洛必达法则证明
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
经典洛必达法则
即 f ( ) 0
例 设0 a b,证明b a ln b b a .
b
aa
证明： 设f ( x) ln x,
f ( x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以， (a,b),使 f (b) f (a) f ( )(b a),
因为f ( x) 1 ,上式即为
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数.
lim sin x sin
x 1
2
2
1.
2
例
求
lim
x0
cos
x
x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解 原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
例
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
解：
×
正解：
3-2第二节洛必达L’Hospital法则
系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x
型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
洛必达法则的证明
洛必达法则：若实函数()00:,f U x R δ→和()00:,g U x R δ→在定义域上处处可微，()0g x ≠且()0g x '≠，()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==或()0lim x x g x →=∞，极限()()0l i m x x f x g x →''存在或趋于无穷，那么()()()()00lim lim x x x x f x f x g x g x →→'='。
证明：为方便证明，设00x =，一般情形的证明是类似的。
（I ）若()()0lim x x f x g x →''的极限值是有限实数。
若设()()0lim x f x a g x →'='，根据极限的定义，对任意正数ε，存在正数δ，使得当x δ<总有()()2f x ag x ε'-<' (1) 若()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==任取x δ<，令()()()()()f x f t tg x g t ϕ-=-。
()00:,f U x R δ→和()00:,g U x R δ→是可微的因而也是连续的，所以()t ϕ是连续的。
因为()()00lim lim 0x x x x f x g x →→==，所以()()()0lim y f x t g x ϕ→=。
所以存在实数y 满足y 与x 同号且y x <，使得()()()2f x y g x εϕ-<。
由柯西中值定理存在ξ介于x 和y 之间，使得()()()()()()()f x f y f y g x g y gξϕξ'-=='-，所以 ()()()()2f f xg g x ξεξ'-<' 又x ξδ<<，所以()()2f a g ξεξ'-<'。
洛必达法则证明
验证原函数和导函数满足洛必达法则的条件
• 原函数的极限形式为0/0或∞/∞
• 导函数在求极限的点处存在且连续
求解原函数和导函数的极限
• 利用洛必达法则，求解原函数和导函数的极限
• 通过比较原函数和导函数的极限，得到原函数的极限值
检查洛必达法则的适用性
• 验证求得的极限值是否满足原函数的条件
• 如果满足，则证明洛必达法则成立；如果不满足，则考虑其他方法求解
• 洛必达法则通过求解函数的导数来求解函数的近似值
• 泰勒级数通过展开函数为多项式来求解函数的近似值
洛必达法则和泰勒级数的适用范围不同
• 洛必达法则适用于求解特定形式的极限问题
• 泰勒级数适用于求解函数的近似值和展开式
洛必达法则的优点
洛必达法则的缺点
• 适用性广，适用于特定
• 仅适用于特定形式的极
• 他的研究成果被后来的数学家发展和完善
洛必达法则在数学中的应用领域
微积分学
⌛️
• 求解函数的导数和积分
• 求解函数的极限和连续
性
概率论与数理统计
• 求解随机变量的期望和
差分方程
方差
• 求解统计量的极限分布
• 求解线性差分方程的解
• 求解非线性差分方程的
解
02
洛必达法则的证明过程
证明洛必达法则的基本步骤
达法则
针对洛必达法则局限性的改进方法
改进洛必达法则的应用范围
简化洛必达法则的求解过程
• 研究适用于其他形式极限问题的求解方法
• 研究更高效的求解导数的方法
• 结合其他数学工具，如泰勒级数、积分变换等，扩展洛
• 利用计算机辅助求解，简化求解过程
洛必达法则的证明方法
洛必达法则的证明方法洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中经典的一个公式，常用于求解极限问题。
洛必达法则的精髓是通过对于分子和分母同时求导数，以得到更简单的极限值。
本文将详细阐述洛必达法则的证明方法，希望能帮助大家更好地理解和使用它。
一、洛必达法则的基本形式设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=a$ 处两侧连续，且 $g'(x)\neq 0$，则有$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$当两个极限值都存在或都为 $\infty$ 或都为 $-\infty$ 时，上式成立。
