中点四边形专题
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珙县上罗中学 黄正军
在一块对角线垂直的四边形场地ABCD 各边 中点处栽了四棵树，再以这四棵树为顶点， 顺次连结出一个四边形．
猜想
A
H
D 四边形EFGH为神马四边形？
E
G
B
F
C
返回
知识回顾 1
四边形之间的关系
四边形
平行四边形
梯形
矩形 菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
知识回顾 2
三角形 中位线 的性质
A
E
G
B
F
C
A H D 证明：连接BD
E
G ∵ E，H是△ABD的两边中点
B
FC
任意四边形中
点连线所得的
四边形为平行
四边形
∴ EH∥BD，且EH= 1 BD
2
同理：FG ∥BD，且FG= 1 BD
2
EH∥FG，且EF=FG
∴ 四边形EFGH是平行四边形
当原四边形ABCD是下列图形时， 中点四边形EFGH是什么四边形？
（1）试判断四边形ADEF的形状并证明。
（2）当
时，四边形ADEF为菱形。
（3）当 （4）当
时，四边形ADEF为矩形。 时，四边形ADEF为正方形。
谈谈你上了本 节课有何收获?
A
E
H
D
G
B F C
返回
A
E
B
H
F
D
G
C
返回
A H D
B E
F
C G
返回
A
E
B
H
F
D
G
C
返回
A
E
B
H
F
D
G
C
返回
HD A
温馨提示：△DHG 的HG与 △ADC的哪一边有关系？
E
G
结论：中点四边形的
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
C 周长等于原四边形对
角线的和
（2007 湖南）
如图：在四边形ABCD中，AB=CD,M、N、P、Q 分别是AD、BC、BD、AC的中点。求证： MN与 PQ互相垂直平分
证明： ∵M、P分别是AD与BD的中点
∴MP∥AB，且MP=
AE B
H
F
D
G
C 返回
A EB
H
F
D
G
C
返回
A
EB
F H
C G D
返回
H A
E
B
F
D G C
返回
（1）一个平行四边形； （2）一个矩形 （3）一个菱形；
（4）一个正方形； （5）一个等腰梯形； （6）一个对角线相等的四边形； （7）一个对角线互相垂直的四边形； （8）一个对角线相等且互相垂直的四边形。
通过上述思考，你知道中点四边形的形状与
原四边形的什么有着密切的联系？要使中点
四边形EFGH是下列图形，原四边形ABCD需具
1 2
AB
同理：NQ ∥AB,NQ= 1 AB
∴ MP∥NQ,MP=NQ2 ∴四边形MPNQ是平行四边形
∵MQ是△ADC的中位线
B
∴MQ=
1 2
CD
∵AB=CD
∴ MP=MQ
∴四边形MPNQ是菱形
∴MN与PQ互相垂直平分
AM D
P
Q
N C
如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD
（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 相等且互相垂。直
如图，原ABC的面积与它的中点三角
形（连结三角形三边中点的线段组成的三
角形）△DEF的面积及周长之间有什么关
系吗？
A
答:△DEF的面积是原ABC
的面积的四分之一
D
F
答:△DEF的周长是原ABC
的周长的二分之一
B
EC
如图，原四边形的面积与它的中点
定理:三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位线,
D
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系 的根据.
顺次连结任意四边形的各边中点所组成
的四边形（ 简称：中点四边形 ）
你知 道 它是什么四边形？能证 明你的猜想吗？
猜想：是平行四边形 H D
各边中点,得四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.
