最新分组分解法练习
分组法 因式分解专项练习30题(有答案)
=[（x+1）2+2x][（x+1）2+x]=（x2+4x+1）（x2+3x+1）； （3）（x+y）3+2xy（1﹣x﹣y）﹣1=[（x+y）3﹣1]+2xy（1﹣x﹣y）=（x+y﹣1）[（x+y）2+x+y+1]﹣2xy（x+y﹣1）
分组法分解因式---- 2
26．m2﹣2mn+n2﹣am+an． 27．x2﹣2xy+y2+3x﹣3y+2． 28．（1）a2﹣2ab+b2﹣4； （2）x3﹣x2﹣4x+4． 29．a2x2﹣4+a2y2﹣2a2xy 30．（1）x2+9y2+4z2﹣6xy+4xz﹣12yz
（2）（a2+5a+4）（a25a+6）﹣120．
本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下： 原式=a2+（﹣b）2+c2+2（﹣b）c+2ca+2a（﹣b）=（a﹣b+c）2． （4）原式=（a7﹣a5b2）+（a2b5﹣b7）=a5（a2﹣b2）+b5（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a5+b5）
=（a+b）（a﹣b）（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）=（a+b）2（a﹣b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4） 12．6x2﹣5xy﹣6y2+2x+23y﹣20=6x2﹣x（5y﹣2）﹣（6y2﹣23y+20）=6x2﹣x（5y﹣2）﹣（2y﹣5）（3y﹣4）
分组分解的八种方式与例题
分组分解的八种方式与例题嘿，大家好！今天咱们来聊聊“分组分解”的那些事儿。
别急，听到这儿可能会觉得有点头大，其实这玩意儿就像拼图游戏一样，把大问题拆分成几个小问题，简单有趣又实用。
我们一步步来，保证你看完后对这些方法有个清晰的认识。
1. 什么是分组分解？首先，分组分解听起来有点高深，其实就是把一个复杂的问题分成几个更容易处理的小问题。
比如说你要解决一道难题，直接上手可能会觉得很难，但如果把它拆成几个小块儿，每个小块儿解决起来就会轻松很多。
这就像你要做一个大菜，把各种原料分门别类准备好，不就能做得更顺利吗？1.1 分组分解的必要性分组分解能帮助我们理清思路，减少错误。
想象一下，如果你要修理一个坏掉的设备，直接动手的话可能会搞得一团糟。
如果先分解一下，把每个部件的问题搞清楚，那修起来不就容易多了？1.2 分组分解的基本步骤分组分解其实很简单，主要有几个步骤：1. 确定问题的主要部分：先搞清楚你的大问题是什么。
2. 拆分成子问题：把大问题拆成几个小问题，最好每个小问题都能独立解决。
3. 逐个攻破：一个个解决这些小问题，最终大问题也就迎刃而解了。
2. 分组分解的八种方式现在，我们来看看分组分解的具体方法。
这些方法就像调料一样，根据需要加一点儿，效果会更好。
2.1 按照功能分组这种方法就是根据功能来分组。
比如说你要设计一个软件，可以把它拆分成用户界面、数据库、功能模块等。
这就像你在做一顿饭，把主菜、配菜、汤等分开准备，这样每个部分都能更好地被处理。
例题：设计一个线上购物平台用户界面：登录、注册、商品浏览后台管理：库存管理、订单处理、用户管理数据存储：数据库设计、数据备份2.2 按照时间顺序分组按照时间顺序分组，就是把问题按照发生的顺序拆开。
像做项目一样，先制定计划，再实施，再测试，最后总结。
这样每一步都能有条不紊地进行。
例题：计划一次公司年会前期准备：确定日期、邀请嘉宾、订场地实施阶段：布置场地、安排节目、组织活动后期总结：收集反馈、总结经验、整理资料2.3 按照重要性分组这种方法是根据问题的重要程度来分组。
分组分解法知识点及习题优秀版
分组分解法知识点及习题优秀版第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二；例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：====因式分解专项练习题一定要记住的公式大全：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab ＋b^2＝(a±b ）^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b ＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．*（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac ，n=bd ，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）： 方法一：分组分解法步骤类型一 分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。
分组法因式分解试题练习(含答案)
分组法因式分解试题练习(含答案)分组法因式分解试题练一、单选题1.对于a²-2ab+b²-c²的分组中，分组正确的是（）A.（a²-c²）+（-2ab+b²）B.（a²-2ab+b²）-c²C。
a²+（-2ab+b²-c²）D.（a²+b²）+（-2ab-c²）2.把多项式ab⁻¹+a⁻b因式分解的结果是（）A.（a+1）（b+1）B.（a⁻¹）（b⁻¹）C.（a+1）（b⁻¹）D.（a⁻¹）（b+1）3.把ab-a-b+1分解因式的结果为（）A.（a+1）（b+1）B.（a+1）（b⁻¹）C.（a⁻¹）（b⁻¹）D.（a⁻¹）（b+1）4.把ab+a⁻b⁻¹分解因式的结果为（）A.（a+b）（b+1）B.（a⁻¹）（b⁻¹）C.（a+1）（b⁻¹）D.（a⁻¹）（b+1）5.把多项式a²-b²+2a+1分解因式得（）A.（a+b）（a-b）+（2a+1）B.（a-b+1）（a+b-1）C.（a-b+1）（a+b+1）D.（a-b-1）（a+b+1）6.将多项式a²-9b²+2a-6b分解因式为（）A.（a+2）（3b+2）（a-3b）B.（a-9b）（a+9b）C.（a-9b）（a+9b+2）D.（a-3b）（a+3b+2）7.分解因式：x²-2xy+y²+x-y的结果是（）A.（x-y）（x-y+1）B.（x-y）（x-y-1）C.（x+y）（x-y+1）D.（x+y）（x-y-1）8.分解因式a²-b²+4bc-4c²的结果是（）A.（a-2b+c）（a-2b-c）B.（a+2b-c）（a-2b+c）C.（a+b-2c）（a-b+2c）D.（a+b+2c）（a-b+2c）9.把x²-y²+2y-1分解因式结果正确的是（）A.（x+y+1）（x-y-1）B.（x+y-1）（x-y+1）C.（x+y-1）（x+y+1）D.（x-y+1）（x+y+1）10.分解因式a²-2a+1-b²正确的是（）A.（a-1）²-b² B。
分组分解法的10道例题
分组分解法的10道例题分组分解法是一种常用的求解问题的方法，它通过将问题分解为若干子问题来进行求解。
这种方法在算法设计和求解复杂问题时特别有用。
接下来，我们将给出十道使用分组分解法解决的例题，并详细介绍每个例题的思路和解决方法。
1. 斐波那契数列题目描述：求取斐波那契数列第n个数的值。
思路：斐波那契数列是一个非常经典的递归问题，我们可以通过分组分解的方法来求解。
将问题分解为求取第n-1个数和第n-2个数的和，然后再依次往前递归求解，直到求取第1个数和第0个数。
然后通过逐层返回的方式求得最终结果。
2. 整数拆分题目描述：将一个正整数n分解为多个正整数的和，求分解方式的总数。
思路：通过分组分解的方法，我们可以将整数拆分问题分解为计算n减去一个正整数后的拆分方式的总数。
将问题分解为求取n-1, n-2, n-3, ..., 1的拆分方式的总数，然后相加即可得到最终结果。
3. 装箱问题题目描述：有n个物品和一些容量为C的箱子，每个物品都有一个重量和一个价值，希望找到一种装箱方式，使得装入箱子的物品总重量不超过C，同时总价值最大。
思路：装箱问题可以通过分组分解法转化为一个递归问题。
我们可以将问题分解为是否将第n个物品放入箱子中的两种情况，然后再依次递归到前面的物品。
对于每个物品，可以选择放入或不放入箱子中，然后根据递归结果，选择价值最大的情况。
4. 图的连通性题目描述：给定一个无向图，判断其中两个节点是否连通。
思路：通过分组分解的方法，可以将连通性问题分解为判断两个节点是否直接相连或者通过其他中间节点连通。
我们可以通过递归的方式，从一个节点出发，遍历所有和它直接相连的节点，然后再递归遍历这些节点，直到找到目标节点或者遍历结束。
5. 最长递增子序列题目描述：给定一个序列，找到其中最长的递增子序列的长度。
思路：最长递增子序列问题可以通过分组分解法转化为一个递归问题。
我们可以将问题分解为是否将第n个元素放入递增子序列中的两种情况，然后再依次递归到前面的元素。
分组分解法练习题及答案
分组分解法练习题及答案精品文档分组分解法练习题及答案1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.22例如:把x-y+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，2222后两项分为一组，得到:x-y+ax+ay=+=+a=，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意:1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组;若分组后公式法22分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，222222ab-a-b+1=1-=1-=1.重点难点分析1 / 19精品文档重点:掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则:分组后可继续分解.难点:是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调:分组无固定的形式.2.典型例题解析32例1 分解因式2a+a-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?1，三、四两项的系数之比也是2?1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.32解 a+a-6a-33=-=a-3=222例分解因式4x-4xy+y-16z分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.222解 x-4xy+y-16z2 / 19精品文档222=-16z22=-=22例分解因式ax-ay-x+2xy-y分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.