连续介质力学第三次作业习题和解答
清华大学航天学院固体力学（非线性连续介质力学）考题汇总及答案解析
第一题为送分题，过程大家应该都会，只是看计算的功底了，这里我只讲一下大概思路 （1） 求位移拉格朗日：就是把x 用X 表示，求差。
欧拉 ：把X 用x 反表示，求差。
对于本题，需要求逆矩阵，根据各种方法的比较，最简单的应该是用伴随矩阵的方法，即*11A AA=-，注意A *要转置 （2） green 应变E=（F T*F-I ）/2,Almansi 应变e=(I-(F -1)T *(F -1))/2没有技巧，干算吧 答案：E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ e=（I-4223232342233223234211/(1)1A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫++----⎪--++--+ ⎪ ⎪----++⎝⎭）/2 （3） 以E 为例，第（2）步的E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭由于A 是小量，所以忽略A 的高阶项，得到E=0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，同理可以得到e 是一样的（只保留一次项，忽略高次项）（4） 求0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征方向，过程不说了答案：λ=-1，-1，2特征方向：2对应的特征方向是，由于有一个重根，因此另两个主方向是与2对应的特征方向正交的二维子空间中的任意两个正交单位向量，例如：0,⎫⎪⎭注：该题没有什么技巧，但希望大家可以自己亲自算一下，在这过程中你会熟悉这个过程，而且亲自体验才发现，很容易出错的……解：12k σεε=+11k ησεσ=+1212d d dtdtηηηεεσηη==2112d d dt dtηηεεηη= 1211122d d d d dt dt dt dtηηηεεεεηηη+=+=1121112d d dtdtηηεηηεσηηη==+1211112d k dtηηεσεηη=++求导121d d d dt dt k dtεεσ=+消去1ε和1d dtε 令1212ηηηηη=+()21212d d k k k k k dt dtεσηεησ+=++对本构方程进行拉氏变换()()()()()()()212121201k s k k s s k k s s k k sηεησησ+=++=++()()()()12022112201112s k k s k sk s k k k k k k k s s ησεηση++=++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦反变换得()1101222111201211kt k t k k k t e k k k k k e k k k ηησεσ--⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦令1212k k k k k =+()1001k t t e k k ησσε-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 纯剪受力0000'000τστσ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭eq σ=∴屈服时s τ=最外层最先达到屈服弹性极限时，3s r bτ==3s r bτ=⋅()2034442246be a s abs as M r rd drr dr brb a b πτθπππ=⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰塑性极限时s a r bτ≤≤=()2023332239bp a s abs as M r rd drr dr r b a bπτθπππ=⋅==⋅=-⎰⎰⎰(2) 转角只与弹性区有关设弹性区与塑性区分界线为s r r =()22222ssbar bar M r drr dr r dr πτπττ==+⎰⎰⎰在弹性区s a r r ≤≤Gr τθ=在塑性区s r r b ≤≤3s τ=由连续性条件s s s ss Gr r θθ===由平衡条件324333243s s r s s a r s s s s s M r dr r dr a r r b r π⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰r=其中式1、式2、式3、由上可知：()//////b bn σε''-易知：1122n n ==- 式4由易得：11p ε= 式5 由 式2 ，式4 ，式5 得到 111123pb b E ε=（式 6）又，得到，2211113()F b σσ=-（式7）把 式6，7 带入式3（式3的分量式为111111111129()2()4pp Fb b E εασσσσ=-- ）并展开，得到1111b c σ= ，因而易得()1122s b c b σσ=-=- 由式6，得到11112232p pbb E εε==- 。
《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区.doc
