几类数列典型例题分析2013.10
数列问题常见题型剖析
数列问题常见题型剖析（甘肃省岷县岷州中学 常全全）数列是高中数学的重要组成部分之一，涉及的知识面较广，包含着一些重要的数学思想方法，，在现实生活中也有广泛的应用。
可以和函数，不等式，平面向量，极限等知识结合进行考查，所以数列的综合性问题较多，掌握数列知识对高中数学在整体上的理解有很大的帮助。
数列在高考中所占的分值较大，而且每年必考。
我对近几年的高考数学试题进行了收集，归纳了在高考中常见的数列问题，并对这些问题做了分析之后，总结出了以下一些解决的基本方法。
现将其列举如下：1，常见的数列求和问题的基本方法（1） 裂项法：当一个数列的各项裂开成几项的和或差之后，相邻的两项或者几项存在可以相互可以抵消的部分时，可以采用裂项的方法对此数列进行求和运算。
例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()11n a n n =+，求n S ; 解析：123n n S a a a a =++++ ()11121223341n n =++++⨯⨯⨯+ 11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111223341n n =-+-+-++-+ 1111n n n =-=++ 评析：本题是一道非常典型的裂项求和问题，在这道题的基础上，我们可以将其进行拓应用，从而求更多一些其他的裂项求和问题。
例如：()()211=1111n a n n n n =--+-+. ()()()()()()()1111211212n b n n n n n n n ==-++-++-+ 注：在裂项法求和时，要特别注意前面几项与后面几项的剩余部分是那些，必须要做到不漏掉任何一项。
（2） 分组求和法：当一个数列的通项是由几种具有不同类型的数列通项相加组合而成时，可以采用分组的方法对此数列进行求和。
例2：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2nn a n =+，求n S ; 解析：123n n S a a a a =++++()()()()1221222322n n =++++++++ ()()1231232222n n =++++++++()()2121212n n n -+=+-()11222n n n ++=+- 评析：在本题中前一部分是等差数列，后一部分是等比数列，所以将其进行了分组求和。
专题100：数列基础知识与典型例题(解析版)
专题100：数列基础知识与典型例题（解析版）一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．1．已知数列{}n a 满足125a =，且对任意*n N ∈，都有11422n n n n a a a a +++=+，那么4a 为（ ）A ．17B ．7C ．110D ．10【答案】A 【分析】依次计算出234,,a a a 的值. 【详解】 化简可得1232n n n a a a +=+，则214a =，3211a =，417a =.故选：A2．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2【答案】A 【分析】依次计算前几项可知数列的周期性. 【详解】∵12a =，111n n a a -=-(2n ≥)， 211122a ∴=-=， 3121a =-=-，41(1)2a =--=，511122a =-=， …，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201836722=⨯+， 2018212a a ∴==， 故选：A.3．已知数列{a n }，a n-1=ma n +1(n>1)，且a 2=3，a 3=5，则实数m 等于（ ） A ．0 B ．2 5C ．2D ．5【答案】B 【分析】直接由a 2=3，a 3=5代入求解即可. 【详解】由题意，得a 2=ma 3+1，即3=5m+1，解得m=25. 故选：B.4．已知数列{a n }，a 1=1，a n+1=12a n +12n ，则该数列的第3项等于（ ） A ．1 B ．14 C ．34D ．58【答案】C 【分析】根据递推关系先求出2a ，即可求出3a . 【详解】11111,22n n n a a a +==+，21322111131,22224a a a a =+∴=+==.故选：C.5．若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n ，则数列{a n }的各项中最大项是（ ） A ．第4项 B ．第5项C ．第6项 .D ．第7项【答案】C 【分析】直接将通项公式配方，即可得到最值. 【详解】因为a n =-2n 2+25n=-2225625-48n ⎛⎫+⎪⎝⎭，且n ∈N *，所以当n=6时，a n 的值最大，即最大项是第6项. 故选:C6．下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ） A ．1，2，3，…，20 B ．-1，-2，-3，…，-n ，… C ．1，2，3，2，5，6，… D ．-1，0，1，2，…，100，… 【答案】D 【分析】直接判断数列的单调性和是否无穷即可. 【详解】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确. 答案：D等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
数列(含解析)
专题06 数列一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 【答案】：C2. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】 A 【解析】15155()5(5)1522a a a S ++===，∴a 1＝1. ∴515115151a a d --===--. ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴111(1)n n a a n n +=+. 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，则1001111223100101T =+++⨯⨯⨯… ＝111111223100101-+-++-… ＝11001101101-=.3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35 【答案】：C【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12， ∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝177()2a a +＝7a 4＝28. 4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 【答案】:35.【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． 7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 【考点定位】等差数列和递推关系．8. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【考点】 等比数列的应用、等比数列的求和公式【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论． 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________． 【答案】：－49【解析】：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.2.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．【答案】21nn + 【考点】 等差数列前n 项和公式、裂项求和．【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【解析】：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a = ∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ， ∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d n …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项，即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n =．