2021年数学四大思想
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
“心有灵犀一点通”———浅析高中数学解题中常用的四大数学思想
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３２数学学习与研究㊀２０２１ ２９心有灵犀一点通心有灵犀一点通 ㊀㊀㊀ 浅析高中数学解题中常用的四大数学思想Һ于㊀祥㊀（扬州大学附属中学，江苏㊀扬州㊀２２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着新课改的不断推进，在高中数学教学中渗透数学思想方法已经成为高中数学教师培养学生数学核心素养的根本方式．高中数学解题中需要借助科学的数学思想和方法才能达到最好的教学效果．其中，四大数学思想（函数与方程思想㊁分类讨论思想㊁数形结合思想㊁化归与转化思想）是最常用的数学思想，四者都有其特有的应用特点和范围，在问题的分析方法（思维逻辑分析）上也有自己的特点．据此，本文分析了在高中数学教学中应用四大数学思想的策略，以期能为高中数学教师提供教学帮助．ʌ关键词ɔ高中数学解题；四大数学思想；教学策略ʌ基金项目ɔ本文是江苏省教育科学 十三五 规划课题２０１６年度重点自筹课题 基于深度学习理念下的数学活动设计研究 阶段研究成果（课题编号：Ｂ－ｂ／２０１６／０２／４１）笔者认为，高中数学中很多解题思想和方法只要稍稍变形，就能和常用的四大数学思想产生密切联系．在实际教学过程中，数学教师需要结合四大数学思想的定义㊁特点和作用，把数学解题思想和方法变形成为符合数学思想的相关内容，从而优化教学内容，降低教学难度．下面，笔者将以分类讨论㊁数形结合㊁函数与方程以及化归与转化数学思想方法为例进行分析，文中涉及的教学实例请参照人教版高中数学教材．一㊁四大数学思想对高中数学解题教学的作用（一）降低学生的解题难度对于高中生来说，有一些数学习题并不是自己努力想㊁努力做就能够做出来的，只有依靠数学思想才能解决，所以四大数学思想的应用实则是大幅度降低了学生的解题难度，使之在解题过程中能保证大致的思路是正确的，不会出现一些根本性的错误．（二）提高学生的解题能力高中数学练习题不同于初中，难度非常大，而且有特定的解题思路和方法，四大数学思想是基于高中数学题目所总结出来的解题利器，如果学生能充分理解并应用好这些数学思想，在解题时就能得心应手，久而久之就能大幅度提升自己的解题能力．二㊁高中数学解题教学中四大数学思想的应用基础（一）转变教学要求新课改要求学生要实现逻辑思维㊁逻辑分析能力上的有效突破，故现代高中数学教育除了要让学生学习硬知识外，还需要学习探究数学问题㊁总结数学规律的方法，而后者将比前者更加重要．所谓 一通百通 ，解题方法和规律总结能力的提升将使学生从容面对不同类型的问题，继而有效提高学习成绩和应试水平．因此，为实现高中数学教育 要成绩 要能力 的双重目标，教师在应用四大数学思想之前必须要主动转变教学要求，将数学思想的学习摆在首位，不要只注重学生的解题结果，而是注重其解题思路和方法．（二）把 要我学 转变为 我要学所谓 要我学 其实是一种 被动学 ，学生只能根据教师设定的教学计划去理解㊁分析㊁探究知识，知其然而不知其所以然，虽然能在短时间内积累大量知识，但其思维能力却没有任何长进和突破．反观 我要学 则完全不同，它是一种 主动学 ，学生根据教师设定的学习目标自主选择学习内容，根据自身的学习水平把握学习进度，同时还能够和他人交流以获得新知识和经验，虽然在短时间内无法积累大量知识，但却容易形成良好的学习思维和习惯，学习心态也会发生积极转变．三㊁高中数学解题教学中四大数学思想的实践应用（一）分类讨论思想１．何为分类讨论思想分类讨论思想简而言之就是先分类再讨论，这种方式可帮助学生理清思路，降低分析难度．以集合为例，按照集体元素的个数可分为有限集㊁无限集㊁空集三种，而按照集合之间的关系可分为子集㊁交并集㊁补集．利用分类讨论思想，学生就能更加全面地认识集合的特性．２．分类讨论的一般步骤研究对象指的是问题的核心，需要讨论研究的主体是什么，可不可以细分，每一部分有何特点等等．先将研究主体进行分类，然后集中讨论每一类中的问题．在实际教学中，教师可以引导学生按照先分类再讨论的方式进行分析，从易到难逐层深入，就能让学生掌握分类讨论的核心．３．分类讨论的实际案例在教学 随机事件的概率 时，有这样一道题： 一个袋子中有标号为１，２，３的三个大小相同的球，随机抽取三次，按抽取顺序组成１２３的概率是多少？ 在计算概率的过程中，教师引导学生先分类后讨论．根据题目要求，实则是求１，２，３三个数组合成不同数的个数，其中三个数的组合就是整体研究对象，那么就可以分为个位㊁十位㊁百位三个研究部分．分类进行讨论就是对每一个研究部分进行分析，比如百位数是１，那么十位数和个位数就不能是１，而２，３两个数谁占十位㊁谁占个位则需要继续细分讨论．归纳整体结果就是在分类讨论的基础上把结果汇总出来，得出正确的答案．（二）数形结合思想１．何为数形结合思想数形结合 作为新时代数学教学的创新方式，分为 数 和 形 两部分，通过数形结合分析问题，可以将一些抽象性的㊁枯燥的数学文字转化为生动㊁直观的图形，最大限度地降低了学生学习数学的难度，也极大地提高了学生对数学的理解能力．数形结合思想的核心是 以形化数，以数代形 ，数学中 数 和 形 本就是密不可分的关系，数学中的图表㊁图形等都可以看成 形 ，而公式㊁定理等都可以看成 数 ，以计算空间几何体的表面积和体积为例，空间几. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１３３㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２９何体就是 形 ，而空间几何体的表面积和体积则为数，数形结合，能让学生更加直观地想象空间几何体的长㊁宽㊁高等属性，也能通过公式更容易解得空间几何体的表面积和体积．２．数形结合的两种方式以数助形 即以数代形，比如计算正方形的面积，我们用眼是看不出面积的，必须要借助公式进行计算． 以形助数 即以形代数，就是以图形直观展示抽象的数学逻辑关系．在高中阶段，最典型的就是用数轴㊁平面直角坐标系表示某个函数方程．３．数形结合的实际案例在学习 一元二次不等式（组） 时，教师为学生设置以下问题： 一元二次不等式（ｘ－３）（ｘ＋１）＜０是否有解？如果有，这个不等式有多少个正整数解？ 从题目难度上分析，题目相对较简单，但是这里主要考查学生对 不等式解集的数轴表示 的理解，经过计算得到结果为－１＜ｘ＜３，学生对于答案的范围没有直观的感受，这时教师可以让学生根据所学将答案在数轴上表示，学生在数轴上寻找到 －１ ３ 所表示的点，然后两者中间的部分即为不等式解的取值范围．（三）函数与方程思想１．何为函数与方程思想函数与方程思想作为四大数学思想中最重要也是最普遍的一类教学思想，几乎在每堂课中都能够用到．函数与方程思想是简化数学算法㊁反映数理逻辑的最好方式，因为在高中数学解题教学中的应用最为广泛，所以几乎能和所有的高中数学知识相结合．数学题目中有着非常多的未知数求解题，结果即为未知数ｘ，通过未知数ｘ构造合乎逻辑的数学方程，进而通过数学运算推导，这就是函数与方程思想的内核，所以以函数与方程思想求解未知数是数学教师常用的方法．２．函数与方程思想的应用范围函数与方程思想主要是让学生形成以 未知推导已知，已知求解未知 的数学解题思维，所以凡是涉及数理计算㊁函数求解等题型时都可以用到函数与方程思想．纵观高中数学知识，函数与方程思想最常用在三角函数㊁二次函数㊁幂函数的求解中，教师引导学生根据题目设未知数ｘ，ｙ，ｚ，然后根据已知条件将未知数代入，以形成完整的求解方程．例如在解答三角形题目时，要计算出某个三角形的三边关系，则要设三边为ｘ，ｙ，ｚ，将之带入ｓｉｎ，ｃｏｓ和ｔａｎ三类三角函数中，就能通过已知条件（例如三角函数值和三角形的一条边）推导求得ｘ，ｙ，ｚ，进而计算三边关系．３．函数与方程思想的实际案例在解答函数应用题时，题干如下： 某种名牌钢笔，每支进价为５０元，当销售价格为每支ｘ元，且５０ɤｘɤ８０时，每天售出支数Ｐ＝１０４（ｘ－４０）２，若想当天售出的钢笔获利最大，售价应定为每支多少元？最大利润是多少？解答过程就需要运用函数与方程思想，以已知和未知条件建立函数方程，针对此应用题，设售价定为每支ｘ元，则每支利润为（ｘ－５０）元．设当天总利润为ｙ元．则ｙ＝（ｘ－５０）㊃１０４（ｘ－４０）２，ｘɪ［５０，８０］．变形得ｙｘ２－（８０ｙ＋１０４）ｘ＋１６００ｙ＋５０ˑ１０４＝０．因为关于ｘ的一元二次方程有实数解，所以ｙʂ０，Δȡ０，{所以Δ＝（８０ｙ＋１０４）２－４ｙ（１６００ｙ＋５０ˑ１０４）ȡ０，解得ｙɤ１０３４＝２５０．当ｙ＝２５０时，ｘ＝６０．所以每支定价为６０元时，当天获利最大，最大利润为２５０元．（四）化归与转化思想 化繁为简，化难为易１．何为化归与转化思想化归与转化思想直白地说就是在解决数学问题时，如果很难直接求解的话，就需要把这个问题转化成已知问题进行求解．化归与转化思想说明了数学知识万变不离其宗，透过现象看本质，就能将未知问题转化成已知问题进行求解．因此在数学教学中，化归与转化思想常被用来分析和简化复杂的问题．例如学完了一元一次方程㊁因式分解等知识后，在学习一元二次方程的时候我们其实就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的．再到高中特殊的一元高次方程求解时，又是将其化归为一元一次和一元二次方程来求解，更加直白地说，就是由１＋１＝２，我们可以推出１＋２＝３，通过化归与转化思想可将其转化为１＋１＋１＝３这种最直接㊁最简单㊁最好理解的方式．２．化归与转化思想的实际案例在解答复杂的函数问题时，我们可以通过化归与转化思想由已知函数推导出新的函数方程，之后对新的函数方程进行分析解答，就能快速地得出答案．比如在解答题目： ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ａｘ＋ａ－１，当ｆ（ｘ）＜０的解集为Ｒ时，求ａ的取值范围． 这个题目的解答过程需要用到化归与转化思想，然后基于函数图像的基本性质确定ａ的取值范围．具体解答过程如下：解：当ａ＝０时，函数ｆ（ｘ）＝－１＜０，此时符合题意，即对ｘ属于Ｒ恒成立，故此时ｆ（ｘ）＜０的解集为Ｒ．而当ａʂ０时，由ｆ（ｘ）＜０的解集为Ｒ恒成立，可推导ａ＜０且Δ＜０，即ａ＜０且ａ２－４ａ（ａ－１）＜０，即ａ＜０且－３ａ２＋４ａ＜０，即ａ＜０且３ａ２－４ａ＞０，解得ａ＜０．综上，知ａ的范围是ａɤ０．在这个题目中，我们将复杂的函数问题转化成简单的 ａ＜０且Δ＜０ 问题，直接列出不等式进行求解，这样就通过消元方式排除了 ｘ 的干扰，以此求解ａ的取值范围就变得非常容易．结束语数学中的分类讨论思想㊁数形结合思想㊁函数与方程思想以及化归与转化思想都能让高中数学解题教学变得更有效率．只要教师能设计科学的应用策略和方法，把握好数学思想与数学知识的融合点，就能发挥其教学作用，成为提升课堂教学效率和教学质量的好帮手．综上，高中数学和初中㊁小学数学完全不同，高中数学讲究培养学生的数学思维，而非简单的理解公式㊁定理定义．故应用四大数学思想可在很大程度上优化学生的数学思维，在面对问题时懂得化繁为简㊁逐层深入，既能够面面俱到地解决问题，又能够节省时间和精力，应试教育背景下，高中生应当以提高学习成绩为重，数学思想可帮助学生快速掌握解题方法和技巧，也是一种非常重要的学习工具，值得推广学习．当然，上述分析只是笔者的浅见，不足之处还请各位读者朋友批评指正．ʌ参考文献ɔ［１］曹燕．浅析数形结合思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．科学咨询（科技㊃管理），２０１６（８）：８２．［２］刘智娟．注重高中数学解题中的 四大法宝 ［Ｊ］．中学数学，２０１７（２３）：６７－６８．［３］黄多贵．浅谈分类讨论在高中数学中的教学［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１８（９）：１６８．［４］林海卫，王敏燕．浅谈数学思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数学教学通讯，２０１６（６）：５８－５９．. All Rights Reserved.。
2021届中考数学精品冲刺复习 相似三角形之四大模型
总结：AACB ＝AAEF ，∠CAE＝∠BAF―→△ACE∽△ABF．
跟踪训练
7．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等
腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD
与 BE，AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2
＝CP·CM．其中正确的是
A．①②③
B．①
C．①②
(A ) D．②③
