变化率问题(公开课)
5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
《变化率问题》课件
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
基于以上课程标准，本节课的教学目标设计如下：1、理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义，并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。
4、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
四、教学过程设计1、导入环节通过“气球膨胀率”、“高台跳水”等生活实例，引导学生思考变化率的概念，并通过图像、表格等方式，让学生感受变化率的变化趋势。
2、知识讲解1）平均变化率的概念和计算方法，以及平均变化率的几何意义。
2）瞬时变化率的概念和计算方法，以及导数的定义和几何意义。
3）导数的求解方法和应用。
3、案例分析通过一些典型例题，让学生掌握导数的计算方法和应用，培养学生的解决实际问题的能力。
4、练与巩固通过一些练题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5、拓展与应用通过一些拓展性的问题，让学生进一步理解导数的概念和应用，培养学生的创新思维能力。
6、总结与评价对本节课所学知识进行总结，并对学生的表现进行评价和反馈。
五、教学方法通过引导学生思考、案例分析、练巩固、拓展应用等多种教学方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。
六、教学手段通过黑板、投影仪、实物模型等多种教学手段，让学生更加直观地理解所学知识。
本节课的教学目标需要更具体、可操作和可检测性。
通过解读《课程标准》，我们将课堂教学目标确定为：1.理解平均变化率的概念，了解其几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法。
为了有效地突破教学难点，我们将引用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题，通过数学角度解释生活中的变化快慢现象，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
《变化率问题》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。
5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】
解：∵在 t＝2 s 时，瞬时速度为
v＝ lim
Δt→0
s2＋Δt－s2 Δt
＝ lim
Δt→0
a2＋Δt2－3－a×22－3 Δt
＝ lim
Δt→0
4aΔt＋ΔtaΔt2＝Δlit→m0
(4a＋aΔt)＝4a(m/s)
，
∴4a＝16，解得 a＝4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)＝x2＋3x＋1 在点 P(1，f(1))处的切线的斜率，以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率，然后根据点斜式列方程，代入运算即可．
Δt→0
st＋Δt－st Δt
＝ lim
Δt→0
2＋34＋Δt－32－2－34－32 Δt
＝ lim
Δt→0
3ΔtΔ2＋t 6Δt＝Δlit→m0
(3Δt＋6)＝6.
∴物体在 t＝2 和 t＝4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)＝12＋3×1＋1＝5，所以点 P 的坐标为(1,5)．
因为点 P(1,5)在曲线上，所以切线的斜率为
k＝ lim
Δx→0
f1＋Δt－f1 Δt
＝ lim
Δx→0
1＋Δt2＋31＋Δt＋1－12＋3×1＋1 Δt
＝ lim
Δx→0
Δt2＋Δt5Δt＝Δlxi→ m0
(Δt＋5)＝5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)＝x2－2x＋1 在 x＝4 处切线的斜率．
解：因为 f(x)＝x2－2x＋1，
故曲线在 x＝4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4＋Δx－f4 Δx
＝ lim
Δx→0
4＋Δx2－24＋Δx＋1－42－2×4＋1 Δx
5.1.1 变化率问题优秀获奖公开课 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)
Δ在1之前.当Δ > 0时，把运动员在时间段［1，1 + Δ］内近似看成做匀速直线运动，计算时间
段［1，1 + Δ］内的平均速度 ，用平均速度
ҧ
近似表示运动员在＝1时的瞬时速度.当Δ
−4.999 951
0.000 01
−5.000 049
−0.000 001
−4.999 995 1
0.000 001
−5.000 004 9
……
……
给出Δ更多的值，我们可以利用计算工具计算对应的平均速度 的值，可以发现当Δ无限趋近
ҧ
于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于−5.
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动
得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似
ҧ
地描述他的运动状态.
ℎ 0.5 −ℎ(0)
＝2.35（m/s）；
0.5−0
例如，在0 ≤ ≤ 0.5这段时间里，＝
v
h(1 t ) h(1)
(1 t ) 1
Δ
4.9(t ) 2 5t
t
4.9t 5
−0.01
−4.951
0.01
−5.049
−0.001
−4.995 1
0.001
−5.004 9
−0.000 1
−4.999 51
最新新人教A版选修1-1高中数学 3.1.1 变化率问题公开课教学设计
3.1.1 变化率问题教案新人教A版选修1-1一.设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．二.教学目标1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
三.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；四.教学难点：平均变化率的概念．五.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．六.教学过程一．创设情景（1）让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2）学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
5.1.1变化率问题及其几何意义公开课
解: 设抛物线f (x) x2 1在点(0,1)处的切线的斜率为k0
则，k0
lim
x0
f
(0 x) f (0) (0 x) 0
lim (x)2 11
x0
x
lim x 0 x0
抛物线f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程为
y 1 0
课堂小结
1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
函 数 变 化 的 快 与
慢
1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发 展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟 大创造，被誉为数学史上的里程碑.
2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都是著名 的科学家.
