二项式与数列-教师版
人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档
二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（ ）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。
文档：巧用二项式定理求数列和
巧用二项式定理求数列和二项式定理的展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构成的数列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系.因此凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项式定理和数列求和的解决.下面来赏析几个例子。
例1n n n n nC C C ++++= 321n n 32C S 求.解析：123n n S C 23,n n n n C C nC =++++()12112n n n n n n n S nC n C C C -=+-+++ 120122,2n n n n n n n n n S nC nC nC nC n S n -∴=++++=∴=•点评：利用二项式定理展开式的特征和组合数的性质及等差数列“角数和”性质，倒序相加使问题简单化.本题也可以利用组合数性质推论“连锁反应”来求解，显然没有此法简单。
例2求和()121r r r r r r r n C C C C n r ++-++++> 解析：依题设可构建 ()()()1111r r n x x x +++++++=()()()111111r n r x x x -+⎡⎤+-+⎣⎦-+= ()()1111,n r x x x +⎡⎤+-+⎣⎦ 1,r x +对照两边的系数可得 ()1211r r r r r C C C C n r C r r r n n ++++>=++-+.点评：注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系通过构造等比数列和的恒等式，对照某项的系数获解，本题也可以组合数性质推论“连锁反应”求解。
例3（上海高考题）已知数列是首项为，公比为的等比数列.⑴ 求 223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-;⑵ 由 ⑴ 的结果归纳慨括出关于正整数的的一个结论，并加以证明. 解析：⑴ 223122021C a C a C a +-()21211112q a q a q a a -=+-=，334233132031C a C a C a C a -+- 113a a q =-+ ()32311131;a q a q a q -=-⑵ 由⑴的结果归纳慨括出关于正整数的的一个结论：数列是首项为，公比为的等比数列，则()()n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a -=-++-+-+111134231201 将通项公式代入逆用二项式定理证明：()()()[]().q a C q C q C q qC C a q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=-++-+-=-++-+-=-++-+-+1111133221013312211101134231201 点评：本题注意到二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于为公比的等比数列的和”.然后利用等比数列的通项公式，逆用定理获得了解决.。
活用二项式定理解数列问题
活用二项式定理解数列问题数列是数学重要的基础知识，并且在各学科中都扮演着重要的角色。
然而，许多数列知识有一个重要的共同特点，即都可以由二项式定理来解决。
因此，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常有用的。
首先，我们来认识二项式定理。
它是数学中一个重要的定理，它可以用来表示某一个数学序列的和或乘积的概念。
简言之，二项式定理可以帮助我们计算某一个数列的和或乘积，并且可以有效解决许多数列问题。
其次，我们来看看二项式定理是如何解决数列问题的。
首先，我们将要使用二项式定理来解决的数列需要具备两个基本要求：首先，要求数列中的元素是有限的，其次，要求数列是有规律的。
如果满足这两个基本要求，我们就可以使用二项式定理来解决这个数列知识。
接下来，我们来看看具体的案例。
假设我们有一个有限的数列，其元素如下：1，2，3，4，5，6。
那么，我们可以使用二项式定理来计算这个数列的和，可以得到：S=1+2+3+4+5+6=21。
也可以使用二项式定理来计算数列的乘积，其结果为：P=1×2×3×4×5×6=720。
可以看出，二项式定理对解决数列知识是非常有用的。
总之，二项式定理是一种非常有用的数学定理，可以用来解决许多数列问题。
它的优点在于它可以有效的计算某一个有限的数列的和或乘积，有效的解决许多问题。
因此，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常重要的。
此外，在使用二项式定理解决数列问题的过程中，要注意使用正确的计算方法来计算结果，这样才能得到有效的结果。
此外，在实际应用中，要注意要求解决的数列具备一定的规律，这样才能有效的解决问题。
综上所述，二项式定理是一种有效的解决数列知识的重要工具，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常有用的。
只要正确的使用二项式定理，我们就可以有效的解决许多问题。
考点35二项式定理（讲解）（解析版）
考点35二项式定理【思维导图】一项式定虔（・♦姻咯♦…'"，_・C5kn）云术1敷的组杞Y6・7v丸，smr政用-iJE^irWWft^C,皿M砖为负；⑴WWKir: 7^・CV*①■58210为0二项式景致升一州.心眼u.ci・5.y・r ■NM1卜3・末等蹈第牌个一#果■［棚等・・。
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+。
（山），土+席（心）8土+...+徭（1+打土人人通10的展开式中，X2的系数即为(1+4°的F(X(l+x)10展开式的通项为7；引=0'1，令10-r=2,故r=8,所以J的系数为篇=45.故选：C.4.若曲线)，=3ln(x+l)在x=l处的切线斜率为。
二项式与数列结合的题目
二项式与数列结合的题目【原创实用版】目录1.二项式定理的概述2.二项式定理与数列的结合3.解题技巧与方法4.例题解析5.总结正文【一、二项式定理的概述】二项式定理，是组合数学中的一项重要定理，主要用于计算二项式展开式的系数和。
它的一般形式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n, n)b^n其中，C(n, k) 表示组合数，即从 n 个元素中取 k 个元素的组合个数。
【二、二项式定理与数列的结合】在实际的数学题目中，二项式定理常常与数列结合出现。
这种题目的特点是，数列的项是由二项式定理的展开式得出的。
解这类题目，需要熟练掌握二项式定理的运用，以及对数列的理解。
【三、解题技巧与方法】解决这类题目，通常有以下几种方法：1.直接利用二项式定理展开，然后根据数列的性质求解。
2.利用数列的求和公式，将数列求和，再利用二项式定理求解。
3.利用数学归纳法，证明一个关于二项式定理与数列结合的结论。
【四、例题解析】例题：求数列{n(n+1)}的前 n 项和。
解：这是一个典型的二项式定理与数列结合的题目。
首先，我们可以写出数列的通项公式：an = n(n+1)。
然后，利用求和公式求解：S_n = a1 + a2 +...+ an= 1*2 + 2*3 +...+ n*(n+1)= (1^2 + 2^2 +...+ n^2) + (1 + 2 +...+ n)= (n(n+1)(2n+1)/6) + (n(n+1)/2)= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2= n(n+1)(n+1)/3所以，数列{n(n+1)}的前 n 项和为 n(n+1)(n+1)/3。
【五、总结】二项式定理与数列的结合是一个深入且复杂的数学领域，需要我们熟练掌握二项式定理的运用，以及对数列的理解。
二项式定理教学设计与点评
有创 意 的信 息资 源 ， 师 要帮 助其 实现课 堂 智 慧 的 教
二 项 式Hale Waihona Puke 定 理 教 学 设 计 与 点 评
●冯 斌 （ 教育局教研室 浙江宁波 ３５０ ） ●倪 蕾 （ １００ 宁波中学 浙江宁波 ３５０ ） １００ 本 节课是 “ ０ ９年 ｌ ２０ Ｏ月 浙 江省课 堂教 学 评 比 广， 能利用 计数 原 理 证 明 二项 式 定 理 ， 解 并 掌握 理
二 项式 定理 ；
与观 摩 活动 ” 中浙 江省 宁 波 市 选 手 倪 蕾 教 师 的 一 节参 赛课 （ 获得 一 等奖 ） 笔 者 在此 基 础 上 ， 这 一 ， 对
堂课 进行 了重 新设 计． １ 教 材 分析
（） ２ 通过 二项 式定 理 的“ 现 ” 证 明 ， 发 和 培养 观
第 ５期
冯
斌 ， ： ４ 式 定理 教 学 设 计 与 点 评 等 －
・２ ・ ７
ｂ ， 符合 题设 条 件 ， 它 不是 等差 数列． ）也 但
（ 片掌声 ） … 一 …
引 申 ， 学生 的思考 “ 让 向青 草更 青 处 漫 溯 ” 促 使课 ， 堂生成 更具 魅力 ； 于学 生生 成 的偏 离 方 向的信息 对 资源 ， 师应加 以引 导拨 正 航 向 ； 于学 生 生 成 的 教 对
的应 用． 二项式 定 理 研 究 的是 （ ａ＋ｂ 的展 开 式 ， ）
例如 ： （ ａ＋ｂ ＝ａ ＋２ ｂ＋ｂ ； ） ａ
联系 不 同 内容 作 用 的知 识．
２ 教 学 目标
（ ａ＋ｂ ＝（ ｂ （ ） ａ＋ ） ａ＋ｂ ）＝
二项式定理与数列求和
