几类数列典型例题分析2013.10

几类数列典型例题分析

高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．

典型题选讲：例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n

n a a a a a +⎧

≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩

若167a =，

则20a 的值（ ） A ．67 B ．57 C ．37 D ．17

讲解 逐步计算，可得167a =, 231251,771031,77a a =-==-= 456,

7

125

1,...

77

a a ==-=

这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以207

5

a =．应选B ． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．

例2 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且

（1）求证：{a n }是等比数列； （2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且

1113

1,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==

∈≥⎨⎬⎩⎭

求证，为等差数列，并求n b ． 讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+

两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3

n n a m

a m +∴=

+{}n a ∴是等比数列． 112(2)1,(),2,3

m

b a q f m n N n m ====∈≥+由且时

111111233111

()33.2233

111123{}11,.3332

n n n n n n n n n n n n n b b f b b b b b b b b n n b b b n ------=

=⋅+=⇒-=+-+∴∴=+==+，得是为首项为公差的等差数列,故有

点评 为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭的递推公

式，从而将其转化为等差数列的问题．

例3 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ， 当粒子从原点到达n A 时，有

13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯

431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+

… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=+++

+-＝2

41n -,

222114n n a a n -=+=.2

21212(21)441

n n b a n n n --=--=-+,2

222244n n b a n n n =+⨯=+．

222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,

2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.

（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．

（3）由2n c n n =+≤2004

，解得112

n -+≤≤

，取最大得n=44, 经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点

44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．

点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．

例4 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有

8

7

11154<+++m a a a . 讲解 （１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得 由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得

（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯- …… .2212-=a a

接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a

11211

21

2(1)[(2)(2)(2)]

2[1(2)]22

(1)[2(1)].

33

n n n n n n n

n n -------=+--+-+

+---=--=+- 经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3

2

12≥-+=--n a n n n

其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得

1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)n n n

a b =-就有122n n b b -=--，于是 122

2()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧

⎫+⎨⎬⎩

⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得

111221

()(2)()(2)333

n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即 121()(2)(1)33n n n

a -+=-⋅--，

故有.1],)1(2[3

2

12≥-+=--n a n n n

（３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，

]1

21121[2311121-++=+--+n n n n a a 121223122321322322311().2222122222

n n n n n n n n n n ----------++=⨯<⨯=++-- 当m m 且4>为偶数时，

m

a a a 1

1154+++ )2

1

2121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=

m m m a a a a a .87

8321)2

11(4123214=+<-⨯⨯+=

-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景

.8

7

111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 故任意整数m>4，有

.8

7

11154<+++m a a a 点评 主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．