(1)四边形A1B1C1D1是_ __，
四边形A2B2C2D2是 ，
四边形A11B11C11D11是____；
A
(2)四边形A1B1C1D1的面积是____，
四边形EFGH的面积之间有什么关吗？
H D 温馨提示:△DHG的面积是
A
△ADC面积的多少？△BEF的
E
G 面积是△ABC面积的多少?那
么△DHG 与△BEF面积的和是
B
F
C 四边形ABCD的面积的多少呢？
结论：中点四边形的面积是原四边 形面积的一半．
如图，中点四边形EFGH的周长与原 四边形ABCD的什么量有关系？是什么关 系？能证明你的猜想吗？
A1
D2
D1
四边形A2B2C2D2的面积是____。 四边形AnBnCnDn的面积 ____；
B
D3
A2
C3
C2
D
A3
B3
(3)四边形A1B1C1D1的周长是_____。 B1
B2
C1
四边形A2B2C2D2的周长是_____。
C
如图：在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中
点，连接DE和EF，得到四边形ADEF。
有什么特征？ （1）一个矩形； （2）一个菱形；
（3）一个正方形。
HD A
E
G
B
F
C
把你的想法与同伴交流。
结论：
（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有 密切关系； （2）只要原四边形的两条对角线 相等，就能 使中点四边形是菱形； （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂，直就 能使中点四边形是矩形；
在一块对角线垂直的四边形场地ABCD 各边 中点处栽了四棵树，再以这四棵树为顶点， 顺次连结出一个四边形．
猜想
A
H
D 四边形EFGH为神马四边形？
E
G
B
F
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知识回顾 1
四边形之间的关系
四边形
平行四边形
梯形
矩形 菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
知识回顾 2
三角形 中位线 的性质
A
E
G
B
F
C
A H D 证明：连接BD
E
G ∵ E，H是△ABD的两边中点
B
FC
任意四边形中
点连线所得的
四边形为平行
四边形
∴ EH∥BD，且EH= 1 BD
2
同理：FG ∥BD，且FG= 1 BD
2
EH∥FG，且EF=FG
∴ 四边形EFGH是平行四边形
当原四边形ABCD是下列图形时， 中点四边形EFGH是什么四边形？
（1）试判断四边形ADEF的形状并证明。
（2）当
时，四边形ADEF为菱形。
（3）当 （4）当
时，四边形ADEF为矩形。 时，四边形ADEF为正方形。
谈谈你上了本 节课有何收获?
A
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A
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HD A
温馨提示：△DHG 的HG与 △ADC的哪一边有关系？
E
G
结论：中点四边形的
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
C 周长等于原四边形对
角线的和
（2007 湖南）
如图：在四边形ABCD中，AB=CD,M、N、P、Q 分别是AD、BC、BD、AC的中点。求证： MN与 PQ互相垂直平分
证明： ∵M、P分别是AD与BD的中点
∴MP∥AB，且MP=
AE B
H
F
D
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A EB
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A
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F H
C G D
返回
H A
E
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（1）一个平行四边形； （2）一个矩形 （3）一个菱形；
（4）一个正方形； （5）一个等腰梯形； （6）一个对角线相等的四边形； （7）一个对角线互相垂直的四边形； （8）一个对角线相等且互相垂直的四边形。
通过上述思考，你知道中点四边形的形状与
原四边形的什么有着密切的联系？要使中点
四边形EFGH是下列图形，原四边形ABCD需具
1 2
AB
同理：NQ ∥AB,NQ= 1 AB
∴ MP∥NQ,MP=NQ2 ∴四边形MPNQ是平行四边形
∵MQ是△ADC的中位线
B
∴MQ=
1 2
CD
∵AB=CD
∴ MP=MQ
∴四边形MPNQ是菱形
∴MN与PQ互相垂直平分
AM D
P
Q
N C
如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD
（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符 合的条件是 相等且互相垂。直
如图，原ABC的面积与它的中点三角
形（连结三角形三边中点的线段组成的三
角形）△DEF的面积及周长之间有什么关
系吗？
A
答:△DEF的面积是原ABC
的面积的四分之一
D
F
答:△DEF的周长是原ABC
的周长的二分之一
B
EC
如图，原四边形的面积与它的中点
定理:三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位线,
D
E
∴DE∥BC, DE 1 BC.
2
B
C
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系 的根据.
顺次连结任意四边形的各边中点所组成
的四边形（ 简称：中点四边形 ）
你知 道 它是什么四边形？能证 明你的猜想吗？
猜想：是平行四边形 H D
各边中点,得四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.
(1)四边形A1B1C1D1是_ __，
四边形A2B2C2D2是 ，
四边形A11B11C11D11是____；
A
(2)四边形A1B1C1D1的面积是____，
四边形EFGH的面积之间有什么关吗？
H D 温馨提示:△DHG的面积是
A
△ADC面积的多少？△BEF的
E
G 面积是△ABC面积的多少?那
么△DHG 与△BEF面积的和是
B
F
C 四边形ABCD的面积的多少呢？
结论：中点四边形的面积是原四边 形面积的一半．
如图，中点四边形EFGH的周长与原 四边形ABCD的什么量有关系？是什么关 系？能证明你的猜想吗？
A1
D2
D1
四边形A2B2C2D2的面积是____。 四边形AnBnCnDn的面积 ____；
B
D3
A2
C3
C2
D
A3
B3
(3)四边形A1B1C1D1的周长是_____。 B1
B2
C1
四边形A2B2C2D2的周长是_____。
C
如图：在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中
点，连接DE和EF，得到四边形ADEF。
有什么特征？ （1）一个矩形； （2）一个菱形；
（3）一个正方形。
HD A
E
G
B
F
C
把你的想法与同伴交流。
结论：
（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有 密切关系； （2）只要原四边形的两条对角线 相等，就能 使中点四边形是菱形； （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂，直就 能使中点四边形是矩形；