解 ax-ay-x+2xy-y22=-2=a-=22222例把-4xy分解因式22222解 -4xy2222=-2222=[+2xy][-2xy]2222=[-1][-1]2=[-1][-1]=例分解因式x-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x-632=x-3x+2x-63 / 19精品文档32=+2=x+22=4例分解因式a+44分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.4解 a+4422=a+4a+4-4a422=-4a22=-22=点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.22解由x+10xy+25y-1=0可得4 / 19精品文档-1=0 即=0当x+5y+1=0时32x+5x2y+x=x=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1322x+5x2y+x=x=2x熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.232例把2x+x-6x-3分解因式.32解 x+x-6x-33=-2=x-32=2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.2222解 abx-aby-axy+bxy2222=+=a+by=点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因5 / 19精品文档式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.2例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.2解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab2=+=x+a=2解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab2=-+=y-a+b=点评本题共有六项，解法一分为两组:前三项为一组，后三项为一组;解法二分为三组:一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.一、填空题221.x+2y-y+2x=.22.因式分解x+xy-3x-3y= .223.因式分解1-a+2ab-b= .6 / 19精品文档54324.因式分解x+x+x+x= .25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式ab-ab+ab-ab= .229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3= .2210.分解因式a-b+4a+2b+3= .二、分解因式32211.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay2215.6x-2m+2n 16.4x-4y+4y-1423324参考答案:22一、1. . . .x5.26. . .) .10 10.二、11.原式= 12.原式=x 13.原式=14.原式= 15.原式=2 16.原式=因式分解之分组分解法1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2,ab，ac,bc2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad7 / 19精品文档3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y2224.按公式特点分组a,2ab，b,c a2?4b2?12bc?9c2四(总结规律1.合理分组;2.组内分解3.组间再分解4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因式分解 分组分解法精选
因式分解-分组分解法精选题20道一．选择题（共2小题）1．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8）B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）2．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）二．填空题（共8小题）3．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝．4．因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝．5．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝．6．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝．7．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝．8．因式分解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝；（2）a2b﹣25b＝；（3）4a2﹣12a+9＝；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝．9．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝．10．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝．三．解答题（共10小题）11．分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．12．因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．13．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．14．因式分解：（1）4xy﹣2x2y；（2）3x3﹣12xy2；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y；（4）（x﹣y）2+4xy．15．因式分解：（1）x3﹣6x2y+9xy2；（2）x2﹣y2﹣ax﹣ay．16．分解因式：（1）2a2﹣16a+32．（2）x2﹣4xy﹣1+4y2．17．因式分解（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y．18．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．19．请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）20．分解因式：x2﹣2x﹣4y﹣4y2．因式分解-分组分解法精选题20道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8）B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）【解答】解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8＝（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8＝（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．2．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）【解答】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）＝（x﹣1）2﹣（y+2）2＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选：D．二．填空题（共8小题）3．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝（m﹣y）（m+x）．【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx）＝m（m﹣y）+x（m﹣y）＝（m﹣y）（m+x），故答案为：（m﹣y）（m+x）．4．因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c）2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．5．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝100．【解答】解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1，∴设另一个因式为（x+k），则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，∴，∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86＝2k+6﹣6k+8+4k+86＝100，故答案为：100．6．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2＝（m﹣1）2﹣n2＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．7．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a2+b2﹣2ab）﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．8．因式分解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝﹣3b（a﹣2ab+b2）；（2）a2b﹣25b＝b（a+5）（a﹣5）；（3）4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝（x﹣y）（x+y﹣2）．