习题课2
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上次作业情况：
▲
知道了动量表象中的波函数 ( p)
如何求动量分布即动量的概率分布 | ( p) |2
▲
补充作业： 的粒子在势场
0.1353
a
质量为
V ( x) ( x) (其中 0)
a
中作1D束缚运动。试求 坐标 a > 0，使得粒子在 区域
1 | x | a内的几率为 2
m 2 n 1
m 1 or n 2
﹟
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﹟
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21
再利用
coth 1 （1）式给出 lim
0
22
对式
﹟
23
i E1t
1 ( x) c2e
i E2 t
2 ( x)
|
i E1t 2
| E2 | c2e
i E2 t 2
E1 | c1 |2 E2 | c2 |2 1 ( E1 E2 ) 2
(c)能量平方平均值同样由任意时刻波函数给出
ˆ 2 ) H 2 ( , H
3
i i E2t 2 E1t 2 ( x) e 1 ( x ) e 2
2 2 2 2 2 其中 E1 , E 2 2a 2 a 2
注意这里e指数提不出来。
下面求几率密度，注意1D无限深势阱的能量本征
态是实函数。
* ( x, t ) ( x, t )
5
i i i i E1t E2t E1t E2t 2 2 2 H 2 , c1 E1 e 1 c2 E2 e 2 c1e 1 c2 e
根据1D无限深势阱能量本征态的正交归一关系
m , n mn
2
1/ 2
H2 H2
2
1 2 1 1 2 ( E1 E2 ) ( E1 E2 ) ( E1 E2 ) 2 2 4 2
(e) 体系的特征时间 也就是物理量发生变化的周期
可用几率密度的变化周期说明
2 12 2 2 1 2 cos 2
2 它是两个能量本征态 1 ( x), 2 ( x) 的叠加
分别隶属于能量 E1, E2
根据定态的叠加形成非定态的公式
( x, t ) cn e
n
i E1t
i En t
n ( x)
i E2 t
很容易写出任意时刻的波函数
( x, t ) c1e 1 ( x) c2e 2 ( x)
i i i i E1t E2t E1t E2t 2 ( x) c1e 1 ( x) c2 e 2 ( x) c1e 1 ( x) c2 e
c c1c2e
2 1 2 1
i ( E1 E2 ) t
2 ˆ 2 ) E12 | c1 |2 E2 | c2 |2 H 2 ( , H 1 2 2 ( E1 E2 ) 2 1 H ( E1 E2 ) 与 进行比较。 2
(d)求能量涨落 用涨落计算公式
E ( H H )
2
1/ 2
6
E ( H H )
i i i i E1t E2t E1t E2t 2 ˆ c1e 1 c2 e 2 , H (c1e 1 c2 e 2 ) i i i i E1t E2t E1t E2t 2 2 2 , c1 E1 e 1 c2 E2 e 2 c1e 1 c2 e
1 2 c1c2e
i ( E1 E2 ) t
2 2 1 2 c2 2
1 2 E2 E1 2 2 cos t 1 2 1 2 2
4
(b)能量平均值由任意时刻的波函数给出
( x, t ) c1e
H E1 | c1e
H；
(c)能量平方平均值 H 2； 1/ 2 2 (d)能量的涨落 E ( H H ) ；
(e)体系的特征时间 t 。计算E t 。
[分析]这是一个典型的波函数-平均值问题。
2
第一问实际上是当初始波函数是定态的叠加时， 求任意时刻状态。 以后的问题就是平均值的问题了，要由第一问的 结果决定。 2 ( x , 0 ) [ 1 ( x) 2 ( x)] [解] (a) 根据初始状态
1
E2 E1 t
显然 பைடு நூலகம்以
2 2 2 t E2 E1 E2 E1 E E t 2 h
2
这是量子力学(II)的能量-时间不确定度关系。
﹟
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﹟
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12
对应波函数
13
对应波函数
比如
m2 n 2 5
1 2 x / L 1 2 e dx La 2
.