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)则S=11[1()]122lim lim 112n n n n dS d →+∞→+∞-==-由13S =，得公差d =3，首项1a =d =3 三．拔高题组1. 【2006全国2，理11】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若63S S =31,则126S S等于（ ）A.103B.31 C.81 D.91【答案】:A【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,a 10+a 11+a 12=4T .∴126S S =1034322=+++t t t t t t ＋. ∴选A.2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ） (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =【答案】B3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．(2)由(1)及题意得1342nn nx x x ++=+.设b n ＝x n －3，则1151n nb b +=+， 111115()44n n b b ++=+， 数列{114n b +}是首项为34-，公比为5的等比数列． 因此1113544n n b -+=-⋅，即14351n n b -=-⋅+， 所以数列{x n }的通项公式为143351n n x --⋅+＝.4. 【2006全国2，理22】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,n = 1,2,3,…. (1)求a 1,a 2; (2)求{a n }的通项公式.【解析】:(1)当n=1时,x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=21. 当n=2时,x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 2-21,于是(a 2-21)2-a 2(a 2-21)-a 2=0,解得a 2=61.(2)由题设(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0,即S n 2-2S n +1-a n S n =0. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1,代入上式得S n-1S n -2S n +1=0.①由(1)知S 1=a 1=21,S 2=a 1+a 2=21+61=32. 由①可得S 3=43. 由此猜想S n =1+n n,n =1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论.5. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ， ，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1 893. 【解析】【考点】等差数列的通项公式、前n 项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.。
完整版)数列典型例题(含答案)
完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。
因此，前项和为。
⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。
8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。
1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。
2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。
考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。
答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。
解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。
2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。
根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。
2013年高考真题理科数学分类汇编：考点25 数列求和及综合应用含解析
考点25 数列求和及综合应用一、选择题1。
（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3，…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝错误!，c n ＋1＝错误!，则（ )A 、｛S n ｝为递减数列B 、｛S n ｝为递增数列C 、｛S 2n －1}为递增数列，｛S 2n ｝为递减数列D 、｛S 2n －1｝为递减数列，{S 2n ｝为递增数列 【解析】选B.因为n n a a=+1，21nn n a c b +=+，21nn n a b c+=+,所以1a an=，++1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+,所以12a c b n n =+. 于是nnnC B A ∆中，边长1a C B nn=为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值。
因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=， 所以)()21(111c b c bn nn --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ,即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列. 二、填空题2。
（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{na 的前n 项和3132+=n na S，则}{na 的通项公式是=na _________【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值，再利用S n —S n —1=a n 求出通项公式a n 。
2013年高考真题理数分类解析4-数列
2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则()A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B【解析】＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1（因为边不是最大边，所以是锐角）是正数递减数列 ⟹是正数递增数列=是递增数列所以选B3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则1a ＝（ ） （A ）31 （B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4：数列 含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理)WORD 版含答案（已校对））已知数列{}na 满足12430,3n n aa a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- （C ）()10313-- （D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n ｝是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得，s 10==3（1﹣3﹣10)故选C2 ．(2013年高考新课标1（理）)设nnnA B C ∆的三边长分别为,,nnna b c ，nnnA B C∆的面积为nS ，1,2,3,n =,若11111,2b c b ca >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则（）A 。