二、洛必达法则的应用洛必达法则可以解决许多涉及无穷小量的极限问题。
我们可以采用以下的一般步骤：1. 将极限表达式化为 $\dfrac{0}{0}$ 或$\dfrac{\infty}{\infty}$ 的形式。
2. 将分子和分母同时求导数。
3. 计算所得导数的极限值。
如果存在，则该极限值即为原极限的值。
三、洛必达法则的证明方法洛必达法则的证明可以分为以下三个步骤：1. 构造函数 $h(x)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$2. 将 $h(x)$ 在 $x=a$ 处进行泰勒展开，得到$h(x)=\frac{(x-a)f'(a)+(x-a)r_1(x)}{(x-a)g'(a)+(x-a)r_2(x)}$其中 $r_1(x)$ 和 $r_2(x)$ 为当 $x \to a$ 时 $O((x-a)^2)$ 级别的无穷小量。
3. 对于分子和分母进行合并，得到 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}$当 $x \to a$ 时，$(x-a)r_1(x)$ 和 $(x-a)r_2(x)$ 均趋于零，因此$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(a)+(x-a)r_1(x)}{g'(a)+(x-a)r_2(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$因此，洛必达法则得证。
洛必达法则
f ( x) f '( ) 即•• g ( x) g '( )
( 在x与a之间)
下页
由于当x→a时，ξ→a，对上式两边取极限得
f ( x) f ( ) lim lim x a g ( x) x a g ( ) f ( x) f ( x) 即•• lim lim x a g ( x) x a g ( x )
注：每次使用罗必达法则之前，必须分析所求极限 是否满足法则条件，若不满足，应停止使用，改用 其他方法。
下页
“零比零”型未定式的定值法 x sin x lim 例 2 例 3 求 3 x 0 x x sin x lim1 cos x lim sin x 1 解 lim 解 x 0 x 0 3x 2 x 0 6 x 6 x3 例 例 43 求 lim 2
2
x e sin x 1 e sin x 1 lim lim 2 2 x 0 x 0 (sin x) x
2
x
e cos x e x sin x 1 lim lim x 0 x 0 2x 2 2
x
e x 1 sin x 例11 求极限 lim x x 0 (e 1)sin x
f (sin x) 1 f (sin x) 1 lim lim x 0 x 0 f ( x) 1 ln f ( x)
f (sin x) f (0) x lim x 0 sin x 0 f ( x) f (0)
所以不能用洛必达法则 但其极限是存在的 lim x sin x lim (1 sin x ) 1 x x x x
例14
e cos x lim 求 x 0 x sin x
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则完全证明
洛必达法则完全证明洛必达法则（Lavoisier's law），也称作质量守恒定律，是描述封闭系统中物质质量不会增加或减少的基本原理。
洛必达法则可以追溯到18世纪法国化学家安托万·洛必达（Antoine Lavoisier）的研究工作。
他通过一系列实验发现，在化学反应中，物质的质量总是保持不变的。
1.实验一：闭合容器中的物质质量测量在这个实验中，我们取一个完全封闭的容器，称为反应容器。
首先，我们称量并记录下反应容器的质量。
然后，在容器中进行一系列化学反应，反应过程可能包括物质的燃烧、氧化、还原或其他类型的反应。
最后，等到反应结束后，我们再次称量并记录下反应容器的质量。
根据洛必达法则，反应前后，反应容器中的物质质量应该是相等的。
如果质量有改变，那么可能是实验中存在了系统误差或者其他不可控因素的影响。
重复进行多次实验，取平均值可以更加准确地得出结论。
2.实验二：原子论和化学计量法则的应用例如，考虑一种化学反应：氢气与氧气的反应产生水。
反应方程式可以表示为：2H₂(g)+O₂(g)→2H₂O(g)。
根据原子论，我们可以知道在反应前后，反应物质和生成物质中的原子数量应该是相等的。
同时，根据化学计量法则，反应方程式中的系数表示了反应物质之间的化学比例。
通过计算反应物质和生成物质的质量，我们可以发现在这个反应中，反应物质的质量和生成物质的质量之和等于反应前反应容器的质量。
这进一步验证了洛必达法则，即封闭系统中物质的质量不会增加或减少。
3.实验三：其他实验方法的应用除了实验一和实验二，还有许多其他的实验方法可以验证洛必达法则。
例如，通过对气体反应中的体积和质量的研究，可以得出相同的结论。
物质在封闭系统中的质量不会发生变化。
综上所述，洛必达法则可以通过一系列实验和基于原子论和化学计量法则的理论解释进行证明。
这个法则是现代化学的基本原理之一，对于化学反应和计量都是至关重要的。
虽然洛必达本人并没有提出详细的证明过程，但通过他的实验和贡献，洛必达法则得到了广泛接受和应用。
高考中的洛必达法则
导数利器——洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00x a -→，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
洛必达法则
4º 注意洛比达法则与其它求极限方法的灵活使用.
