习题课2

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工程热力学习题课(2)

三、小结
1.热力循环方向性的判断： Q
克劳修斯积分式
T
0
r
孤立系统熵增原理（既适应循环也适应过程方向的判断）
dSiso 0
卡诺定理
t c
2.对于求极值问题一般考虑可逆情况
3.应用孤立系统熵增原理计算每一对象的熵
变时，要以该对象为主题来确定其熵变的正负
谢谢大家！
Q1 W 264 .34kJ
气体定温过程熵变为：
T p p c p ln 2 R g ln 2 mR g ln 2 S m T1 p1 p1 10 6 1 287 ln 5 660 .8 J / K 10
热源熵变为：
1由热效率计算式可得热机e输出循环净功所以wnet40kj由热泵供暖系数计算公式可得供热量qnetnet1000290revnet7171290360360netrev3647114但这并不违反热力学第二定律以1为例包括温度为tnet100kj40kj60kjnet140kj40kj100kj就是说虽然经过每一循吸入热量60kj放出热量100kj净传出热量40kj给温度为t放出了100kj的热量所以40kj热量自低温传给高温热源是花了代价的这个代价就是100kj热量自高温传给了低温热源所以不违反热力学第二定律
因为为可逆过程，所以△Siso=0,即：
S iso S A S B dS 0
mc p ln
Tf T1
mc p ln
Tf T2
0
ln
T f2 T1T2
0
T f T1T2
可逆过程循环净功最大，为：
Wmax Q1 Q2 mc p T1 T f mc p T f T2 mc p T1 T2 2T f

高等数学习题课3-2

x3 1 x | ( x2 1)
的渐近线。
第
三章
解
lim y lim y
x1
x0
中值
x 1, x 0 是曲线的两条铅直渐近线
定理与
lim y 1 lim y 1
f ( x) k 0, 且 f (a) 0, 证明：方程 f ( x) 0 在区间
第三
[a,) 有且仅有一个根。
章
证因为当 x a 时，f ( x) k 0, 所以 f ( x) 0
中值
在区间[a,) 至多有一个根。
定理
又因为 f (a) 0, 且
与导
f (a f (a)) f (a) f ( )(a f (a) a)
)(1 1) 或 2
x0 )2
f (2
)
( x0 2
16 (1 2
1) x0
1)
-2-
习题课（二）
例2 证明当 x 1 时,
x2 x3
ln(1 x) x .
第
23
三章
证当 x 1 时,
中值
ln(1
x)
x
x2 x
x3 3
1
4(1 )4
x4
定理
其中
介于 0与x之间.
第区间，拐点。
三
章解函数的定义域为(,1) (1,1) (1, )
中
值定理与
y
x2( x2 3) ( x2 1)2 ,
y
2 x( x2 (x2
3) 1)3
导数
y 0,得点x 3, y 0,得点x=0
的
应用x 3, x 0划分函数的定义域，并在各区间研究

第3章信道模型和信道容量习题课(2)

3、解：（1）已知二元对称信道的传递矩阵，又已知输入的
3 1 概率分布 P (0) , P (1) , 就可以计算得出 Y 的概率 4 4
分布如下：
P ( y 0) P ( x ) P ( y 0 | x )
x
P( x 0) P( y 0 | x 0) P( x 1) P( y 0 | x 1)
0
1
0

1

1
1
(a)
2
解
( a ) 图，由信道线图可得转移概率矩阵如下：
1
1
该矩阵为行列排列阵，信道为准对称信道，可以把按列分成两个子矩阵如下：
1
1
PS 10 log10 1 20 PN
得到
PS 1 100 PN
信道传送的最大信息速率
PS Ct W log(1 ) 3 103 log 2 100 19.93 103 bit/s PN
（1）
信道不变， Ct 仍应为 19.93 10 （比特/秒），而
21s?121lognkkkskmmcshppprr??????????????????????11222loglog1222211loglog12hh????????????????????????????????????设在平均功率受限高斯可加波形信道中信道带宽为3khz又设信号功率噪声功率噪声功率20db
•设在平均功率受限高斯可加波形信道中，信道带宽为3kHz，又设（信号功率+噪声功率）/噪声功率=20 dB。
（1）试计算该信道传送的最大信息率（单位时间）19.93*103(bit/s)。（2）若功率信噪比降为5dB，要达到相同的最大信息传输率，信道带宽应是多少(12KHz)。