2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法① 张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等 于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•” ）, 其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A ：B ；其积为张量，其阶 数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设A 为CT （m ）, B 为CT （〃），C 为CT （p ）, 则A ：B ：C =D 9 D 为 CT （m + 斤 + p - 2 x 4）（2-1-1） 取加=4, n = 4, p = 2,则D 为CT （2）,其分量为D a = A ij inn B ,nn r P C r P （2T-2）其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分 量的询两个指标依次相同O二阶张量T 的范数记为||7|定义为T ：T = 为正方根，且有||T|| > 0,只当T = o 吋才取等号|a r|| = |a|||T||, |a|为标量◎的绝对值 ||r+i?||<||r||+W T ：国聊|・|网 |八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。
⑤ 设A 和B 分是是CT0）和CT （" 则4和B 外积的s 次缩拼为张量C ,记为C S A®B = CC 为O + / - 25）阶张量，其分量关系为(2-1-3) (2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)C ij …mn — Aj ……k$B k'kfks. 反Z,如果已知B 和C 为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张 量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于C 的阶数加减去 B 的阶数。
特别地当s = t, B 的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和c 的阶数Z 和。
大连理工研究生连续介质力学作业题
f = xT Ax ， grad（f ）= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
（2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（f ）的客观性。
¾ 解答：
（1） grad（f ）＝ (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
流体力学第三次作业及答案
若考虑涡环将沿 z 轴匀速向下滑动，则 M 点的诱导速度将不断减小。
5.5 试证明理想正压流体在有势力作用下产生运动时， 如速度场 V 在某一时刻为无旋， 则加 速度场
V 在任何时刻为无旋，并由此直接推出旋涡的不生不灭定理。 t
证：Euler 方程
V 1 (V )V F P t
其中： (V )V (
V2 ) V 2 1
倍。
u y,
v x
试求： （1） 绕半径为 R 的圆周的速度环量 及穿过该圆的涡通量； （2） 绕封闭曲线 abcd（见 附图）一周的速度环量以及穿过该封闭曲线所围面积的涡通量。
题 5.4 图
解：这是一平面流动，涡量为一标量
v u 2 const x y
Cr n
其中 C 为常数，不失一般性可令 C 1 ，则在极坐标系中，速度分布为：
vr 0,
则涡量
v r r n1
v v 1 vr (n 1)r n r n r n (n 2) r r r 显然若要 0 ，须有 n 2 0 ，即 n 2
VBA
2 2 2 2 2 2 2 2
VDA
VCA
因而 A 点的速度的两个分量为：
2 2 4 3 4 2 4
u A 0,
2 2 vA VCA VBA VDA
由于对称性，显然原点即为四个点涡的重心，它是一个不动点，故点涡 A 将绕原点转动， 转速为
5.1 已知一流动的速度场为
u y 2 z,
v z 2 x,
w x 2y
2
试求： （1）涡量场以及涡线方程； （2）在 x y z 1 平面上横截面 dS 0.0001m 的涡管 强度。 解：设涡量的三个分量为 x , y , z ，则
连续介质力学第三次作业习题和解答
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
工程力学4第三次作业答案
材料力学第三次作业答案（单辉祖 第三版）（8-2（b ）、（c ），8-3, 8-6, 8-8, 8-9, 8-12（c ））8-2（b ）解：由图可知，x 、y 截面的应力分别为30, 20,10 στσ=-==x x y MPa MPa MPa截面m-m 的方位角为 22.5α=︒将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：30103010cos 4520sin 4522σ︒︒-+--=+-m 38.28=-MPa 3010sin 4520cos 452τ︒︒--=+m0= （c ）解：由图可知，x 、y 截面的应力分别为10, 15,20 στσ===-x x y MPa MPa MPa截面m-m 的方位角为 60α=-︒将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：10(20)10(20)cos(120)15sin(120)22σ︒︒+---=+---m 0.49=MPa 10(20)sin(120)15cos(120)2τ︒︒--=-+-m20.49=-MPa8-3（a ）由坐标（10，-15），（-20,15）分别确定A和B 点，然后以AB 为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m 上的应力，将半径DA 沿逆时针方向旋转|2|90α︒=至DC 处，所得C 点即为截面m-m 的对应点。
由图示几何关系知，A 、C 两点关于σ轴对称，从而得到10,15 στ==m m MPa MPa（b ）由坐标（40，20），（0,-20）分别确定A 和B 点，然后以AB 为直径画圆，得到相应的应力圆。
为确定m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转|2|60α︒=至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。