{S n }为递减数列 B.{S n ｝为递增数列C 。
{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n —1｝为递减数列，{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,，,所以a n =a 1，所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+， 所以b n+1+c n+1﹣2a 1=，又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,于是，在△A n B n C n 中，边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值， 因为b n+1﹣c n+1==，所以b n ﹣c n =，当n→+∞时，有b n ﹣c n →0，即b n →c n ，于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列，故选B ．3 ．(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理）试题(纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,nx x x 使得1212()()()==,nnf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D ）{}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值。
2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分
实用文档 2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分一、选择题1、（全国大纲理4、文6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）52、(安徽文科第7题）若数列}{n a 的通项公式是()()n n a n =-1⋅3-2,则a a a 1210++=（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -153、（四川文科9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，n n S a 31=+（1≥n ），则=6a（A ）443⨯ （B ）1434+⨯ （C ）44 （D ）144+．4、（江西文科5）.设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.245、（江西理科5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )A. 1B. 9C. 10D. 55实用文档6、（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是 （ ）（A ）{}n a 是等比数列．（B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列． （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列． （D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同．7、（陕西文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） （A ）⑴和⒇ （B ）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾8、（辽宁文5）若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=⋅+，则公比为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）169、（四川理科8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+ .若则23-=b ，1210=b ，则8a（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11实用文档二、填空题10、（重庆文1）在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝A ．12B ．14C ．16D ．1811、（湖南理科12）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 。
数列的应用题解析
数列的应用题解析数列是高中数学中重要的概念之一，也是数学应用领域中常见的数学工具。
它在数学领域的应用非常广泛，如统计学、金融学、物理学等。
本文将从不同领域的应用中选取几个例子，分析数列的应用。
一、数列在经济学中的应用在经济学领域，数列常用于描述经济指标的变化规律。
比如，以GDP的年增长率为例。
假设某国GDP的初始值为1000万元，每年增长10%。
我们可以使用递推公式来描述这个增长过程：G(n+1) = G(n) + 0.1G(n)其中，G(n)表示第n年的GDP，G(n+1)表示第n+1年的GDP。
这个递推公式可以化简为：G(n) = 1000 * 1.1^n通过这个递推公式，我们可以算出每一年的GDP值。
这样，我们就可以通过数列的方法来预测未来的GDP情况，为经济决策提供参考。
二、数列在物理学中的应用数列在物理学领域也有着广泛的应用。
其中，最经典的例子就是牛顿的运动定律。
根据运动定律，物体在匀加速直线运动中的位移与时间的关系可以用数列来描述。
假设某物体的初始位移为S(0)，初始速度为V(0)，加速度为a，则物体在第n秒的位移可以通过递推公式来计算：S(n) = S(0) + V(0)n + 0.5an^2其中，S(n)表示第n秒时物体的位移。
通过这个递推公式，我们可以计算出物体在任意时刻的位移情况，进而在物理实验中进行观测和验证。
三、数列在统计学中的应用在统计学中，数列常用于描述数据的变化趋势。
比如，我们可以用数列来描述人口增长的规律。
假设某城市的初始人口为P(0)，每年人口增长率为r%，则该城市第n年的人口可以用数列的方法来描述：P(n) = P(0) * (1 + r/100)^n通过这个递推公式，我们可以计算出每一年的人口情况。
同时，我们还可以通过数列的方法来预测未来的人口情况，为城市规划和社会发展提供参考。
综上所述，数列在不同领域中都有着广泛的应用。
无论是经济学、物理学还是统计学，数列都是一种常用的数学工具，能够帮助我们揭示事物的变化规律，进行数据的预测和分析。
数列经典例题及解析
数列经典例题及解析
《数列经典例题及解析》
一、数列的定义及定义域
定义：数列是以一定规律的把某些数按顺序排成的表格或列表。
定义域：数列常用数学定义域是自然数（正整数）、正数（正实数）、实数（实数）等。
二、数列及其特点
1、等差数列
所谓等差数列，是指数列中每一项与它的前一项的差值均相等的数列。
例题：
已知数列{an}满足a1=7，an+1-an=2，求a7的值
解析：由题意可知数列{an}是一个等差数列，公差d=2；
根据等差数列的第n项公式a_n=a_1+(n-1)d，有a7 =
7+(7-1)2=15
2、等比数列
所谓等比数列，是指数列中每一项与它的前一项的比值均相等的数列。
例题：
已知数列{an}满足a1=4，a2=8，求a7的值
解析：由题意可知数列{an}是一个等比数列，公比q=2。
- 1 -。
【数学】23个典型的数列专题
移 项 合 并 ： (an21 an2 ) 5(an1 an ) 0 ， 即 ： (an1 an )(an1 an 5) 0
由 于 正 项 数列 (an1 an ) 0 ， 所 以 ： an1 an 5 0 ， 即 ： an1 an 5 ；
由此得到 an 是公差为 5 的等差数列.