二项式定理与数列求和陕西 刘大鸣1对一道高考题的探究题目（03上海高考）已知数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列.⑴ 求 223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-; ⑵ 由 ⑴ 的结果归纳慨括出关于正整数的n 的一个结论，并加以证明.简析： 注意二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于ab为公比的等比数列的和”.用等比数列的通项公式，逆用定理解决.⑴ 223122021C a C a C a +-()21211112q a q a q a a -=+-=，334233132031C a C a C a C a -+-();q a q a q a q a a 31312111133-=-+-= ⑵ 由⑴的结果归纳慨括出关于正整数的n 的一个结论：数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则()()n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a -=-++-+-+111134231201 将通项公式代入逆用二项式定理证明：()()()[]().q a C q C q C q qC C a q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a nnn n nn n n n nnn n n n nn n nn n n n -=-++-+-=-++-+-=-++-+-+1111133221133122111011342312012类比推广探究方法和结论：重新认识二项式定理，其展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构成的数列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系.凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项式定理和数列求和的解决. 问题：如何求 ∑=ni ini C a 0？ 探究的结论及方法： 若{}n a 是等比数列，则通项公式代入，逆用二项式定理求和；若a n 是某等比数列的和，则求和公式代入分解组合，整体逆用二项式定理求和；若{}n a 是等差数列，则“反序整体思维求和”. 3应用().A ,a C a C a C A ,N n ,q q q q nn nn n n n n n *n n 21,q 3-11.a 1221112求若例<<+++=∈±≠++++=- 简析：如何求和？等比数列求和公式代入，分解组合整体逆用二项式定理化简求解.注意二项式定理展开式的特征，两个特殊数列对应项的积构成的数列之和，重新改写所求和，分解组合，目标逆用二项式定理.()()()[]()[].q qq q q C q C q C qq C C C q q q C q q C q q C A ,q q n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n +--=++---=++--+++-=--⨯++--∙+--∙=∴--=121111121111111111111a 22121221n 由题设知，例 2 （教材第二册下(A) 146页8题）nn n n nC C C ++++= 321n n32C S 求.简析：教材的意图是用组合数性质推论“连锁反应”求证. 若注意二项式定理展开式的特征和组合数的性质及等差数列“角数和”性质，“反序求和”使问题简单化.().n S ,n nC nC nC nC S C C C n nC S ,nC C C n n nn n n n n n n n n nnn n nn n n 1021121321n n 2222132C S --∙=∴=++++=∴+++-+=++++=例3 求和()=>++++-++r n C C C C rn rr rr rr121 ？简析：可用组合数性质推论“连锁反应”求证.若注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系，受教材第二册下(A) 146页7题求解的启示，构造等比数列和的恒等式，对照某项的系数获解.依题设可构建()()()()()[]()()()[],x ,x x xx x x x x x r r n r n r nr r系数可得对照两边的111111111111111+++-++-+=+-+-+=++++++ ()rn r n r r r r r r C r n C C C C 1121+-++=>++++ .。
高中数学 第7章 计数原理 7.4 二项式定理讲义(含解析)湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数
第一课时 二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n ，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.3．二项展开式的通项公式 我们称C r n an －r b r是二项展开式的第r ＋1项，其中C r n 称作第r ＋1项的二项式系数．把T r＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a ，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n结果相同，但(a ＋b )n 与(b ＋a )n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2[]C 043x4＋C 143x3＋C 243x2＋C 343x1＋C 443x＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.(1)记准、记熟二项式(a ＋b )n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25的展开式； (2)化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解：(1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25 ＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 24－C 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x22x 3－15＝－1x10(1－2x 3)5＝－1x10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x10＋10x 7－40x 4＋80x－80x2＋32x 5.(2)原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.二项式系数与项的系数问题[例2] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝26－r C r6·(－1)r·x3－3r 2，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， 令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ， 知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求展开式中x 2的系数．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n －2r 3 .又第6项为常数项， 所以当r ＝5时，n －2r3＝0，即n ＝2r ＝10.(2)由(1)，得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10x 10－2r3 ，令10－2r3＝2，得r ＝2， 所以展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.与展开式中的特定项有关的问题[例3] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516D.1516(2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.(2)依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.[答案] (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3 (－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r3 .因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2， 即405x 2，－61 236,295 245x －2.解题高手妙解题30122330123[尝试][巧思] 因为展开式为x ＋2的多项式，因此可考虑将2x ＋3变形为2x ＋3＝2(x ＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．[妙解] 由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3. 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8. 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5.1．(2x －1)5的展开式中第3项的系数为( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20D ．20 2解析：选D ∵T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r，∴T 2＋1＝C 25(2x )3(－1)2＝(2)3C 25x 3＝202x 3， ∴第3项的系数为20 2.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)nD ．3n解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4解析：选B 由通项公式有T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝84x 3.4.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 9的展开式中，常数项为________．解析：T r ＋1＝C r 9(2x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·29－r ·C r9·x 9－32r ，令9－32r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 69×23＝672. 答案：6725．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：126．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)． 所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x 8－5r2 .令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x32的项为T 2＝－16x32.一、选择题1．(x －2)10展开式中x 6的系数是( ) A ．－8C 410 B ．8C 410 C ．－4C 410D ．4C 410解析：选D T r ＋1＝C r 10x 10－r(－2)r，令10－r ＝6，∴r ＝4，T 5＝(－2)4C 410x 6＝4C 410x 6，系数为4C 410.2．