09 11.2 习题课(2)

三角形全等证明思路
已知两边
找夹角（SAS））找直角（HL））找另一边（找另一边（SSS））边为角的对边找任一角（AAS）找任一角（）
找夹角的另一边（SAS）找夹角的另一边（）
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角（ASA）找夹边的另一角（）
找任一角（AAS））
A D C B M N
（D） AM∥CN
如图， AB上 AC上 B=∠C， 2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，么补充下列一个条件后，仍无法判断 ABE≌△ACD的是的是（ △ABE≌△ACD的是（）（A） AD=AE B （B） ∠AEB=∠ADC D （C） BE=CD （D） AB=AC A E C
D E F A B C
5、已知，如图，AB、CD相交于点O，已知，如图，AB、CD相交于点O 相交于点 ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。 △ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。
C F E O D
A
B
6、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC， AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。 AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。
找夹边
已知两角
（ASA））
找任一边（找任一边（AAS））
练习
如图，已知MB=ND MB=ND， MBA=∠NDC， 1、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（件不能判定△ABM≌△CDN的是（）的是（A） ∠M=∠N （ B）（ C） AB=CD AM=CN
15、已知，如图， ABC中 AB=AC， 15、已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=900， AC的中点 AF⊥BD于的中点， BC于连结DF DF。 D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF。求证： ADB=∠CDF。求证：∠ADB=∠CDF。 A 1 B 3 2 D E M N F C B 3 F M C A 2 1 D E

高中物理必修一第二章习题课(二)

第二章
匀变速直线运动的研究
2．一个做匀加速直线运动的物体先后经过 A、B 两点的速度分别为 v1 和 v2，则下列结论中正确的有( ) v1＋v2 A．物体经过 AB 位移中点的速度大小为 2 2 v2＋v2 1 B．物体经过 AB 位移中点的速度大小为 2 v1＋v2 C．物体通过 AB 这段位移的平均速度为 2 D．物体通过 AB 这段位移所用时间的中间时刻的速度为 v1＋v2 2
2
1 2 2 1 2 2 个 2 s 内的位移 x2＝ a(t2－t1)＝ a(4 2 2
1 2 9 2 －2 )＝6a，第 5 s 内的位移 x3＝ a(5 －4 )＝ a， x1∶x2∶ 故 2 2 9 x3＝2a∶6a∶ a＝4∶12∶9，故选 C. 2
第二章
匀变速直线运动的研究
本部分内容讲解结束
【答案】
BD
第二章
匀变速直线运动的研究
例3
一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站
在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时 2
s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，车厢长
度相等，求： (1)这列火车共有多少节车厢？ (2)第9节车厢通过他所用时间为多少？
第二章
匀变速直线运动的研究
第二章
匀变速直线运动的研究
7．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个 2 s 和第5 s内三段位移比为( A．2∶6∶5 C．4∶12∶9 )
B．2∶8∶7 D．2∶2∶1
第二章
匀变速直线运动的研究
1 2 1 解析： C.由位移公式 x＝ at 得第 1 个 2 s 内的位移 x1＝选 2 2 1 2 at 1＝ a×22＝2a.第 2

习题课10-2

D yz
- 13 -
习题课（二）
= 2 ∫∫ 2 y 2 zdydz = 2 ∫ dy ∫
第十章曲线积分与曲面积分
1
2 y 2
π 4 = = ∫ (1 2π 3 1 ( z 2 y )dydz = 同理 ∫∫ 2
1 3 2 2 y ) dy
D yz
1
1
2 y 2 zdz
Σ : y = y( x , z )
( x , z ) ∈ Dxz
∫∫
Σ
f ( x , y , z ) dS =
∫∫
Dxz
2 2 f ( x , y( x , z ), z ) 1 + y x + yz dxdz
-1-
习题课（二）
例1 计算下列曲面积分（1） ( x + y )dS , 其中 Σ 为由锥面 z = ∫∫
习题课（二）
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ = ∫∫ ( z x P z yQ + R )dxdy
证设 cos α , cos β , cos γ 为 Σ 指定测的法向量的方向余弦。由于 n = ±{ z x , z y ,1} zx 所以 cos α = ± 2 2 1 + zx + z y 1 cos γ = ± 2 1 + zx + z2 y
Dxy
= ∫
π
2d 0
∫ ρ dρ = 0
3
1
π
8
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
Σ
=
π
8
+
π
8

