维纳滤波基本概念

Wiener滤波概述

Wiener滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR结构的Wiener滤波器的讨论。

由信号当前值与它的各阶延迟

)}

1

(

,

),1

(

),

(

{+

-

-M

n

x

n

x

n

xΛ

，估计一个期望信号

)

(n

d，输入信号)

(n

x

是

宽平稳的，

)

(n

x

和

)

(n

d是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小。

在本章中,不特别说明, 假设信号是零均值.

Wiener滤波器的几个实际应用实例如下：①通信的信道均衡器。

图1. 信道均衡器的结构示意②系统辨识：

图2. 线性系统辨识的结构

③一般结构:

图3. Wiener 滤波器的一般结构

Wiener 滤波器的目的是求最优滤波器系数o w ，使

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==22

)(ˆ)(]|)([|)(n d n d E n e E n J 最小。 §3.1 从估计理论观点导出Wiener 滤波

FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示.

图4. 横向Wiener 滤波器

FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.

为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数

由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i Λ使估计误差均方值

最小，均方误差定义为：

这里估计)(ˆn d 写为：∑-=-=1

0)()(ˆM k k k n x w n d

除了现在是波形估计外，与线性Bayesian 估计一一对应。

xx R R （零均值假设）

这里)])()([)((n d k n x E k r xd -=-, Wiener 滤波与线性Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数

为0w ，由线性Bayesian 估计得到Wiener 滤波器系数对应式：

上式后一个方程称为Wiener-Hopf 方程,

或 xd x xx r R R R 101

--=⇒=w θa

结论：

1) Wiener 滤波器是线性FIR 滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。

2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件）

3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：

它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =

§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器

Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。

导出最优滤波器的正交原理, 并从正交原理出发重新导出一般的Wiener 滤波器方程

推导适应于IIR 和FIR 的一般结论，然后分别讨论FIR 和IIR 。

讨论一般的复数形式。

·

Λ

Λ],

[

,

],

0[n

x

x

输入过程。

·

Λ,

,

,2

1

w

w

w

滤波器系数，（权系数）

·希望的响应d[n]

·输出误差：

]

[

]

[

]

[n

y

n

d

n

e-

=

·正交性原理

对复数据情况，推导一般结论，实数据是特例。

∑∞=-

=

0*) (

]

[

k

k

k

n

x

w

n

y]

[

]

[

]

[n

y

n

d

n

e-

=

=

∑∞

=

-

-

*)

(

]

[

k

k

k

n

x

w

n

d

均方误差是：

{}][*][n

e

n

e

E

J={}2|][|n e E=

设权系数: k k k jb a w +=

定义递度算子

T k ],,[10ΛΛ∇∇∇=∇. 其中k k k k b j a w ∂∂+∂∂=∂∂=∇ 符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b J j a J J ∂∂+∂∂=∇

要求Λ,,10w w 的值, 使得J 最小,即 0=∇J

等价：0=∇J k Λ2,1,0=k

由]}[*][{n e n e E J =