【解答】解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝﹣3b（a﹣2ab+b2），故答案为：﹣3b（a﹣2ab+b2）；（2）a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a+5）（a﹣5），故答案为：b（a+5）（a﹣5）；（3）4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2，故答案为：（2a﹣3）2；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2），故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．9．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．【解答】解：原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2＝[（x+y）﹣（xy+1）]2＝（x+y﹣xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．故答案为（x﹣1）2（y﹣1）2．10．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝（x+1）（y﹣3）．【解答】解：xy﹣3x+y﹣3＝x（y﹣3）+（y﹣3）＝（y﹣3）（x+1）．故答案为：（y﹣3）（x+1）．三．解答题（共10小题）11．分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解答】解：（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）•（3a ﹣2b）．12．因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．13．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．【解答】解：（1）原式＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2；（2）原式＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）．14．因式分解：（1）4xy﹣2x2y；（2）3x3﹣12xy2；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y；（4）（x﹣y）2+4xy．【解答】解：（1）4xy﹣2x2y＝2xy（2﹣x）；（2）3x3﹣12xy2＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y＝（9x2﹣4y2）﹣（3x﹣2y）＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（3x﹣2y）＝（3x﹣2y）（3x+2y﹣1）；（4）（x﹣y）2+4xy＝x2﹣2xy+y2+4xy＝x2+2xy+y2＝（x+y）2．15．因式分解：（1）x3﹣6x2y+9xy2；（2）x2﹣y2﹣ax﹣ay．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣6xy+9y2）＝x（x﹣3y）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y）＝（x+y）（x﹣y﹣a）．16．分解因式：（1）2a2﹣16a+32．（2）x2﹣4xy﹣1+4y2．【解答】解：（1）2a2﹣16a+32＝2（a2﹣8a+16）＝2（a﹣4）2；（2）x2﹣4xy﹣1+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1＝（x﹣2y）2﹣1＝（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）．17．因式分解（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y．【解答】解：（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）＝（a﹣b）x2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣1）＝（a﹣b）（x+1）（x﹣1）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y＝4x2﹣（y2﹣2y+1）＝4x2﹣（y﹣1）2＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．18．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解答】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．19．请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．20．分解因式：x2﹣2x﹣4y﹣4y2．【解答】解：原式＝（x2﹣4y2）﹣（2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x+2y）＝（x+2y）（x﹣2y﹣2）．。
分组法因式分解精彩试题练习(含问题详解)
分组法因式分解试题练习一、单选题1.对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A. （a2﹣c2）+（﹣2ab+b2）B. （a2﹣2ab+b2）﹣c2C. a2+（﹣2ab+b2﹣c2）D. （a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）2.把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A. （a+1）（b+1）B. （a﹣1）（b﹣1）C. （a+1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）3.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为（）A. （a+1）（b+1）B. （a+1）（b﹣1）C. （a﹣1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）4.把ab+a﹣b﹣1分解因式的结果为（）A. （a+b）（b+1）B. （a﹣1）（b﹣1）C. （a+1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）5.把多项式a2﹣b2+2a+1分解因式得（）A. （a+b）（a﹣b）+（2a+1）B. （a﹣b+1）（a+b﹣1）C. （a﹣b+1）（a+b+1）D. （a﹣b﹣1）（a+b+1）6.将多项式a2﹣9b2+2a﹣6b分解因式为（）A. （a+2）（3b+2）（a﹣3b）B. （a﹣9b）（a+9b）C. （a﹣9b）（a+9b+2）D. （a﹣3b）（a+3b+2）7.分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（）A. （x﹣y）（x﹣y+1）B. （x﹣y）（x﹣y﹣1）C. （x+y）（x﹣y+1）D. （x+y）（x﹣y﹣1）8.分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A. （a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c）B. （a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C. （a+b﹣2c）（a﹣b+2c）D. （a+b+2c）（a﹣b+2c）9.把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A. （x+y+1）（x﹣y﹣1）B. （x+y﹣1）（x﹣y+1）C. （x+y﹣1）（x+y+1）D. （x﹣y+1）（x+y+1）10.分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A. （a﹣1）2﹣b2B. a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C. （a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D. （a+b）（a﹣b）﹣2a+1二、填空题11.分解因式：________．12.分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy=________．13.分解因式：b2﹣ab+a﹣b＝________.14.分解因式a2﹣2ab+b2﹣c2＝________．15.因式分解：________16.因式分解：b2－ab＋a－b＝________．17.分解因式x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+3=________．18.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y=________三、计算题19.因式分解.（1）a2-4a+4-b2；（2）a2-b2+a-b.20.把下列各式因式分解（1）（2）（3）21.分解因式（1）x3﹣2x2+3x﹣2（2）2x3+x2﹣5x﹣4（3）x3﹣x2+2x﹣8．22.把下列各式分解因式:（1）x2(a-1)+y2(1-a);（2）18(m+n)2-8(m-n)2;（3）x2-y2-z2+2yz.23.因式分解：24.分解因式（1）81m3-54m2+9m；（2）a2(x-y)+b2(y-x)；（3）a2-b2-2b-1四、综合题25.因式分解：（1）﹣2ax2+8ay2；（2）4m2﹣n2+6n﹣9．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故答案为：B．【分析】根据完全平方公式的特点，这个多项式含有-2ab，因此将a2、﹣2ab、b2这三项分为一组，即（a2﹣2ab+b2）﹣c2即可。
因式分解
一．分组分解练习2. { EMBED Equation.3 |=--+4222ab b a 3.4．1-a 2+2ab-b 2= 5．1-a 2-b 2-2ab=6．x 2+2xy+y 2-1= 7．x 2-2xy+y 2-1=8．x 2-2xy+y 2-z 2= 9. =10. = 11. =12．x 2 - 4y 2 + x + 2y = 13.14. 15．ax-a+bx-b=16．a2-b2-a+b= 17．4a2-b2+2a-b=二．十字相乘法:1.x2+2x-15=2.x2-6x+8=3.2x2-7x-15=4.2x2-5x-3=5.5x2-21x+18=6. 6x2-13x+6=7.x4-3x2-4=8. 3x4+6x2-9=9. x2-2xy-35y2= 10. a2-5ab-24b2= 11.5x2+4xy-28y2=三．综合训练1. 2. 997 2– 93.4. 若是完全平方式，求的值。
