计算方法第一讲知识课件

时间：n次乘法；n次加法
2020/9/27
例：计算多项式： 0 . 0 6 2 5 x 4 0 . 4 2 5 x 3 1 . 2 1 5 x 2 1 . 9 1 2 x 2 . 1 2 9 6 需10次乘法4次加法。
( ( ( 0 . 0 6 2 5 x 0 . 4 2 5 ) x 1 . 2 1 5 ) x 1 . 9 1 2 ) x 2 . 1 2 9 6
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教材与参考书
• 邓建中，刘之行，西安交通大学出版社，《计算方法》 ，2001年
• 李庆扬，关冶 《数值分析原理》，清华大学出版社， 2000年
• 李庆扬，易大义，王能超 《现代数值分析》，高教出版 社，1995年
• Michael T. H. Scientific Computing: An introductory Survey, 清华大学出版社，2001
• Matlews J. H. Numerical Methods Using Matlab, 电子工业 出版社，2002
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第一讲数值分析的意义内容与方法
数值分析或计算方法的历史早于计算机的产生 ，许多（如今仍在使用的）概念与方法由二 十世纪前的伟人给出 Newton (1642-1727) Euler(1707-1783) Lagrange(1736-1813) Laplace(1749-1817) Legendre(1752-1833) Hermite(1822-1901) Gauss(1777-1855) Cauchy(1789-1857) Jacobi(1804-1851) Adams(1819-1892) Chebyshev(1821-1894) Laguerre(18341886)
( x ) ( x ) /x ( x x ) /x
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2.3有效位数与有效数字
如果 x 的误差限为0.5×10-n，即
xx 110n 2
则称其准确到小数后第n位，并称 x 的第一 个非零数字到第n位的全部数字为 x 的有
效数字。
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例如，若 x= π =3.1415926535···，~ x3.1416
具有 k 位有效数字，则易知
|(x)|0.a1a1 2 2 1ak0 n1m 021 a110 (k1)
这说明近似值的相对误差越小，其有效数字 越多。
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2.4 数据误差的影响 2.4 数据误差的影响 对两个数x1和x2，简单计算可得：
(x1x2)(x1)(x2)
若输出y=y(x)在（给定步长h）x=h, x=2h, … x=nh处的近似值，则该问题转化为数值问题。
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算法及其好坏
• 计算机的基本运算：四则运算、简单逻辑运算 • 计算机的算法可分为串行算法和并行算法 • 好的算法：
1、面向计算机，易于编程和计算实现； 2、计算复杂性好：计算时间少、占用内存少； 3、计算稳定性好：能有效控制由于方法近似和舍入
其真正值为0.05572809，但计算结果为： 0.0560， 但如果先进行有理化在计算，结果为：0.05574，显 然，后一种计算精度高。
例：如在尾数为4位的计算机上计算
1 0 2 ( 0 .3 1 9 7 ) 1 0 1 ( 0 .2 4 5 6 ) 1 0 0 ( 0 .1 3 5 2 )
精确值为34.5612，计算时如先加前两项，再加后一 项，结果为34.57，如先加后两项，再加前一项，结 果为34.56，显然，后一种算法更好。
4次乘法4次加法。这是多项式计算的秦九韶算 法。
[ ( 0 . 5 x 0 . 6 ) 2 0 . 5 x 0 . 7 ] [ ( 0 . 5 x 0 . 6 ) 2 0 . 8 ] 0 . 9
3次乘法5次加法。
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例4 解代数方程 ：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
8
4
1
1
8
yn
1.095 1.181 1.266 1.343 1.416 1.737
9
1
2
4
4
9
Y(xn) 1.095 1.183 1.264 1.341 1.414 1.732
4
2
9
6
2
0
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例：求方程 ( z 1 ) ( z 2 ) ( z 2 0 ) 0
则 ~ x准确到小数后4位，具有5位有效数字。
注意，若 x= 0.200001，~ x10.2,~ x20.20,0
则
~x2
~x1 作为 x 的近似只有1位有效数字，而
作为 x 的近似具有4位有效数字。
显然，近似值的绝对误差越小，其准确到 小数后的位数越多。
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若 ~ x 0 .a 1 a 2 a k 1 m ( a 0 1 0 )
1 5
x3
47 60
解为：x1 = x2 = x3 =1