，求和公式为：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
；
则：
S16
16a1
16 15 2
d
0
，即：
a1
15 2
d
0
，
a1
7d
0，即：
a8
0
；
S17
17a1
1716 2
d
0，即：
a1
8d
0，即：
a9
0 .故
Sn
最大时，
n
8.
通项公式和求和公式都要很熟啊.
4、数列 an 的通项公式 an
1 n 1
n ，若它的前 n 项和为 Sn 9 ，求： n ?
k 2k
1
2 2
3 22
4 23
...
n 2n1
②
由②-①得：
Rn
1 (2 2
1)( 3 2 22
2 22
)( 4 23
3) 23
...
(
n 2n1
n2n11)
n 2n
12 3
1n
1 2 22 23 ... 2n1 2n
1
1 2n
1 1
பைடு நூலகம்
n 2n
2(1
1 2n
)
n 2n
2
2n 2n
an a1qn1 (1 q)qn1
数列的12类典型题型
高三数学数列最值得做的12类题题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2. (1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；（3）若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n 2=a n ,又依a 1>0,可以推得a n >0并解出：a n =32.即a 1=a 2=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32. （Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1 即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列}{n a 满足：11=a ,a n +1=a n 2a n +1(n ∈N ) )(N n ∈,数列}{nb 的前n 项和S n =12-12(23)n(n ∈N ). (1) 求数列}{n a 和{b n }的通项公式；(2) 设c n =b n a n,是否存在N m ∈,使c m ≥9成立？并说明理由.解答：（1）由2111211+=⇒=+++nn n n a a a a n a ,∴12)1(211-=-+=n n na ,121-=n n a )(N n ∈.由n n S )(121232-=及1321)(1212---=n n S )2(≥n ,可得1321)(4--=-=n n n n S S b )2(≥n , 令1=n ,则412123211=⋅-==S b 也满足上式,∴132)(4-=n n b )(N n ∈.（2）132132)()12(4)(4)12(---=⋅-==n n a b n n n C nn,设m C 为数列}{n C 中的最大项,则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥--≥⋅-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥-⇒⎩⎨⎧≥≥---+-252732323213223213211)12(1232)12()()12(4)()12(4)()32(4)()12(4m m m m m m m m m m C C C C m m m m m m m m ,∴3=m .即3C 为}{n C 中的最大项.∵9)(209802323<==C ,∴不存在N m ∈,使9≥m C 成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列
（ - 1) n +1 综上，第 n 个等式： 1 - 2 + 3 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
2 2
5.江西 1 等比数列 x，3x+3，6x+6， …..的第四项等于 A．-24 B.0 C.12 D.24
6. 福 建 9. 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q ， 记 bn = a m ( n−1) +1 + am ( n−1) +2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m ( n−1) + m ，
照此规律 , 第 n 个等式可为
n +1 n -1 2 （ - 1) 12 - 2 2 + 3 2 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
.