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－110 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－110，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，110D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0解析：选B T 1＝C 05＝1，T 2＝C 15·(－2x )＝－10x ，T 3＝C 25·(－2x )2＝40x 2.根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧T 2<T 1，T 2≥T 3，即⎩⎪⎨⎪⎧－10x <1，－10x ≥40x 2，解得－110＜x ≤0.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 由通项公式T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1)r x －r＝(－1)r C r n x2n －3r.令2n －3r ＝0，得(－1)r C rn ＝15，由r ＝23n ，r ∈N ＋，排除选项B 、C ，再将选项B 、D 代入验证n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38解析：选C 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.二、填空题5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的一共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r x5－32r ，由5－32r ∈N ＋知r ＝0或r ＝2，所以展开式中含x 的正整数指数幂的一共有2项．答案：26．若(1＋2)4＝a ＋b 2，则a －b ＝________.解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a ＋b 2，∴a ＝17，b ＝12，故a －b ＝17－12＝5. 答案：57.⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________________(用数字作答)．解析：∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x30－7r2 (r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r2＝8，得r ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.答案：528．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 46(－1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202 ， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T r ＋1＝C r 10(x )10－r 2r x －2r ＝2r C r 10x 10－5r2 ， 令5－5r2＝0，解得r ＝2，∴展开式中常数项为C 21022＝180.10．已知(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C 8n ，C 9n ，C 10n .依题意得n ！8！n －8！＋n ！10！n －10！＝2·n ！9！n －9！，化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)， 即n 2－37n ＋322＝0， 解得n ＝14或n ＝23， 因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r 14x 14－r 2 ·x r 3 ＝C r 14·x 42－r6 ， 展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数， 0≤r ≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.第二课时 二项式系数的性质及应用[读教材·填要点]二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有n ＋1项．(2)第一个字母a 按降幂排列，第二个字母b 按升幂排列． (3)a 的幂加b 的幂等于n .(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn . (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数C -12n n ，C +12n n 相等，且同时取得最大值．(6)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝1得到． (7)C 0n －C 1n ＋C 2n ＋…＋(－1)n C nn ＝0，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝－1得到．[小问题·大思维]1．若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.2．(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n.求展开式的系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设f (x )＝(x 2＋x －1)9(2x ＋1)6，试求f (x )的展开式中： (1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 解：(1)所有项的系数和为f (1)＝36＝729. (2)所有偶次项的系数和为f 1＋f －12＝36＋－12＝364，所有奇次项的系数和为f 1－f －12＝36＋12＝365.求展开式中系数或二项式系数最大的项[例2] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 28的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． [解]T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－1)r ·C r 8·2r·x4－5r 2.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .⇒5≤r ≤6，又∵r ∈N ＋， ∴r ＝5或r ＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25x－172＝－1 792x－172.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的X 围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x10＋4k3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23)(3x 2)4＝405x263.解题高手妙解题如果C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，求(1＋x )2n的展开式中系数最大的项．[尝试][巧思] 由于2n 是偶数，且(1＋x )2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n ＋1项，因此只需确定n 的值即可．等式可变形为(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)·C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C n n ＝31，而(n ＋1)C 0n ＝C 1n ＋1，12(n ＋1)C 1n ＝C 2n ＋1，13(n ＋1)C 2n ＝C 3n ＋1，….故利用二项式系数的性质即可解决．[妙解] 由C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，得(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C nn ＝31，∴C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋C 3n ＋1＋…＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＝31， 即2n ＋1－1＝31，∴2n ＋1＝32，∴n ＋1＝5，即n ＝4.1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C 该式展开共2n ＋2项，中间有两项；第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 由2n＝64，得n ＝6， ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ＋)． 由6－2r ＝0，得r ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 3．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.4．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：55．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31026．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，解之得n ＝15或n ＝－16(舍去)．∴(1＋3x )15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T 8＝C 715(3x )7，T 9＝C 815(3x )8.一、选择题1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于( ) A．29B．49C．39D．1解析：选B x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b，因此13C m2m ＝7C m2m＋1，所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，所以m ＝6. 二、填空题5．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于________．