大学解析几何第二章概要
北师大版数学必修2第二章解析几何初步归纳总结课件
得xy′′＝＝3－x－4x45－y5＋3y4＋，8.
把(x′，y′)代入方程 y＝x－2 并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0.
(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线 l′，则直线 l 上任一 点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P′(x，y)一定在直线 l′上，反 之也成立．
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离是 d＋r， 最小距离是 d－r，其中 d 为圆心到直线的距离．
②当直线与圆相交时，设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r， 则有(2l )2＋d2＝r2.
③当直线与圆相交时，设弦为 AB，则 |AB|＝ 1＋k2AB·|xA－xB|， |AB|＝ 1|k＋ABk| 2AB·|yA－yB|.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1， 特别地 A1A2＋B1B2＝0 时⇔l1⊥l2； ②l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且 A1C2≠A2C1； ③l1 与 l2 重合⇔A1B2＝A2B1 且 A1C2＝A2C1. 4．两条直线的交点
当|C1C2|＝|r1－r2|时，两圆内切； 当|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 时，两圆相交； 当|C1C2|<|r1－r2|时，两圆内含． 10．空间直角坐标系 (1)右手直角坐标系 ∠xOy＝∠xOz＝135°，∠yOz＝90°，x 轴、y 轴、z 轴的正 半轴分别指向右手拇指、食指、中指．
作点 P(x，y，z)的步骤与方法：从原点出发沿 x 轴正(x>0) 或负(x<0)方向移动|x|个单位，再沿 y 轴正(y>0)或负(y<0)方向移 动|y|个单位，最后沿 z 轴正(z>0)或负(z<0)方向移动|z|个单位．
解析几何答案-第二章
第2章 曲面与空间曲线的方程§2.1 曲面的方程1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则z Cz y x M =⇔∈),,( 亦即z z y x =++-222)4( )4(2-∴x2（1（2（3（4解：（1常数为m ),,(z y x ，,,(z y x M 亦即(x -（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。
设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ，则a z y c x z y c x Cz y x M 2)()(),,(222222=++++++-⇔∈ 亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-两边平方且整理后，得：)()(2222222222c a a z a y a x c a -=++- （1） 222c a b c a -=∴>令从而（1）为22222222b a z a y a x b =++即：22222222b a z a y a x b =++由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。
（3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-⇔∈类似于（2），上式经同解变形为：1222222=--cz b y a x 其中 )(222a c a c b >-= （*） （*（4m 。
设动点M （*）（*2、 （1）中心（2（3（4解：（136)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，球面半径73)2(6222=+-+=R所以类似上题，得球面方程为 49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为：21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l （1） 解（1）有∴1（1）42x （1）42x§2.3空间曲线的方程1、平面c x =与0222=-+x y x 的公共点组成怎样的轨迹。
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目篇一：高等代数与解析几何教学大纲附件1教学大纲课程编号：课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry课程性质：学科基础课课程类别：必修课先修课程：高中数学学分：4+4总学时数：72+72周学时数：4+4适用专业：统计学适用学生类别：内招生开课单位：信息科学技术学院数学系一、教学目标及教学要求1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。
它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。
2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。
3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。
二、本课程的重点和难点（略。
由课任教师自行掌握）三、主要实践性教学环节及要求精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。
四、教材与主要参考文献教材：（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。
参考书： 1. ，陈志杰编著，高等教育出版社，2000年；2.，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。
五、考核形式与成绩计算考核形式：闭卷考试。
成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，期末考试占70%。
六、基本教学内容第二学期第一周—第二周：（8课时）第一章：向量代数与解析几何基础1. 代数与几何发展概述。
