人教版九年级数学下册优质课课件《二次函数--顶点式》
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二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作Baidu Nhomakorabea抛物线 y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
顶点是 (-1,-1).
y=-½(x+1)² -1
y=-½x²
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值是 -1.
1. y 2x 3
2
5;
2. y 0.5x 1 ;
2
3 2 3. y x 1; 4
3 4. y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
2
2
5.填写下表:
y=a(x-h)² +k
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
二次函数的 图象和性质
知识回顾
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² 和 y=3(x-1)² 的图象． 观察图象,回答问题
?
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与 y=3x2 的图象有 什么关系 ? 它是轴对称 图形吗 ? 它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1
2
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x 值的增大而增大?x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）² -1的图像，指出 它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而减小?
x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1 1 .y = 2 x + 3 - , 2
2
1 2 2 .y = - x + 1 - 5. 3
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
X=1
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立 安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头， 使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离 为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？
思考：
二次函数y=-0.5x² ,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象和抛物线y=-0.5x² ,y=0.5(x+1)2有什么关系?它的 开口方向,对称轴和顶点坐 y=-½(x+1)² 标分别是什么?
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h X=h
顶点坐标 （h、k） （h、k）
a>0 a<0
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点 坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的 值随x值的增大而增大?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而减小?
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的 图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向 右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是 顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3） 点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3） 是顶点，知 当x=0时，y=2.25， 道h=1， 即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!
顶点是 (-1,-1).
y=-½(x+1)² -1
y=-½x²
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值是 -1.
1. y 2x 3
2
5;
2. y 0.5x 1 ;
2
3 2 3. y x 1; 4
3 4. y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
2
2
5.填写下表:
y=a(x-h)² +k
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
二次函数的 图象和性质
知识回顾
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² 和 y=3(x-1)² 的图象． 观察图象,回答问题
?
(1) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与 y=3x2 的图象有 什么关系 ? 它是轴对称 图形吗 ? 它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1
2
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x 值的增大而增大?x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）² -1的图像，指出 它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而减小?
x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1 1 .y = 2 x + 3 - , 2
2
1 2 2 .y = - x + 1 - 5. 3
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
X=1
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立 安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头， 使喷出的抛物线型柱在与池中心的水平距离 为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？
思考：
二次函数y=-0.5x² ,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开 口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象和抛物线y=-0.5x² ,y=0.5(x+1)2有什么关系?它的 开口方向,对称轴和顶点坐 y=-½(x+1)² 标分别是什么?
开口方向 向上 向下
对称轴 X=h X=h
顶点坐标 （h、k） （h、k）
a>0 a<0
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点 坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的 值随x值的增大而增大?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而减小?
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的 图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向 右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是 顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3） 点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3） 是顶点，知 当x=0时，y=2.25， 道h=1， 即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!