解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25，∴－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25－1＝31. ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－31. 答案：－316．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：二项式(1－x )20的展开式的通项是T r ＋1＝C r 20·120－r ·(－x )r ＝C r 20·(－1)r·x 12r .因此，(1－x )20的展开式中，x 的系数与x 9的系数之差等于C 220·(－1)2－C 1820·(－1)18＝C 220－C 220＝0.答案：07．若对任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为________． 解析：设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原等式可化为(t ＋2)3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝C 13·2＝6.答案：68．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________．(用数字作答)解析：由题意知C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 35＋C 25＋C 26 ＝C 36＋C 26＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：35三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，∴a2r－1<0(r∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.10．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 又展开式二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32. 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx10＋4r3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N ＋，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
二次项定理典型例题教师版
典型例题例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rrn r nr x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r r r rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17项．例2 求10321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值． 解：展开式的通项公式为：65301012)1(C r rrr r xT --+⋅⋅-= 系数的绝对值为rr -⋅2C 10，记为1+r t ．用前后两项系数的绝对值作商得：.)1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C 2C 2C 2C 1011010)1(11012+-=⋅-⨯-⋅+==⋅⋅=+-+-+++r r r r r r t t rr r r r r r r 令1)1(210≥+-r r 得：38≤r 即0=r 、1、2时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，2525334104152)1(C x x T -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，.8105162102C ,4452C 4410522103==⋅==⋅=--t t 所以，系数最大的项为第5项，3558105x t =． 例3 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ；（2）7531a a a a +++；（3） 6420a a a a +++．分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．解：（1）取0=x 可得10=a ， 取1=x 得1)1(7710-=-=+++a a a ．∴27321-=++++a a a a . （2）取1-=x 得77632103=-++-+-a a a a a a ，记75316420,a a a a B a a a a A +++=+++=． ∴73,1=--=+B A B A ．可得1094)31(21,1093)13(2177-=+-==-=B A 从而10947531-=+++a a a a ． （3）从（2）的计算已知10936420=+++a a a a ．说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：65)21()1(x x -⋅+的展开式中各项的系数和为多少？可以看到65)21()1(x x -+的展开式仍是多项式，令1=x ，即得各项系数和为32)1(265=-．再比如：n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则n a a a a 2420++++ 等于多少？本题可以由取1=x 得到各项系数和，取1-=x 得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得)13(21220+=+++nn a a a ．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：nx x )log 2(2+的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式n x )21(+代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令1=x 便得各项系数和为n 3．例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ． 由121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式的通项公式r r rr r r x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=． 说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-． ∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6． 例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ； （2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意： 10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++=从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n 9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C 10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x ])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．A ．11B ．33C ．55D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项． 故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式n x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r r n r n r x C x x C T 222221)()1()1()(--+-=-=， 令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-． 无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-．令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义，必须0>x ；依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ． ∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）． 解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ． ∴应填：5648980<<x ．例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ．∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．例14 设nmx x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：1111=+=+m n C C nm． 211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C nm499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ． ∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ， 令1=x ，则128270167==++++a a a a ．①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a(3)由2②①+得：6420a a a a +++ ][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-= 3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数∴3230-除以7的余数为5∴应填：5 分析(2)：将5555写成55)156(-，然后利用二项式定理展开．解：155555+15)156(55+-=15565656555554555415555055+-++-=C C C C该式只有14155555=+-C 不能被8整除，因此155555+除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．