5.已知求的值。
6.已知x+2y=,x-y= ,求x2+xy-2y2的值。
7.已知a+b=2,求的值。
8.已知：a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。
9.若，求的最小值．10.已知求的值。
11. 已知a, b, c是△ABC的三条边长,当b2 +2ab = c2+2ac时,试判断△ABC属于哪一类三角形12. 求证：对于任何自然数n ，的值都能被6整除．13.若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。
探索△ABC的形状，并说明理由。
14.分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).15.分解因式4x2-4xy+y2+6x-3y-10.16. 有两个孩子的年龄分别为x、y岁，已知x+ xy=99, 试求这两个孩子的年龄.人教新课标版初中八上15.4因式分解能力提高题一、综合题（每小题8分，共16分）1．解方程组并求7m(m+2n)2-2(m+2n)3的值．2．证明：无论a，b取何值时，a2b2-2ab+2均为正值．二、应用题（8分）3．退休职工老李投资到乡下办养猪场，共建了成猪和仔猪两个正方形猪场．已知成猪场的面积比仔猪场的面积大80平方米，两个猪场围墙总长为160米，则成猪场的面积是多少？三、创新题（8分）4．证明：无论x，y取何值时，x2+y2都大于或等于2xy，并且只有当x=y时，x2+y2才等于2xy．四、中考题（每小题6分，共12分）(一)中考真题再现5．(2007·上海)分解因式：2a 2-2ab_______________．(二)中考命题探究6．已知x-2y=2，x+2y=6，则x 2-4y 2+2x-4y 的值是_______________．五、附加题（20分）7．已知实数m ，n ，k 满足m-n=8，mn+k 2=-16．计算m+n+k 的值．参考答案一、1．分析：先将原多项式用提取公因式方法进行分解因式，找出因式与方程组中两个方程的关系即可． 解：7m(m+2n)2-2(m+2n)3=(m+2n)2[7m-2(m+2n)]=(m+2n)2[5m-4n]．当m+2n=4，5m-4n=7时，原式=42×7=112．点拨：这一类型题就是把这个多项式因式分解，一般情况下它的因式中一定含有已知条件中(如本题中m+2n 、5m-4n 的项)出现代数式的项（或通过条件变形得到的式子）．这样就可以把已知数据代入．2．分析：由条件可以看出若把2拆成1+1，则原式中可出现符合完全平方公式的结构特征的式子，可用完全平方公式将其因式分解．证明：原式=a 2b 2-2ab+1+1=(ab)2-2ab+12+1=(ab-1)2+1．∵(ab-1)2≥0，故(ab-1)2+1≥1．所以a 2b 2-2ab+2为正值．点拨：判定一个多项式大于0（或小于0）只需将它化成kp 2的形式．二、3．分析：设成猪场边长为a 米，仔猪场边长为b 米，则它的周长分别为4a ，4b ，就是4a+4b=160(米)，它们的面积分别为a 2，b 2，有a 2-b 2=80，由此可求a ，b 的值，问题可解．解：设两个猪场边长分别为a 米，b 米，则由题意可列方程组整理得 将③代入④得1-b=2，⑤ 将③⑤重新组成方程组得解这个方程组得a=21，b=19．所以成猪场的面积为a 2=212=441(平方米)．答：成猪场的面积为441平方米．点拨：本题只要设出未知数，方程组很容易列关键在于解方程组，因为方程②是个二次方程，目前我们还不能解，若将其左边因式分解（按平方差公式）将出现因式a+b ，将其用40代换可求a-b ，则把二次方程化为一次方程，这样可重新组成一个二元一次方程组．三、4．分析：由题意可知题中所涉及的代数式x 2+y 2，2xy 正好是符合完全平方公式中的结构特征，故可用完全平方公式进行证明．证明：∵(x-y)2≥0，∴x 2+y 2-2xy ≥0．∴x 2+y 2≥2xy ．并且仅当x=y 时，（x-y ）2=0即x 2+y 2-2xy=0，也就是x 2+y 2=2xy ．点拨：利用乘方（偶次方）可判断一个可化为偶次方的数（式子）的符号，进一步可比较其中展开式中的一些式子的大小．四、(一)5．2a(a-b) 分析：2a 2-2ab 只有两项，可以考虑两种方法，提公因式法和平方差公式，观察可知只能用提公因式法进行分解，原式=2a(a-b)．点拨：考查多项式的因式分解和提公因式法，题目设置注重基础，同时考查了考生思维的严密性和认真程度． (二)6．16 分析：将原式分解因式再代入求值，原式=(x+2y)·(x-2y)+2(x-2y)=(x-2y)(x+2y+2)，当x-2y=2，x+2y=6时，原式=2×(6+2)=16．点拨：本题最好不要根据条件将x ，y 值求出来，再代入求多项式的值，这样计算量太大了，还容易出错．所以做题要讲究方法，若方法得当会达到事半功倍的效果，方法不当会造成事倍功半的效果．五、7．分析：从表面上看本题无从下手，但是如果把这两个式子作恰当处理，再综合到一起，或许会出现一些意想不到的效果，我们共同来试一下吧！解：∵m-n=8，①② ③ ④∴(m-n)2=64．①又∵mn+k2=-16，∴4(mn+k2)=-64．②①+②得m2+n2+2mn+4k2=0．∴(m+n)2+4k2=0．故有m+n=0，k=0．所以m+n+k=0．点拨：本题所采取的思路是通过两个已知的等式构造出一个平方和为0的式子，这样几个平方项的底数均得0，这样可以直接得出m，n，k的关系，从而使问题获解．因式分解的常见变形技巧在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。
分组分解法例题
分组分解法例题摘要：一、分组分解法简介1.分组分解法的定义2.分组分解法的作用3.分组分解法的应用范围二、分组分解法例题解析1.例题一a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案2.例题二a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案3.例题三a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案正文：一、分组分解法简介分组分解法是一种数学解题方法，它主要用于解决复杂数字问题。
通过对问题进行合理的分组和分解，可以将复杂问题简化为更易处理的简单问题，从而提高解题效率。
分组分解法适用于各种年龄段的数学学习者，对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。
二、分组分解法例题解析1.例题一题目描述：一个水果摊上的苹果和香蕉共计100千克，苹果的重量是香蕉的2倍。
若将苹果和香蕉分别装入两个袋子，且每个袋子的重量相同，求每个袋子的重量。
解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：苹果的重量和香蕉的重量。
然后，通过设方程的方式求解每个袋子的重量。
解题步骤：(1) 设香蕉的重量为x千克，则苹果的重量为2x千克。
(2) 根据题目描述，x + 2x = 100，解得x = 25。
(3) 香蕉的重量为25千克，苹果的重量为50千克。
(4) 每个袋子的重量为(25 + 50) / 2 = 37.5千克。
答案：每个袋子的重量为37.5千克。
2.例题二题目描述：某企业的员工总数为120人，其中生产部门的员工人数是销售部门的2倍。
若将员工分为两部分，且两部分员工的人数相同，求生产部门和销售部门各有多少人。
解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：生产部门的员工人数和销售部门的员工人数。
然后，通过设方程的方式求解每个部门的员工人数。
解题步骤：(1) 设销售部门的员工人数为x人，则生产部门的员工人数为2x人。
(2) 根据题目描述，x + 2x = 120，解得x = 40。
(3) 生产部门的员工人数为2x = 80人，销售部门的员工人数为x = 40人。
分组分解法例题
分组分解法例题摘要：一、分组分解法简介1.分组分解法的概念2.分组分解法的应用场景二、分组分解法例题解析1.例题一2.例题二3.例题三正文：一、分组分解法简介分组分解法是一种解决复杂数学问题的方法，通过将问题分解成若干个子问题，再将这些子问题组合起来求解原问题。
这种方法可以降低问题的难度，帮助我们更有效地解决问题。
分组分解法广泛应用于初中、高中数学课程中的代数、几何等领域。
例如，在一元二次方程的求解、因式分解、分式运算等问题中，我们可以运用分组分解法来简化问题，从而更容易地得出答案。
二、分组分解法例题解析1.例题一题目：已知a、b、c 为实数，求解下列方程：(1) x - 2ax + a - b = 0(2) x - 2bx + b - c = 0解题思路：首先，我们可以将方程(1) 和(2) 分别看作两个子问题。
对于子问题(1)，我们可以运用分组分解法将其分解为两个因式的乘积：(x - a)(x - a + b) = 0从而得到x 的解为x = a 或x = a - b。
对于子问题(2)，同样可以运用分组分解法将其分解为两个因式的乘积：(x - b)(x - b + c) = 0从而得到x 的解为x = b 或x = b - c。
2.例题二题目：已知a、b、c 为实数，求解下列分式方程：(1) (x - a) / (x - b) = (x - b) / (x - c)(2) (x - a) / (x - b) = (x - b) / (x - c)解题思路：对于分式方程，我们可以先将其转化为整式方程，再运用分组分解法。
首先，我们将方程(1) 两边乘以(x - b)(x - c)，得到：(x - a)(x - c) = (x - b)接下来，我们可以将该方程看作两个子问题。
对于子问题(1)，我们可以将其分解为两个因式的乘积：(x - a)(x - c) = (x - b)(x - b)从而得到x 的解为x = b 或x = c。