《数字电路与逻辑设计》习题课 (2)

10/10
状态定义： S0:初始状态。 S1:收到五角硬币。 S2:收到一元硬币。 S3:收到一元五角硬币。并入S0状态。
00/00 AB/YZ
S0
01/10 10/11
01/00 10/00
S2
S1 00/00 01/00
00/00 例1原始状态转移图
例2、分析图所示计数器电路，说明是模长为多少的计数器，并列出状态转移表。
6
C
&
1 1
A & ?
Z
X
&
N
A X
&
1 & J
1
C
R 1 & K
解：1）分析电路结构：该电路是由七个与非门及一个JKFF组成，且CP下降沿触发，属于米勒电路，输入信号X1，X2，输出信号Z。
2）求触发器激励函数：J=X1X2，K=X1X2 触发器次态方程：
Qn+1=X1X2Qn+X1X2Qn=X1X2Qn+(X1+X2)Q
第六章复习
计数器的分析
❖ 同步、异步分析步骤：由电路触发器激励函数(公式和图解）状态转移表分析模长和自启动性。用图解法，注意高低位顺序，一般数码越高位权越高：Q3Q0
❖ 移存型计数器属于同步计数器，只要求出第一级触发器的次态方程和初始状态，就可以写出状态转移表。
计数器的设计
❖ 同步计数器的设计：状态转移表激励函数和输出函数(自启动性检查)电路图。
❖ 7490只能异步级联，M=100。
❖ 74194级联可实现8位双向移存器
MSI实现任意进制计数器(M<N)
❖ 反馈法：异步清0法和同步置数法。注意：用LD端置全1（置最大数法）时，反馈状态对应编码中出现0的端口需通过非门送入反馈门。

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

多元函数微分学习题课 (2)

a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
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例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
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多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim

习题课2

Im o
Re
o -2 o
2j X 0 2
2j o Re 0 2
-2 o
-2j X (3)
-2j o (4)
Solution to 9.23
• Sol :
Property 1 in Sec.9.2.
e{ } 3 is in the ROC.
If x(t )e 3t is absolutely integrable, from the Dirichlet conditions of convergence of Fourier transform, the Fourier transform of x (t )e 3t exists. Thus, the Laplace of x(t ) exists at 3, or that X ( s ) converges at 3.
• Pole-zero Plot of Laplace Transform
– For a rational X(s), the roots of the numerator are referred to as zeros of the Laplace transform, whereas those of the denominator poles.
X
5j
o
X -5 -4
Im
55 / 2
Re
-7.5
o
X -5j
55 / 2
(b)
ROC is e{s} 4.
Solution to 9.21
• (i) x(t ) (t ) u(t );
1 s 1 Sol : X ( s ) 1 , s s ROC is e{s} 0.

平面向量习题课(2)

平面向量习题课（向量的数量积、平面向量基本定理及坐标表示）[基础达标]1．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B. 2π3 C. π3 D.5π62．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( ) A ．13 B ．135 C ．655D ．653．已知{e 1，e 2}为基底，向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( )A ．2B ．－3C ．－2D ．34．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C. 45 D. 855．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.236．已知G 是△ABC 的重心，若GC →＝xAB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．13D ．－137．已知向量e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋λe 2，b ＝3e 1－(2－λ)e 2，若a ∥b ，则λ＝________.8．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为_______9．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．10．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)， PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．11．如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.12．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.[能力提升]13．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m =________．14.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______． 15．如图所示，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB.(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．16．已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值． .。

