高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

一、选择题

1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)

C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)

D ．y ＝－1

x (x ∈R ，x ≠0)

[答案] A

[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.

(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x

B ．f (x )＝－|x ＋1|

C ．f (x )＝12(a x ＋a －

x )

D ．f (x )＝ln 2－x

2＋x

[答案] D

[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －

x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇

非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.

2．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

[答案] A

[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.

3．(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )

A ．－1

2

B.1

2 C ．1

D.32

[答案] B

[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪

⎧

f (1)＋

g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1

，

∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

f (1)＋

g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.

4．(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1

f (x )，当

1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )

A ．4.5

B ．－4.5

C ．0.5

D ．－0.5

[答案] D

[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1

f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，

∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.

(理)(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减的函数

D ．先减后增的函数

[答案] A

[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，

又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．

5．(2010·辽宁锦州)已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．不能确定

[答案] C

[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.

6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x

(x ⊕2)－2( )

A ．是偶函数

B ．是奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数

[答案] B

[解析] f (x )＝4－x 2

|x －2|－2，

∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]． 则f (x )＝4－x 2

－x ，

f (x )＋f (－x )＝0，故选B.

7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 1

2

3)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．c

B ．b

C ．b

D ．a

[答案] C

[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．

∵log 47＝log 27>1，|log 1

23|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，

∴|log 1

2

3|>|log 47|>|0.20.6|.

又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b

8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )

1－f (x )，则f (2011)等于( )

A ．2

B ．－3

C ．－1

2

D.1

3

[答案] C

[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝1

3，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x

∈N *)．

∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－1

2.

[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1

f (x )

，

∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.