常用求导积分公式及不定积分基本方法

不定积分常用的16个基本公式

不定积分常用的16个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，指的是对函数进行求导的逆过程。

基本公式在求不定积分时十分有用，可以极大地简化计算。

以下是16个常用的不定积分基本公式及其推导过程：1. $\int{x^n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中$n$为常数，$C$为常数。

这是幂函数求积分的基本公式。

通过对$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$求导即可推导得到。

2. $\int{\frac{1}{x}}dx = ln，x， + C$。

这是倒数函数求积分的基本公式。

通过对$\frac{d}{dx}(ln，x，)$求导即可推导得到。

3. $\int{e^xdx} = e^x + C$。

这是指数函数$e^x$求积分的基本公式。

直接对$e^x$求导即可推导得到。

4. $\int{a^xdx} = \frac{a^x}{ln(a)} + C$，其中$a$为常数且$a>0$。

这是指数函数$a^x$求积分的基本公式。

通过对$\frac{d}{dx}(\frac{a^x}{ln(a)})$求导即可推导得到。

5. $\int{sinxdx} = -cosx + C$。

这是正弦函数求积分的基本公式。

对$-cosx$求导即可推导得到。

6. $\int{cosxdx} = sinx + C$。

这是余弦函数求积分的基本公式。

对$sinx$求导即可推导得到。

7. $\int{tanxdx} = -ln，cosx， + C$。

这是正切函数求积分的基本公式。

通过对$ln，cosx，$求导即可推导得到。

8. $\int{cotxdx} = ln，sinx， + C$。

这是余切函数求积分的基本公式。

通过对$ln，sinx，$求导即可推导得到。

9. $\int{secxdx} = ln，secx + tanx， + C$。

这是正割函数求积分的基本公式。

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x-='，xx 21)(='。

⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。

⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±；（Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）；（Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。

3．微分函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x +=⎰||ln 1； C e dx e x x +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C aa dx a x x；（3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）（２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -=' 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。

不定积分的概念与性质及基本积分公式

不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。

不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。

在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。

一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。

二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。

2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。

3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。

三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。

c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。

d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。

e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。

2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。

b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。

3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。

d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。

e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。

常用导数+积分公式

常⽤导数+积分公式
1. 导数
1.1 导数基本公式
1.2 导数的四则运算法则
1.3 复合函数求导法则
2. 积分
积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。

在应⽤上，积分作⽤不仅如此，它被⼤量应⽤于求和，通俗的说是求曲边三⾓形的⾯积，这巧妙的求解⽅法是积分特殊的性质决定的。

2.1 不定积分
设
是函数f(x)的⼀个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进⾏积分。

2.2 定积分
积分是微积分学与数学分析⾥的⼀个核⼼概念。

通常分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于⼀个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分记为：
若f(x)在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平⾯上，曲由线(x，f(x))、直线
x=a、x=b以及x轴围成的⾯积值（⼀种确定的实数值）。

2.3 基本积分公式
2.4 积分的基本运算法则。

导数微分不定积分公式

导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。

导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。

2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。

幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。

指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。

对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。

三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。

全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。

导数微分不定积分公式

一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数）（２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x-='，xx 21)(='。

⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。

⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±；（Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）；（Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。

3．微分函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x +=⎰||ln 1； C e dx e x x +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C aa dx a x x；（3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

常用的24个不定积分公式及证明

常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。

1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。

2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。

3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。

所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。

4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。

5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。

对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。

6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。

7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。

8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。

基本求导积分公式

基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。

在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。

一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。

2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。

3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。

4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。

这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。

5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。

6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。

导数微分不定积分公式

导数微分不定积分公式一、导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在特定点上的变化率。

假设函数y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，那么函数在其中一点x=a处的导数表示为f'(a)或$\frac{dy}{dx}$。

导数的定义可以通过极限来表示：$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，h是一个无穷小的增量。

导数有以下几个基本规则：1. 常数规则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数等于零，即$\frac{d}{dx}(c) = 0$。

2. 幂函数规则：对于幂函数f(x) = $x^n$，其中n是任意实数，它的导数是f'(x) = $nx^{(n-1)}$。

3. 指数函数规则：对于指数函数f(x) = $a^x$，其中a是常数且大于零，它的导数是f'(x) = $a^x\ln(a)$。

4. 对数函数规则：对于对数函数f(x) = $\log_a{x}$，其中a是常数且大于零且不等于1，它的导数是f'(x) = $\frac{1}{x\ln(a)}$。

