人教版九年级数学下册优质课课件《二次函数--顶点式》
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二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件.ppt
那么二次函数的解析式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就 现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就 现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
人教版22.1.1二次函数概念课件(人教版九年级下册)(共27张PPT)
所以m=2
判断：下列函数是否为二次函数，如果是，
指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1— 3 x 2
(2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1 x2－ 3 x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 32x2
1
(5)y＝ 3x2 2x1 (6) y＝ x2 5x6
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
1 (2)y x2 (3 ) y x (1 x )
不是 是
(4) y (x 1)2 x 2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x2 2
(是 )
(2)y x2 1 x
( 否)
(3 )y(x2)x (3 )
(2)某种产品现在的年产量是20 ,计划今后两年增加产量。
(a,b,c是常数,
)
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入
函 数 yx2pxq,得 ：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
1.
2.
上述两个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是 二次，（3）二次项系数不等于零
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
初三二次函数ppt课件ppt课件
轴是$x = - \frac{b}{2，利用描点法可以 绘制出二次函数的图像。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
与x轴交点
当$\Delta > 0$时，二次函数的 图像与x轴有两个交点；当
$\Delta = 0$时，二次函数的图 像与x轴只有一个交点；当
$\Delta < 0$时，二次函数的图 像与x轴没有交点。
理解二次函数的基本 概念和图像表示。
能够运用二次函数解 决实际问题。
掌握二次函数的性质 ，包括开口方向、顶 点坐标和对称轴。
课程计划
通过PPT演示，引导学生了解 二次函数的概念和图像表示。
通过例题讲解，帮助学生掌握 二次函数的性质和应用。
组织课堂练习和讨论，加深学 生对二次函数的理解和应用能 力。
二次函数的表达式
01
02
03
表达式
二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
各项的意义
$a$是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$是常 数项。
如何确定表达式
通过已知条件，利用待定 系数法可以确定二次函数 的表达式。
二次函数的图像
图像特点
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点坐标是$( - \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称
06
参考资料
初三二次函数ppt课件
初三二次函数的概念
介绍二次函数的基本定义、表达式和 图像特征。
初三二次函数的图像和性质
详细描述了如何绘制二次函数的图像 ，并分析了图像的开口方向、顶点坐 标、对称轴和增减性等性质。
初三二次函数的实际应用
通过实例和练习题，展示了二次函数 在解决实际问题中的应用，如最值问 题、行程问题等。
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件
2020/4/15
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
2020/4/15
• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
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• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
新人教版九年级数学(下)二次函数(三)顶点式
板块一、课前回顾要点一：二次函数2ax y =通过怎样的平移得到二次函数()22y h x a k ax y -=+=与？要点二：○1如何确定二次函数的开口方向？开口的大小跟什么有关？ ○22ax y =、()22y h x a k ax y -=+=与的顶点坐标、对称轴、最值。
板块二、新课讲解知识点一、二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质 一、知识衔接由前面的知识，我们知道：○1函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数________________的图象； ○2函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数________________的图象；那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？二、实践探索 （略）通过实践知道：2)3(22+-=x y 的图象是由22x y =先向右平移3个单位得到2)3(2-=x y ，再由2)3(2-=x y 的图象向上平移2个单位而得到的。
或：2)3(22+-=x y 的图象是由22x y =先向上平移2个单位得到22y 2+=x ，再由22y 2+=x 的图象向右平移3个单位而得到的。
（温馨提示：无论是先上下平移、还是先左右平移，只要严格按照平移规则进行，最后图象都是一样的。
）二次函数（三）归纳总结：由上可知：二次函数2)3(22+-=x y 的开口方向 、顶点坐标： 、 对称轴 、有 值（“最大”或“最小”）、在对称轴（左边）函数值的增减性：、在对称轴（右边）函数值的增减性： 。
三、二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质1. 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中___________的值；左右平移，只影响__________________的值，抛物线的____________________不变，所以平移时，可根据 的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径． 2、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋k y ＝a (x-h)2y ＝a (x －h)2＋k 开口方向顶点 对称轴最值增减性 （对称轴右侧）3．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 4. 我们把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式。
初三二次函数课件ppt
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 经过点$(0,3)$和$(3,0)$，且顶点 在第四象限，求抛物线的方程。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。
九年级数学下册二次函数精品课件人教新课标版_3
函数 y ax2 bx c的图象大致是( )
y
y
Ao
x Co
x
y
B
ox Do
x
巩固
5、若函数 y 2x2 bx c的顶点坐标
是(1，-2)，则b= ，c= 。
巩固
6、已知二次函数 y ax2 bx c 的图 象如图所示，则一次函数 y bx ac
的图象不经过第 象限。
y
o
x
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
探究
二、指出函数的对称轴及顶点坐标：
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
y
ax
(
b 2a
) 2
4ac 4a
b2
归纳
抛物线 y ax2 bx c 的对称轴及顶点
坐标： (公式法)
(1)对称轴：直线 x b 2a
(2)顶点坐标：( b ,
4ac b2 )
2a 4a
归纳
确定抛物线 y ax2 bx c 的对称轴
及顶点的方法：
(1)配方法；
(2)公式法。
范例 例1、指出下列函数的对称轴及顶点坐 标：
(1) y 2x2 3x 1
(2) y 3x2 2x
巩固 3、确定下列二次函数图形的开口方向、 对称轴和顶点坐标：
(1) y x2 2x
范例
例3、画出 y 2x2 3x 1 二次函数的 图象。
巩固 7、画出下列二次函数的图象：
y x2 3x 4
小结
抛物线 y ax2 bx c 的对称轴及顶点
坐标： (公式法)
(1)对称轴：直线 x b 2a
(2)顶点坐标：( b ,
2024年九年级下册数学《二次函数》课件
2024年九年级下册数学《二次函数》课件一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学教材第十章《二次函数》。
具体内容包括：10.1二次函数的定义与图像，10.2二次函数的性质，10.3二次函数的顶点式及其应用，10.4二次函数与一元二次方程的关系。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的标准式、顶点式及其互化方法。
2. 能够根据二次函数的定义和性质，分析二次函数的图像特点。
3. 学会运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、性质、图像及其应用。