牛顿（1642 - 1727)是英国 数学家、天文学家和物理学家, 是世界上出类拔萃的科学家。
9.8t0
4.8
运动员在某一时刻t0时的瞬时速度为(9.8t0 4.8)m / s.
平均速度及瞬时速度
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
v(t0
)
lim
t 0
h(t0 t) h(t0 (t0 t) t0
)
思考：你觉得平均速度及瞬时速度的几何意 义是什么呢？
思考1: 观察函数h(t) 4.9t2 4.8t 11的图象,平均速度
情境1：
容易看出点B,C之间的曲线较
点A,B之间的曲线更加“陡 峭”如. 何量化陡峭程度呢？ ●C
k yC yB xC xB
y
该比值近似量化B,C之 间这一段曲线的陡峭程
度.
●B
●A
o
x
情境2： S(t2) 路程随 时间变 S(t1) 化曲线：
B（24,100） A（21,70）
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x2 x1
自变量的变化量
平均变化率概念
我们把式子：f (x2) f (x1) x 2 x1
从 x1 到 x2的平均变化率.
令 x x2 x1
y f (x2 ) f (x1)
平均变化率表示为：
称为函数 y f (x)
y x
f (x2) f (x1) x2 x1
f (x1 x) x
f (x1)
2.求平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量Δx=x2-x1
（2）求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1)
（3）计算平均变化率
y
3.平均变化率的意义:
x
表示变量的变化快慢，刻画曲线的陡峭程度
祝高二（6）班同学们学有所成！
探究
观察函数 y f (x) 的图象，讨论：
当 x1 逼近于 x2 ，即
温差 =33.4 18.6= 14.8 时间差 = 34 32 = 2
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C )
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
问题2 已知函数f(x)=3x+1,g(x)= -2x,分别求f(x)及g(x)
从 -3到2的平均变化率.
探究 函数y=kx+b从m到n(m<n)的平均变化率等于多少？
思考 平均变化率：y f (x2 ) f (x1) 表示什么几何意义？
x
x2 x1
y
f (x2)
A
f ( x1 )
B
x2 x1
5 天数
记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% ……
1.已知函数f ( x) x2 x的图像上的一点A(1， 2)
及附近一点B(1
x，
2
y)，则
y x
3 x
.
y x
郫 县 四 中 G2.6
PIXIAN NO.4 MIDDLE SCHOOL G2.6
3.1.1变化率问题
微积分创立者
Newton
Leibniz
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关： （1）瞬时变化率 （2）切线问题 （3）函数最值 （4）几何求积
微积分的创立是人类精神文明的最高胜利—恩格斯
x逼近于 0 时，其
割线AB的斜率有什么 样的变化趋势？
y
fx2 f x 1
y fx
B
A x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
德国著名心理学家 艾宾浩斯的遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
100
80
60
40
艾宾浩斯遗忘曲线
20
0
1
2
3
4
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 ……
AB段温： 差 15.1
时间差 31
温差 时间差
15.1 31
0.49(C / d)
BC段：温 差 14.8
时间差 2
温差 时间差
14.8 2
7.4(C
/
d
)
T(℃)
C f (t)
30
f (t2 )
f (t1)
2
02
f (t2 ) f (t1)
10
t t 20
1 t2 t1
34 t(d) 2
问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即C=f(t),则t1至t2这段时间内气温的平 均变化率如何表示？
f (t2 ) f (t1) t2 t1
对应函数值的变化量 自变量的变化量
思考讨论
若函数关系为 y, 当f (x从) 增加x到 x时1 ，
则它的平x2均变化率如何表示？
f (x2 ) f (x1) 函数值的变化量
f (x1)
问题1
在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单 位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关
系：
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求该运动员在以下时间段内的平均速度：
(1) 0 t 0.5 (2) 1 t 2
解 (：1)v h h(0.5) h(0) 4.05(m / s) t 0.5 0
(2)v h h(2) h(1) 8.2(m / s) t 2 1
问题1
在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单 位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关
系：
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
探究 计算运动员在 0 t 这65段时间里的平
均速度，并思考：
49
(1)运动员在这段时间内是静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
20
10 A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
2
02
10
20
30 34 t(d)
问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？
问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
（4）[1，1.001]. 2.001
变（5）[0.9，1]； 1.9
式（ （67））[[00..9999，9，1]1；]. 11..99999
P
1
3
x
思考:为什么趋近于2呢？ 2的几何意义是什么？
这节课我收获了什么？
1.平均变化率的定义：y x
f (x2) f (x1) x2 x1
f (x1 x) x
y f (x) f ( x2 ) f ( x1)
O
x1
x2
x
AB斜率 k y2 y1 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
x2 x1
问题3 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间
上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
（3）[1，1.1]； 2.1
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C )
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问问题题21：：能A到不B能和说B“到温C度这差两越段大时，间气哪温一变段化的越温快度？差”较大？
AB段：15.1
时间差 = 32 1 = 31
问题情境
现有武汉今年3月和4月中三天日最高气温记载表.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
2
02
10
20
30 34 t(d)
T(℃) 30
C (34, 33.4)