2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线性关系3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。
《解析几何》知识点总结：第2章-平面与直线
第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
大一解析几何知识点笔记
大一解析几何知识点笔记解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何问题，并运用代数方法进行分析。
作为一门基础课程，大一解析几何为后续学习高级数学和工程数学打下了坚实的基础。
以下是大一解析几何的几个重要知识点的笔记：1. 直线的方程：- 点斜式：给定一点P(x₁, y₁)和斜率k，直线的方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
- 两点式：给定两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的方程可以表示为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
2. 圆的方程：- 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 平面和空间中的直线：- 参数方程：直线上的点可表示为P(x, y, z) = P₀ + tV，其中P₀为直线上一点的坐标，V为方向向量，t为参数。
- 向量方程：直线上的点可表示为r = r₀ + tv，其中r₀为直线上一点的位置向量，v为方向向量，t为参数。
- 两平面交线：两个平面的方程联立，解得交线的参数方程。
4. 平面和空间中的圆：- 参数方程：圆上的点可表示为P(x, y, z) = C + r(cosθu +sinθv)，其中C为圆心坐标，r为半径，θ为参数，u和v为单位向量。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k, l)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²。
5. 平面与空间中的曲线：- 抛物线：方程可表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
解析几何第二章
第二章 轨迹与方程
平面曲线的方程
曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)
(a>0) 为参数方程。
解：设y=tx，代入可得参数方程
2at 2 x 2 1 t 3 2 at y 1 t2
( t )
注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如
x e t t lg t 2 y t sin t arcsin t
由
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 z z 0 R 2 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
得上、下半球面的方程分别是：
由上述方程可得球面的一般式方程为：
z
M
Q
θ
R
P
y
QP ( r cos sin ) j OQ ( r cos cos )i
PM ( r sin )k
r OM OQ QP PM
z
M
Q
θ
R
P
y
x
r ( r cos cos )i ( r cos sin ) j ( r sin )k (4) 与 2 2
y O x
北师大版 数学 必修二 第二章 解析几何初步
备写人： 审核人：
课 题：§2.2.3直线方程的应用
学习目标：
1.我能通过条件熟练的求出直线方程.
2.我能准确掌握直线方程的几种形式并会互相转化.
使用说明：
1.先预习课本65-69页，然后完成导学案.
2.重点：掌握直线方程的几种形式. 难点：能讲出直线方程的几种形式并会互相转化.
探究二已知直线 线 不经过第二象限，求 的取值范围．
三、拓展训练
1.若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足()
A.m≠1B．m≠＝－
C．m≠0D．m≠1且m≠＝－ 且m≠0
四、师生总结
第二次批阅人：时间：
学习过程： 第一次批阅人：时间：
一、自主预习
1.完成下列表格
名称
已知条件
方程
使用范围
点斜式
点 和斜率
与 轴不垂直的直线
斜截式
斜率 和直线在 轴上的截距
与 轴不垂直的直线
两点式
点 和
与 轴、 轴均不垂直的直线
截距式
在 轴上的截距为 ，
在 轴上的截距为
与 轴、 轴均不垂直且不过原点的直线
一般式
2.过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是________．
学习笔记
教、学之思
3.直线ax＋by－ab＝0(ab≠0)在两坐标轴上截距之和是________．
我的疑惑：
二、合作探究
探究一求满足下列条件的直线方程，并将结果化为一般式：
（1）斜率为2，在y轴上截距为3；
（2）直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1；
（3）在 轴、 轴上的截距分别为4，－5；
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
北师大数学必修二课件：第二章 解析几何初步 1.1
[学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.理解直线倾斜角的 唯一性及直线斜率的存在性． 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公 式求直线的斜率.
课前自主 学习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】
1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
类题通法 直线斜率的求法
求直线的斜率有两种思路：一是公式；二是定义．当两点的横坐标相等 时，过这两个点的直线与 x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解， 因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
k＝ □14 xy22－－yx11 .
