大学解析几何第二章概要

方程的图形。
概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
•
例1
求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
x y R
2 2
2
•
例2
已知两点 A 2, 2 和 B 2,2 ，求满足条件 MA MB 4 的动点M 的轨迹方程
xy 2
x y 2
A 2, Hale Waihona Puke Baidu2
○
M
。 B 2,2
○
二、曲线参数的方程
定义2 若取 t a t b 的一切可能取值
P r a r t
A
B
r b
①由 r t x t e1 y t e2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一 条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程. 当 A2+B2+C2-4D =0 时, 是点球面方程. 当 A2+B2+C2-4D <0 时, 是虚球面方程.
第二章
轨迹与方程
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之 间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标
x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个
其坐标式参数方程为
x R cos sin y R sin cos
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y 2 2 1 2 a b
第一种参数方程以角度 为参数：
x a cos , y b sin
其坐标式参数方程为
x x t , a t b y y t
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）外摆线_3.avi
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）星形线_白.avi 例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑 动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
2 2
x a y b z c
所求方程为
2 2
r
2
x a y b z c
2
r2
2 2
特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2
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由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （ *）
可由 t 的某一值 t0 a t0 b 通过 r t x t e1 y t e2 a t b 完全决定， 那么就把 r t x t e1 y t e2 a t b 叫做曲线的 向量式参数方程，其中 t 为参数。
and
x y 0
求坐标平面yOz 的方程.
x0
例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平 面xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
yk
例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它 的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
2
| CM | r
圆的内摆线
圆的内摆线
（a＝4b）四尖点星形线（astroid）
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个 定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）心脏线左尖.avi
Rr x R r cos r cos r 其参数方程为 , y R r sin r sin R r r
两个基本问题 :
z
S
o
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
x
y
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32

x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
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例2
求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
x y 0
例3
特别当R＝r时可以得到心脏线（cardioid）
其参数方程为
x 2R cos (1 cos ) y 2R sin (1 cos )
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
第二种参数方程以斜率
a b 2 a 2t 2 x t 为参数： b 2 a 2t 2 , t 2ab 2t y 2 b a 2t 2
§2 曲面的方程
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
F ( x, y, z ) 0
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.