由图示几何关系知：应力圆半径2===AB R30cos152047.32σ︒︒︒-=+=+=OC R MPa30sin157.3τ︒︒︒-=-=-=-R MPa8-6证明：方法一：设任意截面的方位角为α。
连续介质力学作业(第二章)习题和答案
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
《连续体力学》习题及解答9
9 塑性物质（一） 概念、理论和公式提要9-1 经典塑性理论本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。
塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理非线性。
经典塑性理论虽有其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。
例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性-损伤本构方程等。
经典塑性理论有两个基本假设或基本前提：①在应力(或应变)空间内，存在屈服曲面。
在小变形条件下，屈服曲面可表示为αθεq ij 及，(内变量)的函数，即表示成ααθσθεq q g ij ij ，，；也可表示成，，0)(=的函数，即0)(=αθσq f ij ，，。
在屈服曲面之内，)0(0<<f g 或，状态变化，塑性变形不变化；屈服曲面之上)0(0==f g 或，塑性变形处于可变化的状态，称为弹塑性状态。
②加载过程和卸载过程服从不同的本构关系，加载过程是指塑性变形继续发展的过程，而塑性变形不变化的过程称为卸载过程。
这两个基本假设在轴向拉伸试验中是可以观测到的。
图9-1示一拉伸曲线，包括从任一点B 卸载沿直线到达反向(压缩)屈服点,B 处，此后又呈现曲线变化。
从试验中可观测到下列结果。
EBB AA epeσεεεε=+=，∥''图9-1以上关系仅在变形不大时近似成立。
在''BB AA 和范围内，应力变化与应变化之间遵循εσεσd d E E ==或△△分别称''B B A A 、和、点为初始和相继弹性范围的边界，边界点)()(''B B A A 、和、对应于弹塑性状态。
当应力从B 点向内变化时(卸载过程)，有εσd d E =当应力从C 点沿曲线变化到B 点时(加载过程)有 )d d (d d p e t t E E εεεσ+==由E e σεd d =及上式，易得pp E σεd d =(9-1-1) EE E t p 111-= (9-1-2) 是切线模量，称为塑性模量，t p E E 一般地它们都不是常数。
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
2019精品清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学文档
ux ux ,r ux ,r 0, uy uy ,r uy ,r 2kf rb
14
3
1. GreenE 2. D
() 3.6
3
3.6
x RX
x
y
cos sin
sin X
cos
Y
u u
x y
c
os sin
1
sin X
cos
1Y
x
ux X
at c ost
2
atsin t
Y
2
1 btsin t
2
1 btcost
2
2
x
F
X y
X
x
Y y
1
1
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2
atsin t
Y
2
1 btsin t
2
1 btcost
2
F Jacobian
J detF 1 at1 bt cos2 t sin2 t 1 at1 bt
yX,t 1 atX sin t 1 btY cos t
2
2
abFGreen
t0t1
At 1 at, Bt 1 bt, c cos t, s sin t
2
2
F
x
F
X y
X
x
Y y
Ac
As
Y
Bs
Bc
XY GreenF
3.5
Green
E 1 2
FT F I
3
GreenE
E 1 FT F I 2
Eij
1 2
FikT Fkj ij
FikT Fkj
Fk i Fk j
土木材料力学第3次测试题全答案.doc
(煙矗一、填空题1、变形固体的基本假设是：（均匀连续）；（各向同性）；（小变形和线弹性）。
2、杆件变形的基本形式：（轴向拉伸与压缩）；（剪切）；（扭转）；（弯曲）。
3、通常计算组合变形构件应力和变形的过程是：先分别计算每种基本变形各自引起的应力和变形，然后再叠加。
这样做的前提条件是构件必须为（在线弹性范围内和满足小变形假设）。
4、圆杆扭转时,最大切应力在（危险截面边缘各点）上。
5、衡量塑性材料强度的两项指标：（延伸率）；（断面收缩率）。
6、疲劳破坏的三个阶段：（疲劳裂纹源的形成）；（疲劳裂纹源的扩展）；（最后的脆断）。
7、惯性矩乂称为（面积二次矩）;其值（恒为正）；单位为（的。
8、通常称的压杆为（大柔度杆件）或（长细杆），对这类杆件需用（欧拉公式）计算压杆的临界压力。
9、提高梁弯曲刚度的措施主要有（增大截面惯性矩）、（减小梁的跨度）、（该善良的载荷作用方式）。
10、材料的破坏按其物理本质可分为（脆性断裂）和（塑性流动）两类。
11、利用叠加法计算组合变形的条件是：1、（小变形）；2、（材料服从胡克定律）。
12、对于（各向同性）材料，弹性常数之间存在关系式（G二E/2（l+u））。
二、判断：1、在线弹性、小变形的条件下，叠加原理才适用。
（对）2、铸铁压缩破坏的断口面是45°—55°的斜面，铸铁扭转破坏的断口面是45°的螺旋而，引起这两种破坏现象的原因是相同的。
（错）50-553、在集中力作用处，剪力方程、弯矩方程不连续，剪力图、弯矩图有突变。
（错）4、只有超静定结构才可能有装配应力和温度应力。
（对）二、选择题1、某阶梯IT' BC 受荷载，长度及横截面如图，则（网上答案为C,个人计算两个都不等）2、 下面有关强度理论知识的几个论述，正确的是（D ）。
A 需模拟实际应力状态逐一进行试验，确定极限应力； B 无需进行试验，只需关于材料破坏原因的假说；C 需要进行某些简单试验，无需关于材料破坏原因的假说；D 假设材料破坏的共同原因。
流体力学作业题库及答案..