模型二：A 字型 【模型归纳】 有一个公共角(∠A)，此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证
明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨 论．
【重要结论】 1．图④、⑤：AC2＝AD·AB． 2．图⑤：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝BD·AB． 3．双垂直模型常会在二次函数综合题中考查，常用到分类讨论思想， 即未确定两三角形对应顶点时常通过不确定对应边列关系式求解．
跟踪训练 1．如图，⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，DE＝1．5，CE＝4，AE＝2， 则 BE＝__3_____．
2．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE＝13 AD，连接 CE 交 BD 于点 F，则 EF∶FC 的值是__4_∶__3_______．
跟踪训练
3．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为
(C )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，直线 y＝12 x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，点 B 在直线 y＝12 x＋1 上且点 B 的纵 坐标为 3，点 P 在 x 轴上且不与坐标原点 O 重合， 当以 A，B，P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点
基于数学史的数学文化课例研究
ʌ课堂研究·特设专栏：ＨＰＭ课例研究（之二十四）ɔ编者按：随着新一轮数学课程改革的发展，数学文化逐渐融入数学教育教学，日益受到师生的关注㊂为推动基于数学史的数学文化课例教学的实证研究，２０２１年，本刊将继续特邀华东师范大学汪晓勤教授及其ＨＰＭ研究团队分享基础教育阶段数学文化课例教学的实证研究，旨在让大家更好地认识数学本质㊁洞见数学价值㊁品味数学文化，促进教师专业发展，落实数学学科立德树人的教育任务㊂基于数学史的数学文化课例研究余庆纯１，汪晓勤２（１ 华东师范大学数学科学学院，上海㊀２００２４１；２ 华东师范大学教师教育学院，上海㊀２０００６２）ʌ摘㊀要ɔ基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂ 互联网＋教育 时代，数学文化课例研究要不断深挖数学史素材，扎根实证教学，融合信息技术，促进文化育师，落实立德树人的根本任务㊂ʌ关键词ɔ数学史；数学文化；课例研究；实证方法；技术融合ʌ作者简介ɔ余庆纯，华东师范大学数学科学学院在读博士研究生，主要从事数学史与数学教育研究；汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授㊁博士生导师，主要从事数学史与数学教育研究㊂ʌ基金项目ɔ上海高校 立德树人 人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地研究项目 数学课程与教学中落实立德树人根本任务的研究（Ａ８）什么是数学文化？有研究者基于国内数学文化研究，分别从数学学科㊁文化㊁数学共同体㊁数学活动等多元角度阐释数学文化的内涵，即数学文化是指一群人（数学家），当他们从事数学活动时，遵循共同的数学规则，经过长期的㊁历史的沉淀，形成了关于数学知识㊁精神㊁思想方法㊁思维方式等的共同约定的总和［１］㊂‘普通高中数学课程标准（２０１７年版）“（以下简称‘标准“）提出，数学文化不仅是指数学的思想㊁精神㊁语言㊁方法㊁观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动［２］㊂其中，数学史是数学文化的有机组成部分，不仅展现了数学概念公式㊁定理命题㊁问题解决㊁思想方法等的演进过程，而且展现了多元文化背景下数学的学科联系㊁社会角色与人文活动㊂课程改革以来，我国全面深化新时代教师队伍改革，强调教师要树立正确的历史观㊁民族观㊁国家观㊁文化观，开展中小学教师活动，促进教师终身学习与专业发展［３］㊂因此，如何在数学课程中提升数学教师的专业发展，促进数学文化的教学实践，已然成为新时代数学教师队伍改革普遍关注的热点问题之一㊂有研究表明，学科教学是教师专业发展的核心，课例研究是教师专业发展的有效抓手㊂早在２１世纪初，顾泠沅教授便开展了基于数学学科的课例教学研究，依据行动研究的实证范式，总结数学教师教学特征与实践智慧，推进新世纪数学教师队伍的专业发展［４］㊂ＨＰＭ（数学史与数学教育之间的关系）是数学教育的重要研究领域之一，其以喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，在科学严谨的数学逻辑体系中渗透丰富多彩的数学文化㊂从２１世纪初至今，在ＨＰＭ与教师专业发展研究中，课例研究不仅提升了数学教师个体的专业知识㊁教学能力与人文情怀，而且帮助一线数学教师㊁教研员与高校数学教育研究者共同组建教师专业学习共同体（ｐｒｏ⁃ｆｅｓｓｉｏｎａｌｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｍｍｕｎｉｔｙ，简称ＰＬＣ）㊂其中，在课例教学环节里，已有实证研究表明，教育取向的数学史在不同程度上彰显知识之谐㊁方法之美㊁探究之乐㊁能力之助㊁文化之魅㊁德育之效等教育价值［５］㊂然而，在ＨＰＭ教学实践中依旧存在 高评价㊁低运用 的现象㊂为了突破这一教学实践困境，教师专业学习共同体基于‘标准“中数学文化的概念内涵与数学四类价值，提出基于数学史的数学文化理论框架［６－７］，借鉴该理论框架，在基础教育阶段开展一系列的数学文化课例实践，旨在推动数学文化走进课堂㊁助教学㊁促成长㊂鉴于此，本研究主要阐述基于数学史的数学文化内涵与理论框架，介绍基于数学史的数学文化课例研究的基本要素㊁实证方法㊁技术融合等内容，为促进文化育师，落实立德树人的根本任务提供理论支撑与实践参考㊂一㊁数学文化内涵扎根于西方学者总结的数学史教育价值，结合‘标准“提出的课程目标㊁教学建议等内容，构建基于数学史的数学文化的概念内涵与理论框架，将其分成知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度（见表１），指向数学的科学价值㊁应用价值㊁文化价值㊁审美价值四类价值（见表２），进一步基于德尔菲法㊁文本分析法对该理论框架进行修正与论证，且以初中和高中ＨＰＭ课例实证该理论框架的普适性（如图１）［８］㊂表１㊀基于数学史的数学文化内涵的五个维度五个维度具体内涵知识源流在某个知识点的历史演进过程中，涉及的人物与事件㊁概念与术语㊁问题与求解㊁命题与证明等学科联系数学与其他学科之间的密切联系社会角色数学在人类生活㊁科学技术㊁社会发展中的价值㊁贡献与意义审美娱乐数学美（包括对称美㊁奇异美㊁简洁美㊁统一美等）与趣味数学，展现出人类对美学标准㊁智力好奇㊁趣味娱乐的追求多元文化不同时期㊁不同地域的数学家在同一数学课题上的贡献，以及与数学相关的人文活动表２㊀数学的四类价值四类价值价值内涵科学价值数学是自然科学的基础，不仅是运算和推理的工具，而且是表达和交流的语言，帮助人们理解和表达现实世界中事物的本质㊁关系与规律应用价值数学与人类社会生活紧密关联，数学应用渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面；数学助力现代科学技术的发展，推动社会生产力的发展，为社会创造价值文化价值数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分㊂数学相关的人文活动展现科学主义与人文主义的丰富底蕴，彰显数学的人文内涵审美价值数学能陶冶情操，让人从感性走向理性，提升审美情趣和审美能力；数学改善思维品质，在形象思维的基础上增强理性思维能力图１㊀基于数学史的数学文化理论框架随着新一轮基础教育改革的不断推进，基于数学史的数学文化理论逐渐走进一线教学实践，分别在基础教育阶段开展实证性的课例研究，旨在探寻数学学科文化育人的本质内涵，更加深刻地揭示数学文化的核心教育价值，促进数学学科立德树人的有效落实㊂二㊁数学文化课例研究（一）研究内容基于数学史的数学文化课例研究，是指教师专业学习共同体（ＰＬＣ）围绕某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，借助线上线下融合式研修的形式，携手开展主题课例的系列研修活动，如资料习得㊁教学设计㊁交流研讨㊁实践教学㊁反馈评价㊁反思整理㊁课例记录等㊂基于数学史的数学文化课例研究，其主要流程有五个基本环节（如图２）㊂图２㊀基于数学史的数学文化课例研究流程（１）确定课例主题㊂数学文化课例研究强调数学史内容，聚焦某一特定的数学概念术语㊁公式定理㊁问题解决等内容，进行教育取向的数学史料研究，且基于数学史的数学文化五个维度展开分析㊂（２）规划教学设计㊂聚焦该主题的数学文化㊁课标要求㊁教材比较㊁教学实况㊁学情基础等相关内容，综合考虑 历史发生序 数理逻辑序 心理认知序 三个序列的有机统一，经历数学文化课例主题的教学设计㊁共同研讨㊁优化设计等过程㊂现以 锐角三角比的意义 课例主题为例，进行阐述说明㊂①知识源流：借鉴２０世纪上㊁中叶英美教科书中的锐角三角函数的引入方式，选择性地进行教学重构，以校园生活为背景，引导学生基于不同实际情境，探究系列 不可测问题 的解决方法，在分析问题㊁解决问题的过程中掌握锐角三角比的概念定义，学会根据直角三角形中两边的长求解锐角三角比的值，揭示学习锐角三角比的重要性㊁必要性，为学生在高中学习三角函数奠定基础㊂②学科联系：在跨学科联系中，锐角三角比是天文学㊁航海学的重要内容之一㊂③社会角色： 日晷 作为古代计时工具，凝结着锐角三角比在社会生活中的实际运用，展现出数学源于生活㊁服务于生活的重要角色㊂④审美娱乐：正切和余切等锐角三角比有着密切关系，体现了数学的简洁美㊁统一美㊂⑤多元文化：基于２０世纪早期英美教科书，将数学家们探索 锐角三角比的意义 的过程转化为校园生活中 不可测问题 的活动探究㊂通过古今对照，表现出不同时期㊁不同文化下数学家们对 锐角三角比 研究的贡献，展现多元的数学文化㊂（３）实施课堂教研㊂开展数学文化课例教学与研究，要聚焦课堂教学的自然生成㊁数理人文的和谐统一；同时要注意收集学生反馈㊁同行评议等实证数据㊂（４）反思课例教学㊂反思主题课例教学中数学史文化素材的运用与教育价值的达成㊁教师自身专业知能的发展㊁教师专业学习共同体的合作等，有助于进一步优化课例㊂（５）撰写课例记录㊂基于数学史的数学文化课例研究流程，记录课例研究过程的实践智慧㊁心得体会与专业成长，进一步聚焦数学文化课例的教学与评价，为今后开展主题的数学文化课例提供参考㊂（二）研究主体数学文化课例研究的主体是由一线数学教师㊁教研员与高校ＨＰＭ研究者共同组成，形成教师专业学习共同体（ＰＬＣ）㊂近年来，其从个体化学习转向合作式学习，聚焦特定的课例主题，开展自主学习＋合作学习的行动研究，在设计 教学 观察 反思中螺旋式地优化数学文化课例研究㊂教师学习（ｔｅａｃｈｅｒｌｅａｒｎｉｎｇ）是教师专业发展的必经之路［９］，教师主体角色从教学者向学习者转变㊂对于数学文化课例研究的教师专业学习共同体来说，需要树立共享学习的价值观，充分发挥各自的专业优势，如一线数学教师㊁教研员扎根于基础教育实践，提供本土化的教学智慧；高校ＨＰＭ研究者立足数学文化课例研究等教育理论，聚焦国际化的教育洞见㊂这将打通基础教育阶段与高等教育阶段之间的教育鸿沟，形成 中小学 大学 合作机制（ｓｃｈｏｏｌａｎｄｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｐａｒｔｎｅｒｓｈｉｐｍｅｃｈａｎｉｓｍ，简称ＳＵＰＭ）㊂（三）研究形式数学文化课例研究主要有以下四种形式㊂（１）专家引导㊂采用专家讲座的方式，自上而下对数学史㊁数学文化㊁课例研究等相关内容进行专业性的引导㊂（２）自主学习㊂学习基于数学史的数学文化等ＨＰＭ相关理论，阅读相关主题的数学史素材，分析数学文化内涵不同维度的分布情况，比较不同版本的课标㊁教材之间的异同等㊂（３）合作学习㊂聚焦某一课例主题，以线上线下融合的方式进行小组合作学习，开展基于数学史的数学文化课例主题汇报㊂同时，教师专业学习共同体基于理论或实践视角，对该课例汇报内容进行反馈与评价㊂（４）实践应用㊂融合数学文化素材，开展课例教学，收集学生反馈㊁同行评价等数据，不断优化数学文化课例实践㊂（四）实证方法一般而言，教育研究分为思辨研究和实证研究两类㊂思辨研究主要解决 应然 问题，注重概念㊁理论与观点等内容的构建，通过逻辑推理来回答概念性㊁规范性的问题，而实证研究主要关注 实然 