微积分常用公式及运算法则下

同济二版 微积分(下)
微积分公式
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x
∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;
2 (1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0); ax −1 ∼ x ln a(a > 0, a ≠ 1).
基本积分表
∫ k d x = kx + C(k = 1时, ∫ d x = x + C)
∫ xµ d x = xµ+1 + C
µ +1
∫ 1 d x = ln | x | +C
x
∫
1 1+ x2
d
x
=
arctan
x
+
C
∫ 1 d x = arcsin x + C
1− x2
∫ cos x d x = sin x + C
∫ d x = ln | x + x2 − a2 | +C
x2 − a2
不定积分的分部积分法
∫ uv′d x = uv − ∫ u′v d x 或∫ u d v = uv − ∫ v d u
定积分的换元法
设函数f ∈C[a,b].如果函数x = ϕ(x)满足：
(1)ϕ(α ) = a,ϕ (β ) = b,且ϕ([α, β ]) ⊆ [a,b]
= ay az i + az ax j + ax ay k
by bz bz bx
bx by
i jk = ax ay az
bx by bz
两向量的向量积的几何意义 (i)a × b的模: 由于 | a × b |=| a || b | sinθ =| a | h(h =| b | sinθ ), 所以 | a × b | 表示以a和b为邻边的平行四边 形的面积. (ii)a × b的方向:
直线L和平面Π 相互垂直的充要条件是:
A= B =C; mn p 相互平行的充要条件是: Am + Bn + Cp = 0.
3． 一般方程
直线L可以看作两个平面
Π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0与 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0的交线.空间一点 M (x, y, z)在直线L上,当且仅当它的坐标x, y, z
相互垂直的充要条件是:
s1 = (m1, n1, p1), s2 = (m2 , n2 , p2 ),则夹角公式为:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 相互平行的充要条件是:
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
cosϕ = s1 ⋅ s2 =
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
|a|
|a|
|a|
其中| a |=
ax2
+
a
2 y
+
az2
.
方向余弦满足:cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
ea = (cosα , cos β , cosγ )
向量的投影 向量a在b上的投影, 记为 Prj | a | cos(a ^ b)
b
向量的模 向量a = (ax , ay , az )的模为
∫ ∫ f [ϕ (x)]ϕ′(x) d x = f (u) d uu=ϕ(x) ∫ f (x) d x = [ f [φ (t)]φ ′(t) d t ]t=φ−1(x)
积分公式
∫ dx
a2 + x2
=
1 a
arctan
x a
+C
∫ d x = arcsin x + C
a2 − x2
a
∫ d x = 1 arcsin bx + C(a > 0,b > 0)
a⋅b = b⋅a
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
a ⋅ (b + c) = a ⋅b + a ⋅ c (λa) ⋅ (µb) = λµ(a ⋅b)
4．单位向量
ea = a |a|
空间两点间的距离公式 | P1P2 |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
平面的方程
1．点法式方程
过点M 0 (x0 , y0 , z0 )且以n = ( A, B, C)为法向量 的平面Π的方程为 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
2．一般方程
三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0 ( A, B,C不同时为零)的图形是平面,其中 x, y, z的系数A, B,C是平面的法向量的坐标, 即n = ( A, B,C)是平面的法向量. 特殊的平面： A = 0,平行于x轴的平面； B = 0,平行于y轴的平面； C = 0,平行于z轴的平面； D = 0,过原点的平面； A = B = 0,垂直于z轴的平面； B = C = 0,垂直于x轴的平面； C = A = 0,垂直于y轴的平面.
= ay by
ax = bx
cx
az bz
cx
+
az bz
ay az by bz cy cz
ax bx
cy
+
ax bx
ay by
cz
(ii)a × b同时垂直于a和b,并且a,b, a × b符合 右手法则.
[abc] = [bca] = [cab] 三向量a,b, c共面的充要条件是
a ×b = −b × a
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
1．向量的加法
a+b = b+a
(a +b)+c = a +(b +c)
2．向量与数的乘法（数乘）
λ(µ a) = (λµ )a (λ + µ)a = λa + µa λ(a + b) = λa + λb
方向角与方向余弦
方向余弦 : cosα = ax , cos β = ay , cosγ = az
ax ay az bx by bz = 0
0×a = a×0 = 0
cx cy cz
a×a =0
(a + b)× c = a × c + b × c (λa)× (µb) = λµ(a × b)
a b的充要条件是a × b = 0
a×b
= (aybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − aybx )k
∫ ax d x = ax + C(a > 0, a ≠ 1) ln a
∫ sinh x d x = cosh x + C
∫ cosh x d x = sinh x + C
不定积分线性运算法则
∫[αu(x) + β v(x)]d x = α ∫ u(x) d x + β ∫ v(x) d x
不定积分的换元法
m1 = n1 = p1 m2 n2 p2
直线的方程
1． 参数方程
过M 0 (x0, y0 , z0 )且以s = (m, n, p)为方向向量 的直线L的方程为
x
=
x0
+
tm
y z
= =
y0 z0
+ tn + tp
.