专题8.36 分组分解法(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题8.36分组分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．把2222a a b b +--分解因式的结果是（）．A ．()()()22a b a b -++B ．()()2a b a b -++C ．()()2a b a b -++D ．()()2222a b b a --2．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．33．下列因式分解中错误的是（）A ．()2228164x xy y x y -+=-B ．()()111xy x y x y -+-=+-C ．()()24515x x x x --=-+D ．()()()42161412121x x x x -=++-4．下列多项式不能分解因式的是（）A ．()()22ab cd bc ad++-B ．2269x y x -++C ．2223485x xy y x y --++-D ．224x x ++5．若a 、b 为有理数，且a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0，则a ＋3b ＝（）A ．8B ．4C ．－4－D ．－86．把x 2-y2-2y -1分解因式结果正确的是（）A ．(x +y +1)(x -y -1)B ．(x +y -1)(x -y -1)C ．(x +y -1)(x +y +1)D ．(x -y +1)(x +y +1)7．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）28．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)9．已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021二、填空题11．分解因式：1x xy y -+-=___________12．分解因式：321x x x +--=_____13．因式分解：22x y ax ay +-+=______．14．分解因式：2224a ab b -+-=________________．15．若224613x x y y -++=-，则x y +=______．16．若代数式22512986x xy y x -+++有最小值，则最小值是_______．17．因式分解：226517712x xy y x y -++-+=_______．18．分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-=______．三、解答题19．将下列各式因式分解：（1）421x x ++；（2）22268x x y y +-+-．20．因式分解：(1)2224129a b bc c -+-；(2)2215x x --；(3)22465x y x y -+--．21．已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．22．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216ax y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．23．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“22+”分法、“31+”分法、“32+”分法及“33+”分法等．如“22+”分法：()()()()()()ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y x y a b +++=+++=+++=++仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：22x y x y ---；(2)分解因式：222944m x xy y -+-；(3)分解因式：2222244441a a a b b ab +---+．24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．例如：()2222222424()2(2)(2)-+-=-+-=--=---+x xy y x xy y x y x y x y ．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：2222()(2321412121)23()()()1x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +-+；②（拆项法）268x x -+；(2)已知a 、b 、c 为ABC 的三条边，且满足222446170a b c a b c ++---+=，求ABC 的周长；(3)已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足20a ab ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．参考答案1．B【分析】此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因式法进行因式分解．解：a 2+2a-b 2-2b ，=（a 2-b 2）+（2a-2b ），=（a+b ）（a-b ）+2（a-b ），=（a-b ）（a+b+2）．故选：B ．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各式的特点选用合适的分组方法．2．A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．解：a 2b +ab 2-a -b =（a 2b -a ）+（ab 2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a +b ）将a +b =3，ab =1代入，得：原式=0．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．3．C【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可解：A.()2228164x xy y x y -+=-，故该选项正确，不符合题意；B.()()111xy x y x y -+-=+-，故该选项正确，不符合题意；C.()()24515x x x x --=+-，故该选项不正确，符合题意；D.()()()42161412121x x x x -=++-，故该选项正确，不符合题意；故选C【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．4．D【分析】A 、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；B 、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；C 、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；D 、不能分解.解：A.()()22ab cd bc ad ++-2222222222222222222222222222()()()()()()a b abcd c d b c abcd a d a b a d c d b c a b d c d b b d a c =+++-+=+++=+++=++能分解，本选项不合题意；B.2269x y x -++=2269x x y ++-()223x y =+-()()33x y x y =++-+能分解，本选项不合题意；C.2223485x xy y x y --++-()()3485x y x y x y =-+++-且()()()31548x y x y x y-⨯-++⨯=+∴原式()()351x y x y =-++-能分解，本选项不合题意；D.224x x ++，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.故选：D.【点拨】本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．5．D【分析】根据已知，将其a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0变形为22()(2)0a b b -++=，利用非负数的性质，求出a 和b ，最后代入即可.解： a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2＋4b ＋4＝22()(2)0a b b -++=∴a-b=0b+2=0a b 2∴==-a+3b=8-故选择D【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b 的值是关键.6．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=22(21)x y y -++=22(+1)x y -=1)(1)x y x y ++--（故选A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．7．B【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B 8．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．9．D【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2=0，再利用非负数的性质求解即可．解：∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0，即（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形．故选D ．【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．10．C【分析】先将x 2-2x-1=0变形为x 2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x 2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，∵2x 3-7x 2+4x-2019=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2019，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2019，=6x-3x 2-2019，=-3（x 2-2x ）-2019=-3-2019=-2022，故选：C ．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．11．()()11x y --【分析】先分组，再根据提取公因式法进行分解即可．解：1x xy y -+-()11x y y =-+-()()11x y y =---()()11x y =--故答案为：()()11x y --．