问题，基于收集与分析数据信息得出研究结果㊂实证研究又分为质性研究㊁量化研究与混合研究㊂长期以来，在传统的思辨研究范式主导下，理论研究常常具有较大的争议性㊁不确定性㊂近年来，随着对科学化㊁规范化研究方法的不断探索，数学教育研究逐渐摆脱思辨研究的束缚，开展了实证研究新范式㊂在数学文化课例研究中，教师专业学习共同体主要基于行动研究范式，开展课例设计 教学 观察 反思，这与２１世纪初顾泠沅教授开展的课例研究有相似之处㊂在数学文化课例研究的不同环节，呈现出不同的教育实证研究方法，其中较具有代表性的为以下几个方面㊂（１）在教育取向的数学史研究中，高校研究者往往采用历史研究法，按照历史演进的时间顺序㊁数学文化内涵的分类维度等，对不同主题的数学史料进行解析㊂（２）在数学文化课例教学中，教师经常采用问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等方法，对学生反馈㊁同行评议㊁教师反思等方面的实证数据进行收集，基于理论与实践的角度，共同评价数学文化课例的教学质量㊂其中，问卷调查聚焦课例教学前后学生认知水平的变化情况㊁数学文化的感知异同与情感信念的转变发展；深度访谈关注学生在教学前后转变的深层动因；视频分析常运用于课例教学，通过分析教学片段中的师生互动㊁生生互动，深度解析数学文化融入教学的分布状况与价值彰显，助力教师改进教学，促进其专业化发展㊂（五）技术融合在 互联网＋教育 时代，技术在数学文化课例的研究过程中扮演着重要的角色，线上线下融合式的课例研究成为主流㊂基于在线网络平台开展数学文化课例研究，常采用线上形式进行资料共享㊁主题汇报㊁交流研讨，线下形式进行自主学习㊁教学设计㊁实践教学㊁观察反思等，助力教师专业学习共同体的多元发展㊂其中，线上课例研讨可借助腾讯会议㊁钉钉㊁Ｃｌａｓｓｉｎ㊁微信等在线网络平台搭建网络学习社区，运用腾讯文档㊁思维导图等技术工具呈现教学设计，开展在线编辑；在课例教学中，教师可结合几何画板㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ㊁希沃白板㊁流转笔记等信息化工具，再现数学家探寻概念公式㊁命题定理等过程，揭示化曲为直㊁以直代曲㊁数形结合等方法的本质；基于ＰＰＴ㊁数位板㊁白板等演示工具制作的ＨＰＭ微视频㊁微课，生动地展示数学知识的来龙去脉㊁数学思想的古今传承，彰显不同时期㊁不同国家数学文化的历史性㊁人文性㊂三㊁结语基于数学史的数学文化课例研究聚焦数学的知识源流㊁学科联系㊁社会角色㊁审美娱乐与多元文化五个维度，彰显数学四大价值㊂数学文化课例研究强调数学史内容㊁实证方法与技术融合㊂在 互联网＋教育 时代，为进一步提升数学文化课例研究的数理人文，教师专业学习共同体需做好以下三个方面的工作㊂（１）深挖数学史素材㊂数学文化课例扎根于数学史研究，为数学教学提供丰富的教学素材与思想养料，然而在教学实证研究中，笔者发现数学文化内涵的五个维度运用却不均衡，因此教师专业学习共同体需要进一步深挖数学史素材，梳理数学知识的来龙去脉与文化维度的分布情况，寻找数学与其他学科之间的密切联系，发现数学在社会生活中的重要运用，品味数学奇趣之美，揭示东西方数学文化的互融互通㊂（２）扎根实证教学㊂基于数学史的数学文化课例研究，承载了发展学生数学学科核心素养的理性知能与人文情怀，支撑了教师专业学习共同体的合作学习与专业发展㊂可见，数学文化课例教学不仅要聚焦教学实践，而且要注重教育实证方法㊂基于问卷调查㊁深度访谈㊁视频分析等实证方法，还原数学文化课堂的自然生成，揭示数学的教育价值㊂（３）融合信息技术㊂信息技术为数学文化课例研究插上腾飞的翅膀，优化教学内容，提高教学效率，提升教学水平，推动信息化课例研修的历史性嬗变㊂数学教师借助信息技术开展基于数学文化的章节起始课㊁基于问题解决的探究重构课㊁基于历史命题的单元复习课，巧妙地融入翻转课堂㊁同步课堂㊁云课堂等多元教学形式，借助电子学习单㊁流转笔记㊁电子档案袋等形式，开展以学生为本的数学阅读㊁数学写作等活动，助力 互联网＋教育 时代数学文化课例的实践㊂参考文献：［１］杨豫晖，吴姣，宋乃庆．中国数学文化研究述评［Ｊ］．数学教育学报，２０１５（１）：８７－９０．［２］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［３］张侨平，陈敏．课例研究的缘起和流变：回顾与前瞻［Ｊ］．全球教育展望，２０２０（８）：７５－９１．［４］顾泠沅，王洁．教师在教育行动中成长：以课例为载体的教师教育模式研究［Ｊ］．全球教育展望，２００３（１）：４４－４９．［５］ＷＡＮＧＸＱ，ＷＡＮＧＫ．Ａｃａｔｅｇｏｒｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｆｏｒｅｄｕｃａ⁃ｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅｓｏｆｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：ａｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｓｔｕｄｙ［Ｊ］．Ｓｃｉ⁃ｅｎｃｅ＆Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，２０１７（２６）：１０２９－１０５２．［６］汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵课例分析［Ｊ］．上海课程教学研究，２０１９（２）：３７－４３．［７］余庆纯，汪晓勤．基于数学史的数学文化内涵实证研究［Ｊ］．数学教育学报，２０２０（３）：６８－７４．［８］林庄燕，汪晓勤．初中ＨＰＭ课例中的数学文化内涵分析［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教学），２０１９（１）：５７－６３．［９］桑国元．教师作为学习者：教师学习研究的进展与趋势［Ｊ］．首都师范大学学报（社会科学版），２０１７（１）：１４２－１４８．（责任编辑：陆顺演）（上接第４页）本技能和基础性核心素养的落实㊂在此前提下，教学还要关注学生学习的差异性㊂不同区域㊁不同家庭背景㊁不同学生的个性特征，对教学目标的设立㊁教学内容的选择㊁教学方法的运用㊁教学评价的指标都有所不同㊂当然，教学的差异应该统一在一个课程标准㊁一本语文教材中，即无论何时何地的教学，都应该努力实现课程标准和语文教材所设立的基准，以基准为轴心并在基准上，向左右拓展㊁向纵深发展，形成丰富多彩的差异化㊁风格化教学㊂（三）高标期求与底线坚守语文教材为学生的语文知识学习和能力获得提供了基本资源，也提出了基本的达标要求㊂但是，作为 语文要素 和 人文主题 双线并进的语文教材，没有明确的人文达标的标准和具体要求，这一问题不仅表现在教材中，也表现在‘课程标准（２０１１）“中，或许正是‘课程标准（２０１１）“对人文素养语焉不详以致语文教材无从做实做细㊂这就给语文教育中的人文教育带来了难题㊂在语文教学中，人文教育时常 天马行空 ，不仅内容上空疏高远而不切实际，而且在目标与程度上也混乱模糊㊂有些语文教学热衷于在人文主题教育上往高处飘㊁往大处行㊁往空里谈㊂况且，语文教材中涉及人文教育的内容，一般是宏大叙事㊁英雄典范㊁道德楷模㊁君子圣贤，有些教学更是喜欢对此拔高渲染，要求学生与之看齐，自以为这样做可以收到感动㊁震动的效果㊂殊不知，这样过高过大的道德教育不仅没有实效，反而适得其反，会导致学生道德的低能感和挫败感㊂因为，我们的孩子往往终归平凡㊂事实上，基础教育阶段就是平凡的教学教平凡的人㊂语文教学中关于人文教育的着力点主要是底线教育㊁准则教育，引导学生坚守道德底线，在日常生活中恪守准则，这便是基础教育基础性的人文要义，也是基础教育阶段人文教育的重心所在㊂如何处理好人文理想教育与道德底线教育关系，是当代语文教育迫切需要解决的重大课题㊂参考文献：［１］叶圣陶．叶圣陶语文教育论集［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０１５．（责任编辑：罗小荧）。
新课标数学目标四个维度
新课标数学目标四个维度在新课标的要求下，数学教学从过去的三维目标知识、技能和过程方法，拓展为现在的四个维度目标，即知识技能、数学思考、问题解决和情感态度。
这一转变不仅强调了数学知识的掌握，更加强调了数学思维能力的培养和个体情感的关注。
以下将对这四个维度进行详细阐述。
一、知识技能知识技能是数学学习的基础，包括数学概念、定理、公式等基础知识的理解和掌握，以及基本的运算、推理、作图等技能的运用。
在新课标下，知识技能的教学目标更加强调学生的主动学习和探究，而非传统的被动接受。
教师应当引导学生通过自主探索和实践活动，真正理解和掌握数学知识，同时提高数学运算、推理、作图等技能。
二、数学思考数学思考是数学学习的核心，主要是指学生能够运用数学思维方法对问题进行思考和分析，包括抽象思维、逻辑思维、空间思维等。
在新课标下，数学思考的教学目标更加强调学生的思维能力培养，而不仅仅是记忆和模仿。
教师应当引导学生通过观察、比较、分析、归纳等思维活动，发现数学规律，解决实际问题，培养学生的数学思维能力。
三、问题解决问题解决是数学学习的重要目标之一，主要是指学生能够运用所学数学知识解决实际问题的能力。
在新课标下，问题解决的教学目标更加强调学生的实践能力和创新精神。
教师应当引导学生通过解决实际问题的过程，学会提出问题、分析问题、解决问题的方法，培养学生的实践能力和创新精神。
四、情感态度情感态度是数学学习的重要组成部分，主要是指学生对数学学习的态度和情感体验。
在新课标下，情感态度的教学目标更加强调学生的个性发展和情感体验的关注。
教师应当通过创设生动有趣的数学情境，激发学生的学习兴趣和好奇心，培养学生的自信心和积极的学习态度。
同时，教师还应当关注学生的情感体验，鼓励学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作精神和团队意识。
综上所述，新课标下的数学教学目标更加注重学生的全面发展，强调知识技能、数学思考、问题解决和情感态度的有机结合。
作为教师，应当认真领会新课标的精神，全面落实四个维度的教学目标，为学生的全面发展奠定坚实基础。
数学教学实施“课程思政”的思考
作者简介：杨俊玲（1974－），女，山东德州人，小学一级教师，从事数学教学与研究。
习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调：“要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行。
”数学是一门非常重要的基础课程，作为数学教师不仅要将数学知识传授给学生，还要将数学课程教学与思想政治教育相结合，加强课程思政建设，充分发掘数学课程中的思想政治教育资源，将其融入具体的教学过程，最终达到教书育人、立德树人的目标。
要充分发挥教师的主导作用，顺应时代要求，服务于国家教育战略大局，用好课堂教学这个主阵地、主渠道，不断提升课程思政效果，推动数学教学与思政教育有机融合，通过一系列教育教学实践活动，寓教于乐，加深学生对社会主义核心价值观的理解，提高学生的思想政治水平，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
下面简述数学教学实施“课程思政”的重要意义，分析数学课程蕴含的“课程思政”资源，并探讨数学课程实施“课程思政”的主要路径。
一、数学教学实施“课程思政”的重要意义信息技术的快速发展给学习、工作和生活带来了很大的便利，但有时也给部分青少年学生造成不小的冲击，产生不少问题。
如部分学生沉迷于手机网络游戏，对学习数学的积极性不高，没有养成良好的学习生活习惯。
同时，部分学校在数学课程教学过程中忽视教书育人目标的整体性，往往只关注学生的考试成绩，忽视学生的个性发展，造成重教学、轻育人，重智育、轻德育的现象，使得个别学生思想政治素质不高，缺乏远大的人生理想和强烈的社会责任感。
立德树人是教育的根本任务，所有学科都要全面推进课程思政建设，将知识传授与价值引领相融合。
数学教师在数学课程教学中渗透思想政治教育，做到数学课程教学与思想政治教育同向同行，对于解决“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这个根本问题、培养社会主义合格建设者和可靠接班人具有重要意义。
2021年读《小学数学新课程标准》体会
You are only twenty years old, and you can be whoever you want to be.（页眉可删）2021年读《小学数学新课程标准》体会2021年读《小学数学新课程标准》体会1《小学数学新课程标准》中提到了四大数学内容。
即数与代数、空间与圆形、统计与概率、实践活动和解决问题。
读完了这本书，我觉得有2点很重要：一是教育人要有自己的一个新的理念，二是在教学活动上要有好的、新的方法。