2． 对称式方程（点向式方程）
过M 0 (x0, y0 , z0 )且以s = (m, n, p)为方向向量 的直线L的方程为
∫ sin x d x = − cos x + C
∫
1 cos2
x
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d
x
=
∫
sec2
x
d
x
=
tan
x
+
C
∫
1 sin 2
x
d
x
=
∫
csc2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
∫ sec x tan x d x = sec x + C
∫ csc x cot x d x = − csc x + C ∫ex d x = ex + C
( ) 旋转而成的曲面的方程f ± x2 + y2 , z = 0;
若在f ( y, z) = 0中y保持不变而将z改写成
± x2 + z2 , 就得到曲线C绕y轴旋转而成的
( ) 曲面的方程f y, ± x2 + z2 = 0.
二次曲面图形及方程
1．椭球面
4
x2 + y2 + z2 =1 a2 b2 c2
a2 − b2x2 b
a
∫ dx
x2 − a2
=
1 ln 2a
x−a x+a
+C
∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | +C
∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | +C
( ) ∫ d x = ln x + x2 + a2 + C(a > 0) x2 + a2
向量的坐标表示
向量a与b的夹角满足公式
cosθ = a ⋅b (其中0 ≤ θ ≤ π ) | a || b |
若a = (ax , ay , az ),b = (bx , by , bz ),则
cosθ =
axbx + ayby + azbz
ax2
+
a
2 y
+
az2
⋅
bx2 + by2 + bz2
| a |= ax2 + ay2 + az2
向量的数量积（点积、内积）
a ⋅b =| a || b | cosθ
a⋅0 = 0⋅a = 0
a ⋅ b =| a | Prja b =| b | Prjb a
即:Prja
b
=
a⋅b |a|
=
ea
⋅b
a ⋅ b = (ax , ay , az ) ⋅ (bx , by , bz ) = axbx + ayby + azbz a ⋅ a =| a |2
x − x0 = y − y0 = z − z0 .
m
n
p
直线与平面的夹角
直线L与平面Π法线的方向向量分别是
s = (m, n, p), n = ( A, B,C),则夹角公式为:
sinϕ = | n ⋅ s | =
| Am + Bn + Cp |
| n || s | A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2
0
0
∫ ∫ π xf (sin x) d x = π
π
2 f (sin x) d x
0
0
π
π
∫ ∫ 2 sinn x d x = 2 cosn x d x
0
0
定积分的分部积分法
∫ ∫ b a
uv′
d
x
=
[uv]ba
−
b vu′ d x
a
∫ ∫ b a
u
d
v
=
[uv]ba
−
b
vdu
a
m = 1, 2, 3,⋯
a ×b与一切既平行于a又平行于b的平面垂直.
向量的混合积
平面的夹角
cosθ = n1 ⋅ n2 =
| A1A2 + B1B2 + C1C2 |
| n1 || n2 |
A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
3
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平面Π1和Π 2
直线L1与L2的方向向量分别是
或ϕ([β ,α ]) ⊆ [a,b];
(2)ϕ′ ∈C[α, β ](或ϕ′∈ C[β ,α ])
那么：∫b f (x) d x = ∫ β f [ϕ (t)]ϕ′(t) d t
a
α
1
若f ∈C[−a, a],并且为偶函数，则
∫ a f (x) d x = 2∫ a f (x) d x;
−a
0
若f ∈C[−a, a],并且为奇函数，则
| s1 || s2 |
m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22
直线L1和L2
点到平面的距离 点P0 (x0, y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0 的距离为:d = | Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B2 + C 2
相互垂直的充要条件是: m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 相互平行的充要条件是:
x = a sinθ cosϕ
y
=
b
sinθ
sin
ϕ
z = c cosθ
其中θ ∈[0,π ],ϕ ∈[0, 2π ]
2．抛物面
（1）椭圆抛物面
x2 a2
+
y2 b2
= ±z
x = av cos u y = bv sin u z = v2
其中u ∈[0, 2π ], v ∈[0, +∞)
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以点M1(x1, y1, z1)为起点, M 2 (x2 , y2 , z2 )为终点 的坐标
M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
∫a f (x)d x = 0 −a
π
π
∫ 2 f (sin x) d x = ∫ 2 f (cos x) d x
2
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若a = (ax , ay , az ), b = (bx ,by ,bz ),则
(a ×b) ⋅c
a ⊥ b的充要条件是axbx + ayby + azbz = 0
向量的向量积 设a和b是两个向量, 规定a与b的向量积是一 个向量,记作a × b,它的模与方向分别是:
( ) (i) | a × b |=| a | × | b | sinθ 其中θ = (a ^ b)
同时满足Π1与Π 2的方程,的下面的直线方程:
A1x
+
B1 y
+
C1z
+
D1
=
0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
其中 A1 = B1 = C1 不成立. A2 B2 C2
两直线的夹角
旋转曲面 若在曲线C的方程f ( y, z) = 0中z保持不变而
将y改写成 ± x2 + y2 , 就得到曲线C绕z轴