流体⼒学作业题库及答案..第⼀章绪论思考题1- 1何谓流体连续介质模型？含有⽓泡的液体是否适⽤连续介质模型？答：所谓流体的连续介质模型，即把流体视为没有间隙地由流体质点充满它所占据的整个空间的⼀种连续介质其物理性质和物理量也是连续的。
若⽓泡相对于液体⽽⾔可以看作孤⽴的点的话，则含有⽓泡的液体可以适⽤连续介质模型。
习题11-3如题图所⽰，设平⾏板间隙为 0.5mm ，中间充满液体，上板以 U = 0.25m/s 的速度平移，施于单位⾯积的⼒为 2Pa ,试求液体的粘度为多少？解：F A液体粘度1-4求题图所⽰的轴与轴套之间的流体粘度。
解：F duA dy A dLFY dLU第⼆章流体静⼒学习题22-5⽤多管⽔银测压计测压，，题图中标⾼的单位为m ,试求⽔⾯的压强 p o 。
解：P A P 0 ⽔ g(3.0m 1.4m) P A P B 汞 g(2.5m 1.4m) P B P C ⽔ g(2.5m 1.2 m) P C P D汞 g(2.3m1.2m)P D 0 padu U dy Y3FY 20.5 104 10 3Pa sAU 0.250.0648Pa s3.14 (120 140) 100.4932-9 —盛⽔的敞⼝容器作加速运动，试求下列两种情况下容器内静压强的分布规律:(1) P0汞g 2.2m ⽔g52.9m 133416 2.2 9800 2.9 2.65 10 Pa⾃由降落;解：（2）以等加速度a 向上运动。
p P 0(g a si n )h（1）90 ,相对压强P 0P 0（2）90 ,绝对压强P 0 P a P P ah(g a)2- 12试求开启题图所⽰⽔闸闸门所需的单宽拉⼒F 。
不计闸门⾃重及转轴摩擦⼒。
解：闸门所受的单宽静压⼒ F 1b⼀2—9800[3 (3 2)] 1 2 ⼆249.05 10 NF i 作⽤点 y c 匹h12(h1h2)1.25m 3si n60 h(h 1所求拉⼒ F 98.05kNsin602-16试定性绘出题图中各 ABC 曲⾯的压⼒体图。
连续介质力学 习题3
Continuum MechanicsHomework #3Due: Thursday, April 15, 20101. The cylindrical specimen for a uniaxial tensile test has a rectangular cross section. The sidedimensions of the cross section are 0a and 0b . The length of the specimen is 0c . During the test, thebottom end of the specimen is fixed and the top end is pulled at a velocity of ()V t . At any time t , the dimensions of the specimen are ()a t , ()b t , and ()c t , respectively. Assume the deformation is homogeneous throughout the specimen and the whole deformation process.(i) Write a mathematical expression for the deformation function ˆ(,)t yx and calculate the v , a , q and a and specify the domains over which they are defined;(ii) Calculate the right stretch U , left stretch V , rotation Q, right Cauchy-Green strain C , left Cauchy-Green strain B , Lagrangian strain E , small strain ε, Eulerian strain *E , Lagrangian strain rate E, small strain rate ε, rate of deformation D , and spin W ; (iii) For comparison, also calculate the conventional nominal strain (or engineering strain c =−E U Iand the logarithmic strain ln =E U A . Show that =E D A, confirming what you proved in homework 2 that D can be regarded as the logarithmic strain rate.2. If ˆ(,):t t →yx R R is a deformation, ˆ(,)t =∇F y x on R is the deformation gradient and (,)J det t =F x on R is the Jacobian. Show that {}T J −∇⋅F is a null vector, i.e.,{}on T J −∇⋅=F 0R .Hint: you may want to use index notation and the expression for the components of the inverse of a tensor.3. The deformation map for the pure torsion of a shaft of length A and radius