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
【即时小测】 1．思考下列问题 (1)已知直线上一个点，能确定一条直线吗？
提示：不能．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
(2)所有直线都有倾斜角吗？所有直线都有斜率吗？
提示：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．下图中标注的 α 表示直线 l 的倾斜角②④ 提示：A 根据倾斜角定义判断．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
3．已知直线 l 的倾斜角为 30°，则直线 l 的斜率为( )
大学解析几何
a
同向时
取
b
a
取正值，
,
当
b
与
a
此时
反向时 取负值，即有
b
与
a
同向.
且
a
b a
a.
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
a，a
两式相减，得
(
)a
0，即
a
0，
a 0，故 0，即 .
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设ea表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
成 e1, e2 的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数 x, y 被 e1, e2 惟一确定.
这时 e1, e2 叫做平面上向量的基底.
B
P
E2
r
e2
O
e1 E1
A
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四、空间向量的基底
定理 1.4.3 如果向量 e1,e2,e3 不共面，那么空间任意向量 r 可以由向量
定义 集合 相互关系
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.
向量的几何表示： 有向线段
M2 a
有向线段的长度表示向量的大小,
M1
有向线段的方向表示向量的方向.
a 或 M1M2 以M1为起点，M2 为终点的有向线段. 向量的模： 向量的大小. | a |或 | M1M|2
定理 1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那么这一组 向量就线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
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解析几何简明教材第二章教案
1 向量的内积定义
Def：两向量 a 和 b 的内积是一个数量，记做 a· b a· |a| |b| cosθ, θ=a,b b= 即：两向量的内积等于他们的模与其夹角余弦的乘积。 附注1：内积的其它名称：数积、点积、数性积… 附注2：内积的物理意义：变力作功 W=F· s。 附注3：内积的几何意义： a· |a| Prjab = |b| Prjba， b= 特别地: a· Prjea, a· e= i=x, a· j=y, a· k=z. 附注4：由定义知： a· |a|2 , 特别地：i· j· k· a= i=1, j=1, k=1.
2 数乘向量的算律
(1) 1a = a; (-1)a = -a ; 0 a = 0. (2) λ(μa)= ( λμ)a . 如： 3(-2) a=-6 a； (3) (λ+μ)a= λa +μa . 2a +7 a =9 a； λ(a+b)= λa +λ b. 5(a+b)= 5a+ 5b。 附注1 向量的加减与数乘向量称为向量的线性运算。 λa +μ b 附注2 三个向量a，b，c，若c= λa +μ b ,则由加法和数乘向量 的定义，它们是共面的；反之，若三个向量共面，则其中必 有一个向量可表成另两个向量的线性组合。 例1 a=2i+3j-k, b=4i-j+3k, c=3i+j+k, 2a+3b-2c=2(2i+3j-k)+3(4i-j+3k)-2(3i+j+k) = 10i+j+5k
例2 已知a=i+j+2k, b=i-k, c=-2i-j-k, 试证a, b, c构成三角形。 证明：∵ a, b, c 互不共线，而且 a+b+c=(i+j+2k)+(i-k)+(-2i-j-k) =0 ∴ a, b, c构成三角形。 例3 设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O是任意一点,试证:
第二章 解析几何初步章末归纳提升配套课件 北师大版必修2课件
数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的 图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合 起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合 一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解 “形”． 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如 距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”， 因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的 效果．
【解】 设过原点的直线 l 交已知两直线于 P1，P2，且 O 为 P1，P2 的中点，∴P1 与 P2 关于原点对称．
若设 P1(x0，y0)，则 P2(－x0，－y0)， ∴4－x03＋x0y＋0＋5y60＝ －06， ＝0. ② ① ①＋②得 x0＋6y0＝0.
∴点 P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程 x＋6y＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线 l 的方程即为 x＋6y＝0.