有机单元习题课二

CH3 CH3
H COOC2H5 COOC2H5 H
CH3 CH3
H COOC2H5 COOC2H5 H
丁烯中少量的1 丁炔。四、用化学方法除去2 –丁烯中少量的 –丁炔。用化学方法除去丁烯中少量的丁炔
溶液洗涤，用Ag(NH3)2OH溶液洗涤，即可除去端炔。溶液洗涤即可除去端炔。
五、以乙炔、丙烯为原料（无机试剂任选）合成正戊醛。以乙炔、丙烯为原料（无机试剂任选）合成正戊醛。
7. CH2=CHCH2C CH
C2H5OH KOH ,
C2H5Br NaNH2 液 NH3
CH2=CHCH2C=CH2 OC2H5
A
Na 液 NH3
=
O
B:
CH3CCH3
8. CH3C
CH
B
Cl2
C 透视式
D 锯架式
E Newman式
F Fischer
CH3
H C=C C2H5
C:
Br C H3 C H C
一、写出下列化合物的最稳定构象：写出下列化合物的最稳定构象：
1. FCH2CH2OH
F H H H H O H
， 2. 顺 - 1，3- 环己二醇
O H H O H H
CH3 3. C2H5
H H C2H5 CH3 CH(CH3)2 H
(CH3)2CH H
CH(CH3)2
H 4. (CH3)2CH
分析：分析：
CH3CH2CH2CH2CHO 目标分子 CH3CH2CH2Br + NaC CH CH3CH2CH2 C CH
合成：合成：CH3CH=CH2
CH CH
NaNH2 液 NH3
HBr ROOR

流体力学计算习题课(2)

g2HgH2 y2 y gg
对上孔口：x1x1 4a4abbcc
对下孔口x：2x2 4a4abcbc
相遇时：x1 x2 4a4bab4a4cac 4a4cac 4b4cbc
当a=c时上式成立
5
如图所示过水低堰位于一水平河床中，上游水深为
1 1.76kN
方向向右方向向左
5
②与固体壁面的作用力，即待求的力F，方向向左质量力：只有重力G，在x 方向无投影
根据连续性方程：
根据能量方程：列动量方程：
vd2 （2ug1／Hu2） hd1l1＝2 5 cm
2
如图所示，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面
积分别为A1和A2，试问：h1和h2成什么关系时流动处于定常状态？这时须在左边水箱补充多大的流量？
1
1
h1
3
3
Z
2 A1
2
h2
4 A2
4
2
解：取计算面，
以4－4为基准，列3－3到4－4伯努利方程：
3
3
4
4
3Байду номын сангаас
4
vu24 2g hH2 hl12
以2－2为基准，列1－1到2－2伯努利方程：
vu22 2g hH1 hl12
2
v2 2g hH1 Avh21l12 2g hH1 Ah2l12
h1／h2＝（A2／A1）2
Q＝v2A1 2g hH1 hl12
1
油从铅直圆管向下流出，管径d1=10cm，管口处的速度为u1=1.4m／s，求管口下方H＝1.5m处的速度和油柱直径。
d1
u1
H

广州大学线性代数习题课(2)

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一,内容提要
向量组的线性表示若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向量线性表示, 线性表示. 量线性表示就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是矩阵 B 的有解的充分必要条件是: 任一列向量都可由矩阵 A 的列向量组线性表示. 的列向量组线性表示
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一,内容提要
向量在基下的坐标维向量空间, 设 V 为一个 r 维向量空间则 V 中任意 r 个线性无的一个基, 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基且有 …
V = L(a1 , , ar )
V 中任一向量 a 可唯一地表示为 a = k1a1 + + kr ar 下的坐标. 称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标 … …
线性相关性如果存在一组不全为设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数
k1 , , km , 使
k1a1 + + km am = 0
那么, 称 a1 , , am 线性相关否则称 a1 , , am 线性无关线性相关. 否则, 线性无关. 那么基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示则向量组线性表示, … 线性相关. b, a1,…, am 线性相关 … 当 a1,…, am 线性相关时表示式不唯一线性相关时, 表示式不唯一; … 当 a1,…, am 线性无关时表示式唯一线性无关时, 表示式唯一. …
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一,内容提要
定理向量组 b1,…, bl 与向量组 a1,…, am 等价的充分必 … … 要条件是

无穷级数习题课(2)