我认为教学活动是在知识，情感两条主线相互制约下完成的，在教学中既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。
现在情感、温暖与理解是学生们最为缺乏的“稀有品”。
如果，老师能用爱心、耐心、宽容心、满腔热情地引导和教育学生，让学生感受到老师的`关心，感受到老师对他热烈而积极的期待，那他们就会对你产生亲切感、信任感，并且接受你，接受你的教学。
简单来说，师生间的关系，需要有情感作为基础，而爱，是情感的基础与表现。
只有对学生播撒爱的雨露，才能让学生满怀热情地去学习。
其次，在教学活动上要有好的、新的方法。
1、改变过去的教学模式，课堂不再是教师唱独角戏的舞台，而是一个给学生提供动手实践机会的课堂，上课由“听”转变为“做”。
学生不再是一个被动的学习者，而是数学学习的主人，教师也由指导者转变为组织者、参与者与合作伙伴。
让每一个学生通过动手操作对所学知识产生深刻的体验，理解新知识的形成与发展，并且体会数学学习的过程与方法。
这样学生会喜欢学，并且主动去学2、培养他们独立思考、合作交流的习惯。
数学是一门思考性极强的学科，教师在数学教学中应该创设与学生生活密切相关的情境激发学生的求知欲，使学生由被动学变为我要学、我想学。
然后教师引导学生把动手和动脑有机的结合起来，使学生积极开动脑筋、乐于思考、勤于思考、善于思考，逐步养成独立思考并与同伴交流的习惯。
那么在一次次的动手实践中、在一次次的探索与交流中，学生会越来越活泼、越来越可爱，我们将一同感受着知识的滋养。
数学思想与方法
数学思想与方法数学是一门古老而又现代的学科，它不仅是一种知识体系，更是一种思维方式和方法论。
数学思想与方法在人类文明的发展中起着举足轻重的作用，它的影响深远而持久。
在本文中，我们将探讨数学思想与方法的重要性及其在现代社会中的应用。
首先，数学思想是指人们在解决问题时所采用的一种思维方式。
这种思维方式包括抽象思维、逻辑思维和推理思维等，它们使人们能够更好地理解和解决问题。
数学方法则是指人们在实际问题中所采用的一种解决途径和技术手段。
这些方法包括数学模型、数学定理、数学公式等，它们使人们能够更加有效地应对现实生活中的各种挑战。
其次，数学思想与方法在现代社会中发挥着重要的作用。
首先，数学思想与方法为科学技术的发展提供了重要支持。
在物理学、化学、生物学等自然科学领域，数学思想与方法被广泛应用，为科学研究提供了重要的理论基础和技术手段。
其次，数学思想与方法在经济建设和社会管理中也发挥着重要作用。
在经济学、管理学、统计学等社会科学领域，数学思想与方法被广泛应用，为经济建设和社会管理提供了重要的决策支持和管理手段。
再次，数学思想与方法对个人的发展也具有重要意义。
数学思想的抽象思维和逻辑思维能力有助于提高个人的分析和解决问题的能力，数学方法的应用能力有助于提高个人的实际工作能力。
因此，学习和掌握数学思想与方法对于个人的综合素质提高具有重要意义。
综上所述，数学思想与方法在现代社会中发挥着重要作用，它不仅是一种学科，更是一种思维方式和方法论。
学习和掌握数学思想与方法对于科学技术的发展、经济建设和社会管理、个人的发展都具有重要意义。
因此，我们应该重视数学思想与方法的学习和应用，努力提高自己的数学素养，为社会的发展和个人的成功做出更大的贡献。
〖2021年整理〗《小学数学思想方法的梳理十分析法和综合法》优秀教案
小学数学思想方法的梳理（十）----分析法和综合法王永春（课程教材研究所）分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1.分析和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，在进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题是，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推理到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的互相依赖、互相渗透的思想方法。
2.分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的，哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
2022年冀教版小学《亿以上的数》精品教案(word版)
6.7 亿以上的数⏹教学内容教材第73～75页亿以上的数⏹教学提示亿以上的数的教学，教材设计了三个活动。
活动一，把以“亿〞为单位的数改写成以“万〞或“个〞为单位的数，教材提供了2021年国家研究与实验开展经费支出8610亿元，其中根底研究经费支出为396亿元为案例来学习。
活动二，把一个大数改成以“万〞或“亿〞为单位的近似数，改写时，要结合数的大小来选择，同时要借鉴把一个非整万的数改成一个以“万〞为单位的近似数的方法，教学时要注意知识的迁移与运用；活动三，感受一亿有多大。
教材提出了两个问题〔1〕，从1数，数到一亿需要多长的时间。
问题〔2〕，先探究把100万张复印纸摞在一起有多高，然后在此根底上推算1亿张的高度，并与世界第一峰珠穆朗玛峰的8844米比较〔2021年10月9日公布约米〕使学生间接感受1亿有多大。
这个活动安排目的，一方面体验、感受大数目，另一方面给学生创造用自己的方法，借助计算器解决问题的素材和时机。
⏹教学目标知识与能力1、会把一个以“亿〞为单位的数改写成以“个〞为单位的数，感受亿与“万〞和“个〞的关系。
2、会用“四舍五入法〞把一个大数改写成以“亿〞或“万〞为单位的近似数。
3、通过探究活动，感受一亿有多大。
过程与方法1、经历把亿以上的数改写成以“万〞或“亿〞为单位的数并感受一亿有多大，掌握数的改写方法。
2、通过数的改写，感受转化数学思想。
情感、态度与价值观1、感受一亿的实际意义，了解数的改写在现实生活中的广泛应用，开展数感。
⏹重点、难点重点感受一亿，把亿以上的数改写成以亿为单位的近似数。
难点学会用不同的方式和适当的单位表示大数。
⏹教学准备教师准备：例2、3、4多媒体课件或挂图学生准备：计算器⏹教学过程〔一〕新课导入旧知铺垫。
师：把下面的数改写成以“万〞为单位的数。
〔课件出示〕师：怎样把整万的数改写成以“万〞为单位的数？师：今天我们继续学习“亿以上的数〞。
〔板书：亿以上的数〞〕设计意图：在复习中揭示出新知学习，直奔主题，节省时间，提高学生的学习效率。
角平分线的四大模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
角平分线的四大模型解题策略模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⏊OM 于点A ，PB ⏊ON 于点B ，则PB =PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型2截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ,连接PB ，则△OPB ≌△OPA 模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP ⏊OP 于P 点，延长AP 交ON 于点B ，则△AOB 是等腰三角形.模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.A B MNO PAB MNO P A B MNO PO P QMN经典例题【例1】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习)四边形ABCD 中，DA =DC ，连接BD ．(1)如图1，若BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180°．(2)如图2，若BD =BC ，∠BAD =150°，求证：∠DBC =2∠ABD ．(3)如图3，在(2)的条件下，作AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，若DA ⊥DC ，BC =2，求DE 的长度．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【分析】(1)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED =FD ，结合已知条件HL 证明Rt △DAE ≌Rt △DCF ，继而可得∠C =∠EAD ，根据平角的定义以及等量代换即可证明∠BAD +∠BCD =180°；(2)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，根据含30度角的直角三角形的性质可得ED =12AD ，根据三线合一，可得DG =12DC ，进而可得DE =DG ，根据角平分线的判定定理可推出∠ABD =∠DBG =12∠DBC ，进而即可证明∠DBC =2∠ABD ；(3)先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌△FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设∠ABD =α，根据(2)的结论以及三角形内角和定理，求得α=15°，进而求得∠DBC =30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt △DEF 中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】(1)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，∵BD 平分∠ABC ，∴ED =FD∵DA =DC ，在Rt △DAE 与Rt △DCF 中AD =DC ED =FD∴Rt △DAE ≌Rt △DCF (HL )∴∠C =∠EAD∴∠DAB +∠EAD =∠DAB +∠C =180°即∠BAD +∠BCD =180°(2)如图，过点D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，∵BD =BC∴DG =GC =12DC ,∠DBG =∠CBG =12∠DBC∵∠BAD =150°，∴∠EAD =180°-150°=30°∴ED =12AD ∵DA =DC∴ED =DG∵ED ⊥BE ,DG ⊥BG∴∠EBD =∠GBD∴∠ABD =12∠DBC 即∠DBC =2∠ABD(3)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DM ⊥EA 交EA 的延长线于点M ，∵AE ⊥BC ，DM ⊥ME ,DF ⊥FE∴四边形DMEF 是矩形∴∠MDF =90°∴∠MDA +∠ADF =90°∵DA ⊥DC∴∠ADC =90°∴∠ADF +∠FDC =90°∴∠FDC =∠MDA在△MAD 与△FCD 中∠MDA =∠FDC ∠DMA =∠DFC DA =DC∴△MAD ≌△FCD∴DM =DF ，∠MDA =∠FDC∴四边形DMEF 是正方形∴DF =EF设∠ABD =α∴∠DBC =2∠ABD =2α∵BD =BC∴∠BDC =∠BCD =12(180°-2α)=90-α∴∠MDA =∠FDC =90°-∠BCD =α∴∠DAE =∠M +∠MDA =90°+α∵∠BAD =150°∴∠BAE =60-α在△BAE 中∠ABE =90°-∠BAE =30°+α∵∠ABE =∠ABD +∠DBC =α+2α=3α∴α=15°∴∠DBC =2α=30°∵BD=2∴DF=12BD=12×2=1在Rt△DEF中，EF=DF=1∴DE=EF2+DF2=2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．【例2】(2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中)综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．(1)初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长(直接写出答案)．【答案】(1)PC=PD(2)PC与PD在(1)中的数量关系还成立，理由见解析(3)OC的长为7【分析】(1)根据角平分线的性质进行解答即可；(2)过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，根据“ASA”证明△CPE≌△DPF即可得出结论；(3)过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明△CPE≌△DPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论．