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握提取公因式法．12．()()211x x -+【分析】采用分组分解法分解因式即可．解：321x x x +--()()321x x x =+-+()()211x x x =+-+()()211x x =-+()()211x x =-+，故答案为：()()211x x -+.【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键．13．（x ＋y ）（x －y ＋a ）【分析】根据因式分解-分组分解法分解因式即可．解：原式=()()()x y x y a x y +-++=)()x y x y a (＋－＋故答案为：)()x y x y a (＋－＋【点拨】本题考查了分解因式-分组分解法，熟记平方差公式是解题的关键．14．(2)(2)a b a b -+--【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--故答案为：(2)(2)a b a b -+--．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式．15．-1【分析】先分组，再化为完全平方公式，进而求出x 、y 的值即可.解：由x 2−4x+y 2+6y=−13，得x 2−4x+y 2+6y+13=0，故x 2−4x+4+y 2+6y+9=0，(x-2)2+(y+3)2=0，所以x-2=0，y+3=0，所以x=2，y=-3，所以x+y=2-3=-1.故答案为：-1【点拨】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.16．-10【分析】将原式变形为222412981610x xy y x x -++++-，然后分组进行变形进一步即可得出答案.解：22512986x xy y x -+++=222412981610x xy y x x -++++-=()()2223410x y x -++-.∴当230x y -=，40x +=时原代数式有最小值，并且最小值为10-.所以答案为10-.【点拨】本题主要考查了完全平方式的实际运用，熟练掌握相关公式是解题关键.17．(23)(34)x y x y -+-+【分析】将原式进行拆解变形为2265849312x xy y x y x y -++-+-+后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.解：226517712x xy y x y -++-+=2265849312x xy y x y x y -++-+-+=()()()2342x y x y x y --+-+()3312x y -+=()()()234334x y x y x y --++-+=()()2334x y x y -+-+.所以答案为()()2334x y x y -+-+.【点拨】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键.18．()()2211x y --【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++，再进行分组得到完全平方公式，所以原式()()2[1]x y xy =+-+，然后再把括号内分组分解即可．解：原式()()()()2222421x y x y xy x y xy xy xy =+-+-+++-+()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++()()()()22211x y x y xy xy =+-++++()()21x y xy ⎡⎤=+-+⎣⎦()21x y xy =+--()()211x y ⎡⎤=--⎣⎦()()2211x y =--．故答案为：()()2211x y --．【点拨】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．19．（1）()()2211x x x x ++-+；（2）(2)(4)x y x y +--+．【分析】（1）先将原式变形为42221x x x ++-，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（2）先将原式变形为222169x x y y ++-+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解．解：（1）原式42221x x x =++-()2221x x =+-()()2211x x x x =++-+；（2）原式222169x x y y =++-+-()()222169x x y y =++--+()()2213x y =+--()()1313x y x y =++-+-+()()24x y x y =+--+．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．20．(1)(23)(23)a b c a b c +--+(2)(5)(3)x x -+(3)(5)(1)x y x y +--+【分析】（1）利用分组法变形为222)4129a b bc c +--(后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（2）利用十字相乘法35x x ⨯-分解因式即可．（3）变形为()()224469x x y y -+--+后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（1）解：原式()2224129a b bc c =--+2223)a b c =--((23)(23)a b c a b c =+--+；（2）解：原式(5)(3)x x =-+；（3）解：原式()()224469x x y y =-+--+22(23)()x y -=--(5)(1)x y x y =+--+．【点拨】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键．21．2-或1【分析】222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，得2222a b mab b c mbc ++=++，移项后因式分解得到()()0a c a c mb -++=，由a ，b ，c 三个数两两不等，则0a c -≠，得到0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，分0a b c ++≠和0a b c ++=两种情况求解即可．解：∵222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，∴2222a b mab b c mbc ++=++，即22220a b mab b c mbc ++---=，∴220a c mab mbc -+-=，∴()()()0a c a c mb a c +-+-=，∴()()0a c a c mb -++=，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴0a c -≠，∴0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，当0a b c ++≠时，①＋②＋③得，()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m +++=，∴20m +=，解得2m =-，当0a b c ++=时，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴a ，b ，c 三个数中至少一个不是0，设0b ≠，∴0a c b +=-≠,∵0a c mb ++=，∴0b mb -+=，∴()10b m -=，∴10m -=，解得1m =，综上可知，m 的值为2-或1．【点拨】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键．22．(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216ax y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+．【点拨】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。
专题4.11 分组分解法(基础篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.11分组分解法（基础篇）（专项练习）一、单选题1．将多项式2233x y x y --+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++-B ．()()3x y x y ---C ．()()3x y x y +--D ．()()3x y x y -+-2．把2212a b ab ---分解因式，正确的分组为（）A ．()2212a b ab -++B ．()()2212a b ab ---C ．()()2212ab a b -+--D ．()2212a b ab---3．下列因式分解错误的是（）A ．()222a b a b -=-B ．()()2933x x x -=+-C ．()22442a a a +-=-D ．()()222111x x y x y x y -+-=-+--4．观察下列分解因式的过程：()()()2222161644x xy y x y x y x y -+-=--=-+--，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a ，b ，c 满足220a b ac bc --+=，则以a ，b ，c 为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（）A ．围成一个等腰三角形B ．围成一个直角三角形C ．围成一个等腰直角三角形D ．不能围成三角形5．已知a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且a 2﹣ab ﹣ac +bc ＝11，则a ﹣c 等于（）A ．±1B ．1或11C ．±11D ．±1或±116．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．22()(2)a b b bc ---B ．222()2a b c ab --+C ．222()(2)a b c bc ---D ．222(2)a b c bc -+-7．在实数范围内分解因式2a 3﹣8a 的结果是（）A ．2a （a 2﹣4）B ．2a （a+2）（a ﹣2）C ．