待定系数法
待定系数法是一种常用的解题方法，其实质是方程思 想，做法是使用一些字母作为待定的系数，然后根据条件列 出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常 用待定系数法求解．
根据下列条件求圆的方程． (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切 于点 P(3，－2)； (2)经过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
3y＋1＝0 上，求圆的方程． 【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a2＋b2＝r2， 由题意列出方程组a－12＋b－12＝r2，
2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解之得b＝－3，
解析几何第四版 第二章
本章主要内容： 1) 平面曲线的方程 2) 曲面的方程 3) 空间曲线的方程 本章基本要求： 1) 理解轨迹与方程的关系 2) 熟悉曲面、曲线的一般式和参数式 3) 熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程
2.1 平面曲线的方程
1、曲线方程
曲线上点的特征性质： 1）曲线上的点都具有这些性质； 2）具有这些性质的点都在曲线上。 曲线上 点的特 征性质
例 3
一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动,
另一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角
速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.
参数方程
x a cos y a sin z b ( )
z
x
a
O
(圆柱螺线)
a
y
参数方程
x a cos y a sin z b ( )
例 1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 例 2 已知两点A(2,2)和B(2,2)，求满足条件MA MB 4
的动点M的轨迹方程。
2、参数方程
(t ),
at b
建立坐标系
{O；e1，e2}
(t ) x(t )e1 y(t )e2
or x x(t ) y y(t )
例4. 维维安尼曲线
x 2 + y 2 + z2 = a 2 2 2 2 (xa/2) + y = a /4
x=a (1+cos t ) 2 y = a sint 2 t z = asin 2 (0 t < 2)
(-2 t < 2)
例5. 双柱面曲线
y 2 + z2 = a 2 (b a > 0) 2 2 2 x +z =b 令y = acost, z = asint, 代入x2 + z2 = b2得 x = b2 a2sin2t 由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x = b2 a2sin2t y = acost (0 t < 2) z = asint
解析几何第二章 第一节
图2.1
点 M x , y , z 平面
v v 向量 M 0 M ， 1 ， 2 共面
得到平面的参数方程 或
r r0 v1 v 2
x x0 X 1 X 2 , y y 0 Y1 Y2 , z z Z Z , 0 1 2
r r0 t v
0
或
x x 0 t cos , y y 0 t cos , z z t cos , 0
其中参数 t 的绝对值恰好是直线 l 上的两点 M 0 与M 之 间的距离，这是因为 | t || r r0 || M 0 M | . 这时 直线 l
A1 x B1 y C 1 z D1 0, l: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0,
(2.1.16)
它称为直线的一般方程.
在直角坐标系 O ; i, j, k 下, 直线 l 的方向向量可取成 单位向量 v 0 cos , cos , cos , 这时 l 的参数方程为
=
A B C
2 2 2
0 时，
的
在取定符号后称为平面的法式化因子. 学生口答: 在直角坐标系下, 将平面的一般方程
(1) x y 1 0,
(2) x 2 0
化为法式方程.
2.1.3 空间直线的方程 在空间给定一个点 M 0 和非零向量 v , 那么过点 M 0 且 与向量 v 平行的直线便惟一确定. 向量 v (以及 k v , k 0 )叫做直线的方向向量. 现推导直线方程. 取定仿射标架O ; e1 , e 2 , e 3 . 设点 M 0 的坐标为 x0 , y 0 , z 0 , v X , Y , Z , 则点 M x , y , z 直 线 l 的充要条件是存在惟 一的实数 t，使得
必修II 第二章解析几何初步小结
必修II 第二章解析几何初步1、直线方程的五种形式点斜式：00()y y k x x -=- 斜截式：y =kx +b 两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--截距式：1x y a b+= 一般式: 0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）2、圆的方程圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，圆心为，半径为圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 圆心为 ，半径为3、两条直线的位置关系：11112222121212121212121211112221212:;:::::0,0,,,,l y k x b l y k x b l l k k l l k k b b l l k k b b l A x B y C A x B y C A A B B =+=+≠=≠==++=++=与相交与平行且与重合且若若都不为零12l l 与平行：111222A B C A B C =≠ 12:l l 与相交1122A BA B ≠12l l 与垂直: 12120A A B B += 12l l 与重合：111222A B CA B C ==4、直线与圆的位置关系直线0Ax By C ++=与圆 222()()x a y b r -+-=的位置关系有三种：（1）若d =，0d r >⇔⇔∆<相离（2）0d r =⇔⇔∆=相切 （3）0d r <⇔⇔∆>相交5、两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为1212,,||r r OO d =121212121212||||0||d r r d r r r r d r r d r r d r r >+⇔=+⇔-<<+⇔=-⇔<<-⇔外离外切相交内切内含6、直线系（1）过定点的直线系，思想方法是分离变量 （2）平行（垂直）直线系：与直线0Ax By C ++=平行的直线系：'0(')Ax By C C C ++=≠与直线1x y a b +=平行的直线系：(1)x ya bλλ+=≠ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系：'0Bx Ay C -+=（3）过12,l l 交点的直线系（共点直线系）：111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=（不含2l ）（4）二元二次方程111222()()0A x B y C A x B y C ++++=表示两条直线1l ：111A x B y C ++=0和2l ：222A x B y C ++=07、对称问题（1）点(,)P x y 关于点（a,b ）的对称点是'(2,2)P a x b y --（2）直线0Ax By C ++=关于点（a,b ）的对称直线是(2)(2)0A a x B b y C -+-+= （3）点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点：利用垂直、中点解决。
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反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程. 当 A2+B2+C2-4D =0 时, 是点球面方程. 当 A2+B2+C2-4D <0 时, 是虚球面方程.
and
x y 0
求坐标平面yOz 的方程.
x0
例4 一平面平行于坐标平面xOz，且在y 轴的正向一侧与平 面xOz 相隔距离为k ，求它的方程.
yk
例5 设球面的中心是点C（a,b,c），而且半径等于r ，求它 的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有
2
| CM | r
第二种参数方程以斜率
a b 2 a 2t 2 x t 为参数： b 2 a 2t 2 , t 2ab 2t y 2 b a 2t 2
§2 曲面的方程
一、曲面的方程 二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程
其坐标式参数方程为
x x t , a t b y y t
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）外摆线_3.avi
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）星形线_白.avi 例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑 动地滚动，求动圆周上某一定点P 的轨迹方程
特别当R＝r时可以得到心脏线（cardioid）
其参数方程为
x 2R cos (1 cos ) y 2R sin (1 cos )
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从 圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成 的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
○
M
。 B 2,2
○
二、曲线参数的方程
定义2 若取 t a t b 的一切可能取值
P r a r t
A
B
r b
①由 r t x t e1 y t e2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一 条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径
第二章
轨迹与方程
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1
当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之 间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标
x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这摆线
（a＝4b）四尖点星形线（astroid）
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个 定点P的运动轨迹称为外摆线（epicycloid）心脏线左尖.avi
Rr x R r cos r cos r 其参数方程为 , y R r sin r sin R r r
2 2
x a y b z c
所求方程为
2 2
r
2
x a y b z c
2
r2
2 2
特殊地：球心在原点时方程为 x y z R
2
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由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （ *）
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
F ( x, y, z ) 0
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
z
S
o
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
x
y
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
例1 求联结两点A(1,2,3)和B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
可由 t 的某一值 t0 a t0 b 通过 r t x t e1 y t e2 a t b 完全决定， 那么就把 r t x t e1 y t e2 a t b 叫做曲线的 向量式参数方程，其中 t 为参数。
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
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例2
求两坐标面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.
x y 0
例3
其坐标式参数方程为
x R cos sin y R sin cos
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y 2 2 1 2 a b
第一种参数方程以角度 为参数：
x a cos , y b sin
方程的图形。
概括而言，曲线上的点与方程之间有着一一对应的关系
•
例1
求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
x y R
2 2
2
•
例2
已知两点 A 2, 2 和 B 2,2 ，求满足条件 MA MB 4 的动点M 的轨迹方程
xy 2
x y 2
A 2, 2