【详解】(1)解：∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，故答案为：PC=PD；(2)还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，∵OM平分∠AOB，∴PE=PF，∠PEC=∠PFD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠EPF =360°-∠DEO -∠AOB -∠DFO =90°，∵∠CPD =90°∴∠CPD -∠EPD =∠EPF -∠EPD ，即∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠PEC =∠PFD，∴△CPE ≌△DPF ASA ，∴PC =PD ；(3)过点P 作PE ⊥OA ,PF ⊥OB ，垂足分别为E ,F ，∴四边形OEPF 为矩形，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE =PF =3，四边形OEPF 为正方形，∵∠AOB =90°，∠OEP =90°,∠OFP =90°，∴∠EPF =90°，∵∠CPD =90°，∴∠CPE +∠EPD =∠EPD +∠DPF =90°，∴∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠CEP =∠DFP，∴△CPE ≌△DPF (ASA )，∴CE =DF ，∵OD =1，∴DF =OD +OF =1+3=4，∴OC =OE +CE =3+4=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【例3】(2021·全国·八年级专题练习)如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【详解】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．【例4】(2021·贵州·九年级专题练习)【特例感知】(1)如图(1)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离．【类比迁移】(2)如图(2)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】(3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=72，AB=6，求△ABC的内心与外心之间的距离．【答案】(1)125；(2)AB+BC=2BE，理由见解析；(3)5．【分析】(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF=DE解决问题；(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE．只要证明ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，推出AF=CE，RtΔBDF ≅RtΔBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；(3)如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由(1)(2)可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：AN=6+10-82=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtΔOMN中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．图①∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=BD2+CD2=42+32=5，∵12·BC·DE=12·BD·DC，∴DE=125，∴DF =DE =125．故答案为125(2)如图②中，结论：AB +BC =2BE ．图②理由：作DF ⊥BA 于F ，连接AD ，DC ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF =DE ，∠DFB =∠DEB =90°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠EDF =180°，∴∠ADC =∠EDF ，∴∠FDA =∠CDE ，∵∠DFA =∠DEC =90°，∴ΔDFA ≅ΔDEC (ASA )，∴AF =CE ，∵BD =BD ，DF =DE ，∴Rt ΔBDF ≅Rt ΔBDE (HL )，∴BF =BE ，∴AB +BC =BF -AF +BE +CE =2BE ．(3)如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由(1)(2)可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③∵BD =72，∴正方形BEDF 的边长为7，由(2)可知：BC =2BE -AB =8，∴AC =62+82=10，由切线长定理可知：AN =6+10-82=4，∴ON=5-4=1，设内切圆的半径为r，则12×r×10+12×r×6+12×r×8=12×6×8解得r=2，即MN=2，在RtΔOMN中，OM=MN2+ON2=22+12=5．故答案为5．【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．培优训练一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC>BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC上截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C=∠DEC，则DE=DC，从而得出AD=CD即可证明．【详解】证：如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，∵BD=BD，∠ABD=∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A=∠DEB，AD=DE，∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴AD=CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．2.(2022·全国·八年级课时练习)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．(1)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；(2)判断△BEG的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=12AD，见解析；(2)△BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】(1)延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE=HE=12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH=AD，则BE=12AD；(2)先证明CF垂直平分AB，则AG=BG，再证明∠CAB=∠CBA=45°，则∠GAB=∠GBA= 22.5°，于是∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：(1)BE=12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEH=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，∴△BAE≌△HAE(ASA)，∴BE=HE=12BH，∵∠ACB=90°，∴∠BCH=180°-∠ACB=90°=∠ACD，∴∠CBH=90°-∠H=∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，∴△BCH≌△ACD(ASA)，∴BH=AD，∴BE=12AD．(2)△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC=BC，AF=BF，∴CF⊥AB，∴AG=BG，∴∠GAB=∠GBA，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠GAB=1∠CAB=22.5°，2∴∠GAB=∠GBA=22.5°，∴∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，∵∠BEG=90°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴EG=EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．3.(2022·江苏·八年级专题练习)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．(1)如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E=48°，AE=AD=DC，则∠ABC的度数为 ．(2)如图2，AC>AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．(3)连接AE，若∠DAE=90°，∠BAC=24°，且满足AB+AC=EC，请求出∠ACB的度数(要求：画图，写思路，求出度数)．【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC，见解析；(3)44°或104°；详见解析．【分析】(1)根据等边对等角，可得∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质求出∠ADE=2∠DAC=48°，由此即可解题；(2)在AC边上取一点M使AM=AB，构造△ABP≅△AMP，根据MP+MC>PC即可得出答案；(3)画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；根据∠BAC= 24°，AD为△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠DAC=12°，可证△AGE≅△ABE(SAS)，得出∠ABE=∠G=90°-x，利用还有∠ABE=24°+2x，列方程90°-x=24°+2x；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA 到G，使AG=AB，可得GC=EC，得出∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；∠BAC=24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出∠BAD=∠DAC=12°，证明△AGE≅△ABE (SAS)，得出∠ABE=∠G=x，利用三角形内角和列方程x+24°+2x=180°，解方程即可．