5.和差规则：设f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和（差）f(x)±g(x)的导数是f'(x)±g'(x)。

6. 积法则：设f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的积fg的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

7. 商法则：设f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)不等于零，那么它们的商$\frac{f(x)}{g(x)}$的导数是$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$。

此外，还有复合函数的导数、隐函数的导数等规则，它们的求导公式可以根据基本规则和链式法则来推导。

二、微分微分是导数的一个重要应用，它描述了函数局部变化的情况。

微分有两种方式表示，一种是微分形式，另一种是微分方程形式。

高中数学知识点归纳不定积分的性质与计算方法

高中数学知识点归纳不定积分的性质与计算方法高中数学知识点归纳：不定积分的性质与计算方法不定积分是高中数学中重要的概念和工具之一，用于求解函数的原函数。

在本文中，我们将对不定积分的性质和计算方法进行归纳总结。

一、不定积分性质1. 基本性质：不定积分是导数的逆运算，即如果函数F(x)的导数是f(x)，则f(x)的不定积分是F(x)加上一个常数C，表示为∫f(x)dx=F(x)+C。

这是不定积分最基本的性质。

2. 线性性质：不定积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。

这一性质对于简化不定积分的计算非常有用。

3. 有界定理：如果函数f(x)在一个闭区间[a, b]上连续，则其不定积分在该区间上也是连续的。

即不定积分函数在闭区间上有界。

4. 区间可加性：对于一个函数在一个区间上的不定积分，可以将区间分成若干小区间，对每个小区间进行不定积分，再将结果相加。

即∫[a, b]f(x)dx=∫[a, c]f(x)dx+∫[c, b]f(x)dx，其中a≤c≤b。

二、不定积分的计算方法1. 函数表法：部分函数的不定积分可以通过查找函数表来直接得到。

例如，常见的幂函数、三角函数和指数函数的不定积分都可以通过函数表找到对应的积分公式。

2. 基本积分法：基本积分法是指根据函数的特点和性质，利用基本的积分公式对不定积分进行计算。

例如，对于幂函数的积分，可以运用指数函数的公式得到结果；对于三角函数的积分，可以利用三角函数的公式进行计算。

3. 替换法：替换法是一种常用的不定积分计算方法，通过对被积函数进行代换，将问题转化为求导数的问题。

常见的代换方法包括利用三角函数代换、指数函数代换和幂函数代换等。

4. 分部积分法：分部积分法是将不定积分中的积分号分解，通过对部分函数进行求导，将复杂的不定积分转化为较简单的不定积分。

分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是函数。

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法Document number ： PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998一、基本求导公式1.(x") = (inx)* =—A2.(sin x\ = cosx (cosx)'=-sinx3.(tan x)f = sec2x (cot x)' = -esc2x4.(see%)/ = tan.¥secx (esc x)8 9 = -cotxcsc x5.(a x y = a x In a , (e x)f = e x6.(arctan xj =l '、(arcsin A)=(arc cot x)* = - - —； (arccosx) =--j=J=二、基本积分公式f—6Zr = lnlxl+C J x3.j sin xdx = -cosx + C f J cos Adv = sin x + C4.J sec2xdx = tan x + C |esc2xdx = -cot x + C5.J tan xdx = -ln I cos x I+C jcot xdx = In I sin x I+C6.J sec xdx = In I sec x + tan x I+C J esc xdx = In I esc x - cot x I+Cf 1 f 17. ------- -dx = arctan x + C , dr = arcsin x + CJ"- ------- -ax = — arctan — + C —==ax = arcsin — + CJd+r a a」_炉ci8 j _dr = 】n x + -〃2 +CJ yJx2 -a21. + c (〃〜1),f 』1 dv = InJ y/x 2 +a三、常用三角函数关系1・倍角公式.、 l-cos2x 7 1+cos 2x sin* x = --------------- cos- x =2 2 2.正余切与正余割正害lj sec x = ------- sec" x = \ + tan' xcosx余害lj CSCX = —5— CSC 2 x = 1+cot 2 Xsin x四、常用凑微分类型2. J /(av + /?)dx = — j f(ax + Z?)d(av + Z?) (a W 0)；3. J/(x /r )-x A-,cLv = -j/(x A )cL¥A (〃工0);4. J f(a x )a'dx = p!