（ - 1) n +1 【答案】 1 - 2 + 3 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
2 2 2 n -1 2
【解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为 1
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 答案 B 【解析】 ＝ cn＋an bn＋an + = 2 2
=2
,
=2
=2
,
=−
=
+2
=4
,
−2
=
=
−
,是正数递增数列
所以
=
=
=
−1（因为
边不是最大边，所以
是锐
角）是正数递减数列
是正数递增数列
数列经典例题
数列经典例题(总11页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.解析：∵，当时，，，，将上面个式子相加得到：∴（），当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，，，求.【答案】【变式2】数列中，，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意∴∵，∴，∴，∴，又，∴当时，，当时，符合上式∴.总结升华：1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，，，求.【答案】【变式2】已知数列中，，，求通项公式.【答案】由得，∴，∴，∴当时，当时，符合上式∴类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：∵，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为d=5，首项，∴，∴.总结升华：1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，，，求.【答案】【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4．已知数列中，，，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且∴法二：∵①②由①－②得：设，则数列为等比数列∴∴∴法三：，，，……，，∴总结升华：1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，，求【答案】令，则，∴，即∴，∴为等比数列，且首项为，公比，∴，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】∵，∴设，则，即，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.∴.类型五：和的递推关系的应用5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以以上两式等号两边分别相减，得即，变形得因为，所以由此可知，数列是公比为2的等比数列.由,,所以, 所以,所以.（2），所以将代入得由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，故.（3），所以当n≥2时，∴由于也适合此公式，故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.【答案】（1），∴∴，又①－②∴，∴是一个首项为1公比为的等比数列；（2）∴∴是一个首项为1公比为的等差比数列∴【变式2】若, ()，求.【答案】当n≥2时，将代入,∴,整理得两边同除以得（常数）∴是以为首项，公差d=2的等差数列，∴，∴.【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和. 【答案】∵为等差数列，公差设为,∴,∴,∴,若，则, ∴.∵，∴,∴ ,∴,∴①②①-②得∴类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上最短路程是多少？思路点拨：本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，回到第二面处再到第面处是，回到第三面处再到第面处是，，从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2，总的路程为：∵，∴时,有最小值答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（）A． B． C． D．【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为，则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A．万元 B．2万元 C．3万元 D．万元【答案】B；解析：本金利息／利率，利息利息税／税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( )A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．9月、10月【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.当且仅当，即（年）时等到号成立.因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到）【答案】（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），2008年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），∴2007年底的住房面积为1240万平方米；2008年底的住房面积为1282万平方米.（2）2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，…………2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20≈（万平方米），∴2026年底的住房面积约为万平方米.。
数列的应用之知识讲解经典例题及答案
北京数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式与性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项及前n项与的关系任意数列的前n项与；注意：由前n项与求数列通项时，要分三步进展：〔1〕求，〔2〕求出当n≥2时的，〔3〕如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，那么最后的通项公式可以统一写成一个形式，否那么就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，那么，，…，2.迭乘累乘法：，那么，，…，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学及研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率〔复利〕以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，到达如下要求：⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要事项；⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识与数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将及所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式〔如函数关系、方程、不等式〕.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项与公式等.3.加强数列知识及函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：〔1〕通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；〔2〕通过解数列及其他知识的综合问题，培养分析问题与解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.解析：∵，当时，，，，将上面个式子相加得到：∴〔〕，当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，，假设为常数，那么数列是等差数列；假设不是一个常数，而是关于的式子，那么数列的解析式，而的与是可求的，那么可用多式累〔迭〕加法得.举一反三：【变式1】数列，，，求.【答案】【变式2】数列中，，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意∴∵，∴，∴，∴，又，∴当时，，当时，符合上式∴.总结升华：1. 在数列中，，假设为常数且，那么数列是等比数列；假设不是一个常数，而是关于的式子，那么数列不是等比数列.2．假设数列有形如的解析关系，而的积是可求的，那么可用多式累〔迭〕乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，，，求.【答案】【变式2】数列中，，，求通项公式.【答案】由得，∴，∴，∴当时，当时，符合上式∴类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：∵，∴两边同除以得，∴成等差数列，公差为d=5，首项，∴，∴.