【详解】解：(1)∵AE=AD=DC，∴∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，∵∠E=48°，∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=2∠DAC=48°，∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAC=2∠DAC，∴∠BAC=48°；∴∠ABC=180°-48°-24°=108°(2)如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在△ABP和△AMP中，AB=AM∠BAP=∠MAPAP=AP，∴△ABP≅△AMP(SAS)，∴BP=MP，∵MP+MC>PC，MC=AC-AM，∴AC-AB+BP>PC，∴AC+BP>AB+PC；(3)如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG= AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；又∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，∴∠BAE=90°-∠BAD=78°，∠GAE=90°-∠DAC=78°，∴∠BAE=∠GAE，在△AGE和△ABE中，AE=AE∠GAE=∠BAEAG=AB，∴△AGE≅△ABE(SAS)，∴∠ABE=∠G=90°-x，又∵∠ABE=∠BAC+∠ACB=24°+2x，∴90°-x=24°+2x，解得：x=22°，∴∠ACB=2x=44°；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；又∵∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，在△AGE和△ABE中，AE=AE，∠GAE=∠BAEAG=AB∴△AGE ≅△ABE (SAS )，∴∠ABE =∠G =x ，∴x +24°+2x =180°，解得：x =52°，∴∠ACB =2x =104°．∴∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．4.(2022·全国·八年级课时练习)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF ．(1)求证：AC =AE ；(2)若AB =7.4，AF =1.4，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)证明△ACD ≌△AED (AAS )，即可得出结论；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD (SAS )，得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE (HL )，得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，∠C =∠DEA∠DAC =∠DAE AD =AD，∴△ACD ≌△AED (AAS )，∴AC =AE ；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAMAD=AD，∴△FAD≌△MAD(SAS)，∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE，∴Rt△MDE≌Rt△BDE(HL)，∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE=12BM=3，即BE的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．5.(2022·江苏·八年级专题练习)如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k+1【分析】(1)延长CM至点D，使CM=DM，可证ΔACM≅ΔBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证ΔDCB≅ΔNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ=CP，可证ΔCPO≅ΔCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB≅ΔNOQ等量转化即可求出CPCM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在△ACM与△BDM中，CM=DM∠AMC=∠BMDAM=BM，∴ΔACM≅ΔBDM，∴AC=BD，∵2CM=CN，∴CD=CN，在△DCB与△NCB中，CD=CN∠DCB=∠NCBCB=CB,∴ΔDCB≅ΔNCB，∴BN=BD，∴AC=BN；(2)如图所示，∵∠AMC=120°，∴∠CMN=60°，∵NP平分∠MNC，∠BCN=∠BCM，∠PNC+∠BCN=12∠AMC=60°，∴∠CON=120°，∠COP=60°，∴∠CMN+∠BOP=180°，作CQ=CP，在△CPO与△CQO中，CQ=CP∠QCO=∠PCOCO=CO，∴ΔCPO≅ΔCQO，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB与△NOQ中，∠4=∠5∠BNO=∠QNONO=NO，∴ΔNOB≅ΔNOQ，∴BN=NQ，∴CN=CP+NB，∴2CM=CP+AC，设AC=a，∴CP=ka，CM=a(k+1)2，∴CP CM =2kk+1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG 是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE=120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．7.(2022·全国·八年级课时练习)已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；(2)①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，故S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．【详解】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE ，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.8.(2022·全国·八年级)如图1，在△ABC 中，AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．(1)求证：CD 平分∠ACB ；(2)如图2，过F 作FP ⊥AC 于点P ，连接PD ，若∠ACB =45°，∠PDF =67.5°，求证：PD =CP ；(3)如图3，若2∠BAF +3∠ABE =180°，求证：BE -BF =AB -AE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG =DH =DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；(2)作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ，通过证明△SQD ≌△TFD 和△QDP ≌△FDP 得到∠PDC =∠PCD =22.5°，从而根据等角对等边判断即可；(3)延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ，通过证明△AFC ≌△AFM 得到AC =AM ，再结合CE =EB 即可得出结论．【详解】(1)证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴DG =DH =DK ，∴CD 平分∠ACB ；(2)证明：如图，作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ．∵CD 平分∠ACB ，∴DS =DT ，∵∠QDP =∠FDP =67.5°，∠ACB =45°，∴∠QDF +∠ACB =135°+45°=180°，在四边形QDFC 中，∠CQD +∠DFC =180°，又∵∠DFT +∠DFC =180°，∴∠CQD =∠DFT ，在△SQD 和△TFD 中，∠CQD =∠DFTDS =DT∠DSQ =∠DTF =90°∴△SQD ≌△TFD ，∴QD =FD ，在△QDP 和△FDP 中QD =FD∠QDP =∠FDPDP =DP∴△QDP ≌△FDP，∴∠QPD =∠FPD =45°又∵∠QPD =∠PCD +∠PDC ，∠PCD =22.5°，∴∠PDC =∠PCD =22.5°，∴CP =PD ；(3)证明：延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ．∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴2∠BAF +2∠ABE +∠C =180°，又∵2∠BAF +3∠ABE =180°，∴∠C =∠ABE =∠CBE ，∴CE =EB ，∵BM =BF ，∴∠BFM =∠BMF =∠ABE =∠CBE =∠C ，在△AFC 和△AFM 中，∠C =∠BMF∠CAF =∠BAF AF =AF，∴△AFC ≌△AFM ，∴AC =AM ，∴AE +CE =AB +BM ，∴AE +BE =AB +BF ，∴BE -BF =AB -AE ．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．9.(2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A(0，6)，B(6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S△AFH-S△FBG=9．【分析】(1)由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；(2)过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：(1)∵a2-12a+36+a-b=0∴(a-6)2+a-b=0，∴a-6=0a-b=0，即a=b=6．∴A(0，6)，B(6，0)．(2)如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据题意可知∠ACO+∠CAO=90°．∵BD⊥AC，∴∠BCD+∠CBE=90°，∴∠CAO=∠CBE．∵A(0，6)，B(6，0)，∴OA=OB=6．在△AOC和△BOE中，∠CAO=∠EBOOA=OB∠AOC=∠BOE=90°，∴△AOC≅△BOE(ASA)．∴OE=OC，AC=BE，S△AOC=S△BOE．∴1 2AC·ON=12BE·OM，∴OM=ON，∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB．(3)如图，连接OF，∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，∴OF⊥AB，OF=FB，OF平分∠AOB．∴∠OFB=∠OFH+∠HFB=90°．又∵FG⊥FH，∴∠HFG=∠BFG+∠HFB=90°，∴∠OFH=∠BFG．∵∠FOB=12∠AOB=45°，∴∠FOH=∠FOB+∠HOB=45°+90°=135°．又∵∠FBG=180°-∠ABO=180°-45°=135°，∴∠FOH=∠FBG．在△FOH和△FBG中∠OFH=∠BFG OF=BF∠FOH=∠FBG ，∴△FOH≅△FBG(ASA)．∴S△FOH=S△FBG，∴S△AFH-S△FBG=S△AFH-S△FOH=S△FOA=12S△AOB=12×12OA·OB=14×6×6=9．故不发生变化，且S△AFH-S△FBG=9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得△BEF≌△BED，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得△AEF≌△AEC，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，BF=BD∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌△BED(SAS)，∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，∠EAF=∠EAC∠AFE=∠CAE=AE，∴△AEF≌△AEC(AAS)，∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11.(2022·全国·八年级课时练习)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)见解析；(2)AD-AB=2BE，理由见解析；(3)3．【分析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．