第七章无穷级数习题课 (一)
常数项级数
1
一、定义及性质
1．常数项级数 2．敛散性定义
an
n1
n
设Sn
k 1
an，如果
lim
n
Sn
s
存在，
3．性质
则级数收敛，否则级数发散。
必要性:
级数
an 收敛
n1
lim
n
an
0.
线性运算性质: 设级数 un s, vn , , 为常数
n1
n1
n1
No
Yes
| an 收| 敛
n1
lim an1 a n
n
lim
n
n
an
No
1
No
找正项收敛
级数 bn n1
找正项发散
级数 cn n1
an (1)n un No
Yes
an为交错级数
n1
用其它方法证明
1
Yes 1
an发散
n1
an收敛
n1
an bn
an收敛
n1
an cn
解：
由于
an
2n 1 3n
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
Sn
(1
2) 3
(2 3
3 32
)
3 ( 32
4 33
)
(
n 3n1
n1 3n )
1
n1 3n
S
lim
n
Sn
lim(1
n
n1 3n )
1
所以原级数收敛，且和为1。
6
【例2】判别级数

《机械能守恒定律》习题课二

o A 《机械能守恒定律》习题课（二）系统机械能守恒刘彩丽2013 5.10 教学目标：1、复习巩固判断单个物体的机械能是否守恒的方法以及解决守恒问题2、学会运用机械能守恒定律解决两个物体组成的系统机械能守恒问题教学重点：1、2 课时：2节课一、复习巩固：1、机械能守恒的判断下面列举的各个实例中，那些情况下机械能是守恒的？（）①一小球在粘滞性较大的液体中匀速下落；②用细线拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动；③用细线拴着一个小球在光滑水平面内做匀速圆周运动；④拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升；⑤一物体沿光滑的固定斜面向下加速运动A ．②③⑤B ．①②④C ．①③④D ．②③④2、单个物体的机械能守恒的应用质量为m 的小球，以初速度v 0由地面竖直上抛，空气阻力可忽略不计，小球到达最高点的高度为h ，当小球又落回到出发点时，小球具有的机械能为(以地面为重力势能的零点) mgh +mgh mv mgh mv 2D 21C B 21A 2020．．．．3.系统机械能是否守恒判断自主学习：1.系统机械能是否守恒的判断方法（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。

不做功，系统的机械能就不变。

（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。

系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能自我检测：一个轻弹簧固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同一水平面肯弹簧保持原长的A 点无初速度释放，让它自由下摆，不计空气阻力，在重物由A 摆到最低点的过程中，A 、重物的重力势能减少。

B 、重物的重力势能增加。

C 、系统的机械能不变。

D 、重物的机械能减少。

二．系统机械能守恒定律的应用自主学习：2.系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

Java习题课(2)

P136 第8题
测试类： public class Test { public static void main(String[] args) { Shape square = new Square(2.0); //向上转型 Shape triangle = new Triangle(1.5,2.0); System.out.println(square.getArea()); System.out.println(triangle.getArea()); } }
多态性：方法覆盖和方法重载
方法的覆盖和重载是Java多态性的不同表现。覆盖是父类与子类之间多态性的一种表现，重载是一个类中多态性的一种表现。如果在子类中定义某方法与其父类有相同的名称和参数，我们说该方法被覆盖。子类的对象使用这个方法时，将调用子类中的定义，对它而言，父类中的定义如同被“屏蔽”了。如果在一个类中定义了多个同名的方法，它们或有不同的参数个数或有不同的参数类型，则称为方法的重载。方法覆盖必须满足下列条件 (1) 子类的方法的名称必须和所覆盖的方法相同 (2) 子类的方法的参数必须和所覆盖的方法相同 (3) 子类的方法返回类型必须和所覆盖的方法相同 (4) 子类方法不能缩小所覆盖方法的访问权限 (5) 子类方法不能抛出比所覆盖方法更多的异常重载方法必须满足下列条件 (1) 方法名必须相同 (2)方法的参数类型，个数顺序至少有一项不同 (3) 方法的返回类型和方法的修饰符可以不相同
P136 第8题
父类Shape： public abstract class Shape { public abstract double getArea(); } 正方形类Square： public class Square extends Shape{ private double length; public Square(double length) { this.length = length; } public double getArea() { System.out.println("square's area = length*length"); return length*length; } }

高数第二章习题课二

f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) f ( ) x x0 f ( x0 ) M (b a) K
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证：令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e

在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。解方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,

习题课2

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