2a （a+4）（a ﹣4）D ．a （a+2）（a ﹣2）8．若m ＞﹣1，则多项式m 3﹣m 2﹣m +1的值为（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数9．把多项式1-x 2+2xy -y 2分解因式的结果是（）A ．()()11--+-x y x yB ．()()11+--+x y x yC ．()()11---+x y x y D ．()()11+-++x y x y 10．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．分解因式：am an bm bn +--=_________________12．分解因式：2224a ab b ++-=__________.13．因式分解24()88a b a b --+的结果是__________．14．因式分解：m 2-n 2-2m +1=___．15．分解因式：a 2-b 2+a -b =______________．16．因式分解：2221x xy y ++-=______．17．因式分解44x +＝________．18．当1996,200x y =-=时，代数式32266x xy x y x --+=__________三、解答题19．分解因式：（1）2()--+a x y x y ；（2）2()4(1)x y x y +-+-．20．因式分解：(1)x 2－y 2－2x ＋1；(2)x 3－y 3＋x 2y －xy 2.21．把下列各式因式分解：（1）x 2+2xy +y 2﹣c 2；（2）b 2（a ﹣2）+b （2﹣a ）．22．把下列各式分解因式：（1）()()242m n m n +++（2）22441a ab b -+-（3）4224817216a a b b -+（4）()()314x x -++23．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：()()()2222161644x xy y x y x y x y -+-=--=-+--，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决问题：（1）分解因式：22x y xz yz -+-．（2）已知a ，b ，c 为ABC 的三边，且2222b ab c ac +=+，试判断ABC 的形状，并说明理由．24．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc-+-（2）222ax by cx ay bx cy++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b-++-（6）22296x z y xy-+-参考答案1．A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．解：2233x y x y --+()()()3x y x y x y =+-+-()()3x y x y =++-，故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．解：2212a b ab ---()2212a b ab =-++()21a b =-+()()11a b a b =++--．故选：A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．3．C【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．解：A 、2a -2b =2（a -b ），正确，故该选项不符合题意；B 、x 2-9=（x +3）（x -3），正确，故该选项不符合题意；C 、a 2+4a -4≠（a -2）2，原分解错误，故该选项符合题意；D 、x 2-2x +1-y 2=（x -1+y ）（x -1-y ），正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了因式分解-分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提公因式．4．A【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a 、b 、c 之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出．解：220a b bc ac -+-=，()()()0a b a b c b a +-+-=，()()0a b a b c -+-=，∴a b =或a b c +=，当a b =时，围成一个等腰三角形；当a b c +=时，不能围成三角形；故选：A ．【点拨】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键．5．B【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．解：a2-ab -ac +bc =11，（a2-ab ）-（ac -bc ）=11，a （a-b ）-c （a-b ）=11，（a-b ）（a-c ）=11，∵a ＞b ，∴a-b ＞0，a ，b ，c 是正整数，∴a-b=1或11，a-c=11或1．故选：B ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．6．D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可.解：2222a b c bc --+=222(2)a b c bc -+-=22()a b c --=()()a b c a b c +--+.故选D.【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键.7．B【分析】原式提取2a ，再利用平方差公式分解即可．解：原式()2242(2)(2).a a a a a =-=+-故选:B.【点拨】考查因式分解，熟练掌握提取公因式法以及公式法是解题的关键.8．C【分析】把多项式m 3﹣m 2﹣m +1分解因式，根据分解的结果即可判断．解：多项式m 3﹣m 2﹣m +1=（m 3﹣m 2）﹣（m ﹣1）=m 2（m ﹣1）﹣（m ﹣1）=（m ﹣1）（m 2﹣1）=（m ﹣1）2（m +1），∵m ＞﹣1，∴（m ﹣1）2≥0，m +1＞0，∴m 3﹣m 2﹣m +1=（m ﹣1）2（m +1）≥0，故选：C ．9．B【分析】将222x xy y -+-归结为一组，将1归结为一组．变形为2221(2)--+x xy y ，然后再使用平方差公式因式分解即可．解：原式2221(2)=--+x xy y 221()=--x y ()()=11+--+x y x y ．故选：B ．【点拨】本题考查了因式分解中的分组分解法及公式法，属于基础题，熟练掌握平方差公式及完全平方式是解题的关键．10．A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．解：a 2b +ab 2-a -b =（a 2b -a ）+（ab 2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a +b ）将a +b =3，ab =1代入，得：原式=0．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．11．()()m n a b +-【分析】利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．解：原式()()am an bm bn =+-+()()a m n b m n +-+=()()m n a b +=-，故答案为：()()m n a b +-．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．12．(2)(2)a b a b +++-【分析】前三项利用完全平方公式分解，再进一步利用平方差公式分解可得．解：原式=（a+b ）2-22=（a+b+2）（a+b-2），故答案为（a+b+2）（a+b-2）．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．13．4()(2)a b a b ---【分析】通过多项式分组后，提取公因式便可解得．解：()()()()()()2224()884884842a b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=---=---故答案为4()(2)a b a b ---．【点拨】本题考查多项式的因式分解中分组分解法，掌握因式分解的主要方法是解题关键．14．（m -1+n ）（m -1-n ）【分析】先分组，得到m 2-2m +1-n 2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．解：原式=m 2-2m +1-n 2=（m -1）2-n 2=（m -1+n ）（m -1-n ）．故答案为（m -1+n ）（m-1-n ）．【点拨】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．15．(a -b )(a +b +1)【分析】先对原式进行分组，再利用提公因式法分解即可．解：a 2-b 2+a -b =(a +b )(a -b )+(a -b )=(a -b )(a +b +1)．故答案为：(a -b )(a +b +1)．【点拨】此题主要考查了提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．16．（x ＋y ＋1）（x ＋y －1）【分析】根据分组分解法与公式法因式分解即可．解：原式＝()2221x xy y ++-=()221x y +-=（x ＋y ＋1）（x ＋y －1）．故答案为：（x ＋y ＋1）（x ＋y －1）．【点拨】本题考查了因式分解，掌握分组分解法与公式法因式分解是解题的关键．17．()()222222x x x x +++-【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．解：原式=422444x x x ++-=()22224x x +-=()()222222xx x x +++-；故答案为()()222222x x x x +++-．【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．0【分析】原式先提取x ，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．