r subject to loading undera pair of torques at its ends can be expressed as()()()()23-e +e e 1323113233ˆ()=cos sin sin cos x x x x x x x x x ββββ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦yx .Here, β is a known constant.Answer the following questions with words and, if you wish, with very simple expressions which can highlight the essence of your points. Calculations are not required or expected in parts (i) – (iv) and simple calculations may be carried out in part (v). Too much math may obfuscate your points.(i)In your previous “Mechanics of Deformable Bodies ” course, an engineering solution was obtained for circular shafts in pure torsion. That solution is based on several assumptions which include “cross-sections perpendicular to the axis rotate rigidly ” and “length of shaft remains constant ”. Comment on the relationship between this deformation and the deformation in the engineering solution. (ii) Is this a homogeneous deformation? (iii) What is the meaning of β?(iv) This is a locally isochoric (volume-preserving) deformation. Without carrying out any calculation, provide a very brief conceptual explanation for why this is the case.(v)A line is etched on the surface of the undeformed shaft, parallel to the axis as shown. Without calculating the deformation gradient or any strain tensor, find a simple way for calculating the length of the line in the deformed configuration and calculate this length. Only simple math is expected here.4. In many applications, it is desirable to measure the deformation characteristics at specific locations ofbodies. To achieve this, circles, squares or other geometrical patterns are etched onto the surface of a body before deformation. The strains at different locations are then quantified by measuring the deformed shapes of the patterns. In this problem, a small circle of radius δ is inscribed via nanolithography at the center of a square plate which undergoes the deformation of()()23e e e 11212123ˆ()=,t x x x x x x x αβ++++yx .Here, and αβ are parameters which can be regarded as functions of time. Obviously, the smallcircle assumes an elliptical shape after the deformation, as shown. In answering the following questions, you can assume that and 13αβ==.y (x )r1x 2x 3x UndeformedDeformed(i)Find the lengths of the major (long) and minor (short) semi-axes of the ellipse;(ii)Find the angle between the major axis of the ellipse and the edirection;1(iii)State the functional form of the equation of this ellipse, you do not have to write down all the details of this equation – an illustration of the general form of the equation will suffice.。