e x − e− x ∞ e x + e− x 例如， lim x 型 不定 − x = lim x x → +∞ e + e ∞ x → +∞ e − e − x 1 − e− 2 x e x − e− x = lim = 1 (恒等变形) 而 lim x −2 x −x x → +∞ 1 + e x → +∞ e + e
例1 求下列极限： 0 0 π 0 − arctan x 0 x . (1) lim 2 ; (2) lim 1 x→ 0 ln cos x x→ + ∞ x 解 (1) 原式 = lim
x→ + ∞
1 − 1 + x2 1 − 2 x
x = 1. = lim 2 x→ + ∞ 1 + x
2
1 (2) 原式 = lim = − lim cot x = −∞ . x → 0 − sin x x →0 cos x
tan x − x . 例4 求 lim 2 x → 0 x tan x tan x − x 解 原式 = lim 3 x→0 x
0 0 0 0
(tan x ~ x, x → 0)
sec x − 1 = lim x →0 3 x2
2
1 tan 2 x 1 = lim = . 2 3 x→0 x 3
1∞
解 (方法1) 令 y =
0 ln(ln x ) Q lim ln y = lim 0 x →e x →e 1 − ln x 1 1 = lim x ln x = − lim = −1, 1 x →e x →e ln x − x
可去间断点 .
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
专题05 洛必达法则(解析版)
备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题五 洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A ∃f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g'(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
lnlnx的洛必达法则
lnlnx的洛必达法则摘要：一、洛必达法则简介二、洛必达法则的证明1.柯西中值定理2.分子分母分别求导3.求极限三、洛必达法则的应用1.求未定式值2.处理无穷小之比或无穷大之比四、特殊情况处理正文：【一、洛必达法则简介】洛必达法则，是一种在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
它的应用广泛，能帮助我们解决一些求极限的问题。
【二、洛必达法则的证明】洛必达法则的证明依赖于柯西中值定理。
柯西中值定理指出，在一定条件下，函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率等于在该区间内某一点c的瞬时变化率。
利用这个定理，我们可以证明洛必达法则。
证明过程如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g(x)是在(a,b)内可导的函数，且g(a)≠0，g(b)≠0。
根据柯西中值定理，存在c∈(a,b)，使得f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)同时，g"(c) ≠ 0。
那么，lim (f(x) / g(x)) = f"(c) / g"(c)根据极限的保持性，我们有lim (f(x) / g(x)) = lim (f"(c) / g"(c))接下来，我们对分子和分母分别求导：f"(x) = lim (f(x+h) - f(x)) / hg"(x) = lim (g(x+h) - g(x)) / h将上述两式代入lim (f(x) / g(x)) = lim (f"(c) / g"(c))，我们得到lim (f"(x) / g"(x)) = lim (f"(c) / g"(c))由于f"(x)和g"(x)都是可导的，我们可以继续应用洛必达法则，直到得到一个可求解的极限或者达到预定的精度。