例17 求证：对于+∈N n ，111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ．证明：nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11展开式的通项rrn r r nr n r p n C T !11=⋅=+rrr n n n n r )1()2)(1(!1+---=)11()21)(11(!1nr n n r ----=． 1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n 展开式的通项rr n r r n r n r A n CT)1(!)1(11'1+=+⋅=++)111()121)(111(!1+--+-+-=n r n n r ． 由二项式展开式的通项明显看出'11++<r r T T ，所以111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn n ．说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明．例18 在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ）．A ．160B ．240C ．360D ．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解．解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k k k k x x C T 2)3(5251⋅+=-+k k k x x C -+⋅⋅=525)3(2．再一次使用通项公式得，rk r r k k k r x C C T ---+⋅⋅⋅=21055132，这里50≤≤k ，k r -≤≤50． 令1210=--r k ，即92=+r k ．所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=⋅⋅C ．解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为45C ，常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452⋅C ，常数项为52． 因此原式中x 的系数为24022445545=⋅+⋅C C ．解法3：将52)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=⋅⋅⋅C C ．∴应选B ．例19 已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． 分析：利用二项式的通项公式．解：在92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中， 通项公式为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛=-+rrr r x x a C T 299192329921)1(--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-r r r r r x a C ．根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得39169ax T =．根据题意，49169=a ，所以4=a ．∴应填：4．例20 (1)求证：nn n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++⋅-⋅+-(2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值．分析：(1)注意观察nn n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明．(2)注意到)()()(432102312420a a a a a a a a a a ++++=+-++)(43210a a a a a +-+-⋅，再用赋值法求之．解：(1)在公式n n n n nn x C x C x C x ++++=+ 2211)1(中令3-=x ，即有 nnn n n n C C C )3()3()3(1)31(2211-++-+-+=- n n n n C C 3)1(331221⋅-+-⋅+⋅-= ∴等式得证．(2)在展开式443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+中，令1=x ，得443210)32(+=++++x a a a a a ；令1-=x ，得443210)32(+-=+-+-a a a a a ．∴原式)()(4321043210a a a a a a a a a a +-+-⋅++++=1)32()32(44=+-⋅+=．说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如n n n x a x a x a a bx a ++++=+ 2210)(或b a C a C b a n n n n n 110)(-+=+222b a C n n -+nn n b C ++ 中，对任意的A x ∈（A b a ∈,）该式恒成立，那么对A 中的特殊值，该工也一定成立．特殊值x 如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取1,1,0-=x 较多．一般地，多项式)(x f 的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为)]1()1([21--f f ，偶次项系数和为)]1()1([21-+f f ．二项式系数的性质n nn n n n C C C C 2210=++++ 及15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C 的证明就是赋值法应用的范例． 例21 若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除．分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．解：3724332+-+n n 37243322+-⋅=+n n 3724931+-⋅=+n n 3724)18(31+-+⋅=+n n3724]8888[311112111101+-+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n 3724]18)1(888[3121111+-+⋅+++⋅+⋅+⋅=-+++n n C C n n n n n 3724)]98(8888[3211121111+-++⋅++⋅+⋅+⋅=-+-+++n n C C C n n n n n n n 3724)98(3]888[831132121112+-+⋅+++⋅+⋅+⋅=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n 64]888[6433212111++⋅+⋅+⋅=-+-+- n n n n n C C ， ∵18-n ，2118-+⋅n n C ，3218-+⋅n n C ，…均为自然数，∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．例22 已知nx x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令1=x 得展开式的各项系数之和为nn 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为n n n n n n C C C C 2210=++++ ，∴有992222=-n n ．∴5=n ．(1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． ∴62233225390)3()(x x x C T =⋅=，32232232354270)3()(x x x C T =⋅=．(2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r r r r r r r x C x x C T +-+⋅⋅=⋅⋅=，故有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--115511553333r r r r r r r r C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥.1351,613r r r r 解得2927≤≤r ．∵N r ∈，∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．32642132455405)3()(x x x C T =⋅⋅=说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．例23 求证：(1) pn m m p n p m n p m n C C C C C C C +-=+++0110 ；(2) 1144220242333--+⋅=++++n n n n n n n n C C C C (K n 2=，*N n ∈)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．证明：(1)(法1)∵n m nm x x x )1()1()1(+⋅+=++，∴)1()1()1(221221nn n n n m m m m m nm x C x C x C x C x C x C x ++++⋅++++=++ ．∴此式左右两边展开式中P x 的系数必相等．左边P x 的系数是pn m C +，右边Px 的系数是022110m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ， ∴pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=⋅++⋅+⋅+⋅022110 ．等式成立．(法2)设想有下面一个问题：要从n m +个不同元素中取出P 个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有pn m C +种不同取法．第二种解法，可将n m +个元素分成两组，第一组有m 个元素，第二组有n 个元素，则从n m +个元素中取出P 个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成1+P 类：从第一组取P 个，第二组不取，有0n p m C C ⋅种取法；从第一组取1-P 个，从第二组取1个，有11n p m C C ⋅-种取法，…，第一组不取，从第二组取P 个．因此取法总数是p n m n p m n p m n p m C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅--022110 ．而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=⋅++⋅+⋅+⋅022110 ．(2)∵n 为偶数，∴n n n n n n n C C C C 333)31(2210++++=+ ；nn n n n n n C C C C 333)31(2210+-+-=- ．两式相加得)333(22444220n n n n n n n n C C C C ++++=+ ，∴1144220242333--+⋅=++++n n n n n n n n C C C C ．说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．。
