用不动点法求数列通项

定义：方程的根称为函数的不动点.

利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.

证明：因为是的不动点

由得

所以是公比为的等比数列.

定理2：设，满足递推关系，初值条件

（1）：若有两个相异的不动点，则（这里）

（2）：若只有唯一不动点，则（这里）

证明：由得，所以

（1）因为是不动点，所以，所以

令，则

（2）因为是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，则

例1：设满足，求数列的通项公式

例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式

定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,

证明:是的两个不动点

即

于是,

方程组有唯一解

例3：已知数列中,,求数列的通项.

其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项.

解: 作函数为,解方程得的不动点为

.取,作如下代换:

逐次迭代后,得:

已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)

n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（２）证明：13521n n n

x x x x x y -⋅⋅⋅⋅<

22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，

…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14

q =

，求{}n x 的前n 项和n S ． 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的

导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，． （1）求αβ，的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>；

（3）记ln (12)n n n a b n a βα

-==-L ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，

*11212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +

∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）

当b=2时，记

1

()

4

n

n

n

b n N

a

+

+

=∈求数列{}

n

b的前n项和

n

T