— [ (a > 0,a W 1)；5. j/(In x) •-dv = j /(In x)d In x ;6. J/(sin x) cos AC L V = j/(sin x) dsinx;J /(cos x) sin xdx = -J /(cos x)d cos x;7. J /(tan x) sec 2 xdx = J /(tan x)d tan x ;j /(cot x) esc 2 xdx = -J /(cot x)d cot x ;8. j /(sec x)・ sec A tan xch = j/(sec x)d sec x ;j /(esc x)・ esc xcot xdx = -J /(esc x) d esc x ; 9. cr -x 3 = _Lln2aJ/(e x )e v dx = J/(e x )de\j /(arcsin x) • , [ dx = j /(arcsin x) d arcsin xj /(arctan x) •[1、dv = J /(arctan x) d arctan x.五、第二类换元法常用的代换方法(1)>Ja2-x2 ,可作代换x = 〃sin/ ；(2)yla2+x2 ,可作代换x = 〃tan/ ；(3)ylx2-cr ,可作代换x = asec/ ；(4)分母中次数比较高时，常用倒代换代换x ；(5) yjax + b ,可作代换1 = &x + b ；小lax + b—r,j- \ax + b(6)《E可作代换"#f六、分部积分基本公式^iidv = uv-^vdii基本方法：j f(x)dx —小述黑丁- > J u(x)vMdx > J u(x)dv(x)> =w(A-)v(x)-J v(x)du(x)使用分部积分法的关键是将/(x)dx恰当地凑成〃(X)小(X)的形式，其遵循的一般原则是：(1) Mx)容易求得；(2)卜(幻八(幻要容易积分；一般地，按“反对帚指三’的顺序,前者取为〃(幻,后者取为/1).常见类型W(A-)与dv(x)的选取1Jsin xdx , j x n cosxdx , J x n e x dx注：x”可推广到多项式选x"为“(x),将sin xdx, cosxdx, e x dx凑成du(x)9.1,C L=—sin2x + C22 J(2x + 51& = g j(2x + 5)，.(2x + 5) dv= -j(2x + 5)3d(2x + 5)2= 1(2X + 5)4+C类似电1sd(l+2x 4)」n(l + 2/) + C 8/ 「 i f sinx , 4. tan xax = dx = - JJ cos x =-f —!— d cos x = -ln I cos x I +C J cosx 1. Jcos2xdA =gjcos 2x(2x)& = gj cos 2.vd(2A)(— j 2 cos u d 〃 ) 3. J 2xe x dx = 1•(x 2) dx = j e c dx 2 (j>dn = e“+C)f —!— • (cos,v)r d¥ J cosx 5.J sin' xch = \ sin 2 x sin xdv = 一 j(l-COS 2 X)dcOSA ； = —cos' x-cosx+C.6. 1 tan 5 x sec 2 xdv = J tan " x d tan x = ； tan 4 x + C7. J sin 2 xcos" xdx = J sin 2 x cos 4 x cos xdx=J sin 2 x(l-sin 2 x) dsin .v = j(sin 2 x-2sin 4 x + sin 6 7 x)dsinx 1 . 3 2 ・ 5 1 . 7 万= -sin x--sin x + -sin x + C. Jr+a- a J (x } \a) 1+ - \ci) 1 X c =—arctan —+ C. a a r 1 + cosx . r I z . . ------------- dx = -------------- (x + sin J x + sinx J x + sinx ［利用J\~~ ~d" = Cretan u + C x\dx = f--------- ! ---- d (x + sin x) =ln|x + sinx J x + sinx。

导数微分不定积分公式

导数微分不定积分公式导数、微分和不定积分是微积分中的基本概念和工具。

它们是描述函数变化、近似变化以及计算曲线下面积的重要方法。

下面我将详细介绍导数、微分和不定积分的定义及其相关公式。

一、导数导数是描述函数变化率的概念。

对于函数y=f(x)，在其中一点x处的导数表示的是函数在该点处的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点处的切线斜率。

1.导数的定义函数在点x处的导数，记为f'(x)或dy/dx，定义为：f'(x) = lim┬(h→0)⁡(f(x+h)-f(x))/h如果该极限存在，则称函数在x处可导，否则不可导。

2.基本导数公式（1）常数的导数：如果f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。

（2）幂函数的导数：如果f(x) = x^n（n为任意实数），则f'(x)= nx^(n-1)。

（3）指数函数的导数：如果f(x) = a^x（a>0，a≠1），则f'(x) = a^x * ln(a)。

（4）对数函数的导数：如果f(x) = ln(x)（x>0），则f'(x) = 1/x。

（5）三角函数的导数：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

二、微分微分是导数的另一种形式。

微分表示函数的局部线性近似，并且可以用于计算函数的局部变化。

1.微分的定义函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy，定义为：dy = f'(x) * dx其中，dx表示自变量x的一个增量。

