大 学 物 理 质点运动学

第1章 质点运动学
§1.1 参考系 坐标系 物理模型 §1.2 位矢、位移、速度及加速度 §1.3 曲线运动的描述 §1.4 运动学中的两类问题
1
运动学是研究物体的空间位置 随时间的变化关系，不涉及引发 物体运动和改变运动状态的原因。
2
§1-1 参考系 坐标系 物理模型
一、运动的绝对性和相对性
运动是绝对的: 任何物体任何时刻都在不停地运动着。
0
t0
t
0
a(t)dt
t0
由 dx
dt
初始条件 t = t 0 ，x = x0
可得
x
t
dx (t)dt
x0
t0
t
x x0
(t)dt
t0
运动又是相对的: 运动的描述是相对其他物体而言的。
二、参考系
为描述物体的运动，被选作基准的物体或物体系 称为参考系 。
运动学中参考系可任选 常用的参考系：
▲ 太阳参考系
3
日心系
地心系
▲ 地心参考系 ▲ 地面参考系或实验室参考系
地面系
二、坐标系
为定量地描述物体的运动,须在参照系上选用一 个坐标系。
坐标系是参照系的数学抽象。
小球的切向加速度量值 a，法向加速度量值an和轨道
的曲率半径 。
解：由图可知
a
g sin
gy
a g
gt
2 0
g 2t 2
g2t
02 g2t 2
an θ
x= 0
θ
a
y=gt
an
g cos
gx
g
an
g0 02 g2t 2
2
2 x
2 y
(02
g 2t 2 )3 / 2
an
an
g0
21
§1.4 运动学中的两类问题
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
dt dt dt
（3）由加速度的定义得
a
d
8 j (m/s2 )
dt
x
22
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
r(t
)
x(t)i
y(t
)
j
z(t
)k
x x(t)
或
y y(t)
P5 例1－1
z z(t)
运动方程是时间t的显函数。
质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。
◆从运动方程中消去t，即可得到轨道方程。
轨道方程不是时间t显函数。
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二、位 移 由起始位置指向终止位置的矢量，用 r表示 。
Ａ
r1
r
x2 y2 z2
方向： cosα x , cos β y cosγ z
r
r
r
(x,y,z)
k
r
i 0
j
y
x
因为， cos2 α cos2 β cos2 γ 1
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运动方程和轨道方程
◆质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函
数式称为运动方程。
表示为： r r(t)
在直角坐标系中
一、已知运动方程，求速度和加速度
dr
a
d
dt
例1：已知一质点的运动方程为
r＝d3tt
i－4t2
j
，式中
r以m
计，t以s计，求质点运动的轨道方程、速度和加速度。
解（1）将运动方程写成分量式
x＝3t，y＝－4t2
y
消去参变量t得轨道方程
4x2＋9y＝0
0
这是一条顶点在原点的抛物线。
（2）由速度定义得
大小：
a
a2 an2
d
dt
2
2
2
方向：
a与 n0的夹角
tan 1
a an
练习:P18 2－(5) 练习:P18 3－1.3.2
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二、圆周运动
在自然坐标系中 0
a
d
dt
0
2
R
n0
其中
a
d
dt
an
2
R
◆匀速圆周运动 ( =常数)
a 0
an
2
R
C
20
例: 以速度为0平抛一球，不计空气阻力，求t时刻
n0
0
n0 法向单位矢量
指向轨道的凹侧，并与切向单位矢量垂直。
0
16
P1
0
△
P2
B
A
△
n
D
C
a lim lim n
t t 0
t0
t
lim n lim
t0 t t0 t
t 0; lim
t0 t
lim t 0
0 0
0
t
d
dt
0
a
a
d
dt
0
切向加速度
切向加速度反映了速度
大小的变化率 。
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t 0;
n
n0
lim n
t0 t
lim t0 t
n0
an
an
d
dt
n0
an
d
ds
ds dt
n0
2
d
ds
n0
B
A
△ n
D
C
ds
△
d
k d
ds
1 ds k d
an
2
n0
法向加速度
法向加速度反映了速度 方向的变化率 。
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加速度：
a
d
dt
0
2
n0
r
Ｃ
Ｂ
r
r2
Ｏ
位置矢量的增量 ◆位矢增量的模 ◆位矢模的增量
r r2 r1 | r|| r2 r1 | r | r2 | | r1 |
位移在直角坐标系中的表示式
r
xi
yj
zk
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路程 s t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离。
注意
• s与 r的区别
s为标量, r为矢量
s r
d
s
dr
综上所述： •选择合适的参考系
以方便确定物体的运动性质； •建立恰当的坐标系
以定量地描述物体的运动； •提出较准确的物理模型
以确定所提问题最基本的运动规律。
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§1-2 位矢、位移、速度及加速度
一、位置矢量
由坐标原点指向质点所在位置的矢量。
表示为 r
直角坐标系中
r
xi
yj
zk
r
0
z
大小：
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例:有一质点沿 x 轴作直线运动, t 时刻的坐标为 x = 5t2 - 3t3 (SI); 试求: (1)在第2秒内的平均速度; (2)第2秒末的瞬时速度； (3)第2秒末的加速度。
解: (1) x = (522 - 3 23)- (512 - 3 13)= -6(m)
t=1s
x 6m/s
4
z (x,y,z)
k
r
j
i0
y
x
直角坐标系
z
P
r
y
x
球坐标系
e
er
P r
0
x
极坐标系
0
A
A nA
B B
nB
s>0
s<0
自然坐标系
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四、物理模型
对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的 基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学 方法描述的理想模型。
质点： 具有质量而可忽略其形状和大小的几何点。
将t ＝2代入上式，得2 s末的速率为
＝1＋4×2＝9 (m·s-1)
（2）法向加速度的大小 （3）切向加速度的大小
an
2
R
＝81
m·s-2
a
d
dt
＝
4
m·s-2
二、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程
a a(t) 初始条件 t = t 0， = 0
由 a d
dt
t
可得 d a(t)dt
lim
r
dr
t0 t dt
lim s ds
t0 t
dt
dr ds
dt dt
0
在直角坐标系中
0
A
r1
r2
0
C
B
r3
O
dx dt
i
dy dt
j
dzቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
k
xi
y
j zk
即
x
dx dt
y
dy dt
练习:P17 1－(1) P18 1－(5)
z
dz dt
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四、加速度
描述质点速度变化快慢和方向的物理量。
A
A B
r1
r2
B
O
平均加速度
瞬时加速度
a
t a lim d
t0 t dt
A
B
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在直角坐标系中
a
d x
dt
i
d
y
dt
j
d z
dt
k axi ay j azk
ax
d x
dt
或
a y
d y
dt
az
d z
dt
练习:P18 3－1.3.1
• r 与 r的区别
r为标量，r为矢量
r r
Ａ
r1(t )
s
Ｂ
r
Ｃ
r
r2(t t)
o
练习:P18 2－(1)
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三、速 度
描述质点位置变化快慢和方向的物理量。
1.平均速度与平均速率
r
t
s
t
s r
x
i
y
j
z
k
t t t
A
r1
s
r r2
B
o
2.瞬时速度与瞬时速率
t
(2) dx 10t 9t2
dt
2 16m/s
(3) a d 10 18t
dt
a2 26m/s 2
作业:P18 3－1.3.3
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§1.3 曲线运动的描述
一、平面自然坐标中的描述
由曲线上各点的切线和法线所组成的一系列坐标
系称自然坐标系。
0 切向单位矢量
指向物体运动方向。
S
n0
o
A 0