常见二项式递推数列通项的求法
常见二项式递推数列通项的求法一、斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 定义斐波那契数列的前两项为 0 和 1，即 F(0) = 0，F(1) = 1。
2. 从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即 F(n) = F(n-1)+ F(n-2)。
根据上述定义，我们可以得到斐波那契数列的通项公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)二、杨辉三角数列（帕斯卡三角形）杨辉三角数列是另一个常见的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 杨辉三角的第一行只有一个数值为 1。
2. 从第二行开始，每一个数值等于上一行相邻两数之和。
对于边界数值，我们可以认为其前一行相邻数不存在，默认为 0。
根据上述定义，我们可以得到杨辉三角数列的通项公式为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)其中 C(n,k) 表示杨辉三角的第 n 行第 k 个数值。
三、幂次方数列幂次方数列也是个常见的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 定义幂次方数列的初始项为 1，即 A(0) = 1，A(1) = a。
2. 从第三项开始，每一项都等于前一项乘以一个常数 a，即A(n) = a * A(n-1)。
根据上述定义，我们可以得到幂次方数列的通项公式为：A(n) = a * A(n-1)其中 a 表示常数。
四、其他常见二项式递推数列除了斐波那契数列、杨辉三角数列和幂次方数列，还有许多其他常见的二项式递推数列。
它们的通项求法可以根据具体的定义来确定，但通常都遵循递推关系，即每一项都依赖于前面的一项或多项。
在实际应用中，我们可以通过观察数列的规律，找出递推关系，并通过迭代或递归的方式计算任意项的值。
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教案-新版
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力.2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习自测1.错误！未找到引用源。
的展开式中，常数项为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
解：D2.错误！未找到引用源。
的展开式中常数项为．（用数字作答）解：-423.若错误！未找到引用源。
的二项展开式中错误！未找到引用源。
的系数为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
．解：2（二）课堂设计1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）错误！未找到引用源。
，（2）错误！未找到引用源。
2．二项展开式的通项公式：错误！未找到引用源。
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对错误！未找到引用源。
的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性2．问题探究问题探究一●活动一认知杨辉三角在n(+展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？a)b()1ba+()2ba+()3ba+()4ba+()5ba+()6ba+仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？二项式系数表（杨辉三角）错误！未找到引用源。
展开式的二项式系数，当错误！未找到引用源。
依次取错误！未找到引用源。
…时，二项式系数表，表中每行两端都是错误！未找到引用源。
，除错误！未找到引用源。
以外的每一个数都等于它肩上两个数的和●活动二函数观点认知二项式系数设函数()r n Crf=的函数图象，观察f=，这个函数的定义域是怎样的？试以n＝6为例作出()r n Cr函数图像，你能说出它的哪些性质？错误！未找到引用源。
二项式系数与等差数列
二项式系数与等差数列舒云水下题是人教A 版2-3第40页第8（3）题 ：已知1n+（的展开式中的第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n ．可将上题简化为：三个连续的二项式系数8n C ，9n C ，10n C 成等差数列，求n ．（1423n =或） 推广引申上述问题：n k 、为何值时，三个连续的二项式系数k n C ，1k nC +，2k n C +（n ≥3，k ≥0）成等差数列？ 解：要使k n C ，1k n C +，2k n C +成等差数列，则有knC +2k n C +=21k n C +. !!2!!()!(2)!(2)!(1)!(1)!n n n k n k k n k k n k ⨯+=-+--+-- 化简整理得：22(45)4820n k n k k -++++=求得：n =（1）因为n 为正整数，所以(817)k +为奇完全平方数，设817k +=2(21)m -*()m N ∈.∵k ≥0，817k +≥17 ∴2(21)m -≥17. m ≥3．由817k +=2(21)m -得1(1)22k m m =--. ∵2|1(1),(1)22m m m m ---∴为整数. 又m ≥3，∴ k ≥13(31)2 1.2⨯⨯--= 此时k 符合要求.把1(1)22k m m =--代入⑴得：22122,21n m n m m =-=--.此时n 为正整数，符合题意.但当3m =时，22212n m m =--=不合题意，舍去. ∴212,(1)22n m k m m =-=--（m ≥3*,m N ∈）， 或2121,(1)22n m m k m m =--=--（m ≥4*,m N ∈）．例如：当3m =时，7n =，1k =，17C ，27C ，37C 成等差数列； 当4m =时，7n =或14，4k =，47C ，57C ，67C 成等差数列，414C ，514C ，614C 成等差数列. 根据上面求出结论知没有四个连续的二项式系数成等差数列. 事实上，二项式系数中存在一些有规律的等差数列．下面再介绍5种．1. 二项式系数中存在无数组依次间隔一项的三个二项式系数成等差数列．即：当))(5)(1(*N m m m n ∈++=，1)5(21-+=m m k （或2)7(21++=m m k ）时，C k n ，C k n 2+，C k n 4+成等差数列﹒例如：C 212，C 412，C 612；C 621，C 821，C 1021；C 1132，C 1332，C 1532；C 1745，C 1945，C 2145等均成等差数列．2. 不论k 为何自然数，C kk 23+，C k k 123++，C k k 133++都成等差数列﹒例如：C 02，C 12，C 13；C 15，C 25，C 26；C 28，C 38，C 39等均成等差数列．3. 当95k =-，6(,2)5n t N t =∈≥时，C k n ， C k n 2+，C k n 21++成等差数列﹒例如：C 414，C 614，C 615；C 38103，C 40103，C 40104；C 271713，C 273713，C 273714．4. 当414141(1(19525t t t k ---+=-∙，6(,2)5n t N t =∈≥时，C k n ， 11k n C ++ ，C k n 21++成等差数列﹒例如：C 414，C 515，C 615；C 38103，C 39104，C 40104；C 271713，C 272714，C 273714．5. 当414141(1(14525t t t k ---+=-∙，6(,2)5n t N t =∈≥时，C k n ， 11k n C ++ ，12k n C ++成等差数列﹒例如：C 514，C 615，C 616；C 39103，C 40104，C 40105；C 272713，C 273714，C 273715．。
第03讲 二项式定理 (精讲)(教师版)
0,1,2,n ），(a n n a C b a 10+n n a C b 211+-0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：n n a x ++，256n a +=+，0122C 2C 2C 2C n n n n n n +++++=C nn ++=（C ．151rrx ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；12rrx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭已知正整数8n ≥，若),2,8，(n n a x n ++12nn na -++的值88a x ++，(821a +⋅⋅⋅+=-0388a x ++，求导得：788a x ++，87802a ++= 同类题型归类练上海中学东校高二期末）（1）设200200a x ++①展开式中各二项式系数的和； 200a ++的值．1）①20021）①展开式中各二项式系数的和为得：0200a a a +++=得：2000(1)a =-200a ++=20222022a x ++2022a ++；52021a +；22022a a ++；2022a ++2022132-(3)，得012022a a a a ++++=，得0132021a a a a -+-+-+)52021a +=5202113a -+=. ）相当于求展开式2022的系数和，令202220223a ++=.）展开式中二项式系数和是0120222022202220222022C C C C +++=展开式中偶数项的二项系数和是5202120222022CC++=))20222022012022R a a x a x ++++∈两边分别求导得：()220211222022R a a x a x =+++∈，得1222022a a a ++++重庆长寿·高二期末）二项式的展开式()6中，中间项的系数为展开式的中间项为C T =88a x ++8a ++；68a a +. (1)255(2)32895 ，则01a =. 