2011年连续介质力学试题
2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷(A卷）2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）O Ox x y y2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准2、axy y x 622=∂∂=φσ22212ax xy =∂∂=φσ 223ay yx xy-=∂∂∂-=φτ（3分）3ah 23ah 23al 23alh3ah 2xy（4分）五、证明题（本大题25分）1、证明：假想从物体内任意点P 取出一个微分四面体元PABC ，如图。
斜截面ABC 离开O 点一微小距离 h ，它的外法线为 n 。
（2分）设已知作用于截面 PBC ，PAC ，PAB 上的合应力矢量分别为T 1，T 2，T 3，于是，作用于与坐标轴X i 垂直的面元上的合应力矢量i T 可由沿坐标轴方向的分量表示为j ij ie T σ=。
（3分）设面元 ABC 的面积为 dA ，则其余与轴 x j 垂直的各截面的面积为()dA n n x dA dA j j j ==,cos ，这里的n j 是斜截面ABC 的外法线n 的方向余弦。
（2分）根据应力连续性的假设，应力矢量在物体内是连续变化的，作用在截面ABC 上的应力分量的合力为dA T i n；同理作用在PBC ，PCA 与PAB 等截面上的应力分量的合力为dA n j ij σ-，前取负号是因为dA j 的外法线与X j 轴的正方向相反；体力F 的分量为F i hdA/3，其中hdA/3是四面体的体积。
（3分）至此，可以列出四面体的平衡方程：2010—2011学年第 3学期连续介质力学课程期末考试试卷（A卷）答案及评分标准。
连续介质力学作业
6
k z
k
r
r
r
j j
i
i
设柱坐标对应 x r , , z ，球坐标对应 X R, , ，则有对应关系：
r R sin z R cos
Jacobi 矩阵为：
sin 0 R cos x xi 1 0 0 X X j cos 0 R sin
这些参数在前面题目中均已求出，不再冗述。 2.13 证明单位张量 I g j gi g gi g g j gij g g g gi g j 。
i j j i i j ij
证明：
I gi g i gij g j g i gij g j g i gij g i g j gi g ij g j g ij gi g j gij g j g il gl gij g il g j gl l j g j gl g i gi
div v v i xi vi xi
vi vi xi xi
divv v
div u v div e u j vk ei
ijk
eijk u j vk xi vk xi vk xi
2 于是， C 的谱表示为： C L L ，其中 L L1 T
L2
2 L3 , L 为对应于 的
12 2 特征向量，
2 2
2 3
定义与之对应的唯一对称正定张量 U ，谱表示为：
Tu Tv Tw u v w
连续介质力学初级教程第三版答案
连续介质力学初级教程第三版答案连续介质力学()是用来研究连续介质的力学特性。
按照物理意义，可分为三种介质（水（包括淡水和咸水层)):液膜（包括液态水和液态水),固相介质及其相变反应；不稳定介质及其相变反应。
其中，液膜、固相介质及固相反应分别属于()。
液液分离是连续介质力学中一个基本问题，它由两部分组成:()。
流动时，处于不同结构面之间的流速或压力相互抵消，因此，液体在流动过程中，可以根据其流动方向、速度和方向分布将液流体分离出来:()。
在此，我们分别讨论液膜层与固膜层之间以及两种液体间各层流体之间的相互作用问题。
在液膜及固膜层中流动的介质称为流体（或液体/固液结合或混合体);液体为固体材料时称固体态；由固相加湿产生化学反应时称为化学反应液；固相过程都有相应的过程转换（或循环):由液态变为固态并继续进行化学反应；存在于固态和液态之间的一种或多种物理现象称为物理作用现象。
1、对于在不同工作温度和压力下，存在多种相变反应液的系统，应选择具有不同相变反应液参数指标控制其相变速度和方向。
如流体的温度、压力条件，流体的流动方向、速度，介质中的相变量等，均属于与压力无关，与流体的温度、压力无关，属于不稳定介质。
流体由其相变量所决定的相变过程可分为两种类型：一种是由相变反应液改变所引起的相变过程，另一种是由相变反应温度所引起的相变过程。
下面对这两类过程分别介绍:(1)以介质的相变量为控制变量，控制不同相变反应液流动方向的两种方法分别是流体热力学计算法和固液结合原理法。
后者使用数值分析方法，即建立一个在相同工作温度、压力下下所具有不同相变量的流体热力学参数曲线图，并利用这一数值分析结果绘制出流体热力学参数曲线。
而前者只是通过选择合适的控制变量来实现流场的稳定。
从上面所示两个不同流体力学计算方法得出一个连续溶液力学参数计算方法。
在固相反应中，以反应物沸点为控制变量，由液膜的溶解度所引起相变速度和方向随时间变化可以用公式B和公式 C来表示。
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R
S2
S4
v1
S1
解答： 控制体上的线动量定理：
