2,则m ＝10.[解析] ∵a ＝log 2m,b ＝log 5m, ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2, ∴m 2＝10.又∵m>0,∴m ＝10.8．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝65－3.[解析]9．计算：(1)lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34；(2)(log 25＋log 40.2)(log 52＋log 250.5)．[解析] (1)解法1：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg33lg2·2lg2lg3＝1－43＝－13.解法2：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg4lg3＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－2lg33lg2·2lg2lg3＝(lg2＋lg5)－43＝1－43＝－13.(2)原式＝(log 25＋12log 215)(log 52＋12log 512)＝(log 25＋12log 25－1)(log 52＋12log 52－1)＝(log 25－12log 25)(log 52－12log 52)＝14·log 25·log 52＝14. 10．已知log 142＝a,用a 表示log 27. [解析] 解法1：log 142＝a,∴log 214＝1a .∴1＋log 27＝1a .∴log 27＝1a－1.∵由对数换底公式,得log 27＝∴7＝2log 27＝2(1a－1)＝21－aa. 解法2：∵由对数换底公式,得解法3：由对数换底公式,得B 级素养提升1. 等于( C )A ．lg3B ．－lg3C ．1lg3D ．－1lg3[解析] 1log 1419＋1log 1513＝lg 14lg 19＋lg 15lg 13＝－2lg2－2lg3＋－lg5－lg3＝lg2lg3＋lg5lg3＝lg10lg3＝1lg3. 2．若lga,lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根,则(lg a b )2的值等于( A )A ．2B ．12C ．4D ．14[解析] 由根与系数的关系可知lga ＋lgb ＝2,lgalgb ＝12.于是(lg a b)2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lgalgb ＝22－4×12＝2.3．已知lg2＝a,lg3＝b,则log 1245＝1－a ＋2b2a ＋b .[解析] log 1245＝lg45lg12＝lg 5×9lg 3×4＝lg5＋lg9lg3＋lg4＝lg10－lg2＋2lg3lg3＋2lg2＝1－a ＋2b2a ＋b4．2008年5月12日,四川汶川发生里氏8.0级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2,其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于1_000颗广岛原子弹．[解析] 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1,则8－6＝23(lgE 2－lgE 1),即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000,即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹． 5．化简下列各式[解析]6．若a 、b 是方程2lg 2x －lgx 4＋1＝0的两个实数根,求 lg(ab)(log a b ＋log b a)的值．[解析] 原方程可化为2lg 2x －4lgx ＋1＝0.依题意知,lga ＋lgb ＝2,lga·lgb＝12,∴lg(ab)(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)⎝⎛⎭⎪⎫lgb lga ＋lga lgb＝2×lga ＋lgb 2－2lgalgb lgalgb ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2×1212＝12.C 级能力拔高甲、乙两人解关于x 的方程：(log 2x)2＋blog 2x ＋c ＝0.甲写错了系数b,得到根为14,18,乙写错了常数c,得到根为12,64.求方程的真正根．[解析] 原方程为(log 2x)2＋blog 2x ＋c ＝0, ∵甲写错了b,得到根为14,18,∴c ＝log 214×log 218＝－2×(－3)＝6.又∵乙写错了c,得到根为12,64,∴b ＝－(log 212＋log 264)＝－5,∴原方程为(log 2x)2－5log 2x ＋6＝0, 即(log 2x －2)(log 2x －3)＝0,∴log 2x ＝2或log 2x ＝3,∴x ＝4或x ＝8.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

换底公式的应用（一）
1．（2014秋?雅安校级期末）已知2a=5b=M，且+=2，则M的值是（）A．20 B．2 C．±2D．400
【考点】换底公式的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵2a=5b=M＞0，
∴a=log2M=，．
∵+=2，
∴=，
∴M2=20．
∴=2．
故选：B．
【点评】本题考查了把指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．2．（2014秋?瑞安市校级期中）已知lg3=a，lg7=b，则lg的值为（）A．a﹣b2B．a﹣2b C．D．
【考点】换底公式的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数的运算性质得答案．
【解答】解：∵lg3=a，lg7=b，
∴lg=lg3﹣lg49=lg3﹣2lg7=2﹣2b．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础的会考题型．
3．（2012秋?香坊区校级期中）下列等式中一定正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】换底公式的应用．
【专题】证明题．
【分析】利用对数和指数幂的运算性质即可判断出答案．
【解答】解：A．取x=2，y=1，则左边==，右边==+1，∴左边≠右边，故不成立；
B．log89×log2732===．故正确；
C．∵有意义，∴﹣a≥0，∴a≤0．
∴====≠
（a≠0），故C不正确；
D.=log a|x|≠log a x．（x≠1）
【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．
4．已知lg2=m，lg3=n，则log83用m，n来表示的式子是（）A．B．C．D．
【考点】换底公式的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用换底公式化简求解即可．
【解答】解：lg2=m，lg3=n，
则log83==．
故选：B．
【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查．
5．（2014?苏州校级学业考试）化简可得（）
A．log34 B．C．3 D．4
【考点】换底公式的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用换底公式化简求解即可．
【解答】解：=log28=log223=3．
故选：C．
【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查．
6．（2012秋?浏阳市校级期中）若lg5=a，lg7=b，则log57=（）
A．a+b B．b﹣a C．D．
【考点】换底公式的应用．
【分析】利用对数的换底公式即可求得答案．
【解答】解：∵lg5=a，lg7=b，
∴log57==．
故选D．
【点评】本题考查对数的换底公式，属于基础题．。