018(1a a a +++=()8801802a a a a a ++=+++-=-1，则0123456a a a a a a a -+-+-+2C n n n ++=C nn ++=D ．16)2243n+==5，所以()151011=--()()()()011415015114141515151515C 101C 101C 101C 11=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯-- ()()()011401511414151515C 101C 101C 1012=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯--，所以S 除以10的余数为8． 故选：D ．同类题型归类练1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）1223310101010101010180808080(1)8080k k kC C C C -+-++-++除以78的余数是（ ） A ．1- B ．1 C ．87- D ．87【答案】B【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1. 故选:B ．2．（2022·北京大兴·高二期末）化简1221010101010C 2C 2C 2++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．1021-B ．1031-C ．1021+D ．1031+【答案】B【详解】由0112210101010100001011C 2+C 2C 2..(12).3C 2=+=+++， 所以112210*********0C 2C 2...3C 21+=++-.故选：B3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（ ） A ．761 B ．697 C ．518D ．454【答案】D【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++ 又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5222()2n rr r r rn C x x -=，102222n n x-，其系数为222n ，221·2n n nC---=，其系数为222n n nC --，2242221224n n n --==，所以6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为36，即为展开式的第42022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在(1(n n a x ++255n a ++=D ．n n a x ++，2n a ++=的展开式中，通项为：r T +， 则常数项对应的系数为：0a ，即01a =， 21255n n a ++=-=，解得：8=，展开式中二项式系数最大为：则二项式系数最大的项为：。
(完整版)二项式展开法求数列通项
(完整版)二项式展开法求数列通项1. 引言数列通项是数列中的每一项的公式表示。
在数学中，为了能够方便地求解数列的通项，人们提出了许多方法和技巧。
二项式展开法是其中一种常用的方法，特别适用于求解二次或高次数列的通项。
本文将详细介绍二项式展开法求数列通项的过程和步骤。
2. 二项式展开法的基本原理二项式展开法利用二项式定理，将一个表达式展开为一系列项的和。
二项式定理表明，对于任意实数a 和b，以及任意正整数n，以下等式成立：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数（或称为二项系数）。
3. 二项式展开法求数列通项的步骤以下是使用二项式展开法求解数列通项的具体步骤：步骤 1: 观察数列的前几项首先，我们需要观察数列的前几项，以便找到数列的规律和模式。
步骤 2: 推测数列通项的形式基于观察到的规律和模式，我们可以推测数列通项的形式。
通常，数列通项可以表示为一个关于 n 的多项式。
步骤 3: 使用二项式展开法展开数列通项的形式将推测得到的数列通项形式展开，得到一个关于 n 的多项式表达式。
步骤 4: 观察展开后的多项式观察展开后的多项式，得到各项系数与数列前几项之间的对应关系。
步骤 5: 根据系数与数列前几项之间的对应关系，确定数列通项通过系数与数列前几项之间的对应关系，确定数列通项中各个部分的系数或系数的关系，从而得到最终的数列通项。
4. 示例以下是一个使用二项式展开法求数列通项的示例：假设我们有一个数列：1, 4, 9, 16, 25, ...我们观察到每一项都是前一个整数的平方，而平方可以表示为`(n^2)`。
因此，我们推测数列通项的形式为 `(n^2)`。
数列与二项式定理的交融
数列与二项式定理的交融数列与二项式定理都是数学中经常使用的概念。
数列是一系列有重复或有限的数字。
二项式定理是一种定理，它表明一个多项式的某种属性与其指数的关系。
本文将探讨这两个概念之间的联系，并探索它们的交融的一些应用。
数列数列又称为自然数序列，是指按一定的顺序排列的一系列常数或变量。
数列中的每个元素都由其上一个元素决定，可以由其四个要素（数列的名字），第一项和通项公式来描述数列，以及其等差数列或等比数列等属性。
二项式定理二项式定理是一种定理，它表明一个多项式的某种属性与其阶数（即指数）的关系。
它是由英国数学家兼物理学家亨利福克斯（Henry Fox）在1700年首次提出的，这是一个关于组合的定理。
它说，如果P（x）是一个具有次数n的多项式，则：P（x）= (a + b)的n次幂 = sum_{k=0}^n {n choose k} a^(n-k) b^k其中{n choose k}组合数，意思是由n个物体中选取k个物体的方法数。
交融从上面我们可以看出，数列与二项式定理之间存在着一定的联系。
数列可以作为多项式的阶数，这也就是说可以将数列表示为一个多项式，它的属性将受到数列的影响。
因此，将数列与二项式定理相结合，可以用来解决一些复杂的问题。
应用1.于推理排列组合：数列可以用于推导出排列组合，这是经典概率论中最基本的概念。
通过二项式定理，可以求出每一个数列的概率，从而得出一种更客观的结果。
2.于分析复杂模型：复杂模型中经常会出现各种数列和多项式，这就需要将数列与二项式定理结合，以便更加准确地求解这种复杂的模型。
3.于统计概率：数列经常用于统计概率，二项式定理也可以用来求解概率，因此将两者结合起来，可以更准确地分析概率。
结论数列和二项式定理是形成现代数学的重要概念之一，它们两者之间的联系非常紧密。
当它们结合在一起时，可以帮助我们从数学上解决一些棘手的问题，并为我们有效地分析概率等问题提供帮助。
活用二项式定理解数列问题
活用二项式定理解数列问题二项式定理是在数学计算中常用的一个公式，它是由于柯西在1808年所提出的。
简单来说，二项式定理指的是：在二项式的展开中，可以通过某种正则模式，求出特定项的系数。
一般来说，二项式定理可用于求解多项式数列中，每一项系数的值。
这是因为，多项式数列在数学上是一种特殊的二项式展开，他们的每一项系数也可以用二项式定理来求解。
在数列中，不同数列具有不同的规则，而且每种规则都可以用二项式定理来求解特定数列的每一项系数。
接下来，我们将详细分析其中的规则，并利用二项式定理来求解数列的每一项系数。
首先，我们来讨论等比数列，这种数列由每项之积等于某个常数，而每项之差等于某个常数而构成。
例如：2，4，8，16，32……这里每项之积等价于2，即2x2x2x2……，而每项之差等于2。
为了求解这种数列的系数，我们可以使用如下的二项式定理：(a1 + a2 + + a_n) ^2 = a1^2 + a2^2 + + a_n^2对于等比数列，a1等于第一项，a2等于每项之积，n等于数列的第n项。
因此，我们可以通过二项式定理来求解等比数列的系数。
接下来，我们来看看等差数列。
等差数列指的是每项之差等于某个常数。
例如：2，4，6，8，10……这里每项之差等于2。
为了求解这种数列的系数，我们也可以使用二项式定理来求解。
对于等差数列，a1等于第一项，a2等于每项之差，n等于数列的第n项。
因此，我们可以通过二项式定理来求解等差数列的系数。
最后，我们来看一下其他特殊类型的数列。
这些数列可以用二项式定理来求解，但是必须注意它们的特殊性质。
例如：平方数列，立方数列，指数数列，对数数列等等。
对于这些特殊数列，我们只需要观察其每一项的关系，并确定它们的特殊性质，然后就可以使用二项式定理来求解其中每一项的系数。
以上就是通过二项式定理来求解数列问题的方法。
可以看出，通过二项式定理，我们可以很容易地求出特定数列每一项的系数，并且，这种方法也可以用于求解其他特殊类型的数列。
二项式与数列结合的题目
二项式与数列结合的题目
首先，我们可以从二项式展开的角度来看。
二项式展开是指将
形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的过程。
例如，(x+2)^3的展开
结果是x^3 + 6x^2 + 12x + 8。
在这个过程中，我们可以发现展开
式中每一项的系数和指数之间存在着一定的规律，这与数列中的项数、公差、首项等概念有一定的联系。
通过分析展开式中各项的系
数和指数之间的关系，我们可以将二项式展开与数列的性质联系起来，从而得到一些有趣的结论。
其次，我们可以从组合数的角度来看。
在二项式展开的过程中，我们经常会用到组合数的概念，即C(n, k)表示从n个元素中取出k
个元素的组合数。
组合数在数学中有着广泛的应用，它与排列组合、概率统计等领域密切相关。
在解决与二项式与数列结合的题目时，
我们经常需要运用组合数的性质和公式，通过组合数的性质和二项
式展开的规律，我们可以得到一些关于数列的性质和规律。
此外，我们还可以从数列的角度来看。
数列是指按照一定规律
排列起来的一列数，它在数学中有着重要的地位。
在与二项式结合
的题目中，我们经常需要分析数列的性质和规律，通过数列的性质
和规律来解决与二项式展开相关的问题。
例如，通过观察二项式展
开式中各项的系数和指数之间的规律，我们可以得到一些关于数列的性质和规律，从而解决一些与二项式与数列结合的题目。
综上所述，二项式与数列结合的题目涉及到二项式展开、组合数、数列的性质等多个方面。
通过从不同的角度分析和思考，我们可以更好地理解和解决与二项式与数列结合的问题。
希望我的回答能够帮助到你。
二项式系数数列
二项式系数数列二项式系数数列是一个非常重要的数列，在组合数学中有着广泛的应用。
它的定义是指数为非负整数的二项式系数的数列，也可以理解为二项式展开后各项的系数。
在数学中，二项式系数数列的计算往往与排列组合、二项式定理、多项式展开等概念密切相关。
二项式系数数列的第n项可以用组合数的形式表示为C(n, k)，表示从n个元素中取k个元素的组合数。
它的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
这个公式的含义是，从n个元素中选取k个元素的不同组合方式的数量。
二项式系数数列的性质非常丰富。
