小题满分练6

小题满分练6

1．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C

解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． 2．设复数z ＝1＋b i(b ∈R )，且z 2＝－3＋4i ，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．4 答案 A

解析 ∵z 2＝－3＋4i ，

∴(1＋b i)2＝－3＋4i,1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ， ∴1－b 2＝－3,2b ＝4，解得b ＝2. 则z ＝1－2i 的虚部为－2.

3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 6＋a 8a 3＋a 5＝127，则a 6的值为( )

A.127

B.181

C.1243

D.1729 答案 C

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 6＋a 8a 3＋a 5＝q 3＝127⇒q ＝13，所以a 6＝a 1·q 5＝1243.

4．已知a ＝log 30.8，b ＝30.8，c ＝0.32.1，则( ) A ．a

答案 C

解析 ∵a <0，b >1,0

5．如图所示的程序框图中，若输入x ＝15

16

，则输出的i 值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 B

解析 模拟程序的运行，可得x ＝15

16，i ＝0，

执行循环体，x ＝7

8

，i ＝1，

不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝3

4，i ＝2，

不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝1

2，i ＝3，

不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝0，i ＝4， 此时，满足条件x ＝0，退出循环，输出i 的值为4.

6．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )

A.

5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋1

2

答案 C

解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′， 则由已知得h 2＝1

2

ah ′.

如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，

则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22

， ∴h ′2＝12ah ′＋1

4a 2，

∴⎝⎛

⎭⎫h ′a 2－12·h ′a －1

4＝0，

解得h ′

a ＝5＋14(负值舍去)．

7．函数f (x )＝x 2e x

2

的大致图象为( )

答案 A

解析 对于任意x ∈R ，f (x )＝x 2e x

2≥0，故排除C ；x →＋∞时，f (x )→＋∞，故排除B ；因为

函数是非奇非偶函数，故排除D.

8．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 答案 B

解析 设动圆的圆心为C ，半径为R ，则圆心C 在抛物线上，设与直线x ＋2＝0相切的切点为A ，与x 轴的交点为M ，由圆的性质可知，|CA |＝|CM |＝R ，直线x ＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该动圆必过抛物线的焦点(2,0)．

9．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员

为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为2

5，则在

比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( ) A.225 B.310 C.110 D.3

25 答案 C

解析 在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为 P 1＝12×35×12×25＝350

；

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为 P 2＝12×25×12×25＝125

.

所以甲以13∶11赢下此局的概率为P 1＋P 2＝1

10

.

10．(2020·全国Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为

5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 A

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，

得⎩⎪⎨⎪⎧

c ＝5a ，

b ＝2a ，

∴|F 1F 2|＝2c ＝25a . ∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ， ∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2. 不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，

∴1

2

|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P ||F 2P |＝8. ∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P | ＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.