连续介质力学第三次作业习题和解答
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1 1
= − p1 n1 − ρ * v1 * n1 S1 + − p2 n2 − ρ * v2 * n2 S 2 + f = 0
2 2
[
S1
∫ [− p n
− ρ * v1 v1 • n1 dS +
(
S2
)]
2
− ρ * v2 v2 • n2 dS + f
(
)]
S4
] [
S2
]
f = p1 + ρ * v1 n1 S1 + p 2 + ρ * v 2 n2 S 2
1、流经曲管的流体不可压缩，密度为 ρ ，定常流动（流速不随时间变化） ，进口截面S1，面 积a1，外法线n1，流入速度大小v1，方向垂直于进口截面，进口截面处水压强大小p1； 出口截面S2，面积a2，外法线n2，流入速度大小v2，方向垂直于出口截面，出口截面处 水压强大小p2；不考虑重力，在进口截面和出口截面处，速度和压强均匀分布。 求：曲管侧壁给水的总外力f（不必考虑质量守恒）
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
2 2
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
p dρ * ρ dt
σ : ε = σ : L = (− p * I ) : L = − p * tr (L ) = − p * div (v )
•
由质量守恒方程： ρ ( x, t ) + v k ,k ρ ( x, t ) = 0
•
− p * div(v ) = − p * ρ ( x, t ) *
T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
•T ⎞ • 1⎛ • T ⎟ = R • RT = ⎜ R • R − R • R ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠
因为 R • R 2、
(
T •
) =0→ R•R
•
T
+ R•R =0
•T
• • • ⎛• T T ⎞ • v = r = (R • r 0 ) = R • r 0 = R • R • r = ⎜ R • R ⎟ • r ⎝ ⎠
•
p dρ 1 = * ρ (x, t ) ρ dt
z ω v r O x B
4、物体 B 对坐标原点的动量矩定义 L 为
L = ∫ ρ * r × vdv
B
其中 r 为矢径， v 为速度矢量， ρ 为介质密度 B 做刚体旋转，B 中任一点速度 v = ω × r
ω 为瞬时角速度矢量
求：
• 1 T T 1、证明旋率 Ω = L−L = R•R 2 •
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
Байду номын сангаас
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
y
2、证明 v = Ω • r 3、 Ω 与 ω 的关系 4、计算转动惯量 I 的表达式，使得 L = I • ω
•
•
解答: 1、
T • 1 1⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ T ⎛• ⎜ Ω= L−L = F • F −⎜F • F ⎟ ⎟ = 2 2⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ •
(
)
• • 1⎛ T ⎞ ⎜ R • RT − ⎛ R•R ⎟ ⎜ ⎜ 2⎝ ⎠ ⎝
S3
v2
R
S2
S4
v1
S1
解答： 控制体上的线动量定理：
∂ (ρv ) C dV = ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS C + ∫ bdV C ∂t VC SC VC
∫
由题，不可压缩、定常流动、不考虑重力，所以：
∂ (ρv ) C dV = 0 ∂ t C V
∫
V
∫ bdV
C
C
=0
则
SC
∂ρ ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) + • v + v k , k ρ ( x, t ) = 0 ∂t ∂x
带入，得：
∂ ρ * e −2 at ∂ ρ * e −2 at + • v + vk ,k ρ * e −2 at = 0 ∂t ∂x −2 at − 2aρ * e + 0 + (2a ) * ρ * e −2 at = 0
(
) (
)
(
( )
)
vk , k
⎛ x2+x 2⎞ 1 2 ⎟ ∂v1 ∂v2 ∂v3 ∂(ax1 + bx2 ) ∂(ax2 + bx1 ) ∂⎜ ⎠ = 2a = + + = + + ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
•
3、如果 σ = − p * I ，其中 p 是正常数，证明应力功率 σ : ε = 解答：
B B B B
= − p1 n1 − ρ * v1 * n1 S1 + − p2 n2 − ρ * v2 * n2 S 2 + f = 0
2 2
[
S1
∫ [− p n
− ρ * v1 v1 • n1 dS +
(
S2
)]
2
− ρ * v2 v2 • n2 dS + f
(
)]
S4
] [
S2
]
f = p1 + ρ * v1 n1 S1 + p 2 + ρ * v 2 n2 S 2
1、流经曲管的流体不可压缩，密度为 ρ ，定常流动（流速不随时间变化） ，进口截面S1，面 积a1，外法线n1，流入速度大小v1，方向垂直于进口截面，进口截面处水压强大小p1； 出口截面S2，面积a2，外法线n2，流入速度大小v2，方向垂直于出口截面，出口截面处 水压强大小p2；不考虑重力，在进口截面和出口截面处，速度和压强均匀分布。 求：曲管侧壁给水的总外力f（不必考虑质量守恒）
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
2 2
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
p dρ * ρ dt
σ : ε = σ : L = (− p * I ) : L = − p * tr (L ) = − p * div (v )
•
由质量守恒方程： ρ ( x, t ) + v k ,k ρ ( x, t ) = 0
•
− p * div(v ) = − p * ρ ( x, t ) *
T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
•T ⎞ • 1⎛ • T ⎟ = R • RT = ⎜ R • R − R • R ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠
因为 R • R 2、
(
T •
) =0→ R•R
•
T
+ R•R =0
•T
• • • ⎛• T T ⎞ • v = r = (R • r 0 ) = R • r 0 = R • R • r = ⎜ R • R ⎟ • r ⎝ ⎠
•
p dρ 1 = * ρ (x, t ) ρ dt
z ω v r O x B
4、物体 B 对坐标原点的动量矩定义 L 为
L = ∫ ρ * r × vdv
B
其中 r 为矢径， v 为速度矢量， ρ 为介质密度 B 做刚体旋转，B 中任一点速度 v = ω × r
ω 为瞬时角速度矢量
求：
• 1 T T 1、证明旋率 Ω = L−L = R•R 2 •
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
Байду номын сангаас
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
y
2、证明 v = Ω • r 3、 Ω 与 ω 的关系 4、计算转动惯量 I 的表达式，使得 L = I • ω
•
•
解答: 1、
T • 1 1⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ T ⎛• ⎜ Ω= L−L = F • F −⎜F • F ⎟ ⎟ = 2 2⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ •
(
)
• • 1⎛ T ⎞ ⎜ R • RT − ⎛ R•R ⎟ ⎜ ⎜ 2⎝ ⎠ ⎝
S3
v2
R
S2
S4
v1
S1
解答： 控制体上的线动量定理：
∂ (ρv ) C dV = ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS C + ∫ bdV C ∂t VC SC VC
∫
由题，不可压缩、定常流动、不考虑重力，所以：
∂ (ρv ) C dV = 0 ∂ t C V
∫
V
∫ bdV
C
C
=0
则
SC
∂ρ ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) + • v + v k , k ρ ( x, t ) = 0 ∂t ∂x
带入，得：
∂ ρ * e −2 at ∂ ρ * e −2 at + • v + vk ,k ρ * e −2 at = 0 ∂t ∂x −2 at − 2aρ * e + 0 + (2a ) * ρ * e −2 at = 0
(
) (
)
(
( )
)
vk , k
⎛ x2+x 2⎞ 1 2 ⎟ ∂v1 ∂v2 ∂v3 ∂(ax1 + bx2 ) ∂(ax2 + bx1 ) ∂⎜ ⎠ = 2a = + + = + + ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
•
3、如果 σ = − p * I ，其中 p 是正常数，证明应力功率 σ : ε = 解答：
B B B B