【详解】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD-AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CDF =∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，∠CBE =∠CDF∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE ≌△DCF (AAS )，∴DF =BE ，∴AD =AF +DF =AE +DF =AB +BE +DF =AB +2BE ，∴AD -AB =2BE ；(3)解：如图3，在BD 上截取BH =BG ，连接OH ，∵BH =BG ，∠OBH =∠OBG ，OB =OB在△OBH 和△OBG 中，BH =BG∠OBH =∠OBG OB =OB，∴△OBH ≌△OBG (SAS )∴∠OHB =∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH =∠ODF ，∵∠OHB =∠ODH +∠DOH ，∠OGB =∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH =∠DAB =60°，∴∠GOH =120°，∴∠BOG =∠BOH =60°，∴∠DOF =∠BOG =60°，∴∠DOH =∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，∠DOH =∠DOFOD =OD ∠ODH =∠ODF，∴△ODH ≌△ODF (ASA )，∴DH =DF ，∴DB =DH +BH =DF +BG =2+1=3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．12.(2022·全国·八年级)在平面直角坐标系中，点A -5,0 ，B 0,5 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD ⊥BC 交y 轴于点E ．(1)如图①，若点C 的坐标为(3，0)，试求点E 的坐标；(2)如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且OC <5，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分∠ADC(3)若点C 在x 轴正半轴上运动，当∠OCB =2∠DAO 时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】(1)(0，3)；(2)详见解析；(3)AD =OC +CD【分析】(1)先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE =OC ，再根据点C 的坐标为(3，0)，得到OC =2=OE ，进而得到点E 的坐标；(2)先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM =ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；(3)在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO =30°，进而得到∠OCB =60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，再根据三角形外角性质得PA =PO =OC ，故AD =PA +PD =OC +CD ．【详解】(1)如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE =∠BDE ，又∵∠AEO =∠BED ，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (-5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE =OC ，又∵点C 的坐标为(3，0)，∴OC =3=OE ，∴点E 的坐标为(0，3)；(2)如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；(3)如所示，在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，∵∠OCB =2∠DAO ，∠ADC =90°∴∠PAO +∠OCD =90°，∴∠DAC =90°3=30°，∠DCA =2×90°3=60°∵∠PDO =∠CDO ，OD =OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．13.(2022·全国·八年级)如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN⎳PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于点D(不与点A重合)，交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=AD+AB【分析】(1)由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解：(1)∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ∴∠BAC+∠ABC=12×180°=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC =CF ，AB =BF∵MN ∥BQ∴∠DAC =∠EFC∵∠ACD =∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD =EF∴AB =BF =BE +EF =BE +AD即：AB =AD +BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD +AB =BE如图3，延长AC 交PQ 点F ,∵MN ⎳PQ ．∴∠AFB =∠FAN ，∠DAC =∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF =∠FAN∴∠BAF =∠AFB∴AB =FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC =FC在△ACD 与△FCE 中∠DAC =∠EFC AC =FC ∠ACD =∠FCE∴△ACD ≅△FCE (ASA )∴AD =EF∵AB =FB =BE -EF∴AD +AB =BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14.(2018·湖北武汉·八年级期中)在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，∠CAB =90°，A (0，a )，B (b ，0)．(1)如图1，若2a-b+(a-2)2=0，求△ABO的面积；(2)如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；(3)如图3，在(1)的条件下，若以P(0，-6)为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】(1)△ABO的面积=4；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：(1)∵2a-b+(a-2)2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△ACE和△BAF中，∠CAE=∠ABFAC=AB∠ACE=∠BAF，∴△ACE≌△BAF(ASA)，∴CE=AF，在△CED和△AFD中，CD=AD∠C=∠DAFCE=AF，∴△CED≌△AFD(SAS)∴∠CDE=∠ADB；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO，在△ACM和△BAO中，。
在小学数学教学中如何培养学生的模型思想意识
在小学数学教学中如何培养学生的模型思想意识摘要：模型思想是教师培养小学生数学能力的重要助手，也是教师浅显易懂地传授教材内容的有效媒介，能够有效提高数学课堂的趣味性、直观性、规律性、高效性和科学性，让小学生亲身体验到借助模型思想解决现实问题的巧妙之处，激发小学生探究数学规律的积极性，有效培养小学生在数学认知过程中的自主意识、合作意识、探索意识、创新意识，实现小学生的全面发展，为社会培养出更多人才。
下面我谈谈自己在教学中的一些做法。
关键词：小学数学；教学；模型思想意识引言：伴随着新课程标准的推行，帮助学生建立模型思想就已经成为了现在小学数学教学的主要课题。
对比别的科目，学习数学比较枯燥，培养学生的模型思想就是个有效途径，它的生动形象特征有助于学生更好的明白并牢记相关的数学知识，有助于激发他们的学习数学的动力，从而可以为把数学这个主要科目学好提供了便利。
《义务教育数学课程标准》（2011年版）在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，这是否可以理解为：在小学阶段，从课程标准的角度正式明确了模型思想的重要意义。
什么是数学模型思想呢？它是把数学理论同实际生活紧密联系，通过数学理论知识寻找他们连接纽带，让书本上的数学知识变为对应的数学模型，再用来处理实践生活中遇到的困难的思想。
我們该如何如何培养学生的模型思想呢？我认为要从两方面入手：一方面在教学中要注重渗透模型思想，另一方面要教学生如何建立模型。
一、在数学教学中如何渗透模型思想意识（一）利用教材渗透模型思想意识数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。
从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式等都是数学模型。
在小学数学教材中，模型无处不在。
比如正比例和反比例就是一种数学模型，是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。
教材中还有数的运算、运算定律、用字母表示公式等。
（二）创造教学情境，使学生认识模型思想意识知识来源于生活，数学思想作为知识的一种，同样以生活为来源，把数学的知识同现实生活联系起来，把学生的数学知识演变成现实的生活情境，并将其运用到课堂中来，这样可以减轻学生对内容抽象、复杂的数学知识的陌生和恐惧，同时在体验活动中将数学相关的模型思想渗透给学生，让学生能够在课堂中快乐、轻松地提高自己的数学能力。
2021小学数学新课程标准考试试卷及答案(五套)
2021小学数学新课程标准考试试卷（一）一、填空（每空1分，共30分）1、数学是研究（数量关系）和（空间形式）的科学。
2、数学是人类文化的重要组成部分，（数学素养）是现代社会每一个公民所必备的基本素养。
3、数学课程能使学生掌握必备基础知识和基本技能，培养学生的（抽象思维和推理能力），培养学生的（创新意识和实践能力），促进学生在情感、态度与价值观等方面发展。
4、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，面向全体学生，适应学生个体发展的需要，使得：（人人都能获得良好的数学教育），（不同的人在数学上得到不同的发展。
）5、《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识技能、（数学思考）、（问题解决）和情感态度四方面具体阐述。
力求通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）。
体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用（数学的思维方式）进行思考，增强（发现和提出问题）的能力、（分析和解决问题）的能力。
6教学活动是师生（积极参与）、（交往互动）、共同发展的过程。
有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现（“以人为本”）的理念，促进学生的全面发展。
7、《数学课程标准》中所说的“数学的基本思想”主要指：数学（抽象）的思想、数学（推理）的思想、数学建模的思想。
学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。
8、创新意识培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己是创新的基础；（独立思考、学会思考）是创新的核心；归纳概括得到（猜想和规律），并加以验证，是创新重要方法。