L a ln 2 2
1
2.12 一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻
2 (t=0)处于状态 ( x,0) [ 1 ( x) 2 ( x)]，其中 1 ( x) 与 2 2 ( x) 分别为基态和第一激发态。求
(a) ( x, t ), ( x, t ) * ( x, t ) ( x, t )； (b)能量平均值
▲
知道了动量表象中的波函数 ( p)
如何求动量分布即动量的概率分布 | ( p) |2
▲
补充作业： 的粒子在势场
0.1353
a
质量为
V ( x) ( x) (其中 0)
a
中作1D束缚运动。试求 坐标 a > 0，使得粒子在 区域
1 | x | a内的几率为 2
m 2 n 1
m 1 or n 2
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再利用
coth 1 （1）式给出 lim
0
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对式
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i E1t
1 ( x) c2e
i E2 t
2 ( x)
|
i E1t 2
| E2 | c2e
i E2 t 2
E1 | c1 |2 E2 | c2 |2 1 ( E1 E2 ) 2
(c)能量平方平均值同样由任意时刻波函数给出
ˆ 2 ) H 2 ( , H
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i i E2t 2 E1t 2 ( x) e 1 ( x ) e 2
2 2 2 2 2 其中 E1 , E 2 2a 2 a 2
注意这里e指数提不出来。
下面求几率密度，注意1D无限深势阱的能量本征
态是实函数。
* ( x, t ) ( x, t )
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i i i i E1t E2t E1t E2t 2 2 2 H 2 , c1 E1 e 1 c2 E2 e 2 c1e 1 c2 e
根据1D无限深势阱能量本征态的正交归一关系
m , n mn
2
1/ 2
H2 H2
2
1 2 1 1 2 ( E1 E2 ) ( E1 E2 ) ( E1 E2 ) 2 2 4 2
(e) 体系的特征时间 也就是物理量发生变化的周期
可用几率密度的变化周期说明
2 12 2 2 1 2 cos 2
2 它是两个能量本征态 1 ( x), 2 ( x) 的叠加
分别隶属于能量 E1, E2
根据定态的叠加形成非定态的公式
( x, t ) cn e
n
i E1t
i En t
n ( x)
i E2 t
很容易写出任意时刻的波函数
( x, t ) c1e 1 ( x) c2e 2 ( x)
i i i i E1t E2t E1t E2t 2 ( x) c1e 1 ( x) c2 e 2 ( x) c1e 1 ( x) c2 e
c c1c2e
2 1 2 1
i ( E1 E2 ) t
2 ˆ 2 ) E12 | c1 |2 E2 | c2 |2 H 2 ( , H 1 2 2 ( E1 E2 ) 2 1 H ( E1 E2 ) 与 进行比较。 2
(d)求能量涨落 用涨落计算公式
E ( H H )
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E ( H H )
i i i i E1t E2t E1t E2t 2 ˆ c1e 1 c2 e 2 , H (c1e 1 c2 e 2 ) i i i i E1t E2t E1t E2t 2 2 2 , c1 E1 e 1 c2 E2 e 2 c1e 1 c2 e
1 2 c1c2e
i ( E1 E2 ) t
2 2 1 2 c2 2
1 2 E2 E1 2 2 cos t 1 2 1 2 2
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(b)能量平均值由任意时刻的波函数给出
( x, t ) c1e
H E1 | c1e
H；
(c)能量平方平均值 H 2； 1/ 2 2 (d)能量的涨落 E ( H H ) ；
(e)体系的特征时间 t 。计算E t 。
[分析]这是一个典型的波函数-平均值问题。
2
第一问实际上是当初始波函数是定态的叠加时， 求任意时刻状态。 以后的问题就是平均值的问题了，要由第一问的 结果决定。 2 ( x , 0 ) [ 1 ( x) 2 ( x)] [解] (a) 根据初始状态
1
E2 E1 t
显然 பைடு நூலகம்以
2 2 2 t E2 E1 E2 E1 E E t 2 h
2
这是量子力学(II)的能量-时间不确定度关系。
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对应波函数
13
对应波函数
比如
m2 n 2 5
1 2 x / L 1 2 e dx La 2
.
L a ln 2 2
1
2.12 一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻
2 (t=0)处于状态 ( x,0) [ 1 ( x) 2 ( x)]，其中 1 ( x) 与 2 2 ( x) 分别为基态和第一激发态。求
(a) ( x, t ), ( x, t ) * ( x, t ) ( x, t )； (b)能量平均值