∂ (ρv ) C dV = ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS C + ∫ bdV C ∂t VC SC VC
∫
由题，不可压缩、定常流动、不考虑重力，所以：
∂ (ρv ) C dV = 0 ∂ t C V
∫
V
∫ bdV
C
C
=0
则
SC
(
)
3、
Ω • r = w× r
w × r = eijk w j rk ei
•
Ω • r = Ωim rm ei
所以
• •
•
•
eijk w j rk = Ωim rm
eijk w j = Ωik
⎡ 0 Ω=⎢ ⎢ w3 ⎢ ⎣− w2
•
− w3 0 w1
w2 ⎤ − w1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
4、
L = ∫ ρ * r × vdv = ∫ ρ * r × (w × r )dv = ∫ ρ [w(r • r ) − r (r • w)]dv = ∫ ρ [(r • r ) − (r ⊗ r )]dv • w
∂ρ ( x, t ) ∂ρ ( x, t ) + • v + v k , k ρ ( x, t ) = 0 ∂t ∂x
带入，得：
∂ ρ * e −2 at ∂ ρ * e −2 at + • v + vk ,k ρ * e −2 at = 0 ∂t ∂x −2 at − 2aρ * e + 0 + (2a ) * ρ * e −2 at = 0
T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
•T ⎞ • 1⎛ • T ⎟ = R • RT = ⎜ R • R − R • R ⎟ 2⎜ ⎝ ⎠
因为 R • R 2、
(
T •
) =0→ R•R
•
T
+ R•R =0
•T
• • • ⎛• T T ⎞ • v = r = (R • r 0 ) = R • r 0 = R • R • r = ⎜ R • R ⎟ • r ⎝ ⎠
B B B B
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
S1
C
=
S1 + S 2 + S 3 + S 4
∫ [t − ρ * v(v • n)]dS ∫ [− p n
2 S3
C
= =
∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS + ∫ [t − ρ * v(v • n )]dS
(
)
y
2、证明 v = Ω • r 3、 Ω 与 ω 的关系 4、计算转动惯量 I 的表达式，使得 L = I • ω
•
•
解答: 1、
T • 1 1⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ T ⎛• ⎜ Ω= L−L = F • F −⎜F • F ⎟ ⎟ = 2 2⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ •
(
)
• • 1⎛ T ⎞ ⎜ R • RT − ⎛ R•R ⎟ ⎜ ⎜ 2⎝ ⎠ ⎝
2 2
[
]
[
]
在流入面： v1 = −v1 * n1 ，在流出面： v2 = v2 * n1
2、给定速度场 v1 = ax1 + bx2 ， v2 = ax2 + bx1 ， v3 =
x1 + x2 ， ρ 0 = ρ * e −2 at 。其中 a，
2 2
b，c，ρ为常数 求：是否满足质量守恒方程 解答： 质量守恒方程：
(
) (
)
(
( )
)
vk , k
⎛ x2+x 2⎞ 1 2 ⎟ ∂v1 ∂v2 ∂v3 ∂(ax1 + bx2 ) ∂(ax2 + bx1 ) ∂⎜ ⎠ = 2a = + + = + + ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
•
3、如果 σ = − p * I ，其中 p 是正常数，证明应力功率 σ : ε = 解答：
•
p dρ 1 = * ρ (x, t ) ρ dt
z ω v r O x B
4、物体 B 对坐标原点的动量矩定义 L 为
L = ∫ ρ * r × vdv
B
其中 r 为矢径， v 为速度矢量， ρ 为介质密度 B 做刚体旋转，B 中任一点速度 v = ω × r
ω 为瞬时角速度矢量
求：
• 1 T T 1、证明旋率 Ω = L−L = R•R 2 •
p dρ * ρ dt
σ : ε = σ : L = (− p * I ) : L = − p * tr (L ) = − p * div (v )
•
由质量守恒方程： ρ ( x, t ) + v k ,k ρ ( x, t ) = 0
•
− p * div(v ) = − p * ρ ( x, t ) *
1 1
= − p1 n1 − ρ * v1 * n1 S1 + − p2 n2 − ρ * v2 * n2 S 2 + f = 0
2 2
[
S1
∫ [− p n
− ρ * v1 v1 • n1 dS +
(
S2
)]
2
− ρ * v2 v2 • n2 dS + f
(
)]
S4
] [
S2
]
f = p1 + ρ * v1 n1 S1 + p 2 + ρ * v 2 n2 S 2
1、流经曲管的流体不可压缩，密度为 ρ ，定常流动（流速不随时间变化） ，进口截面S1，面 积a1，外法线n1，流入速度大小v1，方向垂直于进口截面，进口截面处水压强大小p1； 出口截面S2，面积a2，外法线n2，流入速度大小v2，方向垂直于出口截面，出口截面处 水压强大小p2；不考虑重力，在进口截面和出口截面处，速度和压强均匀分布。 求：曲管侧壁给水的总外力f（不必考虑质量守恒）