总结升华：1．两边同时除以可使等式左边出现关于与的一样代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2．假设数列有形如的关系，那么可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，，，求.【答案】【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4．数列中，，，求.法一：设，解得即原式化为设，那么数列为等比数列，且∴法二：∵①②由①－②得：设，那么数列为等比数列∴∴∴法三：，，，……，，∴总结升华：1．一般地，对数列的项满足，〔为常数，〕,那么可设得，利用得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2．假设数列有形如〔k、b为常数〕的线性递推关系，那么可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】数列中，，求【答案】令，那么，∴，即∴，∴为等比数列，且首项为，公比，∴，故.【变式2】数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】∵，∴设，那么，即，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，∴.∴.类型五：与的递推关系的应用5．数列中，是它的前n项与，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项与.解析：〔1〕因为，所以以上两式等号两边分别相减，得即，变形得因为，所以由此可知，数列是公比为2的等比数列.由,,所以, 所以,所以.〔2〕，所以将代入得由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，故.〔3〕，所以当n≥2时，∴由于也适合此公式，故所求的前n项与公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差〔比〕数列的概念，将关系式进展变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项与满足.〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.【答案】〔1〕，∴∴，又①－②∴，∴是一个首项为1公比为的等比数列；〔2〕∴∴是一个首项为1公比为的等差比数列∴【变式2】假设, ()，求.【答案】当n≥2时，将代入, ∴,整理得两边同除以得〔常数〕∴是以为首项，公差d=2的等差数列，∴，∴.【变式3】等差数列中，前n项与，假设.求数列的前n项与.【答案】∵为等差数列，公差设为,∴,∴,∴,假设，那么, ∴.∵，∴,∴,∴,∴①②①-②得∴类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨：此题求走的总路程最短，是一个数列求与问题，而如何求与是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求与.解析：设将旗集中到第x面小旗处，那么从第一面旗到第面旗处，共走路程为了，回到第二面处再到第面处是，回到第三面处再到第面处是，，从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为，从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为20×2，总的路程为：∵，∴时,有最小值答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：此题属等差数列应用问题，应用等差数列前项与公式，在求与后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，那么该企业2007年年度产值的月平均增长率为〔〕A．B．C．D．【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数〔1月份〕有产值增长，设为，那么【变式2】某人2006年1月31日存入假设干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税〔税率为〕共计元，那么该人存款的本金为〔〕A．1.5万元B．2万元C．3万元D．2.5万元【答案】B；解析：本金利息／利率，利息利息税／税率利息〔元〕，本金〔元〕【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开场的个月内累积的需求量〔万件〕近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( ) A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．9月、10月【答案】C；解析：第个月份的需求量超过万件，那么解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购置时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？〔即年平均费用最少〕【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.当且仅当，即〔年〕时等到号成立.因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，方案从20 07年起，每年撤除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.〔1〕分别求2007年底与2021年底的住房面积；〔2〕求2026年底的住房面积.〔计算结果以万平方米为单位，且准确到0.01〕【答案】〔1〕2007年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240〔万平方米〕，2021年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=12 82〔万平方米〕，∴2007年底的住房面积为1240万平方米；2021年底的住房面积为1282万平方米.〔2〕2007年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，2021年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，2021年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+ 5%)－20]万平方米，…………2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)1 9―……―20(1+5%)―20] 万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1 +5%)―20≈2522.64〔万平方米〕，∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.高考题萃1．〔2021四川〕设数列的前项与为.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕证明：是等比数列；〔Ⅲ〕求的通项公式.解析：〔Ⅰ〕因为，∴由知，得①所以，，∴〔Ⅱ〕由题设与①式知所以是首项为2，公比为2的等比数列.〔Ⅲ〕2．〔2021全国II〕设数列的前项与为．，，．〔Ⅰ〕设，求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设，，求的取值范围．解析：〔Ⅰ〕依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．①〔Ⅱ〕由①知，，于是，当时，，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．3．〔2021天津〕数列中，，，且．〔Ⅰ〕设，证明是等比数列；〔Ⅱ〕求数列的通项公式；〔Ⅲ〕假设是及的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是及的等差中项．解析：〔Ⅰ〕由题设，得，即．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，，，……，．将以上各式相加，得．所以当时，上式对显然成立．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕，当时，显然不是及的等差中项，故．由可得，由得①整理得，解得或〔舍去〕，于是．另一方面，，．由①可得．所以对任意的，是及的等差中项．4．〔2021陕西〕数列的首项，，．〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕证明：对任意的，，；〔Ⅲ〕证明：．解析：〔Ⅰ〕，，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，原不等式成立．另解：设，那么，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，对任意的，有．令，那么，．原不等式成立．学习成果测评根底达标：1．假设数列中，且(n是正整数)，那么数列的通项=____.2．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线及y轴交点的纵坐标为，那么数列的前n项与的公式是____________.3. 设是等比数列，是等差数列，且，数列的前三项依次是，且，那么数列的前10项与为____________.4. 