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如近似为：
x1 0.50x2 0.33x3 1.8 0.50x1 0.33x2 0.25x3 1.1 0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
则解为：
x 1 6 . 2 2 2 , x 2 3 8 . 2 5 , x 3 3 3 . 6 5
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§2 误差及有关概念
2.1误差的来源
真实值与我们所获得的值之间的差异就是误差。
对实际问题的研究需要建立数学模型，这带来模型 误差。
求解数学问题时需要若干参量和初始值，这些数据 往往通过对实际问题的观测得到，由于观测引起 的误差称为观测误差（数据误差、模型参量误差 ）。求解数学问题时，由于算法而引起的误差称 为方法误差（截断误差）。计算机计算时只能对 有限位数进行计算，超过的进行舍入，由此引起 的误差称为舍入误差（计算误差）。
误差引起的误差增长，结果能达到所要求的精度； 4、适用性好。
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例3：计算多项式
p ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n
x = a时p(a)的值。
• 普通方法 时间：n(n+1)/2次乘法；n次加法 • 秦九韶算法
b0a0,bkakabk1,k1,2, ,n p(a)bn
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1.2 数值问题与算法
• 数值问题是指输入数据（原始数据，问题 中的已知量）与输出数据（结果）之间的 函数关系的明确的无歧异的问题
• 数学问题未必是数值问题，但它往往可以 用数值问题来逼近
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例2：求常微分方程
dy
x2
y2
dx
y ( 0 ) 0
由题目要求，需给出y=y(x)解析式，该问题不 是数值问题；
的结果
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例5：计算sinx，x[0，/4]
sinxxx3x5x7 3 ! 5 ! 7!
(2 x n 2 n 1 1)!R n
例6：求解函数方程f (x)=0. 例7：求解函数方程 x2 30
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例8：计算定积分
b
a f ( x)dx
例9：求解常微分方程
yf(x,y), x[a,b] y(a)y0
( x ) x x ,x x x
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设x为真正值，x 为近似值，称： ( x ) ( x ) /x ( x x ) /x
为 x 的相对误差。
如果存在r，使得 ( x ) ( x )/x ( x x )/x r
，称之为 x 相对误差限。
在实际计算中，相对误差限很小时，也取：
根，如z10系数 210略有误差，为210.000000119 ，则根20变为20.847，19和18变为19.5021.94i .
例：求解微分方程
y y 0 , y(0) y(0) 1
解为：y ex， x , y 0
y(0) 1, y(0) 1, 则解为：
y ex (1 )ex , x , y
• 按研究内容可分为：数值代数、数值逼近、 数值微积分、微分方程数值解、最优化计算 、概率统计计算、计算几何、计算力学等。
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是否有了计算机，找到数学公
式就可以得到正确的结果？
例1：
x1
1 2
x2
1 3
x3
11 6
1 2
x1
1 3
x2
1 4
x3
13 12
1 3
x1
1 4
x2
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• 随着计算机的普及与发展，计算机性能的大幅提 高，海量数据的出现，科学计算更为重要
• 科学计算已成为现代科学技术的研究方法的第三 大方法 理论推导，科学试验，科学计算
• 其他应用：符号计算、计算几何、定理的机器证 明
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科学计算的定义
• 将科学技术问题通过建立数学模型转换为数 学问题；
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例：如在尾数为4位的计算机上计算
In
e1
1xnexdx , n 0,1,2,
0
,7
In 1nIn1
In1 (1In)/ n
按两种不同递推计算，结果为：
第一种算法 第二种算法
I0 I1 I6 I72020/9/27
0.6321 0.3680 0.0400 0.7200
0.6320 0.3679 0.1269 0.1124
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
直接法：用Cramer法则解， 若det(A)不为0，
x k D k/D ,k 1 ,2 , ,n
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