2.微分的性质（1）微分的线性性：如果z = cf(x) + dg(x)，其中c为常数，f(x)和g(x)是可导函数，则dz = c * df(x) + d * dg(x)。

（2）微分的逆运算：如果y=f(x)，则du = f'(x) * dx 可以写成dy = f'(x) * dx，这是微分的基本公式。

不定积分公式大全含求积分通用方法及例题

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

不定积分的基本公式和直接积分法

不定积分的基本公式和直接积分法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求一个函数的原函数。

在求解不定积分时，可以使用基本公式和直接积分法。

一、基本公式基本公式是指一些常见函数的不定积分公式，它们是通过求导的反向过程来得到的。

以下是一些常见的基本公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。

2. x的幂函数的不定积分：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n不等于-13. e^x函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。

4. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中x不等于0。

5.三角函数的不定积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

- ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。

- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。

6.反三角函数的不定积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C。

- ∫1/√(1+x^2) dx = arctan(x) + C。

- ∫1/x dx = ln，x， + C。

直接积分法是通过一些变换和方法来求解不定积分。

以下是几种常用的直接积分法：1. 换元法：通过进行变量代换，将不定积分转化为容易求解的形式。

例如，当遇到∫f(g(x))g'(x) dx的形式时，可以令u = g(x)，从而将不定积分转化为∫f(u) du。

2.部分分式法：将一个有理函数拆分为若干个分式的和，并分别对每个分式进行积分。

这通常用于分解分母是多项式的情况。

3. 分部积分法：将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。

根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，选择一个函数作为u，另一个函数作为dv，并计算∫v du。

4. 微分与积分的互换：有时候，我们可以通过对函数进行微分来简化不定积分的求解。

常用求导积分公式及不定积分基本方法

一、基本求导公式1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x'= 2. (sin )cos x x '= (c o s )s i nxx '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(c o t )c s cx x '=-4. (sec )tan sec x x x '= (c s c )c o t c sxx x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x xe e '=6. ()2arctan 11x x '+=()a r c s i n x '=()2arccot 11x x '+=-()a r c c o s x '=二、基本积分公式1.1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1l n ||+d x x Cx =⎰ 2. d ln xxa a x C a=+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰ 4. 2secd tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ c o t d l n |s i n |xx x C =+⎰ 6.sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ c s cd l n |c s cc o t x x x x C=-+⎰ 7.21d arctan 1x x C x =++⎰ arcsin x x C =+2211d arctan xx C a x a a=++⎰ arcsinxx C a=+8.ln x x C =+(ln x x C =+9.2211d ln 2x ax C a x a x a-=+-+⎰ 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x +=2. 正余切与正余割正割 1sec cos x x = 22sec 1tan x x =+余割 1csc sin x x= 22csc 1cot x x =+四、常用凑微分类型1.11()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰; 2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰;4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a =>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x⋅=⎰⎰;6. (sin )cos d (sin )d sin f x x x f x x = ⎰⎰; (cos )sin d (cos )d cos f x x x f x x =-⎰⎰;7.2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;2(cot )cscd (cot )d cot f x x x f x x =-⎰⎰;8.(sec )sec tan d (sec )d sec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰; (csc )csc cot d (csc )d csc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰;9.(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x ⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法(1)可作代换t a x sin =；(2) 22x a +，可作代换t a x tan =； (3)22a x -，可作代换t a x sec =；(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t=；可作代换t =；可作代换t =六、分部积分基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰ 基本方法：()f x dx ⎰()()()f x u x v x '=−−−−−→分解()()u x v x d x '⎰−−−→凑微分()()u x d v x⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；一般地，按“反对幂指三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '.反三角函数对数函数幂函数指数函数三角函数1.()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰） 1sin 22x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2x x x x x '+=+⋅+⎰⎰31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2u u ⎰） 41(25)8x C =++ 3.()222222d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰（d u u e u e C =+⎰） 2x e C =+类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x '==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x=-=-+⎰5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰6. 33421tan tan tan sec d d tan 4x x x C x x x = =+⎰⎰ 7.2524sin cos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰()222sin 1sin dsin x x x =-⎰()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x x x x C =-+=-++⎰8.22221111d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1arctan .xC a a=+9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。

不定积分公式总结

不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。

下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。

2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。

3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。

4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。

二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。

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