如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，那么____________5．数列中，, ()，求通项公式.6．数列中，，，，求的通项公式.7．各项均为正数的数列的前项与满足，且，，求的通项公式.8．设数列满足，．〔Ⅰ〕求数列的通项；〔Ⅱ〕设，求数列的前项与．能力提升：9．数列的前项与为，，．〔Ⅰ〕求数列的通项；〔Ⅱ〕求数列的前项与．10．数列的前n项与为, 是各项为正数的等比数列，试比拟及的大小关系.11．某国采用养老储藏金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储藏金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储藏金数目是一个公差为的等差数列．及此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储藏金就变为，第二年所交纳的储藏金就变为，……．以表示到第年末所累计的储藏金总额．〔Ⅰ〕写出及的递推关系式；〔Ⅱ〕求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．12．2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2021年开场，方案每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路与盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.〔1〕设该县的总面积为1，2007年底绿化面积为，经过n年后绿化的面积为，试用表示；〔2〕求数列的第n+1项；〔3〕至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.〔参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771〕综合探究：13．函数，设曲线在点处的切线及x轴的交点为，其中为正实数.〔Ⅰ〕用表示；〔Ⅱ〕假设，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；〔Ⅲ〕假设，，是数列的前n项与，证明. 参考答案：根底达标：1.答案：解析：由题设的递推公式可得∴即,2．答案：2n+1-2解析：，曲线在x=2处的切线的斜率为，切点为〔2，-2n〕,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得,令.数列的前n项与为2+22+23+…+2n=2n+1-23. 答案：9784. 答案：5．解析：将递推关系整理为两边同除以得当时，，，……，将上面个式子相加得到：，即，∴〔〕.当时，符合上式故.6.解析：由题设∴．所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即的通项公式为，．7.解析：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．8.解析：〔Ⅰ〕，①∴当时，②①-②得，．在①中，令，得符合上式∴．〔Ⅱ〕，∴．，③．④④-③得．即，．能力提升：9．解析：〔Ⅰ〕，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，∴．当时，，〔Ⅱ〕，当时，；当时，，…………①，…………②得：．．又也满足上式，．10.解析：∵为各项为正数的等比数列，设其首项为，公比为, 那么有,，(),∴，即〔1〕当时，，,而,∴∴时，.〔2〕当时，，,∴①当时，，∴②当时，，∴③当时，，∴综上，〔1〕在时恒有〔2〕在时，①假设那么；②假设那么；③假设那么.11.解析：〔Ⅰ〕．〔Ⅱ〕，对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，那么．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列.12.解析：〔1〕设2007年底非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为.于是a1+b1=1，依题意，是由两局部组成：一局部是原有的绿化面积减去被非绿化局部后剩余面积，另一局部是新绿化的面积，∴.〔2〕，.数列是公比为，首项的等比数列.∴.〔3〕由，得，，，∴至少需要7年的努力，才能使绿化率超过60%.综合探究：13.解析：〔Ⅰ〕由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得，即．显然，∴．〔Ⅱ〕由，知，同理．故．从而，即．所以，数列成等比数列．故，即．从而，所以〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，∴∴当时，显然．当时，∴．综上，．。
几类数列典型例题分析
几类数列典型例题分析高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．典型题选讲：例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值（ ） A ．67 B ．57 C ．37 D ．17讲解 逐步计算，可得167a =, 231251,771031,77a a =-==-= 456,71251,...77a a ==-=这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以2075a =．应选B ． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例2 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列； （2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证，为等差数列，并求n b ． 讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+{}n a ∴是等比数列． 112(2)1,(),2,3mb a q f m n N n m ====∈≥+由且时111111233111()33.2233111123{}11,.3332n n n n n n n n n n n n n b b f b b b b b b b b n n b b b n ------==⋅+=⇒-=+-+∴∴=+==+，得是为首项为公差的等差数列,故有点评 为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例3 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ， 当粒子从原点到达n A 时，有13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++-＝241n -,222114n n a a n -=+=.221212(21)441n n b a n n n --=--=-+,2222244n n b a n n n =+⨯=+．222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．（3）由2n c n n =+≤2004，解得112n -+≤≤，取最大得n=44, 经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例4 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a . 讲解 （１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得 由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯- …… .2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a11211212(1)[(2)(2)(2)]2[1(2)]22(1)[2(1)].33n n n n n n nn n -------=+--+-++---=--=+- 经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)n n na b =-就有122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即 121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n（３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a 121223122321322322311().2222122222n n n n n n n n n n ----------++=⨯<⨯=++-- 当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景.87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 故任意整数m>4，有.8711154<+++m a a a 点评 主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．。
2013届高三数列的基本题型.
a ，（常数） an an1
f (n)(n
2, n N ) 都可以用累乘
n
法。 an a1 f (n) 。 i2
（三）换元法：
1．在数列{an}中， a1 2 ， an1 an 2 (an 0) 则通项 an ______.