解：∵x =-6，199200y =，∴32266x xy x y x --+2(66)x x y xy x =--+2(66)x x x y xy =+--[](6)(6)x x x y x =+-+(6)()x x x y =+-=0．故答案为：0．【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．19．（1）()(1)(1)-+-x y a a ；（2）2(2)x y +-【分析】（1）提取公因式法，然后再用平方差公式进行因式分解即可；（2）先对式子进行分组，然后按照完全平方公式进行因式分解．解：（1）()2ax y x y--+()()2a x y x y =---()()21x y a =--()()()11x y a a =-+-（2）2()4(1)x y x y +-+-2()4()4x y x y =+-++(2)x y =+-【点拨】此题考查了因式分解的方法，涉及了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握相关公式是解题的关键．20．(1)(x －1＋y )(x －1－y );(2)(x ＋y )2(x －y )．解：试题分析：本题考查了分组分解法分解因式.（1）分组后，先把x 2－2x ＋1用完全平方公式分解，再用平方差公式分解；（2）分组后先提公因式，再用平方差公式分解.解：(1)原式＝(x 2－2x ＋1)－y 2＝(x －1)2－y 2＝(x －1＋y )(x －1－y )．(2)原式＝x 2(x ＋y )－y 2(x ＋y )＝(x ＋y )(x 2－y 2)＝(x ＋y )2(x －y )．21．（1）（x +y +c ）（x +y ﹣c ）；（2）b （a ﹣2）（b ﹣1）．【分析】（1）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可；（2）先将b 2（a ﹣2）+b （2﹣a ）变形为b 2（a ﹣2）﹣b （a ﹣2），然后再运用提公因式法分解即可．解：（1）x 2+2xy +y 2﹣c 2＝（x +y ）2﹣c 2＝（x +y +c ）（x +y ﹣c ）；（2）b 2（a ﹣2）+b （2﹣a ）＝b 2（a ﹣2）﹣b （a ﹣2）＝b （a ﹣2）（b ﹣1）．【点拨】本题主要考查了因式分解法，灵活运用完全平方公式、平方差公式是解答本题的关键．22．（1）()()2221m n m n +++；（2）()()2121a b a b -+--；（3）()()223232a b a b +-；（4）()21x -．【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，即可求解；（2）先分组，再利用平方差公式法因式分解，即可求解；（3）先利用完全平方公式法因式分解，再利用平方差公式法，即可求解；（4）先将原式化简，再利用完全平方公式法因式分解，即可求解．解：（1）()()242m n m n +++()()221m n m n ⎡⎤=+++⎣⎦()()2221m n m n =+++；（2）22441a ab b -+-()221a b =--()()2121a b a b =-+--；（3）4224817216a a b b -+()22294=-a b ()()223232=+-a b a b ；（4）()()314x x -++221x x =-+()21x =-．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法进行因式分解是解题的关键．23．（1）()()x y z x y ++-；（2）等腰三角形，见分析【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）对等式进行因式分解，求得b c =，即可判定．解：（1）原式()()()()()x y x y z x y x y z x y =+-+-=++-．（2）ABC 是等腰三角形．理由：2222b ab c ac +=+，22220b c ab ac -+-=，()()()20b c b c a b c +-+-=，()()20a b c b c ++-=．∵20a b c ++≠，∴0b c -=，即b c =，∴ABC 是等腰三角形．【点拨】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．24．（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+-=()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．。
分组分解法练习题
分组分解法练习题分组分解法是一种常用的解题方法，特别适用于解决复杂问题。
它的核心思想是将问题分解为若干个较为简单的子问题，并逐个解决这些子问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。
在本文中，我们将通过一些练习题来探讨分组分解法的应用。
题目一：有一堆石头，总重量为100kg，需要将它们分成两堆，使得两堆石头的重量之差最小。
请问最小的重量差是多少？解析：这是一个典型的分组分解问题。
我们可以将石头分成两组，一组为A组，一组为B组。
我们的目标是让A组和B组的重量之差最小。
假设A组的总重量为x，那么B组的总重量就是100-x。
我们可以通过遍历x的取值来找到最小的重量差。
代码如下：```pythonmin_diff = float('inf')for x in range(101):diff = abs(x - (100 - x))if diff < min_diff:min_diff = diffprint("最小的重量差为：", min_diff)```题目二：有一堆数字，其中只有一个数字出现了奇数次，其他数字都出现了偶数次。
请找出这个数字。
解析：我们可以将这堆数字分成两组，一组为A组，一组为B组。
A组中的数字出现了奇数次，B组中的数字出现了偶数次。
我们可以通过异或运算来找到A组中的数字。
代码如下：```pythonnums = [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1]result = 0for num in nums:result ^= numprint("出现奇数次的数字是：", result)```题目三：有一堆数字，其中有两个数字出现了奇数次，其他数字都出现了偶数次。
请找出这两个数字。
解析：我们可以将这堆数字分成两组，一组为A组，一组为B组。
A组中的数字出现了奇数次，B组中的数字出现了偶数次。
我们可以通过异或运算来找到A组中的两个数字。
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因式分解之分组分解法
1. 按字母特征分组（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
2. 按系数特征分组（1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+-
3. 按指数特点分组（1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+-
四．总结规律
1.合理分组（2+2型）；
2.组内分解（提公因式、平方差公式）
3.组间再分解（整体提因式）
4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就
选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.
五．练习巩固
1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种B .2种C .3种D .4种
2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是（ ）
3．填空：
（1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
（2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( )
（3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( )
4．把下列各式分解因式
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2
)2().()2().(222222bc c b a C bc b c a A ------)
2(.2).(222222bc c b a D bc
c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+b a ab a 3217)2(2--+1243)3(22--+a x ax
（5）4x2－4xy－a2＋y2 （6）1―m2―n2＋2mn 一级建造师考试项目管理
1Z201000 建设工程项目管理概论
1. 项目管理的核心任务是项目的目标控制
2.建设工程项目管理的内涵是：自项目开始至项目完成，通过项目策划、项目控制，以使项目的费用目标、进度目标和质量目标得实现。
3.目管理分为如下类型：①业主方的项目管理②设计方的项目管理③施工方的项目管理④供货方的项目管理
⑤建设项目总承包方的项目管理。
其中，业主方的项目管理是管理核心。
4.资方、开发方和由咨询公司提供的代表业主利益的项目管理服务都属于业主方的项目管理，施工总承包和分包方的项目管理属于施工方的项目管理，材料和设备供应方项目管理属于供货方的项目管理，建设项目总承包有多种形式，但都属于建设项目总承包项目管理。
5.业主方项目管理服务于业主的利益，其项目管理的目标包括投资目标，进度目标和质量目标。
6.项目的质量目标不仅涉及施工的质量，还包括设计质量、材料质量、设备质量和影响项目进行或运营的环境质量等。
质量目标包括满足相应技术规范和技术标准的规定，以及满足业主方相应的质量要求。
7.建设项目的全寿命周期包括项目的决策阶段，实施阶段和使用阶段。
项目的实施阶段包括设计前的准备阶段，设计阶段，施工阶段，动用前准备阶段保修期。
项目决策阶段不是项目管理的任务。
8.业主方的项目管理工作涉及项目实施阶段的全过程，即：设计前的准备阶段，设计阶段，施工阶段，动用前准备阶段和保修阶期。
9.业主方项目管理的任务：①安全管理②投资控制③进度控制④质量控制⑤公司管理⑥信息管理⑦组织和协调 .其中安全管理是项目管理中最重要的任务。
而投资控制，进度控制，质量控制和合同管理等则主要涉及物质的利益。
10.设计方项目管理主要服务于项目的整体利益和设计方本身的利益。
其项目管理的目标包括设计的成本目标，设计的进度目标，设计的质量目标以及项目的投资目标。
11.设计方项目管理工作主要在设计阶段进行，但也涉及设计前的准备分阶段，施工阶段，动用前准备阶段和保修期。