首先，二项式系数数列是对称的，即C(n, k) = C(n, n-k)，这是因为从n个元素中取k个元素和从n 个元素中取n-k个元素的组合方式是一样的。
其次，二项式系数数列满足递推关系C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)，这是因为从n个元素中取k个元素可以分为两种情况：一种是包含第n个元素，即从n-1个元素中取k-1个元素；另一种是不包含第n个元素，即从n-1个元素中取k个元素。
最后，二项式系数数列中的每一项都是一个整数。
二项式系数数列在组合数学中有着广泛的应用。
首先，它可以用来计算排列组合问题，如从n个元素中选取k个元素的不同组合方式的数量。
其次，二项式系数数列可以用来展开二项式的幂，即多项式展开。
根据二项式定理，对于任意实数a和b以及非负整数n，有(a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
这个公式在代数学中有着重要的应用。
此外，二项式系数数列还可以用来解决概率问题，如计算在n 次独立的伯努利试验中，事件发生k次的概率。
总结起来，二项式系数数列是一个重要的数列，在组合数学和代数学中具有广泛的应用。
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1.求证：)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ． 【答案】)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边．2.证明下列各式(1)1+21n C +42n C + … +112n n n C --+2n nn C =3n ；(2)(0n C )2+(1n C )2+ … +(nn C )2=2nn C ； (3)1n C +22n C +33n C + … +n nn C =12n n -.【答案】(1)在二项展开式(a +b )n =0n C a n +1n C a n -1b +2n C a n-2b 2+ … +1n n C -ab n -1+nn C b n 中，令a =1，b =2，得(1+2)n =1+21n C +42n C + … +2n -11n n C -+2n nn C ，即 1+21n C +42n C + … +2n -11n n C -+2n n n C =3n . (2)(1+x )n (1+x )n =(1+x )2n ，∴(1+1n C x +2n C x 2+ … +rn C x r + … +x n )(1+1n C x +2n C x 2+ … +rn C x r + … +x n )=(1+x )2n . 而2nn C 是(1+x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理，得0n C n n C +1n C 1n n C -+ … +1n C 1n n C -+C n n 0n C =2nn C .∵m n C =n mnC -，0≤m ≤n ，∴(0n C )2+(1n C )2+ … +(nn C )2=2nn C . (3)证法一：令S =1n C +22n C +3C 3n + … +n nn C .①令S =1n C +22n C + … +(n －1)1n n C -+n nn C =n nn C +(n －1)1n n C -+ … +22n C +1n C =n nn C +(n －1)1n C + … +22n nC -+1n n C -.②由①+②得2S =n 1n C +n 2n C +n 3n C + … +n nn C =n (nn C +1n C +2n C +3n C + … +nn C )=n (0n C +1n C +2n C +3n C + … +nn C )=n 2n . ∴S =n 2n -1，即1n C +22n C +33n C + … +n nn C =n 2n -1. 证法二：观察通项：k kn C =k11C !)(!)1(!)1(!)(!--=---=-k n n k n k n n k n k n .∴原式=n 01n C -+n 11n C -+n 21n C -+n 31n C -+ … +n 11n n C --=n (01n C -+11n C -+21n C -+31n C -+…+11n n C --)=n 2n -1， 即1n C +22n C +33n C + … +n nn C =n 2n-1.3.已知}{n a （n 是正整数）是首项是1a ，公比是q 的等比数列（1）求和：334233132031223122021,C a C a C a C a C a C a C a -+-+-；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；（3）设n S q ,1≠是等比数列的前n 项的和，求n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-+⋅⋅⋅+-+-【答案】（1）0122212223211112(1)a C a C a C a a q a q a q -+=-+=-， 012323132333431111133(1)a C a C a C a C a a q a q a q a q -+-=-+-=-（2）归纳概括出关于正整数n 的一个结论是：已知{n a }（n 是正整数）是首项是1a ，公比是q 的等比数列，则0123123411(1)(1)n n n n n n n n n a C a C a C a C a C a q +-+-+⋅⋅⋅+-=-证明如下：012312341(1)n nn n n n n n a C a C a C a C a C +-+-+⋅⋅⋅+-=01223311111(1)n n n n n n n n a C a qC a q C a q C a q C -+-+⋅⋅⋅+-01223311[()](1)n n nn n n n n a C C q C q C q C q a q =-+-+⋅⋅⋅+-=-（3）因为1(1)1n n a q S q -=-，所以11(1)1n kk k n n a q S C C q+-=-012312341(1)n nn n n n n n S C S C S C S C S C +-+-+⋅⋅⋅+-=0123012211[(1)][()]11n n n n n n n n n n n n n a a q C C C C C C qC q C C q q q-+-+⋅⋅⋅+---+-⋅⋅⋅+---=-1(1).1n a q q q --4、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足21n n S a =-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：0121231nn n n n n S C S C S C S C +++++L ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：()212111lg 2lg 1lg 1lg 1lg log m m a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L试问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和.解：（1）由12-=n n a S 得1211-=++n n a S ，相减得n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+．又1211-=a S ，得011≠=a ，∴数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，∴12-=n n a ． （2）由（1）知12-=nn S ．∴n n n n n n n n n n nn C C C C C S C S C S C S ⋅-+⋅-+⋅-+⋅-=⋅++⋅+⋅+⋅++)12()12()12()12(12312011231201ΛΛ n n n n nn n n n n n n n n n C C C C C C C C 2322)21(2)()222(22102210-⋅=-+=++++-++++=ΛΛ（3）由已知得111122211-=+⋅⋅+⋅+⋅m b b b b b b mm Λ． 又{}n b 是连续的正整数数列，∴11+=-n n b b ．∴上式化为1)1(21-=+m b b m ．…… 又)1(1-+=m b b m ，消m b 得02311=--m b mb ．26323111-+=-=b b b m ，由于*∈N m ，∴21>b ，∴31=b 时，m 的最大值为9. 此时数列的所有项的和为6311543=++++Λ5. 已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k nn n k n n n f n a C a C a C a C =+++++L L (*N n ∈).（1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n nn n n n f n C C C C -=++++L ，∴1223312()12222nn nnnn f n C C C C+=+++++L ，(12)3nn+=…8分 故31()2n f n -=.（3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立，设公差为d ，则121121()k n nn n k n n n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++L L且121121()n n k n n n n k n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++L L ， 相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++L L ，∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++L L 11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2nf n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =- (16)分 （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）6．（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列 （1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明． 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m Q 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。