解：∵ an1 an 2 ，∴ lg an1 lg an 2 2 lg an ，
7. 根据下面一组等式：
s1 1, s2 2 3 5, s3 4 5 6 15, s4 7 8 9 10 34, s5 11 12 13 14 15 65, s6 16 17 18 19 20 21 111,
可得 s1 s3 s5 s2n1
解：（2）当 n 1时， a1 S1 3 21 5 ，
当n
2 时， an
Sn
S n1
3 2n
(3 2n1 )
2n1 。∴ an
5(n 1),
2
n1
,
5．数列 an 满足 a1 2a2 3a3 nan n(n 1)(n 2) 求其通项 an 。
解：当 n 1时， a1 1 2 3 6 ，
2
3, 2
22 3 22
，
23 3 23
，
24 3 ,， 24
∴ an
(1) n
2n 3 2n
。
注：先找出部分项满足的公式，然后将其余的项向这个公式变化即可。
2. 在 数 列 {an}中 ， 已 知 a1 2 , a2 3 ， 当 n 2 时 ， an1 是 an an1 的 个 位 数 ， 则
∴ an
a1
n
(ai
i2
ai1 )
n n(n 1)
i=
i 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几类数列典型例题分析
高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．
典型题选讲：例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n
n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若167a =，
则20a 的值（ ） A ．67 B ．57 C ．37 D ．17
讲解 逐步计算，可得167a =, 231251,771031,77a a =-==-= 456,
7
125
1,...
77
a a ==-=
这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以207
5
a =．应选B ． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．
例2 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且
（1）求证：{a n }是等比数列； （2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且
1113
1,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==
∈≥⎨⎬⎩⎭
求证，为等差数列，并求n b ． 讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+
两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3
n n a m
a m +∴=
+{}n a ∴是等比数列． 112(2)1,(),2,3
m
b a q f m n N n m ====∈≥+由且时
111111233111
()33.2233
111123{}11,.3332
n n n n n n n n n n n n n b b f b b b b b b b b n n b b b n ------=
=⋅+=⇒-=+-+∴∴=+==+，得是为首项为公差的等差数列,故有
点评 为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的递推公
式，从而将其转化为等差数列的问题．
例3 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ， 当粒子从原点到达n A 时，有
13,a = 211,a a =+ 3111234,a a a =+=+⨯
431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+
… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=+++
+-＝2
41n -,
222114n n a a n -=+=.2
21212(21)441
n n b a n n n --=--=-+,2
222244n n b a n n n =+⨯=+．
222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,
2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.
（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．
（3）由2n c n n =+≤2004
，解得112
n -+≤≤
，取最大得n=44, 经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点
44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．
点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．
例4 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有
8
7
11154<+++m a a a . 讲解 （１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得 由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯- …… .2212-=a a
接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a
11211
21
2(1)[(2)(2)(2)]
2[1(2)]22
(1)[2(1)].
33
n n n n n n n
n n -------=+--+-+
+---=--=+- 经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3
2
12≥-+=--n a n n n
其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得
1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)n n n
a b =-就有122n n b b -=--，于是 122
2()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧
⎫+⎨⎬⎩
⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得
111221
()(2)()(2)333
n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即 121()(2)(1)33n n n
a -+=-⋅--，
故有.1],)1(2[3
2
12≥-+=--n a n n n
（３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，
]1
21121[2311121-++=+--+n n n n a a 121223122321322322311().2222122222
n n n n n n n n n n ----------++=⨯<⨯=++-- 当m m 且4>为偶数时，
m
a a a 1
1154+++ )2
1
2121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=
m m m a a a a a .87
8321)2
11(4123214=+<-⨯⨯+=
-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景
.8
7
111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 故任意整数m>4，有
.8
7
11154<+++m a a a 点评 主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．。