9、统计与概率主要研究现实生活中的（数据）和客观世界中的（随机现象）10、数学教学过程中恰当的使用（数学课程资源），将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量。
11、学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的（过程和结果），激励学生学习和改进教师教学。
漫谈解析几何大题的四大优化策略
解题篇经典题突破方法高考数学2021年4月壇琰鉛料JT灯天販曲回兀尤连英咯V-■浙江省湖州中学盛耀建解析几何大题，是每年高考的必考大题，虽然常考，且题型也较为固定，但其依然是挡在考生面前的几座大山之一，得分率较低。
那么如何破解这一难题，推翻这座大山呢？笔者认为，除了需要我们同学总结一些常见的题型，还需要掌握一些特殊的技巧，笔者就此整理了解析几何大题解题时的四大常见优化策略，供同学们复习备考时参考。
策略一：同构式“同构式”侧重于“同构”二字，顾名思义，结构相同。
具体举例如下：捌（如图1,已知抛物线E：；/=2的:（力＞0）过点Q（1,2）,F为其焦点，过F且不垂直于工轴的直线I交抛物线E于A,B两点，动点P满足图1AFAB的垂心为原点O。
（¥，%），又因为。
为厶PAB的垂心，从而B（rr2，夕2），联立｛,消去工整理得==4jc,y2—4：ty—4=0,则<》1+%=4左,设P（鼻。
，13》2=—4。
%）,则PA=yi\——■>y0—yi），ub—PA•06=0,代入化简得+3^03^2+3= 0,同理亍'式+》0夕1+3=0,所以J/19y2是方程亍夕2+30的两根，由韦达定理知4y必+兀―土j,夕0=—gS=—312皿2=厂=_43^o3i?所以动点P在定直线皿口=—3上。
S=—3,（1）求抛物线E的标准方程；（2）求证：动点P在定直线勿上，并求的最小值。
~2I AB I d、d.s”==生=13严+4| SgB^\AB\d2込|2d解析：（1）由题意，将Q（l,2）代入b= 2”:，得22=20*0=2,所以抛物线E的标准方程为b=4sQ#9y+y N2◎，当且仅当t=±号。
其中d19d2分别为点P和点Q到直线AB的距离。
攀时取等（2）设Z：H=£jy-|-l（£HO）,A（rci，;yi）,评注：第（2）问的解答关键在于“％,；2Vi—V?所以k AB=yl y2,将①②代入得k AB=工1—S/2今，即直线AB的斜率为定值今。
2021年小学数学新课程标准测试题及答案(最终)
2021 年小学数学新课程尺度测试题及答案一、填空1、数学学习的主要方式应由纯真的〔〕、模仿和〔〕转变为〔〕、〔〕与实践创新；2、从“尺度〞的角度阐发内容尺度，可发现以下特点：〔〕〔〕〔〕〔〕。
3 、内容尺度是数学课程目标的进一步〔〕。
4 、内容尺度应指关于〔〕的指标5、与现行教材中主要采纳的“〔〕——定理——〔〕——习题〞的形式不同，?尺度?倡导以“〔〕——〔〕——解释、应用与拓展〞的根本模式呈现常识内容6、新课程的“三维〞课程目标是指〔〕，〔〕、〔〕。
7、改变课程内容难、〔〕、〔〕的现状，建设浅、〔〕、〔〕的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。
8、“数据统计活动初步对数据的收集、〔〕、〔〕和阐发过程有所体验。
9 、数学课程的总体目标包罗〔〕、〔〕、〔〕〔〕10、综合实践活动的四大领域〔〕、〔〕信息技术教育和劳动与技术教育。
11 、“实践与综合应用〞在第一学段以〔〕为主题，在第二学段以〔〕为主题。
12、统计与概率主要研究现实生活中的〔〕和客不雅世界中的〔〕。
13、在第一学段空间与图形局部，学生将认识简单的〔〕和〔〕，感受〔〕、〔〕、〔〕，成立初步的〔〕。
14、与大纲所规定的内容比拟，课程尺度在内容的常识体系方面有〔〕，在内容的学习要求方面有〔〕，在内容的布局组合方面有〔〕，在内容的表示形式方面有〔〕。
15、“空间与图形〞的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的〔〕〔〕() 及其变换, 它是人们更好地认识和描述生活空间，并进行交流的重要东西。
16、数学是人们对〔〕定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
17、为了表达义务教育的普及性、( ) 和开展性，新的数学课程首先存眷每一个学生的情感、( ) 、( )和一般能力的开展。
18 、新课程的最高宗旨和核心理念是〔〕。
19. 新课程倡导的学习方式是〔〕。
20. 教材鼎新应有利于引导学生操纵已有的〔〕和〔〕，主动探索常识的发生与开展参考答案：一、填空1. 〔记忆〕、〔训练〕、〔自主探索〕、〔合作交流〕 2. 〔根底性〕〔层次性〕〔开展性〕〔开放性〕3. 〔具体化〕。
将军饮马问题
肀考频道它是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
”中考专题复习教学是学生应用数学知识解决问题的重要过程，主要目的是温故而知新，既要巩固已学的知识和方法，又要让学生在复习中“知新”，即沟通知 识之间的联系、比较不同方法之间的异同，让更多的 学生领悟到“活”的思想方法。
4.1聚焦通性通法本专题教学聚焦平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题进行深人研究，探索这一类问题的基本原理、本质规律和一般方法。
教学设计遵循“低开 高走”原则，即教学起点较低，让绝大部分学生都能“入戏”，并在课前对本专题用到的重要知识点与方法进行回顾，然后以“一题多变”的问题串形式由易到难地层层推进，以实现专题教学的理想状态，让学 习较困难的学生“能温饱”—有收获，让大部分学生“奔小康”—长本事，让优秀学生“现代化”一多赋能。
4.2突出数形结合本专题教学有两大关键步骤：一是引导学生有序 地分类画图（以一边为平行四边形的边或对角线），进 行定性分析(确定线段平移时点的对应关系）；二是要 根据平移时坐标的变化规律建立方程组定量求解。
这两大步骤是数形结合思想的生动体现，先“以形助 数”，定性分析找到点的对应关系，再“以数解形”，用 “坐标平移法”建立方程组定量求解。
正如我国著名数学家华罗庚先生所说:“数缺形时少直观，形少数时 难人微。
”4.3显化模型思想建模是数学学习的重要方法。
构建分类模型和建立方程模型贯穿本专题教学的全过程。
教学时，让 学生在解决问题的过程中深度体会模型思想，然后教 师有意识地引导学生自主地、逐步地归纳总结，让思 想方法慢慢显化。
只有从学生思维中自主生长出来的思想方法，才是“活”的思想方法。
只有学生获得了 “活”的思想方法，才能在需要时及时提取和快速激活。
总之，深耕高质量的中考专题教学，功在教师，利 在学生综合素养的提升。
中考专题设计要高立意、低 起点、深探究，教学时应突出“深度体验一显化方法一 领悟思想”这三个关键环节，即学生深度体验，培育思 想“萌芽”；教师显化方法，助力思想“破土”;学生运用 方法，浇灌思想“生长”。
转化思想——小学数学解题的突破口
2023年第12期教育教学SCIENCE FANS转化思想——小学数学解题的突破口罗维霞（甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林第二小学，甘肃 甘南藏族自治州 747600）【摘 要】转化思想要求聚焦问题，将其从一种形式转化为另外一种形式。
在小学数学学习中，学生只有具备一定的转化能力，才能更好地梳理题目中蕴含的数量关系，迅速找到解决数学问题的突破口。
文章结合小学数学解题教学实践，围绕转化思想在数学解题中的应用进行探究，并提出了有针对性的课堂教学策略。
【关键词】小学数学；解题教学；转化思想【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）12-0200-03《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确了小学数学教学的总目标，学生不仅要掌握相应的数学基础知识，还应在学习中了解该学科的基本思想，掌握数学这一工具，以解决实际生活中的问题。
在全新教学理念的指导下，小学数学教师应带领学生在学习中体会并运用数学思想方法。
由此可见，面对新课改、新理念、新要求，教师要对新课标进行深入研读，并在课堂教学的每一个环节中落实相关要求。
转化思想是一种重要的数学思想方法，不仅是培养学生数学核心素养的重要载体，也是学生运用数学知识的关键。
鉴于此，在小学数学教学中培养学生的转化思想，已经成为一项重要的教学任务。
1 转化思想在小学数学解题中的具体运用1.1 转化思想在计算问题中的应用根据数学学科的特点，重视计算教学，使学生具备良好的计算能力，是每一位数学教师肩负的重要任务。
但是在具体的计算教学中，题目常常千变万化，如果学生缺乏良好的转化思想，那么在解题过程中势必会陷入困境，如此不仅会浪费大量时间，还容易出现错误。
对此，教师在小学数学计算教学中渗透转化思想，能够引导学生抓住问题的实质，进而将复杂的问题转化成为简单的问题，这样不仅可以节约解题时间，也能够提升解题正确率。
如面对20.67×35+2.4×206.7+2.067×330这道题目，多数学生会从自己最熟悉的常规方法入手，先计算算式中的三个乘法式子，然后再将结果相加，如此一来，学生必然要耗费大量的时间和精力。
小学数学中的转化思想(2021年小学数学北师大版)
小学数学中的转化思想[问题]纵观数学教材，转化的数学思想在教材中是如何进行递进式渗透式编排的。
在小学数学中，主要表现为数学知识的某一形式向另一形式转变，即化新为旧、化繁为简、化曲为直、化数为形等。
转化的形式多种多样（一）计算中的转化1.计算的纵向转化加减计算： 20以内数的加减←―100以内数的加减←―多位数的加减←―小数加减←分数加减。
其中 20以内数的加减计算是基础。
如23+15可以转化成2+1和3+5两道十以内数的计算，64-38 可以转化成14-8和5-3两道计算。
多位数计算也同样。
分数加减计算如 7/8+3/8 就是 7个1/8 加3个1/8 ，就是（7+3）个1/8 ，最后也可以看作是20以内数的计算。
乘除计算：一位数乘法←多位数乘法←小数乘法。
一位数乘法口诀是基础，多位数乘法都可以把它归结到一位数乘法。
除数是一位数的除法←―多位数除法←-小数除法。
除法中除数是一位数除法的计算方法是基础，多位数除法都可以把它归结到一位数除法。
2.计算的横向转化加法与减法之间可以转化，乘法与除法之间可以转化。
几个相同加数连加的和，可以转化成乘法来计算。
被减数连续减去几个相同的减数，差为零，可以转化成除法来表示。
分数的除法，可以将除数颠倒位置变成乘法进行计算。
（二）综合应用中的转化。
小学阶段十一类简单应用题分别如下：⑴求总数（部分数+部分数=总数）⑵求剩余（总数-部分数=另一部分数）⑶求相同加数的和（每份数×份数=总数）⑷把一个数平均分成几份，求一份是多少（总数÷份数=每份数）⑸求一个数里包含几个另一个数（总数÷每份数=份数）⑹求两数相差多少（较大数-较小数=相差数）⑺求比一个数多几的数（较小数+相差数=较大数）⑻求比一个数少几的数（较大数-相差数=较小数）⑼求一个数的几倍是多少（较小数×倍数=较大数）⑽已知一个数的几倍数，求一倍数（几倍数÷倍数=一倍数）⑾求一个数是另一个数的几倍（较大数÷较小数=倍数）十一类简单应用题可以归结为四大类数量关系，即部总关系、相差关系、倍数关系、总份关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学重要的思想方法：
欧阳光明（2021.03.07）
1．数形结合的思想
2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题；
3.分类讨论的思想在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．
①涉及的数学概念是分类定义的；
②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
④由运算的限制条件引起的分类．
⑤由实际问题的实际意义引起的分类．
⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．
⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．
⑧由图形的不确定性引起分类
4．转化与化归的思想
在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问
题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．。