【三、洛必达法则的应用】洛必达法则的应用非常广泛。
洛必达法则的积分法证明
洛必达法则的积分法证明洛必达法则积分法是将概率变量x 的概率密度p(x) 的曲线，等分成若干小矩形，从而计算x分布函数f(x)和积分kg(x) 的一种方法。
洛必达积分法在概率论以及数理统计中有着广泛的应用，它可以源源不断地获得实际问题中未知的概率分布函数及其积分。
洛必达法则积分法的基本原理是将概率密度函数f(x)，用多个宽度不等的小矩形替换，从而将原始的数值积分改为有限的离散积分。
首先，将曲线取等分点，把概率密度函数fx(x) 等分为n个小矩形，也称为洛必达积分的离散点，并将每个小矩形用包含它的矩形替代，将这个小矩形的高度定义为其最大值f钨x，其宽定义为（b-a)/n.洛必达积分法求解积分过程如下：（1）根据原函数f(x)，以每一小步Δt将概率变量x等分n个离散点，得到离散点集合P={x1,x2,……xn}；（2）算出离散点的概率密度函数值f={f1,f2,…,fn}；（3）建立分段函数f*(x)，当xi≤x≤xi+1 时，有 f*(x)=fi；（4）洛必达积分Kg(x)：用分段函数形式表示时，Kg(x)可以表示为Kg(x)=x2fi−x(i−1)fi−1其中i=1,2,…,n.洛必达积分法最容易出错的地方是如何确定小矩形的宽度n.一般而言，宽度n应该尽可能小，但不宜过小，以使精度得到更高的理想值。
洛必达法则积分法虽然易于操作，但有一定的局限性，例如：在概率密度函数中出现极大值时，洛必达积分法容易失真；此外，洛必达积分法的运算量大，因为在实际中，通常需要计算若干次，以获得精确结果。
总而言之，洛必达法则积分法是一种计算概率密度函数f(x)、概率分布函数Kg (x) 和概率变量x的有效方法，由于它的简单有效，在概率论以及数理统计中有着广泛的应用。
洛必达法则证明
洛必达法则证明证明洛必达法则的步骤有： 1，证明等价无穷小量的求导等价于等式的左边是无穷小量; 2，判断等式的左边是否存在着一个函数； 3，把左边的无穷小量换成自变量为0的常数，观察是否等式成立，若不成立，需要继续证;若等式成立，则证明左边有界。
2。
知道了等价无穷小之后，还要做到两点：（ 1）一、如何使用洛必达法则？1。
把你的无穷小替换成零，等式仍然成立吗？这是关键。
2。
等式成立，即使常数a很大，也可以将无穷小量换成零； 3。
使用等式，必须先求出函数值，再代入解出x的值； 4。
没有零，则上下同时取整，然后再除以常数，直至得到结果为止。
注意：等式右边没有单位，也就是说，我们所写的不是一个数，而是一个与0有关的数字。
2。
观察发现，如果直接使用等式，是求不出来x的值的。
这时候应该使用洛必达法则，等式才能得出x的值。
3。
证明等式的左边是否存在着一个函数，或者能不能找到等式左边与f(x)=0之间存在着某种关系。
由等式的左边是无穷小量可知，等式的左边肯定不是0，则等式不能成立，可以排除掉。
在这里只要选择正确的函数f，找到x的最高点，就可以判断等式是否成立。
如果x不是任何常数，那么可以证明等式左边不存在着函数。
4。
我们可以用如下方法验证结论是否正确： 1)令等式成立，然后取x=a,再计算等式左边的f(x)，看看是否与零无关，从而判断等式是否成立。
2)如果不成立，则证明f(x)=0，即可。
5。
如果证明不成立，那么再证明等式左边有界，并且满足：lim-1<f(x)<0，即lim-1<f(x)<0,这样等式左边的无穷小就等于0了，即左边有界。
3。
最后一步就是证明左边有界。
因为无穷小量是一个定值，没有大小，所以可以去其两端，这时等式就成立了。
4。
当等式左边是0时，可以用取0这种办法来证明，这是不对的。
无穷小是一个数，所以无穷小两边都要乘以0。
等式的左边是无穷小，那么等式的左边一定是零，不是0，所以等式不成立。