难点：二次函数顶点式的推导及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个抛物线的运动轨迹，引导学生观察、分析，进而引出二次函数的概念。
2. 教学新课（1）二次函数的定义与图像通过实例让学生理解二次函数的定义，展示二次函数的图像，引导学生观察、分析图像特点。
（2）二次函数的性质利用实例和图像，引导学生探究二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等。
（3）二次函数的顶点式及其应用通过顶点式的推导，让学生掌握顶点式与标准式的互化方法，并能运用顶点式解决实际问题。
（4）二次函数与一元二次方程的关系介绍二次函数与一元二次方程之间的联系，让学生了解它们在实际问题中的应用。
3. 例题讲解结合本节课的内容，讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习设计适量练习题，让学生当堂巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的性质3. 二次函数的顶点式及其应用4. 二次函数与一元二次方程的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）已知二次函数f(x)=x²4x+3，求其顶点坐标和对称轴。
（2）求二次函数y=2(x3)²+4的顶点坐标、开口方向和最值。
2. 答案：（1）顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2。
二次函数的顶点式ppt课件
❖ 2.y2+3y+ （
3 ）2 2
3
=(y+ 2
)2
❖ 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 y(x3)29 。
❖ 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是y2(x23)2。92
❖ 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是
.
精选ppt课件
12
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1y2x23x1;
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值 范围.
整理:前三项化为平方形式，后两 项合并同类项
配方后的表达 3x122. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y3 x1 22.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
二次函数顶点式 ppt课件
向上 直线x=－3 (－3,5 ) y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 ,-2 ) y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 ,7) y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , -6 ) 2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移
16
得到吗?
画出下列函数的图象，并说出抛物线 的开口方向、对称轴、顶点，最大值 或最小值各是什么及增减性如何。
y= 2（x-3）2+3
y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
17
各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
4
5
x
y 1 x 22
3
y 1 x2 3
9
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
上正下负
左加
y=ax2
右减
顶点y轴上
y=ax2+k
左加右减
y=a(x-h)2 顶点x轴上
问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？ 10
例3.画出函数 y1(x1)2 1的图象.指出它的开口 2
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
20
小结 拓展
下课铃声就要响了，但是我们还有一件事情没 有做，那就是在每节课结束时都要反思和总结 这节课的收获和体会。 这节课你最大的收获是什么？ 这节课你需要在课后再花时间研究的是什么？ 你认为今天这节课最需要掌握的是什么？
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得到吗?
画出下列函数的图象，并说出抛物线 的开口方向、对称轴、顶点，最大值 或最小值各是什么及增减性如何。
y= 2（x-3）2+3
y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
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各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
4
5
x
y 1 x 22
3
y 1 x2 3
9
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
上正下负
左加
y=ax2
右减
顶点y轴上
y=ax2+k
左加右减
y=a(x-h)2 顶点x轴上
问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？ 10
例3.画出函数 y1(x1)2 1的图象.指出它的开口 2
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
20
小结 拓展
下课铃声就要响了，但是我们还有一件事情没 有做，那就是在每节课结束时都要反思和总结 这节课的收获和体会。 这节课你最大的收获是什么？ 这节课你需要在课后再花时间研究的是什么？ 你认为今天这节课最需要掌握的是什么？
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x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1 1 .y = 2 x + 3 - , 2
2
1 2 2 .y = - x + 1 - 5. 3
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数的 图象和性质
知识回顾
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² 和 y=3(x-1)² 的图象． 观察图象,回答问题
?
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与 y=3x2 的图象有 什么关系 ? 它是轴对称 图形吗 ? 它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1
思考：
二次函数y=-0.5x² ,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象和抛物线y=-0.5x² ,y=0.5(x+1)2有什么关系?它的 开口方向,对称轴和顶点坐 y=-½(x+1)² 标分别是什么?
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性Байду номын сангаас最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立 安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头， 使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离 为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h X=h
顶点坐标 （h、k） （h、k）
a>0 a<0
1. y 2x 3
2
5;
2. y 0.5x 1 ;
2
3 2 3. y x 1; 4
3 4. y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
2
2
5.填写下表:
y=a(x-h)² +k
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的 图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向 右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而减小?
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点 坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的 值随x值的增大而增大?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而减小?
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
2
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x 值的增大而增大?x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）² -1的图像，指出 它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线 y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
顶点是 (-1,-1).
y=-½(x+1)² -1
y=-½x²
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值是 -1.
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是 顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3） 点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3） 是顶点，知 当x=0时，y=2.25， 道h=1， 即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
X=1