复旦大学数学分析考研试题及答案

复旦大学2001 年招收硕士学位研究生考试试题

数学分析

x−1

2

x −e

1 求极限lim （1

2 分）

2

x→1 ln (2x −1)

f (x )

2. 已知证明分别在与都是严格单调增加函数。

< (0)f 0,>''(−∞f)

x

（12 分）

+∞+∞

f x (dx) f x (

g )x (dx)

3.设∫收敛，lim g (x) 1 ，问积分∫是否一定收敛？收敛的话，请证明之；不一

a x →+∞ a

定收敛的话，请举出反例。（12 分）

z z ∂z ∂z

4.设是由隐函数

z z x y( , ) ( ,+ F)=+x 0 y 确定，求表达式x +y ，并要求简化之（12 分）

y x ∂x ∂y

4

2 2 z

5.用Lagrange 乘数法，解

f x y z x( , ,y ) + + 在xyz 1条件下的极植问题。（13 分）

2

2 2 2 3

x y +z =+ (xyz ) 3

6.求曲面所围区域的体积。（13 分）

1

ln 2

1 x π

7.证明：∫dx （推导过程要说明理由）（13 分）

1 0 6−x

+∞n+1

( 1)−

8.将展开成余弦级数，并求级数的和（13 分）

siny , x (x0,∈) π∑2

4 n 1 1n −